第十七章勾股定理17．1勾股定理第1課時(shí)勾股定理01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的證明1．利用圖1或圖2兩個(gè)圖形中的有關(guān)面積的等量關(guān)系都能證明數(shù)學(xué)中一個(gè)十分著名的定理，這個(gè)定理稱為勾股定理，該定理結(jié)論的數(shù)學(xué)表達(dá)式是a2+b2=C2?2．在一張紙上畫兩個(gè)全等的直角三角形，并把它們拼成如圖形狀，請(qǐng)用兩種方法表示這個(gè)梯形的面積?利用你的表示方法，能得到勾股定理嗎？11112．在一張紙上畫兩個(gè)全等的直角三角形，并把它們拼成如圖形狀，請(qǐng)用兩種方法表示這個(gè)梯形的面積?利用你的表示方法，能得到勾股定理嗎？1111解：T梯形的面積為2（a+b）（a+b）hqab+^ab+^c?,?°?a2+2ab+b2=ab+ab+c2..\a2+b2=C2.知識(shí)點(diǎn)2利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算3.在△ABC中，ZA,ZB,ZC的對(duì)應(yīng)邊分別是a,b,c,若ZB=90。，則下列等式中成立的是(C)A?A?a2+b2=c2C?a2+c2=b2B?b2+c2=a2D?c2－a2=b24.（2019?平頂山期末）在厶ABC中，ZB=90。.若BC=3,AC=5,則AB等于（C）A.2B.3C.4D.J345.已知直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊的長(zhǎng)是2冷3cm,則另一條直角邊的長(zhǎng)是(C)

A.4cmB.4-J3cmC.6cmD.cm6.（2019?畢節(jié)）如圖，ABCD的面積為（B）點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上.若EB=1,EC=2，則正方形A.\焉B.3C.J5D.57.（2019?洛陽期中）如圖，在△ABC中，AB丄AC,AB=5cm,BC=13cm,BD是AC邊上的中線，則△BCD的面積是15__cm2.B8.（2019?鄭州高新區(qū)期末）如圖，兩個(gè)較大正方形的面積分別為225,289,則字母A所代表的正方形的面積為64.【變式】如圖，以Rt^ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓S【變式】如圖，以Rt^ABC的三邊為直徑分別向外作三個(gè)半圓S,S,S.若S=32n,1232S=18n，則斜邊上半圓的面積S=50n.315.知識(shí)點(diǎn)3趙爽弦圖【關(guān)注數(shù)學(xué)文化】（2019?咸寧）勾股定理是“人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一”.我國對(duì)勾股定理的證明是由漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,他用來證明勾股定理的圖案被稱為“趙爽弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)選它作為會(huì)徽.下

（2019?大慶）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示）．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b,那么（a—b）2的值是］.易錯(cuò)點(diǎn)直角邊不確定時(shí)漏解11.（2019?洛陽期中）已知RtAABC的三邊長(zhǎng)為a,4,5,則a的值是（C）A.3B.屮1C.3或\；石D.9或4102中檔題（本課時(shí)T8變式）如圖，分別以RtAABC的三邊為邊長(zhǎng)向外作等邊三角形.若AB=4,則三個(gè)等邊三角形的面積之和是（A）A.8\陽B.6J3C.18D.1213.如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和厶A,B,C,拼在一起，其中點(diǎn)A'與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C'落在邊AB上,連接B'C.若ZACB=ZAC'B'=90°,AC=BC=3,則B'C的長(zhǎng)為（A）A.B.6C.3J0D.何14.（2019?河南）如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,ZD=90°,AD=4,BC=3.分別1以點(diǎn)A,C為圓心，大于2AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E,作射線BE交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)0.若點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（A）A.2、遼B.4C.3D.\；T015.（2018?荊州）為了比較\/5+1與話10的大小，可以構(gòu)造如圖所示的圖進(jìn)行推算，其中zc=90°,BC=3,D在BC上且BD=AC=1.通過計(jì)算可得卩+1>,；?0.（填“〉”“〈”或“=”）在△ABC中，AB=15,AC=13,高AD=12，則△ABC的周長(zhǎng)為32或42.如圖，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13，求△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程.占利周劃魁定理求出AD占利周劃魁定理求出AD的往，再計(jì)算三角形西積根據(jù)勾陂定理，別用——?!的作為丟橋粱：建工方程樓型求出x作AD15C于O,破1RD二兀用令工的代教式裊示CD解：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,設(shè)BD=x，則CD=14—x.由勾股定理，得AD2=AB2—BD2=152—X2,AD2=AC2—CD2=132—(14—x)2..*.152—X2=132—(14—x)2.解得x=9.???AD=12.???S???S△ABC=2bc^AD=2x14X12=84.,03綜合題）（2019?畢節(jié)改編）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對(duì)直角三角板如圖放置,點(diǎn)C在FD的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)B在ED上，AB〃CF,ZF=ZACB=90°,ZE=45°,ZA=60°,AC=10，求CD的長(zhǎng)度.O0E\sO0E\s解：過點(diǎn)B作BM丄FD于點(diǎn)M,在厶ACB中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=10,???ZABC=30°.???AB=2AC=20,BC=JAB2—AC2=10、：；3.?.?AB〃CF,???ZBCM=ZABC=30°.11.??BM=2BC=2X10i，f3=5.:3???CM=JBC2—BM2=15.在厶EFD中，ZF=90°,ZE=45°,???ZEDF=45°..??MD=BM=5\/3.???CD=CM—MD=15—5.j3.第2課時(shí)勾股定理的應(yīng)用01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1勾股定理在平面圖形中的應(yīng)用1．如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行10米.2．八（2）班小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得如圖風(fēng)箏的高度CE他們進(jìn)行了如下操作：測(cè)得BD的長(zhǎng)度為15米；（注：BDICE）根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線BC的長(zhǎng)為25米；牽線放風(fēng)箏的小明身高為1.6米．求風(fēng)箏的高度CE.解：在RtACDB中，由勾股定理，得CD=.JCB2—BD2=\f252—152=20（米）.???CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米）.答：風(fēng)箏的高度CE為21.6米．（2019?鄭州管城區(qū)月考）如圖所示，甲漁船以8海里/時(shí)的速度離開港口0向東北方向航行，乙漁船以6海里/時(shí)的速度離開港口O向西北方向航行，它們同時(shí)出發(fā)，一個(gè)半小時(shí)后，甲、乙兩漁船相距多少海里？

解：由題意，得B0=1.5X6=9（海里），A0=1.5X8=12（海里），Z1=Z2=45故ZAOB=90°,AB=\：B02+A02=15（海里）.答：甲、乙兩漁船相距15海里.知識(shí)點(diǎn)2兩次勾股定理的應(yīng)用如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，那么小巷的寬度為（C）A.0.7米B.1.5米（教材P25例2變式）如圖，滑竿在機(jī)械槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，ZACB為直角，已知滑竿AB長(zhǎng)2.5米，頂點(diǎn)A在AC上滑動(dòng)，量得滑竿下端B距C點(diǎn)的距離為1.5米，當(dāng)端點(diǎn)B向右移動(dòng)0.5米時(shí)，滑竿頂端A下滑0.5米.知識(shí)點(diǎn)3利用勾股定理求兩點(diǎn)間的距離（2019?常州）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（—3,4）到原點(diǎn)的距離是5（教材P26練習(xí)T2變式）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（4,4）,B（1,0）,C（0,1）,則B,C兩點(diǎn)間的距離是叮2；A,C兩點(diǎn)間的距離是5；A,B兩點(diǎn)間的距離是5

1JK趴】?J8.（2019?大慶）如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港.⑴求A,C兩港之間的距離（結(jié)果保留到0.1km,參考數(shù)據(jù)：\；吃~1.414,二/3~1.732）；（2）確定C港在A港的什么方向.c-itc-it解：⑴由題意，得ZPBC=30°,ZMAB=60°.???ZCBQ=60°,ZBAN=30°.???ZABQ=30°.???ZABC=ZABQ+ZCBQ=90°.?.?AB=BC=10,???在Rt^ABC中，AC=JAB2+BC2=10、壯~14.1.答：A,C兩港之間的距離約為14.1km.⑵由⑴知，AABC為等腰直角三角形，???ZBAC=45°.???ZCAM=60°—45°=15°.???C港在A港北偏東15。的方向上.02中檔題如圖為某樓梯,測(cè)得樓梯的長(zhǎng)為5米,高3米,計(jì)劃在樓梯表面鋪地毯,地毯的長(zhǎng)度至少為（D）A.4米B.8米C.9C.9米D.7米C.9C.9米D.7米（2019?南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示.將一根長(zhǎng)為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有5cm.【方程思想】如圖是一副秋千架，左圖是從正面看，當(dāng)秋千繩子自然下垂時(shí)，踏板離地面0.5m（踏板厚度忽略不計(jì)），右圖是從側(cè)面看，當(dāng)秋千踏板蕩起至點(diǎn)B位置時(shí)，點(diǎn)B離地面垂直高度BC為1m,離秋千支柱AD的水平距離BE為1.5m（不考慮支柱的直徑）.求秋千支柱AD的高.解：設(shè)AD=xm,則由題意可得AB=(x—0.5)m,AE=(x—1)m.在Rt^ABE中，AE2+BE2=AB2,即(x—1)2+1.52=(x—0.5)2.解得x=3.答：秋千支柱AD的高為3m.超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末,小鵬等三位同學(xué)在濱海大道紅樹林路段，嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路丨的距離為100m的P處.這時(shí)，一輛轎車由西向東勻速駛來，測(cè)得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3s,并測(cè)得ZAP0=60°,ZBP0=45°，試判斷此車是否超過了80km/h的限制速度？解：在RtAAP0中，ZAP0=60。，則ZPA0=30°.???AP=20P=200m,A0=.jAP2—0P2=\j2002—1002=100\f3(m).在Rt^BOP中，ZBP0=45°,則BO=OP=100m.???AB=AO—BO=(100、再一100)m.???從A到B小車行駛的速度為(100J3—100)三3~24.4(m/s)=87.84km/h>80km/h.???此車超過80km/h的限制速度.03綜合題【分類討論思想】如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5cm,AC=3cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.⑴求BC邊的長(zhǎng)；⑵當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，求t的值.解：⑴在RtAABC中，由勾股定理，得BC2=AB2—AC2=52—32=16.?BC=4cm.⑵由題意，知BP=tcm,①當(dāng)ZAPB為直角時(shí)，如圖1,點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP=BC=4cm,?t=4；

②當(dāng)ZBAP為直角時(shí)，如圖2,BP=tcm,CP=(t—4)cm,AC=3cm,在Rt^ACP中，AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2.在Rt^BAP中，AB2+AP2=BP2,即52+[32+(t—4)2]=t2.解得t解得t=2525???當(dāng)厶ABP為直角三角形時(shí)，t=4或才.第3課時(shí)利用勾股定理作圖01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1在數(shù)軸上表示無理數(shù)1.（教材P27練習(xí)T1變式）（2019?河南期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是0,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是1,BC丄AB，垂足為B,且BC=2,以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)D,則點(diǎn)D表示的數(shù)為（D）A.2.2A.2.2護(hù)C?申D.前2.在數(shù)軸上作出表示i/詢的點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作法）.解：略.知識(shí)點(diǎn)2網(wǎng)格中的無理數(shù)3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,1）點(diǎn)B（3,—1），則線段AB的長(zhǎng)度為

(C)3(C)A.p24.如圖，AABC的頂點(diǎn)A,B,C在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，BD丄AC于點(diǎn)D,A.p2則CD的長(zhǎng)為(A)A竽B.^55ILHL~B\||C|-J/rIFIL—-ILHL~B\||C|-J/rIFIL—--_一■一rLrrL—5.利用如圖4X4的方格，作出面積為8平方單位的正方形,和一、.j8.然后在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)叮8IIifIi\iziIjiiir-5-42-I~y~I~2/83~4~5解：如圖所示.知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形中的勾股定理6.將一副三角尺按如圖所示疊放在一起，若AB=12cm,則6.將一副三角尺按如圖所示疊放在一起，若AB=12cm,則AF=6J?cm.7.(2019?天水)如圖，等邊△OAB的邊長(zhǎng)為2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(B)(1,1)B.(1,1③(屛1)D.(\3\③8.（教材P27練習(xí)T2變式）如圖，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm，求等腰三角形的底邊上的高與面積．ABDC解：過點(diǎn)A作AD丄BC于點(diǎn)D,VAB=AC=13cm,11???BD=CD=2BC=2X10=5(cm)..??AD=\；'AB2—BD2=\：'132—52=12(cm)，即等腰三角形底邊上的高為12cm.11.?.S=^BC?AD=^X10X12=60(cm2).TOC\o"1-5"\h\z△ABC2202中檔題（2019?駐馬店汝南縣期末）如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，以點(diǎn)A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑作圓弧交邊AB于點(diǎn)D.若AC=3,BC=4,則BD的長(zhǎng)是（A）234510.如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)為1,AABC的周長(zhǎng)為（B）1612+4肩7+^25+11/2（教材P27練習(xí)T1變式）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的實(shí)數(shù)是二1點(diǎn)A,B,C在格點(diǎn)圖中的位置如圖所示，格點(diǎn)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則點(diǎn)C到線段3AB所在直線的距離為5，/|?13.如圖，AABC和ADCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)B,C,E在同一條直線上,連接BD,求BD的長(zhǎng).解：??'△ABC和ADCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,.*.CB=CD,ZCDE=ZDCE=60°.1.\ZBDC=ZDBC=2^DCE=30°.???ZBDE=90°.在Rt^BDE中，DE=4,BE=8,???BD=y：BE2—DE2=J8^42=4J3.14．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．在圖1中，以格點(diǎn)為端點(diǎn)，畫線段mn=、..jT3；在圖2中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫正方形ABCD，使它的面積為10.圈1圄2解：(1)如圖．(2)如圖．03綜合題15．仔細(xì)觀察圖形，認(rèn)真分析下列各式，然后解答問題OA：=(屮)2+1=2,S=f；0人2=(、/2)2+1=3,S=^；OA2=(J3)2+1=4,s=^；⑴請(qǐng)用含有n(n是正整數(shù))的等式表示上述變化規(guī)律;(2)推算出OA的長(zhǎng)；10⑶求出S2+S2+S2+???+S2的值.12310解：(1)0人2=(\/^)2+1=n,S=￥（n為正整數(shù)）.n2⑵0化=（屮）2+1=10,???OAo=\：T0.（3）S2+S2+S2+…+S2TOC\o"1-5"\h\z12310=（1）2+（寧）汁（害）汁???+（弓汁^22）2=1+2+3+…+9+凹44444=1+2+3——9+10=41+10-^X10=4=55=T*小專題（二）利用勾股定理解決最短路徑問題——教材P39復(fù)習(xí)題T12的變式與應(yīng)用【例】如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm,底面半徑等于3cm，在圓柱的底面A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點(diǎn)相對(duì)的B點(diǎn)的食物，需要爬行的最短路程是多少？（n取3）"）0【思路點(diǎn)撥】要求螞蟻爬行的最短路程，需將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形（即立體圖形的平面展開圖），把圓柱沿著過A點(diǎn)的直線AA'剪開，因?yàn)椤皟牲c(diǎn)之間，線段最短”所以螞蟻應(yīng)沿著平面展開圖中線段AB這條路線走.解：如圖，由題意可得：1AA'=12,A'B=2X2nX3=9.在RtAAA'B中，根據(jù)勾股定理，得AB2=A'A2+A'B2=122+92=225.???AB=15.???需要爬行的最短路程是15cm.幾何體中最短路徑基本模型如下：1.(2018?禹州期中)如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.(杯壁厚度不計(jì))螞蟻A螞蟻A2.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為24dm，3dm，3dm,點(diǎn)A和點(diǎn)B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)處去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到點(diǎn)B的最短路程是30_dm.B3.如圖，長(zhǎng)方體的高為5cm,底面長(zhǎng)為4cm,寬為1cm.點(diǎn)A到點(diǎn)C之間的距離是多少？12若一只螞蟻從點(diǎn)A爬到C,則爬行的最短路程是多少？21解：(1)T長(zhǎng)方體的高為5cm,底面長(zhǎng)為4cm,寬為1cm,=、+12=\:'17(cm).???嚇2=\：；52+(\羽)2=\g2(cm).(2)如圖1所示，人2$=、：5+區(qū)=5護(hù)(cm).如圖2所示，AC=J92+12=：'82(cm).如圖3所示，AC=^'62+42=2y,-'T3(cm).?.?5屮＜2護(hù)＜伸，???一只螞蟻從點(diǎn)A爬到C，爬行的最短路程是5\憶cm.小專題（三）方程思想在勾股定理中的應(yīng)用——教材P39復(fù)習(xí)題T10的解法剖析及變式應(yīng)用【教材母題】一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處．折斷處離地面的高度是多少？（這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題．其中的丈尺是長(zhǎng)度單位，1丈=10尺?）c解：設(shè)AB=x尺，根據(jù)題意，得ZBAC=90°,AB+BC=10尺，???BC=(10—x)尺.TAC2+AB2=BC2,.*.32+x2=(10—x)2,11解得x=^7；.答：折斷處離地面4元尺.在一個(gè)直角三角形中，若已知兩邊長(zhǎng)，可直接運(yùn)用勾股定理求第三邊長(zhǎng)，若已知一邊長(zhǎng)，且知另兩邊具有一定的數(shù)量關(guān)系，可利用方程思想，設(shè)出一邊長(zhǎng)，利用數(shù)量關(guān)系表示另一邊長(zhǎng)，借助勾股定理這一等量關(guān)系列出方程解決問題，其中兩邊的數(shù)量關(guān)系主要有兩種呈現(xiàn)形式：一是直角三角形中有特殊角，二是出現(xiàn)圖形的折疊?針對(duì)訓(xùn)練類型1利用直角三角形中的特殊角揭示兩邊的數(shù)

量關(guān)系1．求下列直角三角形中未知的邊長(zhǎng)解：如圖1,設(shè)AC=x,?.?ZACB=90°,ZB=30°,.??AB=2x.TAB2=AC2+BC2,.??（2x）2=x2+32.???x=、/3或一\；'3（負(fù)值舍去）.???AC=\3AB=2J3.如圖2,設(shè)AC=x,?.?ZACB=90°,ZA=45°,?BC=AC=x.?AB2=AC2+BC2,.??X2+x2=（3-J2）2..??x=3或一3（負(fù)值舍去）.?AC=BC=3.類型2利用圖形的折疊找兩邊的數(shù)量關(guān)系2.如圖，在Rt^ABC中，AB=6,BC=4,ZB=90°，將△ABC折疊，使A點(diǎn)與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN,則線段BN的長(zhǎng)為（C）3b.2C.3D.53.如圖，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，已知AD=8,折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3,則AB=6?

4.如圖，把長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合.若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)BC為8,寬AB為4,則折痕EF的長(zhǎng)度為冬J5類型3利用勾股定理和方程思想求點(diǎn)的坐標(biāo)5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(1,3),試在x軸上找一點(diǎn)P,使厶OAP為等腰三角形,求出P點(diǎn)的坐標(biāo).TT解：過點(diǎn)A作AB丄x軸，垂足為B.?.?A(1,3),???0B=1,AB=3..??0A=\：l2+32=JT0.當(dāng)AO=AP時(shí)，以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑畫弧與x軸交于點(diǎn)0與點(diǎn)P,1TAB丄x軸，???BP=BO=1，即P(2,0)；11當(dāng)OA=OP時(shí)，以0為圓心，0A長(zhǎng)為半徑畫弧與x軸交于點(diǎn)P,P,23???0A=\述，??弋(\辿，0),P(^..'10,0)；當(dāng)PA=PO時(shí)，作OA的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P.4設(shè)OP=x，則BP=x—1,AP=0P=x.4444在Rt^ABP中，AP2=AB2+BP2,444?x2=32+(x—1)2.解得x=5,即P(5,0).4綜上所述，使△OAP為等腰三角形的點(diǎn)P有：P(2,0),卩2(\述，0),P(—^/TO,0),P(5，0).4

17.2勾股定理的逆定理01基礎(chǔ)題知識(shí)點(diǎn)1互逆命題1.下列各命題的逆命題不成立的是(C)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)也相等對(duì)頂角相等如果a2=b2，那么a=b2.(2019?安徽)命題“如果a+b=O,那么a,b互為相反數(shù)”的逆命題為如果a,b互為相反數(shù)，那么a+b=O.逆命題是真命題.(填“真命題”或“假命題”)知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的逆定理(2019?鄭州期末)下面四組數(shù)，其中是勾股數(shù)組的是(A)A.3,4,5B.0.3,0.4,0.532,42,52D.6,7,8(2019?洛陽洛龍區(qū)期中)由線段a,b,c組成的三角形不是直角三角形的是(D)A.a2－b2=c2B.5B.5a=4，b=1,ca=2,b=、：'3,c=;7ZA：ZB：ZC=3：4：55.（2019?益陽）已知M,N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM=MN=2,NB=1，以點(diǎn)A為圓心,AN長(zhǎng)為半徑畫?。辉僖渣c(diǎn)B為圓心，BM長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則厶ABC一定是(B)銳角三角形直角三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形等腰三角形鈍角三角形等腰三角形6.將勾股數(shù)3,4,5擴(kuò)大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股數(shù)6,8,10；9,12,15；12,16,20；…,則我們把3,4,5這樣的勾股數(shù)稱為基本勾股數(shù),請(qǐng)你寫出兩組不同于以上所給出的基本勾股數(shù)：答案不唯一，如：5,12,13；7,24,25.已知：在△ABC中，ZA,ZB,ZC的對(duì)邊分別是a,b,c,三邊分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是不是直角三角形,并指出哪一個(gè)角是直角.a=3,b=2\；'2,c=\'5;a=5,b=7,c=9;a=5,b=2、,；6,c=1.解：⑴是，ZB是直角.(2)不是.⑶是，ZA是直角.如圖是一個(gè)零件的示意圖，測(cè)量AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,ZABC=90°，根據(jù)這些條件，你能求出ZACD的度數(shù)嗎？試說明理由.解：在△ABC中，?.?AB=4,BC=3,ZABC=90°,???根據(jù)勾股定理，得AC2=AB2+BC2=42+32=52..\AC=5.?AC2＋CD2=52＋122=25＋144=169，AD2=132=169，?AC2+CD2=AD2.???△ACD是直角三角形，且AD為斜邊，即ZACD=90°.02中檔題如圖，ABC的中線，且AB=13,BC=10,AD=12，則AC等于（D）A.10B.11C.12D.13下列定理中，沒有逆定理的是（B）等腰三角形的兩個(gè)底角相等對(duì)頂角相等三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等直角三角形兩個(gè)銳角的和等于90°【關(guān)注數(shù)學(xué)文化】（2018?長(zhǎng)沙）我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積有多大？題中的“里”是我國市制長(zhǎng)度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（A）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米如圖，方格中的點(diǎn)A,B稱為格點(diǎn)（橫線的交點(diǎn)），以AB為一邊畫厶ABC，其中是直角三角形的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（B）A.3B.4A.3B.4C.5D.6把一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng)7米，比較長(zhǎng)邊短1米，則這個(gè)三角形是直角三角形.（教材P34習(xí)題T6變式）如圖，在正方形ABCD中，E,F分別BC,CD邊上的一點(diǎn)，證明：設(shè)FC=2a，則DC=9a,DF=7a.???AB=BC=AD=CD=9a.?.?BE=2CE,??BE^6a,EC3a.在Rt^ECF中，EF2=EC2+FC2=(3a)2+(2a)2=13a2.在Rt^ADF中，AF2=AD2+DF2=(9a)2+(7a)2=130a2.在Rt^ABE中，AE2=AB2+BE2=(9a)2+(6a)2=117a2.?13a2+117a2=130a2，?EF2+AE2=AF2.???△AEF是以ZAEF為直角的直角三角形.15.(教材P34習(xí)題T5變式)如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=1,CD=、3DA=1,且ZB=90°.求：⑴ZBAD的度數(shù)；(2)四邊形ABCD的面積(結(jié)果保留根號(hào))；⑶將△ABC沿AC翻折至△AB'C，如圖所示，連接B'D，求四邊形ACB'D的面積.解：⑴?.?AB=BC=1,ZB=90°,???ZBAC=ZACB=45°,AC=、/AB+BC2=\；2又?CD=J3,DA=1,?AC2+DA2=CD2.???△ADC為直角三角形，ZDAC=90°..\ZBAD=ZBAC+ZDAC=135°.⑵?.?s=：ab?bc=2△ABC22

S=；AD?AC=￥△ADC22.?.s=S+s四邊形ABCD△ABC△ADC⑶過點(diǎn)D作DE丄AB'，垂足為E,由(1)知ZDAC=90°.1根據(jù)折疊可知ZB'AC=ZBAC=45°,AB=AB'=1,S=S=石△AB'C△ABC2???ZDAE=ZDAC—ZB'AC=45°..AE=DE.設(shè)DE=AE=x,在RtAADE中，AE2+DE2=AD2.?x2+x2=1.?x=^2??S△ADB'?S△ADB'；X1X字遲?S=S+S四邊形ACB'D△AB'C△ADB'1+予=2+溟2+4403綜合題16.（2019?呼和浩特改編）如圖，在△ABC中，內(nèi)角ZA,ZB,ZC所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.a(1)若a,b,c滿足aa(1)若a,b,c滿足a_b+c1(a+b+c)求證：AABC是直角三角形;⑵若a=m—n,b=2-Jmn,c=m+n,（其中m,n都是正整數(shù)，且m>n）,求證：AABC證明：(1)原式可變形為證明：(1)原式可變形為aa＋b＋ca+c—b2c，.??(a+c)2—b2=2ac,即a2+2ac+c2—b2=2ac..??a2+c2=b2.???△ABC是以ZB為直角的直角三角形.(2)Ta2=(m—n)2,b2=(2-..fmn)2=4mn,C2=(m+n)2,??(m—n)2+4mn=(m+n)2,即a2+b2=C2.?△ABC是以ZC為直角的直角三角形.章末復(fù)習(xí)(二)勾股定理01分點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)1勾股定理(河南中招2019T9選，2018T9選,2017T18(2)解,2016T6選，2015T7選，2014T7選)如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=12，則AC=(C)A.6B.6、耳3.如圖，在四邊形ABCD中，ZB=90°,CD丄AD,AD2+CD2=2AB2.求證：AB=BC.證明：連接AC.???在△ABC中，ZB=90°,.\AB2+BC2=AC2.VCD丄AD,???ZADC=90°.ACD中，AD2+CD2=AC2.?AD2+CD2=2AB2,?AB2+BC2=2AB2.?BC2=AB2.VAB>0,BC>0,?AB=BC.知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的應(yīng)用4．如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時(shí)繩子末端距離地面2m,則旗桿的高度為（滑輪上方的部分忽略不計(jì)）（D）A．12mB．13mC．16mD．17m你聽說過亡羊補(bǔ)牢的故事吧.為了防止羊的再次丟失，牧羊人要在寬0.9m，長(zhǎng)1.2m的長(zhǎng)方形柵欄門的相對(duì)角頂點(diǎn)間加固一條木板，則這條木板至少需1.5_m長(zhǎng).如圖，0為數(shù)軸原點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)一3,3,作腰長(zhǎng)為4的等腰△ABC,連接OC,以0為圓心，CO長(zhǎng)為半徑畫弧交數(shù)軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為叮7知識(shí)點(diǎn)3逆命題及逆定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)”的逆命題是互補(bǔ)的兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，它是假命題.知識(shí)點(diǎn)4勾股定理的逆定理及其應(yīng)用在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10，則該三角形為（B）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形在△ABC中，ZA,ZB,ZC的對(duì)邊分別為a,b,c且a2—b2=c2，則下列說法正確的是（C）A.ZC是直角B.ZB是直角C.ZA是直角D.ZA是銳角02易錯(cuò)題集訓(xùn)已知一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6和8,則第三邊長(zhǎng)的平方是100或28.(2018?襄陽)已知CD是厶ABC的邊AB上的高，若CD=p3AD=1,AB=2AC,則BC的長(zhǎng)為2護(hù)或2、訂.03河南常考題型演練如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=2,點(diǎn)D在BC上,ZADC=2ZB,AD=.j5則BC的長(zhǎng)為(D)“：3—1J3+1卩一1J5+1如果將長(zhǎng)為6cm，寬為5cm的長(zhǎng)方形紙片折疊一次，那么這條折痕的長(zhǎng)不可能是(A)A.8cmB.6cmC.5.5cmD.1cm如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB,CD,EF,GH四條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的線段是(B)A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,EFD.GH,AB,CDCEfi:-X：!!(2019?信陽羅山縣模擬)如圖，在△ABC中，點(diǎn)M是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若AB=AC=10,BC=12，則BM的最小值為(B)

A．8BA．8B．9.6C．10D．45若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為12-]3cm,—邊長(zhǎng)為3J3cm,其他兩邊之差為cm,則這個(gè)三角形是直角三角形.（2019?棗莊）把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=2,則CD=\；上叩2?18.（2019?河北）勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A,B,C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖（單位：km）.筆直鐵路經(jīng)過A,B兩地.?GO.-17）（1）A,B間的距離為20km；⑵計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路丨，并在丨上建一個(gè)維修站D,使D到A,C的距離相等，則C,D間的距離為13km.19.如圖，有一塊空白地，ZADC=90°,CD=6m,AD=8m,AB=26m,BC=24m.試?.?ZADC=90°,???△ADC是直角三角形..*.AD2+CD2=AC2，即82+62=AC2.解得解得AC=10.又TAC2+CB2=102+242=262=AB2,:.△ACB是直角三角形，ZACB=90°.「?S=S—S四邊形ABCDRtAACBRtAACD11=2X10X24—2X6X8=96（m2）．故這塊空白地的面積為96m2.04核心素養(yǎng)專練20.（2019?邵陽）公元3世紀(jì)初，中國古代數(shù)學(xué)家趙爽注《周髀算經(jīng)》時(shí)，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”.如圖，設(shè)勾a=6，弦c=10，則小正方形ABCD的面積是4?哄/*/周測(cè)（第十七章）（時(shí)間：40分鐘滿分：100分）一、選擇題（每小題3分，共30分）下列每一組數(shù)據(jù)中的三個(gè)數(shù)值分別為三角形的三邊長(zhǎng)，不能構(gòu)成直角三角形的是（C）A.8,15,17B.2\丐C.、/3,2,-J5D.1,2,-J5已知命題：等邊三角形是等腰三角形，則下列說法正確的是（B）該命題為假命題該命題為真命題該命題的逆命題為真命題該命題沒有逆命題點(diǎn)A（—3,—4）到原點(diǎn)的距離為（C）

A．3BA．3B．4C．5D．74.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是0,點(diǎn)B表示的數(shù)是1,BC丄AB，垂足為B,且BC=1,以A為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，與數(shù)軸交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D表示的數(shù)為（B）1.4護(hù)1.4護(hù)農(nóng)2將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大一倍，得到的三角形是（C）A.鈍角三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.等腰三角形在△ABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3.若AC=4,則AB的長(zhǎng)為（D）A.8B.6C竽普下面各三角形中，面積為無理數(shù)的是（C）8.如圖，將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)E處，折痕為MN.若CEMN.若CE的長(zhǎng)為7,則MN的長(zhǎng)為（B）A.10BB．13BB．13C．15D.無法求出已知直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)之和為.J6,斜邊長(zhǎng)為2,則這個(gè)三角形的面積是(B)A.0.25B.0.5C.1D.2叮3A.，已知一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為3,若以三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形,則所作的三個(gè)等腰直角三角形的面積和為(A.，b-4C.3D.9二、填空題(每小題4分,共20分)直角三角形斜邊長(zhǎng)是6,一直角邊的長(zhǎng)是5,則此直角三角