課題名稱、授課時數(shù)：§6.1點估計的概念與無偏性(1.5)授課類型：理論課教學方法與手段：講授教學目的與要求：理解參數(shù)估計中參數(shù)的意義，了解參數(shù)估計的形式，理解點估計的概念、無偏估計、有效估計的意義，掌握總體均值、總體方差的無偏估計.教學重點、難點：點估計的概念，無偏估計、有效估計的意義.教學內(nèi)容：6.1.1.點估計與無偏性定義6.1.1設X,X,,X是來自總體的一個樣本，用于估計未12n知參數(shù)9的統(tǒng)計量0=§(*"?%,,x)稱為0的估計量，或稱為0的點估計，簡稱估計.…統(tǒng)計量§如何構造并沒有明確的規(guī)定，只要滿足一定的合理性即可.最常見的合理性要求是所謂的無偏性.定義6.1.2設0=0(xi，%,,xn)是0的一個估計，9的參數(shù)空間為0，若對任意的0函，有E0(0)=0(6.1.1)則稱§是9的無偏估計，否則稱為有偏估計.無偏估計的含義：無偏性要求可改寫為E?-0)=0，表示無偏估計沒有系統(tǒng)偏差.在使用&估計。時，由于樣本的隨機性，0與0總是有偏差的，這種偏差時而(對某些樣本觀測值)為正，時而(對某些樣本觀測值)為負，時而大，時而小.無偏性表示把這些偏差平均起來其值為0.而若估計不具有無偏性，則無論使用多少次，其平均也會與參數(shù)真值有一定的距離，這個距離就是系統(tǒng)誤差.例6.1.1(1)對任意總體X，若E(X)=|!，Var(X)=。2，x,X,,X是來自X的樣本，則E(X)=日，E(S2)=。2.TOC\o"1-5"\h\z12n???(2)當總體X的k階矩存在時，樣本的k階原點矩a.是總體k階原點矩pk的無偏估計.但對k階中心矩則不一樣.證明：(1)：E(X)=E(上Ex)=-￡e(x)=-np=p.ni=1ni=1n「?X是p的無偏估計.又因為對任意的隨機變量X有：Var(X)=E(X2)-[E(X)2]，從而E(X2)=Var(X)+[E(X)2]，且Var(X)=Var(」-￡x)=^—^liVar(x)=」一nb2=2_n.]in2.]in2n所以E(S2)=E[上工(x-x)2]=E[-^(^x2-nx2)]n—1in—1i=^—[&(尤2)—框(無2)]n-1ii=lTOC\o"1-5"\h\z1寸cy2二P(Q2+|Ll2)-n(+5n-1ni=l1z、=(flCT2+〃|L12—CJ2—〃|L12)=O"2.n-1故$2=1E(x-X)2是(J2的無偏估計.n-1ii=l而S2=-H(x-x)2不是b2的無偏估計.n11ii=l由于S2=，J.S2，nn故E(S2)=n~1E(S^=n~log.2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"nnn由此知：采用S2作為6的估計量，不會產(chǎn)生系統(tǒng)偏差.(2)x,%與總體x同分布，所以，12nE(xk)=E(Xk)=|li,i=1,2,,〃，k=1,2,，ik.?E(q)=qE(xk)=—n\i=|ix?kn;ninkki=lk=l故Q是ILL的無偏估計.kk由(1)知：對于化階中心矩則不…樣(S2不是身的無偏n估計).由于￡(52)=-^—1(12<(52,因此用S2估計(12有偏小的傾向，nnn特別在小樣本情況下要使用S2作為02的估計量(當

"22時，S2<S2).因此無偏估計是對小容量樣本的要求.n無偏性不具有不變性.即若6是o的無偏估計，一般而言,其函數(shù)g(8)不是g(o)的無偏估計，除非g(o)是e的線性函數(shù).例6.1.2設總體為&,。2),x,x,工是樣本，已知12nE(S2)=°2,但E(S)75cy?分析：由定理5.4.1知，Y=(〃T)S2(〃_]),密度為CJ2Uy>0.〃G)=—n-122r從而EJ°°(2工方1e-xd(2x)=22"y>0.EJ°°(2工方1e-xd(2x)=22"00x^e-xdx=22r22rU=X

22r2J(n\(n-W所以/、E丫2=\J由此有

:亍r(n2)_bE'r((n-1)2)9三7n這說明E(S)。。，利用修正技術可使七.S是a的無偏估計，其中c=m.r((n-1\2)22rU=X

22r2J(n\(n-WnV2r(n2)n值.可以證明，當n+時有cT1，說明S是a的漸近無偏估計，從而在樣本容量較大時，不經(jīng)修正的s也是a的一個很好的估計.有時參數(shù)0的無偏估計又不止一個.例(補充)從均值為1，方差為a2的總體X中取容量為3的樣本：x,x,x，則1231=x,1=Lx+—x+—x,12213263都是H的無偏估計.證明:.E(叩=E(x)=^，11E(jl)=E(x)=旦.32都是l的無偏估計.E(12)=2E證明:E(jl)=E(x)=旦.32都是l的無偏估計.如何選擇1的估計？希望估計圍繞0的真值的波動越小越好.而波動的大小可用方差衡量.6.1.2.有效性定義6.1.3設§和。都是。的無偏估計，如果對任意的Oe0TOC\o"1-5"\h\z12有Var(0)<Var(0)

12且至少有一個9e0使得上述不等號嚴格成立，則稱q比02有效.在上例中，Var(0)=Var(x)=-b2,Var(0)=14b2,Var(0)=c2，132363因1<14<1,所以，寸=x是口的有效估計.即在樣本中，用全3361部數(shù)據(jù)的平均估計總體均值比只使用部分數(shù)據(jù)更有效.例(補充)證明在樣本的一切線性組合中，X是總體期望值目的無偏估計中最有效的估計量(例6.1.5的結論).證：設X,X,，X是來自總體X的樣本，ax+ax++ax12n1122nn是樣本的一個線性組合，x=1Ex，…ni

i=1因為ax+ax++ax是總體期望值口的無偏估計，所以1122nnE(ax+ax++ax)=E(X)=目，由期望的性質知：Ea=1

1122nnii=1又有方差的g質知：Var(ax+ax++ax)=a2Var(x)+a2Var(x)++a2Var(x)1122nn1122nn

=(a2+a2++a^jVar(X)，TOC\o"1-5"\h\z，_、1，、Var(x)=Var(X)，…n問題轉化為：判斷與1的大小.i=1n由不等式：a2+a2>2aa有：(a+a)2=a2+a2+2aa<2(a2+a2)，12121212(a+a+a)2=a2+a2+a2+2aa+2aa+2aa123123121323<a2+a2+a2+a+a+a+a+a+a=3(a2=3(a2+a2+a2)，123(￡a)2<n￡a2，i=1i=1所以-f、1a2N—(—a)=—，nn=1=1「.Var(^ax)>VarX，)=1當ai=：,i=1,2,,n.時，“=”成立，否則“>”成立.在樣本的一切線性組合中，X是總體期望值u的有效估計.例(補充)設總體為N(uQ2),X,X，…，X是樣本，其中u已012n0知，而6未知，證明下列統(tǒng)計量（1）S2=—￡（尤_兀）2；（2）T2=—2L（x-|1）2TOC\o"1-5"\h\zn—1zn0i=li=l都是Ci2的無偏估計，但后者比前者有效.證明已知且￡(72)=—-|Li)=—^Var(x)=02.nz'0nii=li=l又因為總體為N(pQ2),根據(jù)抽樣分布理論知：0史業(yè)廣>2(〃一1)；性?妃J).(52U。2Var=Var\S2)=2{n-l);從而有"6J6=財?2)=汶；72-1(成2)n2(\var=Var\L^7=2nVb2J(54n財(f2)=以.所以Var^S^)<Var例6.1.6設X,,X是來自均勻總體U（0,9）的樣本，可用最1n大觀測值X來估計o（參見例6.3.5）,由于（〃）...X〃G）=!，（0<x<6）;F（x）=^-,（0<x<0）.Unyny

所以Xp(x)=n(F(x))-1p(x)=nX!二〃二(參見p273TOC\o"1-5"\h\z(nWn戲j00n(5.3.15)).且E(x)=nf0Xldx=n把=工0.說明x不是0的無(n)00n0nn+1n+1(n)偏估計，但它是是0的漸近無偏估計.經(jīng)過修偏后可得0的一個無偏估計0：=十X().且()0Xn+1n0n+2E\x2=ndx==02.(n)00n0nn+2n+2叨(X)=二02-二^02=_n_02.(n)n+2(n+1)2(n+1)2(n+2)所以02

n(n+1)(n+1v(02

n(n+