小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的梳理數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)思想的理論和抽象程度要高一些，而數(shù)學(xué)方法的實(shí)踐性更強(qiáng)一些。人們實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想往往要靠一定的數(shù)學(xué)方法；而人們選擇數(shù)學(xué)方法，又要以一定的數(shù)學(xué)思想為依據(jù)。因此，二者是有密切聯(lián)系的。我們把二者合稱為數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，那么，要想學(xué)好數(shù)學(xué)、用好數(shù)學(xué)，就要深入到數(shù)學(xué)的“靈魂深處”?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在總體目標(biāo)中明確提出：“學(xué)生能獲得適應(yīng)未來(lái)的社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識(shí)以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能?！边@一總體目標(biāo)貫穿于小學(xué)和初中，這充分說(shuō)明了數(shù)學(xué)思想方法的重要性。在小學(xué)階段有意識(shí)地向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想方法可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定律的理解，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力和思維能力，也是小學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行素質(zhì)教育的真正內(nèi)涵之所在。同時(shí)，也能為初中數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)思想方法主要有符號(hào)化思想、化歸思想、類比思想、歸納思想、分類思想、方程思想、集合思想、函數(shù)思想、一一對(duì)應(yīng)思想、模型思想、數(shù)性結(jié)合思想、演繹推理思想、變換思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等等。為了使廣大小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中能很好地滲透這些數(shù)學(xué)思想方法，筆者把這些思想方法比較系統(tǒng)地進(jìn)行概括和梳理，明晰這些思想方法的概念，整理它們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用，并就如何教學(xué)提出一些建議。一、符號(hào)化思想1、符號(hào)化思想的概念。數(shù)學(xué)符號(hào)是數(shù)學(xué)的語(yǔ)言，數(shù)學(xué)世界時(shí)一個(gè)符號(hào)化的世界，數(shù)學(xué)作為人們進(jìn)行表示、計(jì)算、推理和解決問(wèn)題的工具，符號(hào)起到了非常重要的作用：因?yàn)閿?shù)學(xué)有了符號(hào)，才使得數(shù)學(xué)具有簡(jiǎn)明、抽象、清晰、準(zhǔn)確等特點(diǎn)，同時(shí)也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的普及和發(fā)展；國(guó)際通用的數(shù)學(xué)符號(hào)的使用，使數(shù)學(xué)成為國(guó)際化的語(yǔ)言。符號(hào)化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意義。2、如何理解符號(hào)化思想。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》比較重視培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，并把符號(hào)意識(shí)作為數(shù)學(xué)與代數(shù)的內(nèi)容之一給出了詮釋。那么，在小學(xué)階段，如何理解這一重要思想呢下面結(jié)合案例做簡(jiǎn)要解析。第一、從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)量關(guān)系和變化規(guī)律、從特殊到一般的探索和歸納過(guò)程。如通過(guò)幾組具體的兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置和不變，歸納出加法交換律，并用符號(hào)表示：ab=ba。再如在長(zhǎng)方形上拼擺單位面積的小正方形，探索并歸納出長(zhǎng)方形的面積公式，并有符號(hào)表示：S=ab。這是一個(gè)符號(hào)化的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)模型化的過(guò)程。第二、理解并運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。這是一個(gè)從一般到特殊、從理論到實(shí)踐的過(guò)程。包括用關(guān)系式、表格和圖像表示情境中數(shù)量間的關(guān)系。如假設(shè)一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a，那么4a就表示該正方形的周長(zhǎng)，a2表示該正方形的面積。這同樣是一個(gè)符號(hào)化的過(guò)程，同時(shí)也是一個(gè)解釋和應(yīng)用模型的過(guò)程。第三、會(huì)進(jìn)行符號(hào)間的轉(zhuǎn)換。數(shù)量間的關(guān)系一旦確定，便可以用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)，但數(shù)學(xué)符號(hào)不是唯一的，可以豐富多彩。如一輛汽車的行駛時(shí)速為定值80千米，那么該輛汽車行駛的路程和時(shí)間成正比，它們之間的數(shù)量關(guān)系既可以用表格的形式表示，也可以用公式=80t表示，還可以用圖象表示。即這些符號(hào)是可以相互轉(zhuǎn)換的。第四、能選擇適當(dāng)?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號(hào)所表示的問(wèn)題。這是指定完成符號(hào)化后的下一步工作，就是進(jìn)行數(shù)學(xué)的運(yùn)算和推理。能夠進(jìn)行正確的運(yùn)算和推理是非常重要的數(shù)學(xué)基本功，也是非常重要的數(shù)學(xué)能力。3、符號(hào)化思想的具體應(yīng)用。數(shù)學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了幾千年，數(shù)學(xué)符號(hào)的規(guī)范和統(tǒng)一也是經(jīng)歷了比較漫長(zhǎng)的過(guò)程。如我們現(xiàn)在通用的算術(shù)中的十進(jìn)制計(jì)數(shù)符號(hào)數(shù)字0~9于公元8世紀(jì)在印度產(chǎn)生，經(jīng)過(guò)了幾百年才在全世界通用，從通用至今也不過(guò)幾百年。代數(shù)在早期主要是以文字為主的演算，直到16、17世紀(jì)韋達(dá)、笛卡爾和萊布尼茲等數(shù)學(xué)家逐步引進(jìn)和完善了代數(shù)的符號(hào)體系。符號(hào)在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)具體應(yīng)用應(yīng)用拓展數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示阿拉伯?dāng)?shù)字：0~9中文數(shù)字：—、百分號(hào)：%‰負(fù)號(hào)：—用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算、—、×、÷、（）、〔〕a2平方、b3立方大括號(hào)：｛｝數(shù)的大小關(guān)系=、≈、＞、＜≤、≥、≠運(yùn)算定律加法交換律：ab=ba加法結(jié)合律：abc=abc乘法交換律：ab=ba乘法結(jié)合律：abc=abc乘法分配律：abc=abacab-c=ab-ac方程ab=c數(shù)量關(guān)系時(shí)間、速度和路程：S=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià)：a=n、m、dm、cm、mm面積單位：m2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2公頃體積單位：m3、dm3、cm3容積單位：L（升）、mL（毫升）質(zhì)量單位：t、g、g用符號(hào)表示圖形用字母表示點(diǎn)：三角形ABC用符號(hào)表示角：∠1、∠2、∠3、∠4△ABC線段AB射線c、直線兩線段平行：AB∥CD兩線段垂直：AB⊥CD

ABCD用字母表示公式三角形面積：S=1／2ab平行四邊形面積：S=ah梯形面積：S=1／2（ab）h圓周長(zhǎng)：C=2πr圓面積：S=πr2長(zhǎng)方體體積：V=abc正方體積：V=a3圓柱體積：V=h圓錐體積：V=1／3h統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖與統(tǒng)計(jì)表用統(tǒng)計(jì)圖表述和分析各種信息可能性用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小4、符號(hào)化思想的數(shù)學(xué)。符號(hào)化思想作為數(shù)學(xué)基本的、廣泛應(yīng)用的思想之一，教師和學(xué)生無(wú)時(shí)無(wú)刻不在與它們打交道。教師在教學(xué)中應(yīng)把握好以下幾點(diǎn)。（1）在思想上引起重視。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)作為必學(xué)的內(nèi)容，并提出了具體要求，足以證明它的重要性。因此，教師在日常教學(xué)中應(yīng)給予足夠的重視。（2）把培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)落實(shí)到課堂教學(xué)目標(biāo)中。教師在每堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，要明確符號(hào)的具體應(yīng)用，并納入教學(xué)目標(biāo)中。創(chuàng)設(shè)合適的情境，引導(dǎo)學(xué)生在探索中歸納和理解教學(xué)符號(hào)化的模型，并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。3引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)符號(hào)的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)符號(hào)是人們?cè)谘芯楷F(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的過(guò)程中產(chǎn)生的，它物質(zhì)存在，而是一種抽象概括。如數(shù)字1，它可以表示現(xiàn)實(shí)生活中任何數(shù)量是一個(gè)的物體的個(gè)數(shù)，是一種高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)一旦產(chǎn)生并被廣泛應(yīng)用，它就具有明確的含義，就能進(jìn)行精確地?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算和推理證明，因而它具有精確性。數(shù)學(xué)能夠幫助人們完成大量的運(yùn)算和推理證明，但如果沒(méi)有簡(jiǎn)捷的思想和符號(hào)的參與，它的工作量及難度也是很大的，讓人望而生畏。一旦簡(jiǎn)捷的符號(hào)參與了運(yùn)算和推理證明，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷性就體現(xiàn)出來(lái)了。如歐洲人12世紀(jì)以前基本上有羅馬數(shù)字進(jìn)行計(jì)數(shù)和運(yùn)算，由于這種計(jì)數(shù)法不是十進(jìn)制的。大數(shù)的四則運(yùn)算非常復(fù)雜，嚴(yán)重阻礙了數(shù)學(xué)的發(fā)展和普及。直到12世紀(jì)印度數(shù)字及十進(jìn)制計(jì)數(shù)法傳入歐洲，才使得算術(shù)有了較快發(fā)展和普及。數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展也經(jīng)歷了從各自獨(dú)立到逐步規(guī)范、統(tǒng)一和國(guó)際化的過(guò)程，最明顯的就是早期的數(shù)字符號(hào)從各自獨(dú)立的埃及數(shù)字、巴比倫數(shù)字、中國(guó)數(shù)字、印度數(shù)字和羅馬數(shù)字到統(tǒng)一的阿拉伯?dāng)?shù)字。數(shù)學(xué)符號(hào)經(jīng)歷了從發(fā)明到應(yīng)用再到統(tǒng)一的逐步完善的過(guò)程，并促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展；反之，數(shù)學(xué)的發(fā)展也促進(jìn)了符號(hào)的發(fā)展。因而，數(shù)學(xué)和符號(hào)是相互促進(jìn)發(fā)展的，而且這種發(fā)展可能是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程。（4）符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程。符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)用貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，學(xué)生首先要理解和掌握數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵和思想，并通過(guò)一定的訓(xùn)練，才能利用符號(hào)進(jìn)行比較熟練地運(yùn)算、推理和解決問(wèn)題。二、化歸思想1、化歸思想的概念。人們面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果直接應(yīng)用已有知識(shí)不能或不易解決該問(wèn)題時(shí)，往往需要解決的問(wèn)題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問(wèn)題，最終使原問(wèn)題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)一個(gè)由易到難、從簡(jiǎn)到繁的過(guò)程；然而，人們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過(guò)程中，卻經(jīng)常通過(guò)把陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)、把繁難的知識(shí)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的知識(shí)，從而逐步學(xué)會(huì)解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；同時(shí)，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問(wèn)題的法寶之一，具有重要的意義和作用。2、化歸所遵循的原則?；瘹w思想的實(shí)質(zhì)就是在已有的簡(jiǎn)單的、具體的、基本的知識(shí)的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡(jiǎn)單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)劃為常規(guī)，從而解決各種問(wèn)題。因此，應(yīng)用化歸思想時(shí)要遵循以下幾個(gè)基本原則：（1）數(shù)學(xué)化原則，即把生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)找到解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的各種問(wèn)題，《課程標(biāo)準(zhǔn)》特別強(qiáng)調(diào)的目標(biāo)之一就是培養(yǎng)實(shí)踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。（2）熟悉化原則，即把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程；解決疑難問(wèn)題的過(guò)程，也是一個(gè)面對(duì)陌生問(wèn)題的過(guò)程。從某種程度上說(shuō)，這種轉(zhuǎn)化過(guò)程對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)既是一個(gè)探索的過(guò)程，又是一個(gè)創(chuàng)新的過(guò)程；與《課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會(huì)把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，是一個(gè)比較重要的原則。（3）簡(jiǎn)單化原則，即把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。對(duì)解決問(wèn)題者而言，復(fù)雜的問(wèn)題未必都不會(huì)解決，但解決的過(guò)程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。（4）直觀化原則，即把抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題。蘇雪的特點(diǎn)之一便是它具有抽象性。有些抽象的問(wèn)題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問(wèn)題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)常應(yīng)用的方法，也是重要的原則之一。3、化歸思想的具體應(yīng)用。學(xué)生面對(duì)的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以簡(jiǎn)單的分為兩類：一類是直接應(yīng)用已有知識(shí)便可順利解答的問(wèn)題；另一種陌生的知識(shí)或者不能直接應(yīng)用已有知識(shí)解答的問(wèn)題，需要綜合地應(yīng)用已有知識(shí)或創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。如知道一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，求它的面積，只要知道長(zhǎng)方形公式的人，都可以計(jì)算出來(lái)，這是第一類問(wèn)題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過(guò)割補(bǔ)平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，推導(dǎo)出它的面積公式，再計(jì)算面積，這是第二類問(wèn)題。對(duì)于廣大中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中所遇到的很多問(wèn)題都可以歸為第二類問(wèn)題，并且要不斷地把第二種問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一類問(wèn)題。解決問(wèn)題的過(guò)程，從某種意義上來(lái)說(shuō)就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛?；瘹w思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的意義整數(shù)的意義，用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解小數(shù)的意義：用直觀圖幫助理解分?jǐn)?shù)的意義：用直觀圖幫助理解負(fù)數(shù)的意義：用數(shù)軸等直觀圖幫助理解四則運(yùn)算的意義乘法的意義：若干個(gè)相同的數(shù)相加的一種簡(jiǎn)便算法除法的意義：乘法的逆運(yùn)算四則運(yùn)算的法則整數(shù)加減法：用實(shí)物操作和直觀圖幫助理解算法小數(shù)加減法：小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊，然后按照整數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算小數(shù)乘法：先按照整數(shù)乘法的方法進(jìn)行計(jì)算，再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)小數(shù)除法：把除數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，基本按照整數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算，需要注意被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)與商的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。分?jǐn)?shù)加減法：異分母加減法轉(zhuǎn)化為同分母加減法分?jǐn)?shù)除法：轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法四則運(yùn)算各部間的關(guān)系ab=cc-a=bab=ca=c÷b簡(jiǎn)便計(jì)算利用運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算方程解方程：解方程的過(guò)程，實(shí)際就是不斷把方程轉(zhuǎn)化為未知數(shù)前邊的系數(shù)是1的過(guò)程（=a）解決問(wèn)題的策略化繁為簡(jiǎn)：植樹問(wèn)題、雞兔同籠問(wèn)題等化抽象為直觀：用線段圖、圖表、圖像等直觀表示數(shù)量之間的關(guān)系，幫助理解?；瘜?shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題空間與圖形三角形內(nèi)角和通過(guò)操作把三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形求內(nèi)角和面積公式正方形的面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積平行四邊形求面積：轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形求面積三角形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積梯形的面積：轉(zhuǎn)化為平行四邊形求面積圓的面積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形求面積組合圖形面積：轉(zhuǎn)化為求基本圖形的面積體積公式正方體的體積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求體積圓柱的體積：轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體求體積圓錐的體積：轉(zhuǎn)化為圓柱求體積統(tǒng)計(jì)與概率統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表運(yùn)用不同的統(tǒng)計(jì)圖表述各種數(shù)據(jù)可能性運(yùn)用不同的方式表示可能性的大小4、解決問(wèn)題中的化歸策略。（1）化抽象問(wèn)題為直觀問(wèn)題。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是它具有很強(qiáng)的抽象性，這是每個(gè)鄉(xiāng)學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對(duì)的問(wèn)題。從小學(xué)到初中，再到高中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象性不斷加強(qiáng)，學(xué)生的抽象思維能力在不斷接受挑戰(zhàn)。如果能把比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為操作或直觀的問(wèn)題，那么不但使得問(wèn)題日益解決，經(jīng)過(guò)不斷地抽象→直觀→抽象的訓(xùn)練，學(xué)生的抽象思維能力也會(huì)逐步提高。下面舉例說(shuō)明。案例1：…=分析：此問(wèn)題通過(guò)觀察，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：沒(méi)一項(xiàng)都是它前面一項(xiàng)的。但是對(duì)于小學(xué)和初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，還沒(méi)有學(xué)習(xí)等比數(shù)列求和公式。如果把一條線段看作1，先取它的一半表示，再取余下的一半表示，這樣不斷地取下去，最終相當(dāng)于取了整條線段。因此，上式的結(jié)果等于1，這樣利用直觀手段解決了高中生才能解決的問(wèn)題。（2）化繁為簡(jiǎn)的策略。有些數(shù)學(xué)問(wèn)題比較復(fù)雜，直接解答過(guò)程比較繁瑣，如果在結(jié)果和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，找到解決問(wèn)題的方法或建立模型，并進(jìn)行適當(dāng)檢驗(yàn)，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問(wèn)題一半來(lái)說(shuō)便得到解決。下面舉例加以說(shuō)明。案例2：把186拆分成兩個(gè)自然數(shù)的和，證明拆分才能使拆分的兩個(gè)自然數(shù)乘積最大187呢分析：此題中的數(shù)比較大，如果用枚舉法一個(gè)一個(gè)地猜測(cè)驗(yàn)證，比較繁瑣。如果從比較小的數(shù)開始枚舉，利用不完全歸納法，看看能否找到解決方法。如從10開始，10可以分成1和9,2和8,3和7,4和6,5和5。他們的積分別是９，１６，２１，２４，２５?？梢猿醪秸J(rèn)為拆分成相等的兩個(gè)數(shù)的乘積最大，如果不確定，還可以再舉一個(gè)例子，如１２可以分成：１和１１,２和１０,３和９,４和８，５和７，６和６，他們的積分別是１１，２０，２７，３２，３５，３６。由此可以推斷：把１８６拆分成９３和９３，９３和９３的乘積最大，乘積是８６４９。適當(dāng)?shù)募右詸z驗(yàn)，如９２和９４的乘積為８６４８，９０和９６的乘積是８６４０，都比８６４９小。因?yàn)椋保福肥瞧鏀?shù)，無(wú)法拆分成相等的兩個(gè)數(shù)，只能拆分成相差１的兩個(gè)數(shù)，這時(shí)它們的乘積最大。不再舉例驗(yàn)證。案例３：你能快速口算８５×85=，95×95=，105×105=嗎分析：仔細(xì)觀察可以看出，此類題有些共同點(diǎn)，每個(gè)算式中的兩個(gè)因數(shù)相等，并且個(gè)位數(shù)都是5,。如果不知道個(gè)位是5的相等的兩個(gè)數(shù)的乘積的規(guī)律，直接快速口算是有難度的。那么此類題有什么技巧那不妨從簡(jiǎn)單的是開始探索，如15×15=225，25×25=625，35×35=1225。通過(guò)這幾個(gè)算式的因數(shù)與相應(yīng)的積得特點(diǎn)，可以初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律是：個(gè)位數(shù)是5的相等的兩個(gè)數(shù)相乘，積分為兩部分：左邊為因數(shù)中5以外的數(shù)字乘比它大1的數(shù)，右邊為25（5乘5的積）。所以85×85=7225,95×95=9025,105×105=11025，實(shí)際驗(yàn)證也是如此。很多學(xué)生面對(duì)一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能知道怎么解答，但是只要想起解答過(guò)程非常繁瑣，就會(huì)產(chǎn)生退縮情緒，或者在繁瑣的解答過(guò)程中出項(xiàng)失誤，這是比較普遍的情況。因此，學(xué)會(huì)化繁為簡(jiǎn)的解答策略，對(duì)于解決繁難為您提的能力大有幫助。（3）化實(shí)際問(wèn)題為特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題。數(shù)學(xué)關(guān)的生活中的實(shí)際問(wèn)題，多數(shù)可以用常規(guī)的小學(xué)知識(shí)解決；但有些生活中的實(shí)際問(wèn)題表面上看是一些常用的數(shù)量，似乎能用常規(guī)的數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。但真正深入分析數(shù)量關(guān)系時(shí)，可能由于條件比全面而無(wú)法建立模型。這時(shí)，就需要超越常規(guī)思維模式，從另外的角度進(jìn)行分析，找到解決問(wèn)題的方法。下面舉例說(shuō)明。案例4：某旅行團(tuán)隊(duì)翻越一座山。上午9時(shí)上山，每小時(shí)行3千米，到達(dá)山頂時(shí)，休息1小時(shí)。下山時(shí)，每小時(shí)行4千米，下午4時(shí)到達(dá)山底。全程共行了20千米。上山和下山的路程各是多少千米分析：由于只知道上山和下山的速度，不知道上山和下山的具體時(shí)間，因此無(wú)法直接求出上山和下山的路程，但是知道總路程。仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：題中給出了兩個(gè)未知數(shù)量的總和以及與這兩個(gè)數(shù)量有關(guān)的一些特定的數(shù)量，如果用假設(shè)的方法，那么就類似于雞兔同籠問(wèn)題。假設(shè)都是上山，那么總路程是18（6×3）千米，比實(shí)際路程少算了2千米，所以下山時(shí)間是2〔2÷（4-3）〕小時(shí)，上山時(shí)間是4小時(shí)。上山和下山的路程分別是12千米和8千米。案例5：李阿姨買了2千克蘋果和3千克香蕉用了11元，王阿姨買了同樣價(jià)格的1千克蘋果和2千克香蕉，用了元。每千克蘋果和香蕉各多少錢分析：此題初看是關(guān)于單價(jià)、總價(jià)和數(shù)量的問(wèn)題，但是，由于題中沒(méi)有告訴蘋果和香蕉各自的總價(jià)是多少，無(wú)法直接計(jì)算各自的單價(jià)。認(rèn)真觀察，可以發(fā)現(xiàn)：題中分兩次給出了不同數(shù)量的蘋果和香蕉的總價(jià)，雖然題中有蘋果和香蕉各自的單價(jià)這兩個(gè)未知數(shù)，但這二者沒(méi)有直接的關(guān)系，如果用方程解決，也超出了一元一次方程的范圍。那么這樣的問(wèn)題在小學(xué)的知識(shí)范圍內(nèi)如何解決呢利用二元一次方程組加減消元的思想，可以解決這類問(wèn)題；具體來(lái)說(shuō)就是把兩組數(shù)量中的一個(gè)數(shù)量化成相等的關(guān)系，再想減，得到一個(gè)一元一次方程。不必列式推導(dǎo)，直接分析便可：1千克蘋果和2千克香蕉元，那么可得出2千克蘋果和4千克香蕉13元；題中已知2千克蘋果和3千克香蕉11元。用13減去11的2，所以香蕉的單價(jià)是每千克2元。再通過(guò)計(jì)算得蘋果的單價(jià)是每千克元。（4）化未知問(wèn)題為已知問(wèn)題。對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)不斷面對(duì)新知識(shí)的過(guò)程，有些新知識(shí)通過(guò)某些載體直接呈現(xiàn)，如面積和面積單位，通過(guò)一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識(shí)可以利用已有知識(shí)同伙探索，把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，通過(guò)割補(bǔ)平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已知長(zhǎng)方形求面積。這種化為知為已知的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見(jiàn)。下面舉例說(shuō)明。案例6：水果商店昨天銷售的蘋果比香蕉的2倍多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克分析：學(xué)生在學(xué)習(xí)列式方程解決問(wèn)題時(shí)學(xué)習(xí)了最基本的有關(guān)兩個(gè)數(shù)量的一種模型：已知兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系以及這兩個(gè)數(shù)量的和或差，求這兩個(gè)數(shù)量分別是多少。題中的蘋果和香蕉的關(guān)系，不是簡(jiǎn)單的倍數(shù)關(guān)系；而是在倍數(shù)的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)條件，即蘋果比香蕉的2倍還多30千克。假如把180減去30得150，那么題目可以轉(zhuǎn)化為：“如果水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，那么這兩種水果一共銷售了150千克。銷售香蕉多少千克”這時(shí)就可以列方程解決了，設(shè)未知數(shù)時(shí)要注意設(shè)水位X，題目中求的是哪個(gè)量。這個(gè)案例能給我們什么啟示呢教師在教學(xué)中要學(xué)生學(xué)習(xí)什么學(xué)生既要學(xué)習(xí)知識(shí)，又要學(xué)習(xí)方法。學(xué)生不僅要學(xué)會(huì)類型套類型的解題模式，更重要的是理解和掌握最基本的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，形成遷移類推或舉一反三的能力。教師在上面最基本的模型基礎(chǔ)上，可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考一下幾個(gè)問(wèn)題：①水果商店昨天銷售的蘋果必香蕉的2倍少30千克，這兩種一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克②水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的多30千克，這兩種水果一共銷售了180千克。銷售蘋果多少千克③水果商店昨天銷售的香蕉比蘋果的少30千克，這兩種水果一共銷售了120千克。銷售蘋果多少千克④水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍。銷售的梨是香蕉的3倍。這三種水果一共銷售了180千克。銷售香蕉多少千克⑤水果商店昨天銷售的蘋果是香蕉的2倍，銷售的梨是蘋果的2倍。這三種水果一共銷售了120千克。銷售香蕉多少千克從以上幾個(gè)問(wèn)題的步數(shù)來(lái)說(shuō)，可能已經(jīng)超越了教材基本的難度標(biāo)準(zhǔn)。但筆者今年來(lái)一直有一個(gè)理念：“高標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)，標(biāo)準(zhǔn)化考試”。教師們可以在課堂上大膽探索這樣的問(wèn)題經(jīng)過(guò)引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生到底能否解決學(xué)生是否能在數(shù)學(xué)思想方法和教學(xué)思維能力上得到更好的發(fā)展是否貫徹了《課程標(biāo)準(zhǔn)》提倡的“不同的人在教學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念（5）化一般問(wèn)題為特殊問(wèn)題。數(shù)學(xué)中的規(guī)律一般具有普遍性，但是對(duì)于小學(xué)生而言，普遍的規(guī)律往往比較抽象，較難理解和應(yīng)用。如果舉一些特殊的例子運(yùn)用不完全歸納法加以猜測(cè)驗(yàn)證，也是可行的解決問(wèn)題的策略。下面舉例說(shuō)明。案例7：任意一個(gè)大于4的自然數(shù)，拆成兩個(gè)自然數(shù)之和，怎樣拆分使這兩個(gè)自然數(shù)的乘積最大分析：此問(wèn)題如果運(yùn)用一般的方法進(jìn)行推理，可以設(shè)這個(gè)大于4的自然數(shù)為N。如果N為偶數(shù)，可設(shè)N=2KK為任意大于2的自然數(shù)；那么N=KK=K-1K1=K-2K2…,因?yàn)镵2>K2-1>K2-4>…,所以K×K>K-1×K1>K-2×K2>…,所以把這個(gè)偶數(shù)拆分成兩個(gè)相等的數(shù)的和，他們的積最大。如果N為奇數(shù)，可設(shè)N=2K1K為任意大于1的自然數(shù)；那么N=KK1=K-1K2=K-2K3=…,因?yàn)镵2K>K2K-2>K2K-6>…,所以K×K1>K-1×K2>K-2×K3>…,所以把這個(gè)奇數(shù)拆分成兩個(gè)相差1的數(shù)的和，它們的積最大。仔細(xì)觀察問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，題中的自然數(shù)只要大于4，便存在一種普遍的規(guī)律；因此，取幾個(gè)具體的特殊的數(shù)，也應(yīng)該存在這樣的規(guī)律。這時(shí)就可以把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊的問(wèn)題，僅舉幾個(gè)有代表性的比較小的數(shù)（只要大于4）進(jìn)行枚舉歸納，如10,11等，就可以解決問(wèn)題，具體案例間前文。歸化思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中無(wú)所不在，對(duì)于學(xué)生而言，要學(xué)會(huì)善于運(yùn)用化歸的思想方法解決各種復(fù)雜的問(wèn)題，最終達(dá)到在數(shù)學(xué)的世界里舉重若輕的境界。三、模型思想1、模型思想的概念。數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言概括地或近似地描述現(xiàn)實(shí)世界事物地特征，數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念，定理，規(guī)律，法則，公式，性質(zhì)，數(shù)量關(guān)系式，圖表，程序等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的模型思想是一般化的思想方法，數(shù)學(xué)模型的主要模型形式是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式和圖表，因而它與符號(hào)化思想有很多相同之處，同樣具有普遍的意義。不過(guò)，也有很多數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解似乎更注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用性。即把數(shù)學(xué)模型描述為特定的事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。如通過(guò)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)，物理，農(nóng)業(yè)，生物，社會(huì)學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型。為了把數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)知識(shí)或是符號(hào)思想明顯的區(qū)分開來(lái)，本文主要從狹義的角度討論數(shù)學(xué)模型，即重點(diǎn)分析小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用及數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。2、模型思想的重要意義。數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和工具，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的一些信息進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，經(jīng)過(guò)推理和運(yùn)算，對(duì)相應(yīng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，預(yù)算，決策和控制，并且要經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)。如果檢驗(yàn)的結(jié)果是正確的，便可以指導(dǎo)我們的實(shí)踐。如上所述，數(shù)學(xué)模型在當(dāng)今市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)已經(jīng)有比較廣泛的應(yīng)用；因而，模型思想在數(shù)學(xué)思想方法中有非常重要的地位，在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域也應(yīng)該有它的一席之地。，如果說(shuō)符號(hào)化思想更注重?cái)?shù)學(xué)抽象和和符號(hào)表達(dá)，那么模型思想更注重?cái)?shù)學(xué)地應(yīng)用，更通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化解決問(wèn)題，尤其是現(xiàn)實(shí)中的各種問(wèn)題；當(dāng)然，把現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化的過(guò)程也是一個(gè)抽象化的過(guò)程。現(xiàn)行的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)符號(hào)化思想有明確要求，如要求學(xué)生“能從具體行進(jìn)中抽象出數(shù)量變化和變化規(guī)律并用符號(hào)來(lái)表示”，這實(shí)際上就包含了模型思想。但是，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)第一，二學(xué)段并沒(méi)有提出模型思想要求，只是在第三學(xué)段的內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和教學(xué)建議中明確提出了模型思想，要求在教學(xué)中“注重使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型”，教學(xué)過(guò)程以“問(wèn)題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用于擴(kuò)展”的模式展開。如果說(shuō)小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者中有人關(guān)注了模型思想，多數(shù)人只是套用第三學(xué)段對(duì)模型思想的要求進(jìn)行研究也很難做到要求的具體化和課堂教學(xué)的貫徹落實(shí)。據(jù)了解，即將頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)與現(xiàn)行的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》相比有了較大變化，在課程內(nèi)容部分明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想建立是幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量變化和變量規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用知識(shí)”。并在教材編寫中提出了“教材應(yīng)當(dāng)根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計(jì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)。這樣的活用應(yīng)體現(xiàn)‘問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證’過(guò)程，這個(gè)過(guò)程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識(shí)技能，感悟數(shù)學(xué)思想、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)”。這是否可以理解為：在小學(xué)階段，從《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)明確了建立模型是數(shù)學(xué)運(yùn)用和解決問(wèn)題的核心。3、模型思想的具體運(yùn)用數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展過(guò)程，也是一個(gè)應(yīng)用的過(guò)程。從這個(gè)角度而言，伴隨著數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和發(fā)展，數(shù)學(xué)模型實(shí)際上也隨后產(chǎn)生和發(fā)展了。如自然數(shù)系統(tǒng)1,2,3…是描述離散數(shù)量的數(shù)學(xué)模型。2000多年前的古人用公式計(jì)算土地面積，用方程解決實(shí)際問(wèn)題等，實(shí)際上都是用各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題等，實(shí)際上都是用各種數(shù)學(xué)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的。就小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用來(lái)說(shuō)，大多數(shù)是古老的初等數(shù)學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也許在數(shù)學(xué)家的眼里，這根本就不是真正的數(shù)學(xué)模型；不過(guò)小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用雖然簡(jiǎn)單，但仍然是現(xiàn)實(shí)生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所不可缺的。小學(xué)數(shù)學(xué)中的模型如下表。知識(shí)領(lǐng)域知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)與代數(shù)數(shù)的表示自然數(shù)列：0,1,2，…用數(shù)軸表示數(shù)數(shù)的運(yùn)算ab=cC-a=b,c-a=ba×b=ca≠0,b≠0c÷a=b,c÷b=a方程ab=c數(shù)量關(guān)系時(shí)間、速度和路程：=vt數(shù)量、單價(jià)和總價(jià);a=nr和3nr（m、n都是整數(shù)），他們的差事3（m-n），必是3的倍數(shù)。八、統(tǒng)計(jì)思想1．統(tǒng)計(jì)思想的概念?，F(xiàn)實(shí)生活中有大量的數(shù)據(jù)需要分析和研究，如人口數(shù)量、物價(jià)指數(shù)、商品合格率、種子發(fā)芽率等等。有時(shí)需要對(duì)所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行全面調(diào)查，如我國(guó)為了掌握人口的真實(shí)情況，曾經(jīng)進(jìn)行過(guò)全國(guó)人口普查。一般情況下不可能也不需要考察所有對(duì)象，如物價(jià)指數(shù)、商品合格率等，就需要采取抽樣調(diào)查的方法收集和分析數(shù)據(jù)，用樣本來(lái)估計(jì)總體，從而進(jìn)行合理的推斷和決策，這就是統(tǒng)計(jì)的思想方法。在統(tǒng)計(jì)里主要有兩種估計(jì)方法：一是用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，二是用樣本的數(shù)據(jù)特征（如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)）估計(jì)總體的數(shù)據(jù)特征。2．統(tǒng)計(jì)思想的重要意義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》實(shí)施前的小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)圖表的知識(shí)也是必學(xué)的內(nèi)容，但受那個(gè)時(shí)代人們觀念的局限，對(duì)統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識(shí)和教學(xué)主要限于統(tǒng)計(jì)知識(shí)和技能本身，并沒(méi)有把統(tǒng)計(jì)與信息時(shí)代和市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)社會(huì)很好地聯(lián)系起來(lái)。當(dāng)今社會(huì)，人們每天的日常工作和生活都會(huì)面對(duì)紛繁復(fù)雜的信息和數(shù)據(jù)，如何收集、整理和分析數(shù)據(jù)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)據(jù)說(shuō)話，做出科學(xué)的推斷和決策，是每一個(gè)公民必須具備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維方式。因此，使學(xué)生在義務(wù)教育階段熟悉統(tǒng)計(jì)的思想方法，逐步形成統(tǒng)計(jì)觀念，有助于運(yùn)用隨機(jī)的觀點(diǎn)理解世界，形成科學(xué)的世界觀和方法論。3．統(tǒng)計(jì)思想的具體應(yīng)用。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)思想的應(yīng)用大體上可分為兩種：一是統(tǒng)計(jì)作為四大領(lǐng)域知識(shí)中的一類知識(shí)，安排了很多獨(dú)立的單元進(jìn)行統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)；二是在學(xué)習(xí)了一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)后，在其他領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)中，都不同程度地應(yīng)用了統(tǒng)計(jì)知識(shí)，作為知識(shí)呈現(xiàn)的載體和解決問(wèn)題的方法進(jìn)行教學(xué)。因而，統(tǒng)計(jì)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用是比較廣泛的。小學(xué)數(shù)學(xué)中統(tǒng)計(jì)的知識(shí)點(diǎn)主要有：象形統(tǒng)計(jì)圖、単式統(tǒng)計(jì)表、復(fù)式統(tǒng)計(jì)表、單式條形統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖、單式折線統(tǒng)計(jì)圖、復(fù)式折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等。這些知識(shí)作為學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)是必須掌握的，但更重的是能夠根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和解決問(wèn)題的需要選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表或者統(tǒng)計(jì)量來(lái)描述和分析數(shù)據(jù)、做出合理的預(yù)測(cè)和決策。4．統(tǒng)計(jì)思想的教學(xué)?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布和實(shí)施，賦予了統(tǒng)計(jì)更加豐富的內(nèi)涵。教師要全面理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》關(guān)于統(tǒng)計(jì)知識(shí)的內(nèi)容和理念，在教學(xué)中要注意以下幾點(diǎn)。第一，注意過(guò)程性目標(biāo)的教學(xué)。讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析、推斷和決策的過(guò)程。包括設(shè)計(jì)合適的調(diào)查表、選擇合適的統(tǒng)計(jì)圖表和統(tǒng)計(jì)量描述數(shù)據(jù)、科學(xué)地分析數(shù)據(jù)并做出合理的決策。統(tǒng)計(jì)的教學(xué)要改變以往注重統(tǒng)計(jì)知識(shí)和技能這種數(shù)學(xué)化的傾向，要讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過(guò)程，把統(tǒng)計(jì)與生活密切聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)活生生的統(tǒng)計(jì)，而不是僅僅回答枯燥乏味的純數(shù)學(xué)問(wèn)題。第二，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的作用，能從統(tǒng)計(jì)的角度思考與數(shù)據(jù)有關(guān)的問(wèn)題。學(xué)會(huì)用數(shù)據(jù)說(shuō)話，能使我們的思維更加理性，避免感性行事。從小學(xué)開始就要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)對(duì)決策的重要作用，為將來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和走向社會(huì)培養(yǎng)良好的統(tǒng)計(jì)意識(shí)。如作為市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)和信息化社會(huì)的公民，每個(gè)人無(wú)不與經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和投資理財(cái)打交道，如果能夠根據(jù)影響經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的各種主要數(shù)據(jù)進(jìn)行合理的分析和推斷，做出正確的投資理財(cái)決策、使自己的投資不斷保值和升值，對(duì)于每個(gè)公民意義重大。當(dāng)然，統(tǒng)計(jì)推斷往往是基于用樣本來(lái)估計(jì)總體，屬于合情推斷，并不是一種必然的邏輯關(guān)系；因而決策有時(shí)是符合預(yù)期的，有時(shí)也可能不十分正確甚至有可能是錯(cuò)誤的，如中國(guó)最新、最新、最新、最新年的全年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值比上一年分別增長(zhǎng)%、%、%、%，根據(jù)這個(gè)變化趨勢(shì)，預(yù)測(cè)最新年有可能增長(zhǎng)12%；這種預(yù)測(cè)是一種簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)推斷，這僅僅是一種可能；換句話說(shuō)，最新年如果沒(méi)有增長(zhǎng)那么快也是有可能的。實(shí)際上，最新年突發(fā)的全球金融危機(jī)影響了經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，最新年比上年只增長(zhǎng)了9%。第三，能對(duì)給定數(shù)據(jù)的的結(jié)論進(jìn)行合理的質(zhì)疑?，F(xiàn)實(shí)生活中的各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和信息紛繁復(fù)雜，權(quán)威部門發(fā)布的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)基本上是科學(xué)可信的，但是有些公司或者廣告發(fā)布的數(shù)據(jù)可能存在偏差。有些數(shù)據(jù)不十分合理或者不夠精細(xì)，從而影響人們的認(rèn)識(shí)和決策，甚至給人們帶來(lái)誤導(dǎo)。學(xué)習(xí)了統(tǒng)計(jì)知識(shí)以后，尤其是作為未來(lái)的公民，應(yīng)該能夠從科學(xué)、全面、微觀的角度分析數(shù)據(jù)，從而做出正確的判斷和決策。如最近公布的最新年各地區(qū)單位職工年平均工資情況。很多人認(rèn)為自己沒(méi)有這么高的收入，而平均工資為什么會(huì)這么高，因而就質(zhì)疑統(tǒng)計(jì)結(jié)果。如果我們從統(tǒng)計(jì)的角度對(duì)數(shù)據(jù)的數(shù)和中位數(shù)結(jié)合起來(lái)，搞清楚數(shù)據(jù)的大致分布情況，就不會(huì)有疑問(wèn)了。這個(gè)數(shù)據(jù)是一個(gè)平均數(shù)，是把各個(gè)單位（不包括個(gè)體戶）的工資收入總額除以職工總數(shù)的得出來(lái)的平均數(shù)。如某市在統(tǒng)計(jì)的19個(gè)行業(yè)中，有10個(gè)行業(yè)的平均工資低于平均數(shù)，而且這10個(gè)行業(yè)的就業(yè)人數(shù)相對(duì)較多，平均工資最高的行業(yè)是最低行業(yè)的8倍還多。高收入行業(yè)的收入過(guò)高，極端值拉高了平均數(shù)，導(dǎo)致平均數(shù)大于中位數(shù)。實(shí)際上一半以上的人均工資要低于平均數(shù)，所以很多人以為自己的收入“被增長(zhǎng)”了另外，在小學(xué)階段，由于計(jì)算難度的制約，解決一些統(tǒng)計(jì)問(wèn)題時(shí)選定的樣本容量往往較少，這時(shí)我們要注意這樣的統(tǒng)計(jì)推斷是否可信。如把一個(gè)班級(jí)50人作為一個(gè)樣本進(jìn)行調(diào)查收集數(shù)據(jù)，進(jìn)而對(duì)全年級(jí)甚至同齡人進(jìn)行估計(jì)，要注意50人的數(shù)據(jù)是否具有代表性。如果調(diào)查50人的身高、體重、血型、鞋子號(hào)碼、服裝型號(hào)分布等等可能是合適的。如果調(diào)查50人出生的月份分布情況，以此來(lái)推斷全年級(jí)甚至同齡人出生的月份，出現(xiàn)差錯(cuò)的可能性會(huì)大一些。因?yàn)橐荒暧?2個(gè)月，50人平均下來(lái)每個(gè)月也就4到5人，容量太小代表性就差。第四，對(duì)有關(guān)概念應(yīng)正確理解，應(yīng)注重知識(shí)的應(yīng)用，避免單純的數(shù)據(jù)計(jì)算和概念判斷。如平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的聯(lián)系和區(qū)別，這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量到底在什么條件下適用，一直困擾著很多老師。另外，有些老師喜歡在一些概念上糾纏，而不是關(guān)注知識(shí)的應(yīng)用和實(shí)際意義，如讓學(xué)生找出下面一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)：758484898992929698。這樣的問(wèn)題沒(méi)有什么現(xiàn)實(shí)意義，不如給一組聯(lián)系實(shí)際的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生去思考用什么量數(shù)作為該組數(shù)據(jù)一般水平的代表，更有意義。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量數(shù)，代表一般水平。平均數(shù)能反映全體數(shù)據(jù)的信息，任何一個(gè)數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變，比較敏感，因而應(yīng)用比較普遍；缺點(diǎn)是易受極端值的影響。日常生活和研究領(lǐng)域的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，多數(shù)都選擇平均數(shù)作為代表值。如我們國(guó)家和地方統(tǒng)計(jì)部門經(jīng)常公布的人均產(chǎn)值、人均收入、物價(jià)指數(shù)等等，都是應(yīng)用平均數(shù)作為代表值。中位數(shù)處于中間水平，不受極端值的影響，運(yùn)算簡(jiǎn)單，在一組數(shù)據(jù)中起分水嶺的作用；缺點(diǎn)是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)不受極端數(shù)據(jù)的影響，運(yùn)算簡(jiǎn)單，當(dāng)要找出適應(yīng)多數(shù)需要的數(shù)值時(shí)，常用眾數(shù)；缺點(diǎn)是不能反映全體數(shù)據(jù)的情況，可靠性較差。眾數(shù)可能不唯一，甚至有時(shí)沒(méi)有。這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量有著各自的特點(diǎn)和適用的條件，可以根據(jù)研究和解決問(wèn)題的需要來(lái)選擇；與中位數(shù)和眾數(shù)比較而言，平均數(shù)可以反映更多的樣本數(shù)據(jù)全體的信息。然而他們?nèi)齽t并不是一種完全排斥的關(guān)系，特殊情況下這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量或者其中的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量都有可能成為一組數(shù)據(jù)一般水平的代表。如學(xué)生的考試成績(jī)往往服從正態(tài)或者近似正態(tài)分布，那么這三個(gè)統(tǒng)計(jì)量很可能相等或者非常接近；這時(shí)用三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中的任何一個(gè)作為該數(shù)據(jù)一般水平的代表都是可以的。有時(shí)把平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合使用，會(huì)了解更多的信息。如某次數(shù)學(xué)考試全班49人平均分?jǐn)?shù)為92分，小林考了93分、排名第25、小明的成績(jī)比小林高2分。可以發(fā)現(xiàn)中位數(shù)是93分，小明的成績(jī)處于中上等水平，平均分低于中位數(shù)，說(shuō)明可能有極端的低分?jǐn)?shù)。案例1：一家公司最新年和最新年職工年工資情況如下表。職務(wù)總經(jīng)理副總經(jīng)理部門經(jīng)理部門副經(jīng)理普通員工人數(shù)1281079最新年工資/萬(wàn)元87542最新年工資/萬(wàn)元106（1）這家公司最新年和最新年職工平均工資各是多少（2）這家公司對(duì)外宣稱，最新年職工平均工資比最新年增長(zhǎng)17%以上，這種說(shuō)法有不妥之處嗎分析：（1）最新年和最新年職工平均工資分別為：（82×78×510×479×2）÷100=（萬(wàn)元）（102×8×610×79×）=（萬(wàn)元）（2）（）÷≈%，（）÷2=15%。從全體職工平均工資角度看，最新年比上年增長(zhǎng)確實(shí)超過(guò)了17%。但是代表公司大多數(shù)的普通員工的平均工資低于平均數(shù)，增長(zhǎng)率也低于平均增長(zhǎng)率，普通員工與高級(jí)管理人員的收入差距在逐年擴(kuò)大。案例2：日本和中國(guó)最新年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GD就是頻數(shù)，就是事件A出現(xiàn)的頻數(shù)。如果試驗(yàn)的次數(shù)不斷增加，事件A發(fā)生的頻數(shù)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)上，就把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。事件的概率是確定的、不變的常數(shù)，是理論上的精確值；而頻率是某次具體試驗(yàn)的結(jié)果，是不確定的、變化的數(shù)，盡管這種變化可能性非常的小。這里的概率是用頻率來(lái)界定的，在等可能性隨機(jī)試驗(yàn)中，雖然頻率總是在很小的范圍內(nèi)變化，但我們可以認(rèn)為頻率和概率的相關(guān)性非常的強(qiáng)。也就是說(shuō)，在一次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的頻率越大、事件A的概率就越大；事件A出現(xiàn)的頻率越小、事件A的概率就越小。反之亦然。（3）兩種概率模型古典概模：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件是有限的，每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等。如比較經(jīng)典的投硬幣和擲骰子試驗(yàn)，都屬于這種概率模型。幾何概型：試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積、體積）成比例。如比較常見(jiàn)的轉(zhuǎn)盤游戲，就是幾何概率模型。2概率思想的重要意義。生活中的很多現(xiàn)象都是隨機(jī)現(xiàn)象，如氣候變化、物價(jià)變化、體育比賽、汽車流量、彩票中獎(jiǎng)等等。這些隨機(jī)事件，如果能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)它發(fā)生的可能性的大小，就會(huì)為我們的工作和生活帶來(lái)很多方便、解決很多問(wèn)題。隨著科技的發(fā)展，氣象部門已經(jīng)能夠比較準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)天氣變化，對(duì)氣溫、降水量、風(fēng)力、風(fēng)向等的變化作出比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)，幫助人們提早做出預(yù)防，從而減少災(zāi)害的發(fā)生。這些現(xiàn)象都離不開對(duì)數(shù)據(jù)的分析以及對(duì)事件發(fā)生可能性大小的定量刻畫，從而做出合理的預(yù)測(cè)和決策，這正是統(tǒng)計(jì)與概率研究的主要內(nèi)容。因而，統(tǒng)計(jì)與概率的思想方法既是進(jìn)一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是人們?cè)谏詈凸ぷ髦斜仨氄莆盏摹?概率思想的具體應(yīng)用。概率思想主要應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)與概率領(lǐng)域。一是小學(xué)數(shù)學(xué)第一、第二學(xué)段都安排了可能性的內(nèi)容，如會(huì)求簡(jiǎn)單的等可能性隨機(jī)事件發(fā)生的可能性，根據(jù)等可能性事件設(shè)計(jì)公平的游戲規(guī)則。二是統(tǒng)計(jì)推斷中很多情況是根據(jù)對(duì)隨機(jī)事件的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后，再對(duì)隨機(jī)發(fā)生的可能性大小進(jìn)行預(yù)測(cè)和決策。如最新年南非世界杯決賽西班牙對(duì)荷蘭，有人預(yù)測(cè)西班牙奪冠，理由是西班牙是近年歐洲冠軍、實(shí)力雄厚；還有人預(yù)測(cè)荷蘭衛(wèi)冕，理由是荷蘭是無(wú)冕之王、兩次獲得世界杯亞軍。西班牙和荷蘭兩隊(duì)歷史上一共交手9次，其中荷蘭4盛1平4負(fù)，實(shí)力不分上下。所以兩隊(duì)奪冠的可能性各占一半。4概率思想的教學(xué)。最新年，課程改革首次正式把概率的內(nèi)容納入小學(xué)數(shù)學(xué)，對(duì)這部分內(nèi)容的科學(xué)性和難度的準(zhǔn)確把我是個(gè)挑戰(zhàn)。這部分內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。第一，隨機(jī)事件的發(fā)生是有條件的，是在一定條件下，事件發(fā)生的可能性性有大有??；條件變了，事件發(fā)生的可能性大小也可能會(huì)變化。如種子的發(fā)芽率與很多因素有關(guān)，如種子的質(zhì)量、保存期限、溫度、水分、土壤、陽(yáng)光、空氣等等。在各種條件都合適的情況下，發(fā)芽率可能高達(dá)90%；條件不合適發(fā)芽率可能降到50%甚至不發(fā)芽。第二，避免把頻率與概率混淆。如最經(jīng)典的就是擲硬幣試驗(yàn)去驗(yàn)證概率。從概率的統(tǒng)計(jì)定義而言，做拋硬幣試驗(yàn)是可以的，可以使學(xué)生參與實(shí)踐活動(dòng)、經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程、提高學(xué)習(xí)的興趣。關(guān)鍵是廣大教師心中要明白：試驗(yàn)次數(shù)少的時(shí)候頻率與概率的誤差可能會(huì)比較大，但是試驗(yàn)次數(shù)多，也不能每次都保證頻率與概率相差很小，或者說(shuō)試驗(yàn)次數(shù)足夠大的兩次試驗(yàn)，也不能保證試驗(yàn)次數(shù)多的比試驗(yàn)次數(shù)少的誤差小。這是隨機(jī)事件本身的特點(diǎn)決定的，教師要通過(guò)通俗的語(yǔ)言使學(xué)生清楚這一點(diǎn)。這樣在拋硬幣時(shí)出現(xiàn)什么情況都是正常的，在學(xué)生操作的基礎(chǔ)上，有條件的可通過(guò)計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)，還要呈現(xiàn)數(shù)學(xué)家們做的試驗(yàn)結(jié)果，使學(xué)生理解概率的統(tǒng)計(jì)定義。第三，創(chuàng)設(shè)聯(lián)系學(xué)生生活的情境，要注意每個(gè)基本事件是否具有等可能性。如下面的題目就不合適：全班50個(gè)學(xué)生，選一人代表全班參加科普知識(shí)競(jìng)賽，張三被選中的可能性是多少事實(shí)上參加競(jìng)賽是有一定條件的，如需要學(xué)習(xí)好、知識(shí)面寬等等，每個(gè)學(xué)生被選中的可能性是不相等的。第四，概率是理論上的精確值，但是隨機(jī)事件在具體一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)意外，即頻率與概率有一定偏差。隨機(jī)中有精確，精確中有隨機(jī)，這是對(duì)待概率的一種科學(xué)態(tài)度。案例1：連續(xù)兩次擲一枚硬幣，如果第一次正面朝上，那么第二次一定是反面朝上嗎分析：從概率角度分析，拋一枚硬幣正面和反面朝上的可能性相等，都是二分之一；并不會(huì)因?yàn)榈谝淮握娉隙绊懙诙握婧头疵娉系目赡苄韵嗟鹊睦碚撌聦?shí)。因此，第二次正面和反面朝上的可能性仍然相等。案例2：填詞預(yù)報(bào)預(yù)測(cè)明天降水概率是90%，明天一定會(huì)下雨嗎分析：明天是否降水是一個(gè)隨機(jī)事件，盡管降水概率高達(dá)90%，說(shuō)明降水的可能性很大，但可能性大的事件也可能不發(fā)生，所以不能說(shuō)明天一定下雨。案例3：六（2）班同學(xué)血型情況如右圖。（1）從圖中你能得到哪些信息（2）該班有50人，各種血型各有多少人分析：（1）從扇形圖中可以初步得到如下信息：在六（2）班的同學(xué)中有四種血型，這四種血型O型的人最多、占40%，A型和B型的人數(shù)分別排第二、第三，AB型的人是最少，只占8%。（2）50人中O型、A型、B型和AB型的人數(shù)分別有20、14、12、4人。案例3是人教版教材上的習(xí)題。實(shí)際上這道題還可以進(jìn)一步擴(kuò)展，可以把全班50人的數(shù)據(jù)作為一次抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)，從而估計(jì)其他人群（如六年級(jí)、全校、本地區(qū)等等）血型的分布情況，這是學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)與概率最重要的意義所在。當(dāng)然，本題的第一問(wèn)也包含了一些推斷的信息，但由于問(wèn)題比較籠統(tǒng)，學(xué)生未必能有更好的發(fā)現(xiàn)。因此，本題如果再出一個(gè)如下的小題，效果會(huì)更好。（3）六年級(jí)有200人，你能估計(jì)各種血的人數(shù)嗎十、分析法和綜合法分析與綜合都是思維的基本方法，無(wú)論是研究和解決一般問(wèn)題，還是數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析和綜合都是最基本的具有邏輯性的方法。分析與綜合是兩種思想方法，但因二者具有十分密切的聯(lián)系，因此把二者結(jié)合起來(lái)闡述。1分析和綜合法的概念。分析是把研究對(duì)象的整體分解為若干部分、方面和因素，分別加以考察，找出各自的本質(zhì)屬性及彼此之間的聯(lián)系。綜合是把研究對(duì)象的各個(gè)部分、方面和因素的認(rèn)識(shí)結(jié)合起來(lái)，形成一個(gè)整體性認(rèn)識(shí)的思維方法。分析是綜合的基礎(chǔ)，綜合是分析的整合，綜合是與分析相反的思維過(guò)程。在研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)時(shí)，往往先把研究對(duì)象分解成幾個(gè)部分、方面和要素進(jìn)行考察，在進(jìn)行整合從整體上認(rèn)識(shí)研究對(duì)象，形成理性認(rèn)識(shí)。實(shí)際上教師和學(xué)生都經(jīng)常有意識(shí)和無(wú)意識(shí)地運(yùn)用了分析和綜合的思維方法。如認(rèn)識(shí)等腰梯形時(shí)，可以從它的邊和角等幾個(gè)要素進(jìn)行分析：它有幾條邊幾個(gè)角四條邊有什么關(guān)系四個(gè)角有什么關(guān)系再?gòu)恼w上概括等腰梯形的性質(zhì)。數(shù)學(xué)中的分析法一般被理解為：在證明和解決問(wèn)題時(shí)，從結(jié)論出發(fā)，一步一步地追溯到產(chǎn)生這一結(jié)論的條件是已知的為止，是一種“執(zhí)果索因”的分析法。綜合法一般被理解為：在證明和解決問(wèn)題是，從已知條件和某些定義、定理等出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列的運(yùn)算或推理，最終證明結(jié)論或解決問(wèn)題，是一種“由因?qū)Ч钡木C合法。如小學(xué)數(shù)學(xué)中的問(wèn)題解決，可以由問(wèn)題出發(fā)逐步逆推理到已知條件，這是分析法；從已知條件出發(fā)，逐步求出所需答案，這是綜合法。再如分析法和綜合法在中學(xué)數(shù)學(xué)作為直接證明的基本方法，應(yīng)用比較普遍。因此，分析法和綜合法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為普遍的互相依賴、互相滲透的思想方法。2分析法和綜合法的重要意義。大綱時(shí)代的小學(xué)數(shù)學(xué)教育，比較重視邏輯思維能力的培養(yǎng)，在教學(xué)過(guò)程中重視培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、抽象、概括、判斷和推理能力，其中培養(yǎng)學(xué)生分析和綜合的能力、推理能力是很重要的方面，如在解答應(yīng)用題時(shí)重視分析法和綜合法的運(yùn)用，也就是說(shuō)可以先從應(yīng)用題的問(wèn)題出發(fā)，找出解決問(wèn)題需要的條件中哪些是已知的，哪些是未知的，未知的條件又需要什么條件解決，這樣一步一步倒推，直到利用最原始的已知條件解決。這樣分析了數(shù)量關(guān)系和解題思路后，再利用綜合法根據(jù)已知條件列式解答。再如在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)時(shí)對(duì)各種統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)需要經(jīng)過(guò)整理和描述，并進(jìn)行分析和綜合，做出合理的判斷和預(yù)測(cè)。雖然《課程標(biāo)準(zhǔn)》并沒(méi)有明確提出邏輯思維能力的培養(yǎng)，但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù)；在與他人交流的過(guò)程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言合乎邏輯的進(jìn)行討論與質(zhì)疑?！边@其中就包含了對(duì)學(xué)生邏輯思維、分析和綜合能力的要求。分析能力不僅是邏輯思維能力的重要方面之一，也是其他一些思維能力的基礎(chǔ)。分析法和綜合法是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和推理等能力的重要思想方法。因此，分析法和綜合法在課標(biāo)時(shí)代仍然是培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問(wèn)題能力的重要的思想方法。3分析法和綜合法的具體應(yīng)用。如上所述，分析法和綜合法作為數(shù)學(xué)的思想方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。首先，在四大領(lǐng)域的內(nèi)容中，無(wú)論是低年級(jí)的數(shù)和計(jì)算、圖形的認(rèn)識(shí)，還是中高年級(jí)的方程和比例、統(tǒng)計(jì)與概率，分析法和綜合法都有較多應(yīng)用。如數(shù)的計(jì)算法則的學(xué)習(xí)，就是一個(gè)先分析再綜合概括的過(guò)程，先一步一步地學(xué)習(xí)法則的不同方面，再綜合概括成一個(gè)完整的法則。其次，在貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的問(wèn)題解決、判斷和推理證明等方面，分析法和綜合法也是無(wú)所不在。如在進(jìn)行一個(gè)概念或者性質(zhì)的判斷時(shí)，必須先進(jìn)行分析，然后才能做出判斷。4分析法和綜合法的教學(xué)。分析能力和綜合能力作為培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問(wèn)題能力的重要方面，在課標(biāo)時(shí)代仍然要給予足夠的重視，在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。第一，在學(xué)習(xí)一般的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)時(shí)注重分析能力和綜合能力的培養(yǎng)。小學(xué)數(shù)學(xué)的很多知識(shí)，學(xué)生往往經(jīng)歷先分析再綜合的過(guò)程，即先認(rèn)識(shí)局部特征，再?gòu)恼w上認(rèn)識(shí)或者形成抽象概念的過(guò)程。如圖形的認(rèn)識(shí)，在第一學(xué)段學(xué)生通過(guò)操作和直觀初步感知圖形的一些特征，到了第二學(xué)段，可以從整體上認(rèn)識(shí)或者抽象成概念。教師從低年級(jí)開始就應(yīng)注重分析能力的培養(yǎng)，從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。第二，在解決問(wèn)題時(shí)注重分析法和綜合法的結(jié)合運(yùn)用。簡(jiǎn)單的問(wèn)題，往往直接應(yīng)用綜合法便可解決；復(fù)雜的問(wèn)題，往往需要把分析法和綜合法結(jié)合運(yùn)用。分析法從問(wèn)題出發(fā)逐步逆推，便于把我探索的方向，綜合法的思維具有發(fā)散性，能夠提供多種策略；把二者結(jié)合起來(lái)，便于根據(jù)已知條件提供向問(wèn)題靠攏的策略，使問(wèn)題盡快得到解決。案例1：一件襯衫的標(biāo)價(jià)是150元，現(xiàn)在因換季按標(biāo)價(jià)打八折的優(yōu)惠價(jià)格出售，還能夠在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上獲利20%。這款襯衫的進(jìn)價(jià)是多少錢分析：要想求進(jìn)價(jià)是多少錢，需要知道進(jìn)價(jià)加上獲利的20%一共是多少錢，進(jìn)價(jià)加上獲利的20%等于優(yōu)惠價(jià)，優(yōu)惠價(jià)等于標(biāo)價(jià)的80%。根據(jù)分析法找出的數(shù)量關(guān)系和解題思路，用綜合法列式如下。（1）進(jìn)價(jià)加獲利20%一共的錢數(shù)：150×80%＝120（元）（2）這款襯衫的進(jìn)價(jià)是：120÷（1＋20%）＝100（元）。列成綜合算式是：150×80%÷（1＋20%）＝100（元）。案例2：食品店把120千克巧克力分裝在兩種大小不同的盒子里，先裝千克一盒的裝了200盒，剩下的每盒裝千克。這些巧克力一共裝了多少盒分析：要想求一共裝了多少盒，因?yàn)橛写蠛泻托『袃煞N包裝規(guī)格，已經(jīng)知道小盒有200盒，所以要先求大盒的裝了多少千克。因?yàn)榇蠛忻亢醒b千克，要想求大盒裝了多少盒，應(yīng)先求大盒共裝了多少千克。因?yàn)榭偣灿?20千克巧克力，要想求大盒裝了多少千克，應(yīng)先求小盒裝了多少千克?？梢愿鶕?jù)已知條件小盒每盒裝千克和共有200盒，算出小盒裝的千克數(shù)。利用分析法找出了數(shù)量關(guān)系和解題思路，即可用綜合法列式解答。（1）小盒共裝的千克數(shù)：×200＝50（千克）（2）大盒共裝的千克數(shù)：120－50＝70（千克）（3）大盒裝的盒數(shù)：70÷＝140（盒）（4）一共裝的盒數(shù)：200＋140＝340（盒）綜合算式為：200＋（120－×200）÷＝340（盒）案例3：明明家有一些蘋果和梨，蘋果的個(gè)數(shù)如果減少5個(gè)，就恰好是梨的個(gè)數(shù)的3倍。如果每天吃4個(gè)蘋果和2個(gè)梨，當(dāng)梨吃完時(shí)蘋果還剩15個(gè)。那么原來(lái)梨和蘋果各有過(guò)少個(gè)分析：想要求出蘋果和梨的個(gè)數(shù)，一是要找出蘋果和梨的關(guān)系，二是要求出蘋果或者梨的個(gè)數(shù)。從題目中可以看出，蘋果比梨的個(gè)數(shù)多，可以考慮把梨的個(gè)數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn)來(lái)分析它們的倍數(shù)關(guān)系。從題目的第二句話可以得出：蘋果比梨的2倍多15個(gè)；從第一句話可以得出：蘋果比梨的3倍多5個(gè)。綜合起來(lái)可以得出：蘋果和梨相比較，蘋果減少15個(gè)是梨的2倍，減少5個(gè)是梨的3倍；所以，從15個(gè)中減去5個(gè)，剩下的10個(gè)就是梨的個(gè)數(shù)。十一、反證法1反證法的概念。反證法是間接證明的一種基本方法，當(dāng)我們需要證明一個(gè)判斷為真時(shí)，先假設(shè)這個(gè)判斷為假，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原判斷為真，這樣的證明方法叫做反證法。反證法是演繹推理的一種，依據(jù)的是排中律，就是說(shuō)兩個(gè)互相矛盾的判斷不可能同假，其中必有一真。2反證法的重要意義。如前所述，《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了培養(yǎng)學(xué)生推理能力和邏輯思維能力的要求。反證法是從另一個(gè)角度利用推理進(jìn)行證明的思想方法，無(wú)疑也是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要的思想方法。因此，它的重要性也是不言而喻的。另外，反證法雖然有一定難度，但是他對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和解決問(wèn)題的能力也有益處。3反證法的具體應(yīng)用。反證法作為一種思想方法，不僅在數(shù)學(xué)中有很多應(yīng)用，在日常生活和其他學(xué)科中也有應(yīng)用。數(shù)學(xué)史上有比較經(jīng)典的利用反證法證明的問(wèn)題，如證明是無(wú)理數(shù)，證明素?cái)?shù)有無(wú)限多個(gè)等。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法的應(yīng)用不多，在抽屜原理等問(wèn)題中有一些應(yīng)用。4反證法的教學(xué)。反正法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用較少，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。第一，掌握它的基本原理和步驟是必要的。反證法采用的論證方式是演繹推理中的假言推理形式，依據(jù)的是排中律。它的證明步驟大致如下：（1）假設(shè)待證的結(jié)論為假、反論題為真；（2）從反論題出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理，得出與已知條件或者定義、定理、公理、事實(shí)等矛盾；（3）根據(jù)排中律得出原結(jié)論成立。第二，對(duì)反證法涉及的一些概念和詞語(yǔ)應(yīng)正確理解。在描述一對(duì)概念間的關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意怎樣描述才是矛盾的。如是與不是、等于與不等于、大于與不大于、至少有一個(gè)與一個(gè)也沒(méi)有等是相互矛盾的關(guān)系。有時(shí)候要注意容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方，如大于5與小于5、正數(shù)與負(fù)數(shù)等不是相互矛盾的關(guān)系，是一種對(duì)立關(guān)系。也就是說(shuō)，兩個(gè)矛盾的種概念外延之和等于屬概念的外延，兩個(gè)對(duì)立的種概念外延之和小于屬概念的外延。大于與小于中間有等于、正數(shù)和負(fù)數(shù)中間有0。大于5與不大于（小于等于）5、正數(shù)與非正數(shù)（0和負(fù)數(shù)）是矛盾關(guān)系。第三，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，只需初步了解其方法。作為教師而言，要掌握反證法的基本原理、步驟和推理方法，以便在教學(xué)中把握反證法的科學(xué)性。學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)單的案例和運(yùn)用反證法通俗易懂的推理過(guò)程，能夠了解反證法的基本思想和數(shù)學(xué)方法的豐富性，培養(yǎng)思維的靈活性。案例1：把43人分成7個(gè)小組，總有一個(gè)小組至少有7人。請(qǐng)說(shuō)明理由。分析：假設(shè)每個(gè)小組最多有6人，那么7個(gè)小組最多有42人，與已知條件有43人矛盾，假設(shè)不成立，所以總有一個(gè)小組至少有7人。案例2：把11個(gè)參加活動(dòng)的名額分配給6個(gè)班，每班至少分配1人。請(qǐng)說(shuō)明：不管怎樣分，至少有3個(gè)班的名額相等。分析：假設(shè)名額相等的班級(jí)最多有2個(gè)，那么需要的名額總數(shù)至少應(yīng)為：（1＋2＋3）×2＝12（個(gè)），與已知條件有11個(gè)名額矛盾。所以至少有3個(gè)班的名額相等。案例3：在直角三角形ABC中，∠C是直角，請(qǐng)說(shuō)明：∠A一定是銳角。分析：假設(shè)∠A不是銳角，首先三角形的任何一個(gè)內(nèi)角不可能為0°，那么∠A≥90°，又因?yàn)椤螩＝90°，∠B＞0°，所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，這就與三角形的內(nèi)角和等于180°矛盾。所以∠A一定是銳角。十二、集合思想1集合的概念。把指定的具有某種性質(zhì)的事物看作一個(gè)整體，就是一個(gè)集合（簡(jiǎn)稱集），其中每個(gè)事物叫做該集合的元素（簡(jiǎn)稱元）。給定的集合，它的元素必須是確定的，即任何一個(gè)事物是否屬于這個(gè)集合是明確的。如“學(xué)習(xí)成績(jī)好的同學(xué)”不能構(gòu)成一個(gè)集合，因?yàn)闃?gòu)成它的元素是不確定的；而“語(yǔ)文和數(shù)學(xué)的平均成績(jī)?cè)?0分及以上的同學(xué)”就是一個(gè)集合。一個(gè)給定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn)。只要兩個(gè)集合的元素完全相同，就說(shuō)這兩個(gè)集合相等。集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法。描述法就是在花括號(hào)內(nèi)寫出規(guī)定這個(gè)集合元素的特定性質(zhì)來(lái)表示集合的方法。列舉法的局限性在于當(dāng)集合的元素過(guò)多或者有無(wú)限多個(gè)時(shí)，很難把所有的元素一一列舉出來(lái)，這時(shí)描述法便體現(xiàn)出了優(yōu)越性。此外，有時(shí)也可以用封閉的曲線（韋恩圖）來(lái)直觀地表示集合及集合間的關(guān)系，曲線的內(nèi)部表示集合的所有元素。一一對(duì)應(yīng)是兩個(gè)集合之間元素（這種元素不一定是數(shù)）的一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，也就是說(shuō)集合A中的任一元素，在集合B中都有唯一的元素b與之對(duì)應(yīng)；并且在集合B中的任一元素b，在集合A中也有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)，如正奇數(shù)集合和正偶數(shù)集合之間的元素可以建立一一對(duì)應(yīng)。其他集合之間也可以建立一一對(duì)應(yīng)，如五（1）班有25個(gè)男生，25個(gè)女生，如果把男生和女生各自看成一個(gè)集合，那么這兩個(gè)集合之間可以建立一一對(duì)應(yīng)；再如，中國(guó)、美國(guó)、俄羅斯、英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)作為一個(gè)集合，北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、柏林作為一個(gè)集合，這兩個(gè)集合之間也可以建立一一對(duì)應(yīng)。2集合思想的重要意義。集合理論是數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，從集合論的角度研究數(shù)學(xué)，便于從整體和部分及二者的關(guān)系上研究數(shù)學(xué)各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí)。如數(shù)系的擴(kuò)展，從小學(xué)的自然數(shù)到整數(shù)，再到中學(xué)的有理數(shù)、無(wú)理數(shù)和實(shí)數(shù)，都可以從集合的角度來(lái)描述。有時(shí)用集合語(yǔ)言來(lái)表述有關(guān)概念更為簡(jiǎn)潔，如全體偶數(shù)的集合可表示為{|=2，∈Z}。集合溝通了代數(shù)（數(shù)）和幾何之間的關(guān)系，如=，既是正比例函數(shù)，又可以表示一條直線；也就是說(shuō)在平面直角坐標(biāo)系上，這條直線是由滿足=的有序?qū)崝?shù)對(duì)所有組成的點(diǎn)的集合。用集合圖描述概念的分類及概念之間的關(guān)系，往往層次分明、直觀清晰，如四邊形的分類可以用韋恩圖表示。3集合思想在具體應(yīng)用。集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的很多內(nèi)容中進(jìn)行了滲透。在數(shù)的概念方面，如自然數(shù)可以從對(duì)等集合基數(shù)（元素的個(gè)數(shù)）的角度來(lái)理解，再如在一年級(jí)通過(guò)兩組數(shù)量相等的實(shí)物建立一一對(duì)應(yīng)，讓學(xué)生理解“同樣多”的概念，實(shí)際上就是兩個(gè)對(duì)等集合的元素之間建立一一對(duì)應(yīng)；數(shù)的運(yùn)算也可以從集合的角度來(lái)理解，如加法可以理解為兩個(gè)交集為空集的集合的并集，再如求兩數(shù)相差多少，通過(guò)把代表兩數(shù)的實(shí)物圖或直觀圖一對(duì)一地比較，來(lái)幫助學(xué)生理解用減法計(jì)算的道理；實(shí)際上就是把代表兩數(shù)的實(shí)物分別看作集合A、B，通過(guò)把A的所有元素與B的部分元素建立一一對(duì)應(yīng)，然后轉(zhuǎn)化為求B與其子集（與A等基）的差集的基數(shù)。此外，在小學(xué)數(shù)學(xué)中還經(jīng)常用集合圖表示概念之間的關(guān)系，如把所有三角形作為一個(gè)整體，看作一個(gè)集合，記為A；把銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形各自看作一個(gè)集合，分別記為B、C、D，這三個(gè)集合就是集合A的三個(gè)互不相交的子集，B、C、D的并集就是A。再如在學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)時(shí)，都是通過(guò)把兩個(gè)數(shù)各自的因數(shù)和倍數(shù)分別用集合圖表示，再求兩個(gè)集合的交集，直觀地表示了公因數(shù)和公倍數(shù)的概念。4集合思想的教學(xué)。集合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛滲透，在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。第一，應(yīng)正確理解有關(guān)概念。我們知道，兩個(gè)數(shù)之間可以比較大小，但是兩個(gè)集合之間無(wú)法直接比較大小，也就是說(shuō)一般不說(shuō)兩個(gè)集合誰(shuí)大誰(shuí)小。如有兩個(gè)集合A、B，當(dāng)且僅當(dāng)它們有完全相同的元素時(shí)，稱A、B相等，記為A=B。如A={2,3,5,7}，B={|是小于10的素?cái)?shù)}。集合之間可以有包含關(guān)系，如C={2,3,5,7,11}，則A是C的真子集。集合之間可以可以比較基數(shù)的大小，也就是比較元素的個(gè)數(shù)的多少。只要兩個(gè)集合元素間能夠建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么就說(shuō)兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等，就是基數(shù)相等，即等勢(shì)或等基。如果A是C的真子集，就說(shuō)A的基數(shù)小于C的基數(shù)。對(duì)于有限集比較容易數(shù)出它的元素的個(gè)數(shù)，而對(duì)于無(wú)限集，又怎樣比較它們?cè)貍€(gè)數(shù)的多少呢如正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合，它們的基數(shù)相等嗎我們知道，兩個(gè)集合的元素，只要能夠建立一一對(duì)應(yīng)就基數(shù)相等。正整數(shù)集合與正偶數(shù)集合的元素之間可以建立如下的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。12345…↓↓↓↓↓246810…因此，這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等，也就是它們的基數(shù)相等。案例1：乒乓球比賽有16人參加A組的小組賽，規(guī)定采取淘汰賽決出小組第一名參加決賽。一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽分析：淘汰賽一般的規(guī)則是每?jī)蓚€(gè)人分為一組比賽一場(chǎng)，勝者進(jìn)入下一輪繼續(xù)進(jìn)行兩人一組比賽；如果出現(xiàn)單數(shù)就有一人輪空，直接進(jìn)入下一輪比賽。這樣一直進(jìn)行下去，直到?jīng)Q出第一名。按照這個(gè)思路解答，只需要把每一輪比賽的場(chǎng)數(shù)算出來(lái)，最后加起來(lái)就行。第一輪共有8場(chǎng)比賽，第二輪共有4場(chǎng)比賽，第三輪共有2場(chǎng)比賽，第四輪共有1場(chǎng)比賽；所以總共有15（8421=15）場(chǎng)比賽。以上思路層次清楚、容易理解，小學(xué)生一般都可以接受，但是如果參加小組比賽的人比較多，計(jì)算起來(lái)就比較麻煩。下面用一一對(duì)應(yīng)的思想來(lái)分析：因?yàn)槊看伪荣愄蕴粋€(gè)人，有一場(chǎng)比賽就淘汰一個(gè)人，沒(méi)有比賽就不淘汰人，要想淘汰一個(gè)人就必須有一場(chǎng)比賽，也就是說(shuō)比賽的場(chǎng)數(shù)與被淘汰的人數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。在小組參賽的16人中，最后只有一人得第一名，要淘汰15人，所以比賽的場(chǎng)數(shù)為15場(chǎng)。第二，正確把握集合思想的教學(xué)要求。集合思想雖然在小學(xué)數(shù)學(xué)中廣泛滲透，但是集合的知識(shí)并不是小學(xué)數(shù)學(xué)的必學(xué)內(nèi)容；因而應(yīng)注意把握好知識(shí)的難度和要求，盡量使用通俗易懂的語(yǔ)言滲透集合思想。集合除了可以表示概念系統(tǒng)及概念間的關(guān)系外，利用韋恩圖進(jìn)行集合的直觀運(yùn)算，可以解決一些分類計(jì)數(shù)的問(wèn)題。案例2：六（1）班舉辦文藝活動(dòng)，演出歌舞節(jié)目的有9人，演出小品等節(jié)目的有12人，兩類節(jié)目都參加的有5人。該班共有多少人參加這兩類節(jié)目的演出分析：為了便于理解集合的運(yùn)算原理，我們借助韋恩圖來(lái)分析。左邊的圈里表示演出歌舞節(jié)目的人，右邊圈里表示演出小品等節(jié)目的人。兩個(gè)圈相交的共有的部分有5人，表示這5人既參加了歌舞節(jié)目，又參加了小品等節(jié)目的演出。左邊圈中沒(méi)跟另一個(gè)圈相交的單獨(dú)的部分由4人，表示這4人只參加了歌舞節(jié)目的演出。因此，參加歌舞節(jié)目演出的9人由兩部分組成：一部分是只參加歌舞節(jié)目演出的4人，另一部分是既參加歌舞節(jié)目又參加小品等節(jié)目演出的5人。同樣道理，參加小品等節(jié)目演出的12人由兩部分組成：一部分是只參加小品等節(jié)目演出的7人，另一部分是既參加小品等節(jié)目又參加歌舞節(jié)目演出的5人。綜合以上分析，可以得出：該班參加這兩類節(jié)目演出的人數(shù)是457=16，或912－5=16。第三，集合思想的教學(xué)要貫穿小學(xué)數(shù)學(xué)的始終。如上所述，集合思想在一年級(jí)學(xué)習(xí)之初，學(xué)生在學(xué)習(xí)人數(shù)和分類等知識(shí)中就已經(jīng)有所接觸，一直到高年級(jí)學(xué)習(xí)公因數(shù)和公倍數(shù)、三角形和四邊形的分類、數(shù)的分類（正數(shù)、0、負(fù)數(shù)）等等，不同年級(jí)和不同知識(shí)領(lǐng)域都有所滲透。這里涉及了用集合語(yǔ)言概念及概念間的關(guān)系、集合的元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、集合的運(yùn)算等等。因此，集合思想的滲透不是一朝一夕的事情，而是堅(jiān)持不懈的長(zhǎng)期的過(guò)程。十三、數(shù)形結(jié)合思想1數(shù)形結(jié)合思想的概念。數(shù)形結(jié)合思想就是通過(guò)數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決問(wèn)題的思想方法。數(shù)學(xué)是研究實(shí)現(xiàn)世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)和形之間是既對(duì)立又統(tǒng)一的關(guān)系，在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化。這里的數(shù)是指數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、數(shù)量關(guān)系式等，這里的形式是指幾何圖形和函數(shù)圖象。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，直角坐標(biāo)系的出現(xiàn)給幾何的研究帶來(lái)了新的工具，直角坐標(biāo)系與幾何圖形相結(jié)合，也就是把幾何圖形放在坐標(biāo)平面上，使得幾何圖形上的每個(gè)點(diǎn)都可以用直角坐標(biāo)系里的坐標(biāo)（有序?qū)崝?shù)對(duì)）來(lái)表示，這樣可以用代數(shù)的量化的運(yùn)算的方法來(lái)研究圖形的性質(zhì)，堪稱數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合思想的核心應(yīng)是代數(shù)與幾何的對(duì)立統(tǒng)一和完美結(jié)合，就是要善于把握什么時(shí)候運(yùn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題是最佳的、什么時(shí)候運(yùn)用幾何方法解決代數(shù)問(wèn)題是最佳的。如解決不等式和函數(shù)問(wèn)題有時(shí)用圖象解決非常簡(jiǎn)捷，幾何證明問(wèn)題在初中時(shí)難點(diǎn)，到高中運(yùn)用解析幾何的代數(shù)方法有時(shí)比較簡(jiǎn)便。2數(shù)形結(jié)合思想的重要意義。數(shù)形結(jié)合思想可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、使繁難的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)捷化，使得原本需要通過(guò)抽象思維解決的問(wèn)題，有時(shí)借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展和優(yōu)化解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形少數(shù)時(shí)難入微?！边@句話深刻地揭示了數(shù)形之間的辯證關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的重要性。眾所周知，小學(xué)生的邏輯思維能力還比較弱，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須面對(duì)數(shù)學(xué)的抽象性這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；教材的編排和課堂教學(xué)都在千方百計(jì)地使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成學(xué)生易于理解的方式呈現(xiàn)，借助數(shù)形結(jié)合思想中的圖形直觀手段，可以提供非常好的教學(xué)方法和解決方案。如從數(shù)的認(rèn)識(shí)、計(jì)算到比較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，經(jīng)常要借助圖形來(lái)理解和分析，也就是說(shuō)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)離不開形。另外，幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)，很多時(shí)候只憑直接觀察看不出什么規(guī)律和特點(diǎn)，這時(shí)就需要用數(shù)來(lái)表示，如一個(gè)角不是直角、兩條邊是否相等、周長(zhǎng)和面積是多少等。換句話說(shuō)，就是形也離不開數(shù)。因此，數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的意義尤為重大。3數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用大致分為兩種情形：一是借助于數(shù)的精確性、程序性和可操作性來(lái)闡明形的某些屬性，可稱之為“以數(shù)解形”；二是借助形的幾何直觀性來(lái)闡明某些概念及數(shù)之間的關(guān)系，可稱之為“以形助數(shù)”。數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）與幾何有關(guān)的知識(shí)，如三角函數(shù)、向量等；（5）概率統(tǒng)計(jì)的圖形表示；（6）在數(shù)軸上表示不等式的解集；（7）數(shù)量關(guān)系式具有一定的幾何意義，如=100t。數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)的四大領(lǐng)域知識(shí)的學(xué)習(xí)都有非常普遍和廣泛的應(yīng)用，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：一是利用“形”作為各種直觀工具幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí)、解決問(wèn)題，如從低年級(jí)借助直線認(rèn)識(shí)數(shù)的順序，到高年級(jí)的畫線段圖幫助學(xué)生理解實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系。二是數(shù)軸及平面直角坐標(biāo)系在小學(xué)的滲透，如數(shù)軸、位置、正反比例關(guān)系圖象等，使學(xué)生體會(huì)代數(shù)與幾何之間的聯(lián)系。這方面的應(yīng)用雖然比較淺顯，但這正是數(shù)形結(jié)合思想的重點(diǎn)所在，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)。三是統(tǒng)計(jì)圖本身和幾何概念模型都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，統(tǒng)計(jì)圖表把抽象的、枯燥的數(shù)據(jù)直觀地表示出來(lái)，便于分析和決策。四是用代數(shù)（算術(shù)）方法解決幾何問(wèn)題。如角度、周長(zhǎng)、面積和體積等的計(jì)算，通過(guò)計(jì)算三角形內(nèi)角的度數(shù)，可以知道它是什么樣的三角形等等。4數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)。數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，應(yīng)注意一些幾個(gè)問(wèn)題。第一，如何正確理解數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合中的形是數(shù)學(xué)意義上的形，是幾個(gè)圖形和圖象。有些老師往往容易把利用各種圖形作為直觀手段幫助學(xué)生理解知識(shí)，與數(shù)形結(jié)合思想中的“以形助數(shù)”混淆起來(lái)，彼“形”非此“形”，小學(xué)數(shù)學(xué)中實(shí)物和圖片作為理解抽象知識(shí)的直觀手段，很多時(shí)候是生活意義上的形，并不都是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，如61=7，可以通過(guò)擺各種實(shí)物和幾何圖形幫助學(xué)生理解加法的算理，這里的幾何圖片并不是數(shù)形結(jié)合的形，因?yàn)檫@里并不關(guān)心幾何圖片的形狀和大小，用什么形狀和大小的圖片都行，并沒(méi)有賦予圖片本身形狀和大小的量化的特征，甚至不用圖片用小棒等材料也能起到相同的作用，因而它更是生活中的形。如果結(jié)合數(shù)軸（低年級(jí)往往用類似于數(shù)軸的尺子或直線）來(lái)認(rèn)識(shí)數(shù)的順序和加法，那么就把數(shù)和形（數(shù)軸）建立了——對(duì)應(yīng)的關(guān)系，便于比較數(shù)的大小和進(jìn)行加減法計(jì)算，這是真正的數(shù)形結(jié)合。由于在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通過(guò)畫線段圖幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系是老師和學(xué)生都非常熟悉的內(nèi)容。因此在案例中不再出現(xiàn)這方面素材。案例1：……=分析：此題很難用小學(xué)算術(shù)的知識(shí)直接計(jì)算，因?yàn)樗袩o(wú)窮多個(gè)數(shù)相加，如果是有限個(gè)數(shù)相加，用等式的性質(zhì)進(jìn)行恒等變換可以計(jì)算。從題中數(shù)的特點(diǎn)來(lái)看，每一項(xiàng)的分子都是1，每一項(xiàng)的分母都是它前一項(xiàng)分母的2倍，或者說(shuō)第幾項(xiàng)的分母就是2的幾次方，第n項(xiàng)就是2的n次方。聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的計(jì)算可用幾何直觀圖表示，那么現(xiàn)在可構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)度或者面積是1的線段或者正方形，不妨構(gòu)造一個(gè)面積是1的正方形，如下圖所示。先取它的一半作為二分之一，再取余下的一半的一半作為四分之一，如此取下去……當(dāng)取的次數(shù)非常大時(shí)，余下部分的面積已經(jīng)非常小了，用極限的思想來(lái)看，當(dāng)取的次數(shù)趨向于無(wú)窮大時(shí)，余下部分的面積趨向于0，因而，最后取的面積就是1。也就是說(shuō)，上面算式的得數(shù)是1。第二，適當(dāng)拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用。數(shù)形結(jié)合思想中的以數(shù)解形在中學(xué)應(yīng)用的較多，小學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的就是計(jì)算圖形的周長(zhǎng)、面積和體積等內(nèi)容。除此之外，還可以創(chuàng)新求變，在小學(xué)幾何的范圍內(nèi)深入挖掘素材，在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展，豐富小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合思想。案例2：用兩個(gè)一樣的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形（腰等于前兩個(gè)直角三角形的斜邊），可以拼一個(gè)直角梯形，如下圖。如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、c，5、12、c，根據(jù)梯形的面積等于3個(gè)三角形的面積之和，比較每個(gè)直角三角形的兩個(gè)直角邊的平方和，與斜邊的平方之間的大小關(guān)系，你能發(fā)現(xiàn)什么如果直角三角形的邊長(zhǎng)分別是、b、c時(shí)，你又能發(fā)現(xiàn)什么分析：當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是3、4、c時(shí)，梯形的面積是：3＋4×3＋4÷2＝，3個(gè)三角形的面積和是：3×4÷2×2＋÷2＝，可得＝25，即＝＋。當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是5、12、c時(shí)，梯形的面積是：5＋12×5＋12÷2＝，3個(gè)三角形的面積和是：5×12÷2×2＋÷2＝，可得＝169，即＝＋。當(dāng)直角三角形的邊長(zhǎng)分別是、、時(shí)，也就是說(shuō)直角三角形的三條邊長(zhǎng)可以取任意不同的值的時(shí)候，仍然有梯形的面積等于3個(gè)三角形面積之和。梯形的面積是：＋×＋÷2，3個(gè)三角形的面積和是：×÷2×2＋÷2＝2＋÷2。＋×＋÷2＝[]÷2＝2÷2所以有2÷2＝2＋÷2，可得＝。根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果，由此得出一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。實(shí)際上這是美國(guó)第20任總統(tǒng)茄菲爾德發(fā)現(xiàn)的證明勾股定理的方法。這里有一個(gè)難點(diǎn)就是＋×＋的計(jì)算，這是中學(xué)的多項(xiàng)式乘法。在小學(xué)學(xué)習(xí)乘法分配律時(shí)已經(jīng)會(huì)計(jì)算＋）＝＋，那么計(jì)算＋×＋可以先把左邊的＋看作一個(gè)數(shù)，分別與右邊括號(hào)中的和相乘，再進(jìn)行計(jì)算。＋×＋＝＝＝2案例3：把兩個(gè)形狀和大小相同的長(zhǎng)方體月餅盒包裝成一包，怎樣包裝最省包裝紙分析：此題是小學(xué)數(shù)學(xué)比較典型的通過(guò)探索活動(dòng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的題目，一般情況下教師會(huì)給學(xué)生足夠的學(xué)具進(jìn)行操作，拼出幾種包裝方法，再通過(guò)計(jì)算比較表面積的大小找到最佳答案?，F(xiàn)在我們從代數(shù)思想出發(fā)，不用任何操作和具體數(shù)量的計(jì)算，一般性的，假設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為、、，并且＞＞（只要給出三個(gè)數(shù)的大小順序便可，誰(shuí)大誰(shuí)小并不影響用代數(shù)方法計(jì)算的過(guò)程和結(jié)論）。首先要明確的是，問(wèn)題所求怎樣包裝最省包裝紙，實(shí)際上就是求怎樣拼才能使拼成的大長(zhǎng)方體的表面積最小。每個(gè)長(zhǎng)方體有6個(gè)面，兩個(gè)長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體后仍然有6個(gè)面，但這6個(gè)面的面積是原來(lái)長(zhǎng)方體的10個(gè)面的面積，其中有兩個(gè)面是原來(lái)長(zhǎng)方體的面，另4個(gè)面分別是原來(lái)的相同的兩個(gè)面拼成的；也就是說(shuō)，大長(zhǎng)方體的表面積已經(jīng)不是原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的12個(gè)面的面積直接相加的和了，而是它們的和再減去拼在一起的兩個(gè)面的面積和。原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體的12個(gè)面的面積和是恒定不變的，因而大長(zhǎng)方體的面積的大小，取決于減去的（拼在一起的）兩個(gè)面的面積和的大小，減去的兩個(gè)面的面積和越大，大長(zhǎng)方體的表面積就越小。根據(jù)已知條件可知，＞＞，所以把最大的兩個(gè)側(cè)面貼在一起包裝最省包裝紙。列成公式為：S＝4＋＋－2。十四、極限思想1極限思想的概念。我們知道，在小學(xué)數(shù)學(xué)里有些問(wèn)題不是通過(guò)初等數(shù)學(xué)的方法解決的，如圓的面積，無(wú)法直接按照求長(zhǎng)方形面積的方法來(lái)計(jì)算，無(wú)法直接按照求長(zhǎng)方形面積的方法來(lái)計(jì)算。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽為了計(jì)算圓的面積和圓周率，曾經(jīng)創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，具體做法是：先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作內(nèi)接正十二邊形……隨著邊數(shù)的不斷增加，正多邊形越來(lái)越接近于圓，那么它的面積和周長(zhǎng)也越來(lái)越接近于圓的面積和周長(zhǎng)。劉徽在描述這種做法時(shí)說(shuō)“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”。也就是說(shuō)，隨著正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，圓內(nèi)接