2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全真模擬卷全真模擬卷TOC\o"1-5"\h\z2022年全國髙中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全輿模擬（一） 1\o"CurrentDocument"2022年全國髙中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全輿模擬（二） 4\o"CurrentDocument"2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全貞模擬（三） 7\o"CurrentDocument"2022年全國離中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全貞模擬（四） 10\o"CurrentDocument"2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全良模擬（五） 13\o"CurrentDocument"2022年全國髙中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全輿模擬（一）參考答案 16\o"CurrentDocument"2022年全國髙中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全輿模擬（二）參考答案 28\o"CurrentDocument"2022年全國離中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全貞模擬（三）參考答案 41\o"CurrentDocument"2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全貞模擬（四）參考答案 54\o"CurrentDocument"2022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全良模擬（五）參考答案 632022年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖刺全真模擬(-)第一試一、填空題(本大題共8小題每小題S分，滿分64分)? UCOS0COS360cos20cos18c . 2 1-己知頭數(shù)9倆足c_-36。)+cos(2,-l^)=1-貝1J郵2卜己知直線卜⑽十幼十c=0與岡r:ar2+I/2=r2沒有公共點(diǎn)，其中a.b.c.r為常數(shù)，且b#?，r>0,若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P.Q分別為直線I和IMIr上的動點(diǎn)，且滿足LOPQ=q(0"<q<90'點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為d，則皿十(i腿= (用b,c表示). 己知n為不超過2028的正整數(shù)，單位復(fù)數(shù)s滿足^+1十y/2zn-1=0,則n的最大俏為 方程3(L2^-1J+\2x十ll)=4x+2的所有實(shí)數(shù)解x= ，其中［a\.fa］分別表示不超過實(shí)數(shù)a的最大幣數(shù)和不小于實(shí)數(shù)a的最小整數(shù).己知二元函數(shù)f(z.y)=\t-2y\十|4x+7以十叫十|3x十5以-59|，其中實(shí)數(shù)zj滿足P十100,則f(x,y)的最大值為 .若存在實(shí)數(shù)j:.?/，使得n=/(x—1>2十G/—1>2十^+1)2+(1/+1)2灼整數(shù)，其中|x|C21，\y\彡21，則滿足上述條件的整數(shù)n的個數(shù)力 .若存在n個非零實(shí)數(shù)a］,<12,…，a?€(―1.1),滿足ai+02 an=0,a,+ +?— =2021,則不超過104的正整數(shù)n的個數(shù)A .已知四而體ABCD的內(nèi)切球fi與而BCD.而C7Z4、而DAB.而ABC分別切于點(diǎn)A0,B^C0,Do，在12個角ABA0C.ZCA0D.ZZM0D, ZCB0P.ZAB0D. ABC0D.ZAC0D.^AD0C中，由所有不同的角構(gòu)成的集合為S，則\S\的所有可能的值為 二、解答題(本大題共3小題.滿分.56分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)(本題滿分16分)設(shè)集合S={sez\\s\^2021},對于任意互不相等的整數(shù)a,b.ceS,求滿足a十6十c<0的三元有序整釹組(a，6,c>的個數(shù).2022年全W離中數(shù)學(xué)聯(lián)賽考前沖側(cè)全與模擬（一）10（本題滿分20分）己知拋物線r:y2=2px,其中p為正常數(shù).Pdxi.yl）.P2（X2^2）^P^3-y3）力拋物線r上按逆吋針的次序排列的三個互不重合的點(diǎn)，對于i=1.2.3,過點(diǎn)尸：作拋物線r的切線i?直線12J3交于點(diǎn)直線以交于點(diǎn)a2,宣線/i,/2交于點(diǎn)A：i,設(shè)△'七乇的外接閥半徑為n,AP.PoP^的Ifti積為s，證明：5 1^2一！/:川仍一Wl||?/1一？/2|11.（本題滿分20分）已知集合A/={1，2,…，n}，其中n為大于1的奇數(shù)，若集合A/的子集X滿足：在子集X中，奇數(shù)的個數(shù)大于偶數(shù)的個數(shù)，則稱x為好的，所冇好子集構(gòu)成集合族為r，記.Y中所有元素之和為S（A丁求z;SPO的值.XGT微信公眾號：數(shù)學(xué)兗賽的那些事兒微信公眾號：數(shù)學(xué)兗賽的那些事兒微信公眾號：數(shù)學(xué)兗賽的那些事兒微信公眾號：數(shù)學(xué)兗賽的那些事兒力口試一、（本題滿分40分）已知凸四邊形ABCD有內(nèi)切岡，過點(diǎn)C的射線與邊AD交于點(diǎn)￡，與13A的延長線交于點(diǎn)廠，過點(diǎn)4的射線與BC的延長線交于點(diǎn)G.且與&CDE的內(nèi)切盼I相切.若M3CF的內(nèi)心為1.證明：LBAG=LBCF<=>S^iaf=Sa/cg<=>A/-4F和&ICG的垂心的連線垂直于IB.二、（本題滿分40分）（1） 是否存在無窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{a,.}（n》0）,使得對于任意正整數(shù)n，均有a。>^an_i-1；（2） 是否存在無窮正實(shí)數(shù)數(shù)列{a?}（n彡0）,使得滿足an> -1的正整數(shù)n（n>2）的個數(shù)是有限的.三、（本題滿分50分）2021?!+1求正整數(shù)n的最小值，使得5： -ci09I妁整數(shù).i=1i十1四、（本題滿分50分）己知閣G的頂點(diǎn)構(gòu)成的集合為V,且|V|=2021,證明：存在閣G的子閣Gr（子閣G'的頂點(diǎn)構(gòu)成的集合為V"），使得對于毎個頂點(diǎn)ueV\V\在策合V"中至少有21個頂點(diǎn)與n相鄰，且子閣G'屮毎個點(diǎn)的度均不超過20.的整數(shù)解.如果m是偶數(shù)，則5=45+m3三n2三0或丨(mod8),矛盾.故m是奇數(shù)，即TOC\o"1-5"\h\zm=1(mod2). (2)如果m=1(mod4),則2=45十m3三n2三0或1(mod4)，矛盾.故m耷1(mod1). ③山式②，③可知m三3或7(mod8).將方程①變形為H2-2x62=n，3-27=(m一3)(m2十3m十9). ?如果m=0(mod3),則n=0(mod3),從而可設(shè)in=3zn().n=3hq(thq.hq€Z)5代入式④得ng= 十5.但2三3rng十5=n§=01(mod3)，矛盾.故m芙0(mod3),從而n0(mod3).由二次剩余理論可知，對n2-2x62的任意素㈥子p.方程=2(modp)有解.閔此.p三土1(mod8).如果m三3(mod8),則m2十3m十9=3(mod8).從而存在m2十3?n十9的索閔子p,滿足p=±3(mod8),故m2十3ni十9|n2-2x62.與式?矛盾.再將方程①變形為H2-2x32=m3十27=(m十3)(m2一3m十9). ⑤同上可得n2-2x32的任意素閔子p=±1(mod8).如果m=7(mod8),則nr—3m十9=5(mod8).從而存在m2-3m十9的素閔子p,滿足p=士3(mod8),故m2-3w+9fn2-2x32,與式(5)矛盾.綜上可知，方程n2=n?十45沒有整數(shù)解-從而，方程y2十2t/=t3-Or2十27t十17也沒有整數(shù)解.四、(本題滿分50分)給定正整數(shù)m,n,r.其中1<r彡mn.稱mXn.棋盤中的m個方格構(gòu)成一條廣義對角線(簡稱對角線)，如果其中任意兩個方格既不同行也不同列.將nrXn棋盤中的若I'?個方格染為紅色，使得毎行毎列都至多有r個紅色方格.試求正整數(shù)a的最小協(xié).使得對于任何染色方式.都能在棋盤上找到a條對角線.滿足所有的紅色方格都在這些對粕線上.解：所求正整數(shù)。的域小值為r.用m個點(diǎn)表示方格表的m行，另n個點(diǎn)表示方格表的n列.如果某個方格被染紅，則在與該方格所在的行和列分別對應(yīng)的點(diǎn)之間連一條邊，得到一個2部分圖Gm,n，其中毎個頂點(diǎn)的度不大于r.在m個行對應(yīng)點(diǎn)的部分増加n-m個孤立點(diǎn)，則2部分圖G，Ti,n變成2部分圖Gn^此時圖中毎個點(diǎn)的度仍不大于r.記Gn，n的兩部分的頂點(diǎn)集分別為A={Ai.A2，/ln}，B= …,Bn}.如果4中存在某個頂點(diǎn)（設(shè)為n）的度小于r,則n"Gll= <nr，1=1即n（1（3,）<nr.i=l于是，B中必定存在某個點(diǎn)（設(shè)為v）的度小于r.在Gn,n中增添邊uv,使頂點(diǎn)u和v的度都増加1.其他頂點(diǎn)的度不變.從而增加新的邊閣中毎個頂點(diǎn)的度仍不大于r.如此繼續(xù)下去.直至毎個頂點(diǎn)的度都等于r,記此吋的閣為G1.W為G'足2部分正則閣，存在完笑匹配.取出共中一個完關(guān)匹配1\,在閣中去棹1\的邊，則毎個點(diǎn)都去掉一條邊.得到的圖仍是2部分正則圖.于是，又存在完美匹配P2,又在閣中去掉P2的邊，則毎個點(diǎn)又都去棹一條邊.得到的閣仍是2部分正則閣.如此下去，宣至取出第r個完美匹配Pr,這些匹配互不相交.于足，閣G'中所有邊被r個兩兩不交的n-匹配掩蓋.現(xiàn)在，去掉新增