線性代數(shù)練習（2023）一．填空題1．排列975341268的逆序數(shù)是，5階行列式中項前的符號是2．已知3階矩陣A和B，且|A|＝3，|B|=－2則＿，＿，＿3．設，則元素的余子式是＿＿，元素的代數(shù)余子式是＿＿＿（用行列式表示），按第2行展開的表達式是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿，4．（1）行列式＝，（2）設，若|A|＝0，則的值是5．（1），則AB＝＿＿＿＿＿＿，BA＝＿＿＿＿＿＿＿（2）設，則＿＿，＿＿，（3），則＿＿＿（4）若，則X＝＿＿＿＿＿6．（1）n階可逆矩陣矩陣A的列向量組為，則秩＿＿＿＿（2）設A是階矩陣，且A的秩是R(A)＝2，，則R(AB)=（3）從矩陣A中劃去1行得到矩陣B，則矩陣的秩R(A)與R(B)的關(guān)系是＿＿＿＿＿＿（4）設A是階矩陣，線性方程組的基礎解系含有3個向量，則R(A)＝＿＿（5）非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿7．（1）設是非齊次線性方程組的解，，則方程組的通解為＿＿＿＿＿＿＿（2）設是非齊次線性方程組的線性無關(guān)的2個解，A為2×3階矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關(guān)系式＿＿（3）設A為n階方陣，是的3個線性無關(guān)的解向量，則的一個基礎解系是＿＿＿＿＿＿8．（1）已知向量線性相關(guān)，不能由線性表示，則線性＿＿＿（相關(guān)還是無關(guān)）。（2）設n維向量線性無關(guān)，令，則向量組是＿＿＿＿＿＿（線性相關(guān)還是線性無關(guān)）（3）向量組＿＿＿＿＿（線性相關(guān)還是線性無關(guān)）9．（1）設向量且向量滿足，則＝＿＿＿（2）都是4維列向量，且4階行列式,則4階行列式＿＿＿＿＿（3）設是3維列向量，組成3階方陣，且|A|=6，則＿＿＿＿＿＿（4）設4階矩陣，，其中均為4維列向量，已知行列式＿＿＿＿10．設n階矩陣A滿足，則的逆矩陣是，的逆矩陣是11．（1）向量，若能用線性表示，則k＝（2）設n維向量，矩陣，則AB＝＿＿12．設n元非齊次線性方程組AX=b，矩陣A的秩，系數(shù)增廣矩陣的秩，那么有唯一解的充分必要條件是13．（1）設矩陣A為方陣，滿足，則A的兩個特征值是＿＿＿＿＿＿設，則A的特征值是＿＿＿＿＿（2）已知3階方陣A的特征值是1，－2，3，則|A|=＿＿，的特征值是＿＿＿＿＿（3）已知3階方陣A的特征值是－1，0，1，則＿＿＿（4）設A是正交矩陣，則行列式＿＿14．設為正交矩陣，則＿＿，＿＿＿二．判斷題，下列命題正確的打√，不正確的打×1．行列式的某行有公因子，將公因子提到行列式的外面，行列式的值不變；（）2．；（）3．設A，B均為n階可逆矩陣，則；（）4．設A為n階方陣，若，則A的秩等于n；（）5．設A，B均為n階方陣，則；（）6．非齊次線性方程組AX＝b有兩個解，那么也是AX＝b的解；（）7．設，則齊次線性方程組AX＝0必有非零解；（）8．設向量組的秩是，則其中任意個向量均線性無關(guān)；（）9．若P,Q都是正交矩陣，則它們的乘積PQ也是正交矩陣；（）三．選擇題1．排列的逆序數(shù)是（）A．；B.；C.；D.。2．設4階行列式D中第3行的元素依次為1,2,3,4，對應的余子式依次為4,3,1,2，則D＝（）A．7；B.－7；C.21，D.－21。3．若5階行列式的項是，則下列正確的是（）A．符號為正；B.符號為負；C.符號為正；D.符號為負。4．的充分必要條件是（）A．；B.；C.且；D.或。5．設A、B、C為n階方陣，則下列各式正確的是（）A．；B.若，則或；C.；D.若，且可逆，則6．設為n階方陣，且，則下列成立的是（）A．；B.；C.；D.。7．設A、B、C為n階方陣，則下列正確的是（）A．；B.若，則或C.；D.8．若都是n階可逆矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是（）A；B.；C.；D.9．設A，B是n階方陣，則下列說法正確的是（）A．若｜A｜＝0，則A＝0；B.若，則A＝0；C.若，則D.。10．設A為階矩陣，且，則下列敘述正確的是（）A．A中所有的階子式全不為零；B.A中所有的階子式全不為零；C．A中至少存在一個階子式不為零；DA中可能有的階子式不為零。11．若方程組AX=0中，方程個數(shù)小于未知數(shù)個數(shù)，則方程組（）A．必有非零解；B.必無解；C.僅有零解；D.有惟一解。12．設是非齊次方程組的解，是對應齊次方程組的解，則必有一個解是()A.；B.；C.；D.。13．已知n維向量組線性相關(guān)，則（）A．A的任何部分組必線性相關(guān)；B.A的任何部分組必線性無關(guān)；C.A的極大線性無關(guān)組是惟一的；D.向量組A的秩小于S。14．與已知向量都正交的一個向量是，則（）A．－1；B.0；C.1；D.2。15．設是四元非齊次線性方程組的3個解向量，且R(A)=3，，則方程組的通解為（）A．；B.；C.；D.16．設3階方陣A的特征值為1、3、-1，，則是（）A．滿秩矩陣；B.；C.；D.。17．設4階矩陣相似，矩陣A的特征值為，則（）A．0；B.24；C.60；D.120。四．計算行列式（1），（2），（3）五．求下列矩陣的逆矩陣（1）（2），六．（1），且求。（2），且求。（3）已知，求矩陣X使。七．（1）設矩陣A滿足，證明可逆，并求逆（2）設矩陣A滿足，證明可逆，并求逆八．求下列向量組的秩及一個極大無關(guān)組，并將其余向量表示成極大無關(guān)組的線性組合（1）（2）（3）（4），能否用線性表示？表達式是否惟一？若不惟一，寫出另一表達式。九．求解下列線性方程組：（1）（2）（3）（4）齊次線性方程組有非零解，求的取值。（5）k取何值時方程組有惟一解？無窮解?無解？十．求可逆陣使得為對角陣，并給出，，十一．求正交矩陣P和對角陣，使。（1），（2），（3）十二.證明題（1）設A，B都是n階對稱矩陣，證明AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB＝BA。（2）設是n階方陣，證明：與有相同的特征值。（3）設為n維列向量，且，令，證明H是對稱的正交陣。（4）設是維列向量，且，證明：|A|＝0。答案（僅供參考）填空題：1．22，負；2.-24，-24，-4.5；3.；4.(1)-120；（2）1或-5；5.（1）；（2），（3）；（4）。6.（1）n，（2）2，（3）,(4)R(A)=3,(5)R(A)=R(A,b)<n；7.（1）（2）k+L=1，（3）；8.（1）相關(guān)，（2）線性無關(guān)，（3）線性相關(guān)；9.（1）（0，-7，11/2），（2）m-n,（3）18，（4）64；10.（1）；11.（1）-6，（2）E；12.r=s=n；13.（1）1，-3；1，2，（2）-6，1，-1/2，1/3，（3）-4，（4）1或-1；14.。二．判斷題：1.對，（2）錯（3）錯（4）對（5）錯（6）錯（7）對（8）錯（9）對。三.選擇題：1.C，2.B，3.B，4.C，5.D，6.C，7.C，8.C，9.C，10.C，11.A，12.D