Chap4.

VNM（馮諾依曼-摩根斯坦）效用函數(shù)與風險升水§1.不確定性與選擇公理§2.馮·諾依曼—摩根斯坦效用函數(shù)§3.風險度量、確定性等值與風險升水本章要點§1.不確定性與選擇公理一、不確定性經(jīng)濟活動中始終存在著決策的不確定性。不確定性和風險是一個不同的概念，奈特在《風險、不確定和利潤》（1916）第一次區(qū)分了經(jīng)濟活動中不確定性與風險，不確定性是客觀的，指行動的結果總是被置于某種概率之下，而風險主要是指主觀上的認識能力。不確定性可以用數(shù)學語言進行描述。主要用數(shù)學期望函數(shù)和方差。彩票的選擇具有一般商品消費選擇的特征，具有收益的不確定性?？梢杂檬阶颖硎?。如它會產(chǎn)生兩種結果。二、單賭和復賭單賭：設有n種可能的事件結果，則單賭集合可寫成：也可以簡寫為：復賭：凡是獎品本身又成了賭博本身的賭博。高產(chǎn)20%正常40%低產(chǎn)40%雨量大20%0.040.080.080.20雨量中50%0.100.200.200.50雨量小30%0.060.120.120.30獎品是產(chǎn)量的分布，它們又具有不確定性，而成為賭局本身?！就陚湫耘c傳遞性公理】對兩種不同的結果，消費者的偏好為：三、不確定條件下的選擇公理【連續(xù)性公理】差異很大的兩個不確定結果的某種加權結果會等同于某個確定的中間結果?！惊毩⑿怨怼考俣ㄏM者A與B之間無差異，設C為任一個另外的結果。如果一張彩票L1會以概率P與(1-P)帶來結果A與C，另一張彩票L2以概率P與(1-P)帶來結果B與C，那么，消費者會認為這兩張彩票L1與L2無差異。例：設A=獲1000元,B=獲10元,C=死亡。對大多數(shù)人，1000元>10元>死亡。設10元為一確定的狀態(tài)。則必定存在概率0<P<1，使得：【不相等公理】當且僅當：消費者嚴格偏好于L2?！?.馮馮諾依曼曼—摩根根斯坦效效用函數(shù)數(shù)一、VNM效用函數(shù)數(shù)定義1.期望結果1結果2概率收入概率收入傭金制0.5020000.501000固定薪水制0.9915100.01510推銷員的的收入2.期期望效用則對應應的期期望效效用函函數(shù)為為：則消費費者更更偏好好于g1，當且且僅當當期望效效用函函數(shù)的的作用用：當當消費費者面面臨不不確定定性時時，可可用期期望效效用最最大化化分析析消費費者的的行為為。期望效效用函函數(shù)或或VNM效用函函數(shù)二、期望效用函函數(shù)即用消消費者者心里里那個個ai使與某某個單單賭等等價的的最好好事件件發(fā)生生的概概率來來定義義u(ai)。例：設A=(a1,a2,a3)=(10元,4元元,-2元元)C=死死亡。。當a1發(fā)生的的概率率P為為多少少時，，消費費者認認為a1(i=1,2,3)與(P,a1,a3)無差差異?如果該該消費費者回回答：：因此，，可定定義：：比較單單賭格格局：：消費者者偏好好于單賭的的期望望效用用：單賭的的期望望收入入：§3.風險險度量量、確確定性性等值值和風風險升升水一、風險度度量事件A的風險險度量量：結果1離差結果2離差工作120005001000500工作2151010510990實際收收入與與期望望收入入的離離差工作1的平均均離差差：工作2的平均均離差差：平均離離差=P1×結果果1的的離差差+P2×結果果2的離差差通常風風險以以方差差或標標準差差（方方差的的平方方根））來度度量：：二、對對風險的的主觀觀態(tài)度度效用函函數(shù)的的凹性性與經(jīng)經(jīng)濟含含義效用函函數(shù)的的凹性性：含義：：表示示通常常情況況下人人們是是“風風險規(guī)規(guī)避””的。。風險規(guī)規(guī)避者者風險偏偏好者者風險中中立者者定義在g中風險險規(guī)避避在g中風險險偏好好在g中風險險中立立絕對風風險規(guī)規(guī)避系系數(shù)：：由決決策者者的效效用函函數(shù)的的曲率率表示示的。。由于于它是是對一一個財財富水水平下下的風風險的的度量量，所所以又又被稱稱為是是局部部絕對對風險險規(guī)避避度量量。這這在于于說明明在財財富收收益水水平絕絕對量量上的的增加加或損損失。。風險規(guī)規(guī)避程程度三、確確定性性等值值、風風險升升水及及其應應用確定性性等值值是完全全確定定的收收入量量，此此收入入水平平對應應的效效用水水平等等于不不確定定條件件下期期望的的效用用水平平，即即CE滿足：：風險升升水：：是收入入P，當當一個個完全全確定定收入入減去去P產(chǎn)產(chǎn)生的的效用用仍等等于不確定定條件件下期期望的的效用用水平平，即即：。?；蚧騿钨€賭g含的的風險險相當當于使使一個個確定定的收收入E(g)減減少了了P。或者說說，風風險升升水指指一個個完全全確定定的收收入E(g)轉化為為兩個個不確確定的的收入入w1和w2時，消消費者者由于于面臨臨風險險付出出的代代價。。O例：假定。。令單單賭中中贏h和虧虧h各有50%的概概率，，設消消費者者原來來的資資產(chǎn)水水平為為w。求求CE與風風險水水平P。例6：：一種彩彩票贏贏得900元的的概率率為0.2；若若輸，，只獲獲得100元，，概率率為0.8。若若消費費者的的效用用函數(shù)數(shù)形式式為，，問問該消消費者者愿意意出多多少錢錢購買買這張張彩票票？風風險升升水是是多少少？消費者者的出出價應應按CE給出，，即例7：：某消消費者者的效效用函函數(shù)為為：。。w0=9000，h=8000（（火災災后損損失大大部分分財產(chǎn)產(chǎn)）,發(fā)生生火災災的概概率α=0.05。。求消消費者者愿意意支付付的保保險價價格R與保保險公公司在在消費費者支支付R時的的利潤潤。保險公公司付付賠額額度為為4000元元，保保險費費為5900元元，保保險公公司的的利潤潤為1900元元。例8：：設風風險規(guī)規(guī)避的的個人人初始始財產(chǎn)產(chǎn)為w0，其效效用函函數(shù)具具有VNM性質質。如如購買買汽車車保險險，假假定遇遇上車車禍，，財產(chǎn)產(chǎn)損失失為L；若若遇上上車禍禍的概率率為，他會會購買買多少少保險險？購買保保險的的數(shù)額額取決決于對對每一一元保保險值值收取取多少少價格格。保保險的的公平平價格格指使使保險險公司司期望望利潤潤為零零的價價格。保險的的公平平價格格（1元價值值的保保險的的收費費）等等于車車禍發(fā)發(fā)生的的概率率。投保人人的目目標是是使期期望利利潤最最大化化。設x為購購買的的保險險額。。效用函函數(shù)嚴嚴格為為凹，，單單調調，于于是邊邊際效效用相相等意意味著著等式式兩邊邊的財財產(chǎn)量量相等等。在公平平保險險價格格下，，投保保人為為風險險全部部投保保。在公平平保險險價格格下，，財產(chǎn)產(chǎn)狀況況為：沒遇遇上上車車禍禍遇上上車車禍禍