向量的看法與幾何運算基礎(chǔ)過關(guān)1．向量的有關(guān)看法⑴既有又有的量叫向量．的向量叫零向量．的向量，叫單位向量．⑵叫平行向量，也叫共線向量．規(guī)定零向量與任向來量．⑶且的向量叫相等向量．2．向量的加法與減法⑴求兩個向量的和的運算，叫向量的加法．向量加法按法規(guī)或法規(guī)進行．加法滿足律和律．⑵求兩個向量差的運算，叫向量的減法．作法是將兩向量的重合，連結(jié)兩向量的，方向指向．3．實數(shù)與向量的積⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a．它的長度與方向規(guī)定以下：①|(zhì)a|＝．②當(dāng)＞0時，a的方向與a的方向；當(dāng)＜0時，a的方向與a的方向；⑵當(dāng)＝0時，a．．(μ)＝a(＋μ)a＝．(a＋b)＝．⑶共線定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得．4．⑴平面向量基本定理：若是e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任向來量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使得．1、e2是一組基底，a＝111e2，b＝2122，則a與b共線的充要條件⑵設(shè)exeyxeye是．典型例題例1．已知△ABC中，D為BC的中點，E為AD的中點．設(shè)ABa，ACb，求BE．解：BE＝AE－AB＝1(AB＋AC)－AB＝－3a＋1b444變式訓(xùn)練1.以下列圖，D是△ABC邊AB上的中點，則向量CD等于（）A．－BC＋1BAA2B．－BC－1BAD2BC-1-C．BC－1BA2D．BC＋1BA2解:A例2.已知向量a2e3e，b2e3e，c2e9e，其中e、e不共線，求實數(shù)、，使12121212cab．解:c＝λa＋μb2e－9eee2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9λ12＝(2λ＋2μ)1＋(－3λ＋3μ)2＝2，且μ＝－1變式訓(xùn)練2：已知平行四邊形ABCD的對角線訂交于O點，點P為平面上任意一點，求證：PAPBPCPD4PO證明PA＋PC＝2PO，PB＋PD＝2POPA＋PB＋PC＋PD＝4PO例3.已知ABCD是一個梯形，AB、CD是梯形的兩底邊，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點，若ABa，ADb，試用a、b表示BC和MN．解：連NC，則NCADbMNMCCN1ABCN1ab；BCNCNBb1a442變式訓(xùn)練3：以下列圖，OADB是以向量OA＝a，OB＝b為鄰邊的平行四邊形，又BM＝1BC，3CN＝1CD，試用a、b表示OM，ON，MN．B3D解:OM＝1a＋5b，ON＝2a＋2b，MN6633CAOMN＝1a－1b26例4.設(shè)a，b是兩個不共線向量，若a與b起點相同，t∈R，t為何值時，a，tb，1(a＋b)3三向量的終點在一條直線上？解：設(shè)atb[a1(ab)](∈R)化簡整理得：(21)a(t1)b03332103∵a與b不共線，∴321t0t32故t1時，a,tb,1(ab)三向量的向量的終點在素來線上．23uuurruuurruuurruuururuuurrrrrur變式訓(xùn)練4：已知OAa,OBb,OCc,ODd,OEe，設(shè)tR，若是3ac,2bd,rrrt(ab)，那么t為何值時，C,D,E三點在一條直線上？uuururrrruuurrrrr解：由題設(shè)知，CDdc2b3a,CEec(t3)atb，C,D,E三點在一條uuuruuur，即(trrrr直線上的充要條件是存在實數(shù)k，使得CEkCD3)atb3ka2kb，-2-整理得(tr(2kr33k)at)b.rr①若a,b共線，則t可為任意實數(shù)；rrt33k0，解之得，t6②若a,b不共線，則有.rrt2k0rr56綜上，a,b共線時，則t可為任意實數(shù)；a,b不共線時，t.5小結(jié)歸納1．認(rèn)識向量的幾何特點．對于向量問題必然要結(jié)合圖形進行研究．向量方法可以解決幾何中的證明．2．注意O與O的差異．零向量與任向來量平行．3．注意平行向量與平行線段的差異．用向量方法證明AB∥CD，需證AB∥CD，且AB與CD不共線．要證A