高階導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)重點(diǎn)：求導(dǎo)法則、高階導(dǎo)數(shù)的定義難點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的具體求法關(guān)鍵：高階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)順序12/7/20221泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)1.如果的導(dǎo)數(shù)存在，稱為的二階導(dǎo)數(shù)記作：，或2.仍是x的函數(shù)，還可以進(jìn)一步考慮有三階導(dǎo)數(shù)或，四階導(dǎo)數(shù)或，……n階導(dǎo)數(shù)或.一、基本概念12/7/20222泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!3.f(x)在x處有n階導(dǎo)數(shù)，那么在x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù)；二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱高階導(dǎo)數(shù)4.問(wèn)題：如何求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？一步一步來(lái)，利用已知函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例解

例1

y=ax+b,求例2求

解

12/7/20223泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!例3證明:函數(shù)滿足關(guān)系式證將求導(dǎo),得2、應(yīng)用12/7/20224泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!解一般地,可得即12/7/20225泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!例7求冪級(jí)數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)公式解那么一般地,可得即12/7/20226泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!例8解代入萊布尼茨公式,得12/7/20227泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率四、小節(jié)五、作業(yè)12/7/20228泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!2隱函數(shù)的定義一般地,如果變量x和y滿足一個(gè)方程F(x,y)=0,在一定條件下當(dāng)x取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí),相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的y值存在,那么就說(shuō)方程F(x,y)=0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解我們把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)數(shù),注意y=y(x),方程左邊對(duì)x求導(dǎo)得方程右邊對(duì)x求導(dǎo)得所以12/7/20229泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!例3求橢圓在點(diǎn)處的切線方程(圖2-6)解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道,所求切線的斜率為橢圓方程的兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),有從而當(dāng)x=2時(shí),代入上式得于是所求的切線方程為即12/7/202210泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!3.對(duì)數(shù)求導(dǎo)法***方法:先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).--------對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍:下面通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明這種方法例5解等式兩邊取對(duì)數(shù)得12/7/202211泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!冪指函數(shù)也可表示成這樣,便可直接求得12/7/202212泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!當(dāng)2<x<3時(shí),用直接計(jì)算的方法可得與上面相同的結(jié)果。當(dāng)x<1時(shí),12/7/202213泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法12/7/202214泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!12/7/202215泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!

曲線在點(diǎn)的切線斜率為:代入點(diǎn)斜式方程,即得橢圓在點(diǎn)處的切線方程化簡(jiǎn)后得12/7/202216泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!在求速度的方向,也就是軌跡的切線方向設(shè)是切線的傾角,則根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得所以,在拋射體剛射出(即t=0)時(shí),當(dāng)時(shí)這時(shí),運(yùn)動(dòng)方向是水平的,即拋物體達(dá)到最高點(diǎn)12/7/202217泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!三、相關(guān)變化率相關(guān)變化率的定義:12/7/202218泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!四、小節(jié)本節(jié)主要講述了高階導(dǎo)數(shù)的求法、隱含數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)問(wèn)題，在具體應(yīng)用時(shí)，注意變換關(guān)系。12/7/202219泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!于是下面介紹幾個(gè)初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)例4求指數(shù)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)解一般地,可得即例5求正弦與余弦函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)12/7/202220泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!用類似方法,可得例6求對(duì)數(shù)函數(shù)ln(1+x)的n階導(dǎo)數(shù)解一般地,可得即通常規(guī)定0!=1,所以這個(gè)公式當(dāng)n=1時(shí)也成立.12/7/202221泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(3)稱為萊布尼茲公式12/7/202222泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!第四節(jié)隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率重點(diǎn)：隱含數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)方法難點(diǎn)：隱含數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)方法的應(yīng)用，對(duì)數(shù)求導(dǎo)法的應(yīng)用。特別注意參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)的求法。12/7/202223泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1復(fù)習(xí):函數(shù)的表示法1.直接表示:解析式y(tǒng)=f(x)x∈D,這樣描述的函數(shù)稱為顯函數(shù)2間接表示(1)由一個(gè)方程F(x,y)=0所確定的函數(shù)例可確定函數(shù),(2)由兩個(gè)方程確定(帶一個(gè)中間變量)參數(shù)方程:

t是參數(shù)方法(1)表示的函數(shù)稱為隱函數(shù).把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù),叫做隱函數(shù)的顯化.12/7/202224泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!從而注意:在這個(gè)結(jié)果中,分式中的y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù)例2求由方程所確定的隱函數(shù)x=0處的導(dǎo)數(shù)因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),從原方程得y=0,所以解把方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),由于方程兩邊的導(dǎo)數(shù)相等,由此得所以12/7/202225泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!例4求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法,得于是上式兩邊再對(duì)x求導(dǎo),得上式右端分式中的y=y(x)是由方程所確定的隱函數(shù)12/7/202226泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!一般地12/7/202227泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!例6求的導(dǎo)數(shù)解

用下面方法，使計(jì)算簡(jiǎn)單兩邊取對(duì)數(shù)(假定x>4),得兩邊對(duì)x求導(dǎo)于是12/7/202228泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!例7解：12/7/202229泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得12/7/202230泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!例8已知橢圓的參數(shù)方程為求橢圓在相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程解當(dāng)時(shí),橢圓上的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是:12/7/202231泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!例9已知拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為

求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向解先求速度的大小由于速度的水平分量為鉛直分量為所以拋射體運(yùn)動(dòng)速度的大小為12/7/202232泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!例10計(jì)算由擺線的參數(shù)方程所確定的函數(shù)y=y(x)的二階導(dǎo)數(shù)解12/7/202233泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共35頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!解仰角增加率即觀察員視線的仰角增加率是0.14rad/min12/7/202234泰山醫(yī)學(xué)院信息工程學(xué)院劉照軍高階導(dǎo)數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo)共3