第二十八章銳角三角函數(shù)第二十八章128.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形28.228.2.1解直角三角形2

新知1解直角三角形的常見類型及解法新知1解直角三角形的常見類型及解法3

續(xù)表續(xù)表4

注意：

1.在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角，再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，其中已知條件中至少有一個條件為邊.注意：5

【例1】（2014濱州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=

，tanA=

，則BC的長為（）

A.6

B.7.5

C.8

D.12.5

例題精講【例1】（2014濱州）在Rt△ACB中，∠6九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)27九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)28

1.如圖28-2-6，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=BD，連接AC，若tanB=，則tan∠CAD的值（）

舉一反三D1.如圖28-2-6，在直角9

2.如圖28-2-7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（）A2.如圖28-2-7，在△ABC中，∠BA10

新知2解直角三角形的常見解法

解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形中的邊角關(guān)系，同時要注意運用勾股定理、代數(shù)式的變形及方程思想.解非直角三角形時，一定要通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)換為直角三角形問題.新知2解直角三角形的常見解法11

注意：

1.熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念，靈活運用特殊三角函數(shù)值來解決相關(guān)計算、求直角三角形的邊和角等問題，并能根據(jù)實際情況構(gòu)造出直角三角形，從而解決問題.

2.解答有關(guān)斜角問題時，能靈活地將其轉(zhuǎn)換為易解答的直角三角形問題求解.注意：12

【例2】如圖28-2-8，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）

A.3

B.4

C.5

D.6

例題精講【例2】如圖28-2-8，已知∠AOB=6013

解析

過點P作PD⊥OB，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點，根據(jù)MN求出MD的長，由OD-MD即可求出OM的長.解析過點P作PD⊥OB，交OB于點D14

過P作PD⊥OB，交OB于點D，如圖28-2-9所示，

在Rt△OPD中，cos60°=，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD-MD=6-1=5.

答案

C過P作PD⊥OB，交15

1.如圖28-2-10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D，AB=c，∠A=α，則CD長為（）

A.c·sin2α

B.c·cos2α

C.c·sinα·tanα

D.c·sinα·cosα

舉一反三D1.如圖28-2-10，在Rt△ABC中，∠A16

2.如圖28-2-11，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則tan∠BDE的值等于（）C2.如圖28-2-11，在△ABC中，AB=A17

3.已知：如圖28-2-12，△ABC中，AC＝10，sinC=,sinB=

,求AB.3.已知：如圖28-2-12，△ABC中，AC18九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)219

1.解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形中除直角外的五個元素（三條邊和兩個銳角）之間的關(guān)系，同時還要注意運用勾股定理，代數(shù)式的變形及方法思想.

2.解非直角三角形時，一定要通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，將之轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.

方法規(guī)律1.解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三20

7.(6分)如圖KT28-2-4,在△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c,且b=,∠A的平分線AD=,解這個直角三角形.7.(6分)如圖KT28-2-4,在△AB21九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)222

8.（6分）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.如圖KT28-2-5，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220kmB處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15km/h的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變.若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響.8.（6分）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中23

(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由.

(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?

(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明24

解：（1）該城市受到此次臺風(fēng)影響，理由如下：如答圖28-2-2所示，作AD⊥BC于點D，在直角三角形ABD中，AD=AB·sin30°=AB=

×220=110km，臺風(fēng)中心與城市A的最近距離為110km，城市A恰好受臺風(fēng)影響時，城市所受風(fēng)力為4級，距離恰好為（12-4）×20=160km．

因為160km＞110km，所以該城市受到此次臺風(fēng)影響．解：（1）該城市受到此次臺風(fēng)影響，理由如下：25九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)226九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)227

（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12-＝6.5（級）．（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的28

7.(6分)如圖KT28-2-11，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i=1∶，山坡上E點處有一涼亭，測得假山坡腳C與建筑物水平距離BC=25m，與涼亭距離CE=20m，某人從建筑物頂端測得E點的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）7.(6分)如圖KT28-2-11，29九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)230九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)231

8.(6分)如圖KT28-2-12所示，某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6m到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）8.(6分)如圖KT28-32解：如答圖28-2-4所示，過點D作DG⊥BC于點G,DH⊥CE于點H，則四邊形DHCG為矩形．故DG=CH，CG=DH，在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=3∴CG=3.解：如答圖28-2-4所示，33九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)2341、聰明的人有長的耳朵和短的舌頭?！トR格2、重復(fù)是學(xué)習(xí)之母?！掖雀?、當(dāng)你還不能對自己說今天學(xué)到了什么東西時，你就不要去睡覺。——利希頓堡4、人天天都學(xué)到一點東西，而往往所學(xué)到的是發(fā)現(xiàn)昨日學(xué)到的是錯的?！狟.V5、學(xué)到很多東西的訣竅，就是一下子不要學(xué)很多?！蹇?、學(xué)問是異常珍貴的東西，從任何源泉吸收都不可恥。——阿卜·日·法拉茲7、學(xué)習(xí)是勞動，是充滿思想的勞動?！獮跎晁够?、聰明出于勤奮，天才在于積累－－華羅庚9、好學(xué)而不勤問非真好學(xué)者。10、書山有路勤為徑，學(xué)海無涯苦作舟。11、人的大腦和肢體一樣，多用則靈，不用則廢－茅以升12、你想成為幸福的人嗎？但愿你首先學(xué)會吃得起苦－－屠格涅夫13、成功＝艱苦勞動＋正確方法＋少說空話－－愛因斯坦14、不經(jīng)歷風(fēng)雨，怎能見彩虹－《真心英雄》15、只有登上山頂，才能看到那邊的風(fēng)光。16只會幻想而不行動的人，永遠(yuǎn)也體會不到收獲果實時的喜悅。17、勤奮是你生命的密碼，能譯出你一部壯麗的史詩。18．成功，往往住在失敗的隔壁！19生命不是要超越別人，而是要超越自己．20．命運是那些懦弱和認(rèn)命的人發(fā)明的?。?．人生最大的喜悅是每個人都說你做不到，你卻完成它了?。?．世界上大部分的事情，都是覺得不太舒服的人做出來的．２3．昨天是失效的支票，明天是未兌現(xiàn)的支票，今天才是現(xiàn)金．２4．一直割舍不下一件事，永遠(yuǎn)成不了!２5．掃地，要連心地一起掃?。?．不為模糊不清的未來擔(dān)憂，只為清清楚楚的現(xiàn)在努力．２7．當(dāng)你停止嘗試時，就是失敗的時候．２8．心靈激情不在，就可能被打?。?．凡事不要說＂我不會＂或＂不可能＂，因為你根本還沒有去做！３0．成功不是靠夢想和希望，而是靠努力和實踐．３1．只有在天空最暗的時候，才可以看到天上的星星．３2．上帝說：你要什么便取什么，但是要付出相當(dāng)?shù)拇鷥r．３3．現(xiàn)在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移動。３4．寧可辛苦一陣子，不要苦一輩子．３5．為成功找方法，不為失敗找借口．３6．不斷反思自己的弱點，是讓自己獲得更好成功的優(yōu)良習(xí)慣。３7．垃圾桶哲學(xué)：別人不要做的事，我揀來做?。?．不一定要做最大的，但要做最好的．３9．死的方式由上帝決定，活的方式由自己決定?。?．成功是動詞，不是名詞！20、不要只會吃奶，要學(xué)會吃干糧，尤其是粗茶淡飯。1、聰明的人有長的耳朵和短的舌頭。——弗萊格35第二十八章銳角三角函數(shù)第二十八章3628.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形28.228.2.1解直角三角形37

新知1解直角三角形的常見類型及解法新知1解直角三角形的常見類型及解法38

續(xù)表續(xù)表39

注意：

1.在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角，再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，其中已知條件中至少有一個條件為邊.注意：40

【例1】（2014濱州）在Rt△ACB中，∠C=90°，AB=10，sinA=，cosA=

，tanA=

，則BC的長為（）

A.6

B.7.5

C.8

D.12.5

例題精講【例1】（2014濱州）在Rt△ACB中，∠41九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)242九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)243

1.如圖28-2-6，在直角△BAD中，延長斜邊BD到點C，使DC=BD，連接AC，若tanB=，則tan∠CAD的值（）

舉一反三D1.如圖28-2-6，在直角44

2.如圖28-2-7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為邊AC的中點，DE⊥BC于點E，連接BD，則tan∠DBC的值為（）A2.如圖28-2-7，在△ABC中，∠BA45

新知2解直角三角形的常見解法

解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形中的邊角關(guān)系，同時要注意運用勾股定理、代數(shù)式的變形及方程思想.解非直角三角形時，一定要通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)換為直角三角形問題.新知2解直角三角形的常見解法46

注意：

1.熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念，靈活運用特殊三角函數(shù)值來解決相關(guān)計算、求直角三角形的邊和角等問題，并能根據(jù)實際情況構(gòu)造出直角三角形，從而解決問題.

2.解答有關(guān)斜角問題時，能靈活地將其轉(zhuǎn)換為易解答的直角三角形問題求解.注意：47

【例2】如圖28-2-8，已知∠AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）

A.3

B.4

C.5

D.6

例題精講【例2】如圖28-2-8，已知∠AOB=6048

解析

過點P作PD⊥OB，交OB于點D，在直角三角形POD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OD的長，再由PM=PN，利用三線合一得到D為MN中點，根據(jù)MN求出MD的長，由OD-MD即可求出OM的長.解析過點P作PD⊥OB，交OB于點D49

過P作PD⊥OB，交OB于點D，如圖28-2-9所示，

在Rt△OPD中，cos60°=，OP=12，∴OD=6，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴OM=OD-MD=6-1=5.

答案

C過P作PD⊥OB，交50

1.如圖28-2-10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點D，AB=c，∠A=α，則CD長為（）

A.c·sin2α

B.c·cos2α

C.c·sinα·tanα

D.c·sinα·cosα

舉一反三D1.如圖28-2-10，在Rt△ABC中，∠A51

2.如圖28-2-11，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，點D為BC的中點，DE⊥AB于點E，則tan∠BDE的值等于（）C2.如圖28-2-11，在△ABC中，AB=A52

3.已知：如圖28-2-12，△ABC中，AC＝10，sinC=,sinB=

,求AB.3.已知：如圖28-2-12，△ABC中，AC53九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)254

1.解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三角形中除直角外的五個元素（三條邊和兩個銳角）之間的關(guān)系，同時還要注意運用勾股定理，代數(shù)式的變形及方法思想.

2.解非直角三角形時，一定要通過作輔助線構(gòu)造出直角三角形，將之轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.

方法規(guī)律1.解直角三角形問題，關(guān)鍵是正確運用直角三55

7.(6分)如圖KT28-2-4,在△ABC中,∠C=90°,∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c,且b=,∠A的平分線AD=,解這個直角三角形.7.(6分)如圖KT28-2-4,在△AB56九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)257

8.（6分）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.如圖KT28-2-5，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220kmB處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠(yuǎn)離臺風(fēng)中心20km，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15km/h的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變.若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響.8.（6分）臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中58

(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由.

(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?

(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明59

解：（1）該城市受到此次臺風(fēng)影響，理由如下：如答圖28-2-2所示，作AD⊥BC于點D，在直角三角形ABD中，AD=AB·sin30°=AB=

×220=110km，臺風(fēng)中心與城市A的最近距離為110km，城市A恰好受臺風(fēng)影響時，城市所受風(fēng)力為4級，距離恰好為（12-4）×20=160km．

因為160km＞110km，所以該城市受到此次臺風(fēng)影響．解：（1）該城市受到此次臺風(fēng)影響，理由如下：60九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)261九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)262

（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為12-＝6.5（級）．（3）當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的63

7.(6分)如圖KT28-2-11，建筑物AB后有一座假山，其坡度為i=1∶，山坡上E點處有一涼亭，測得假山坡腳C與建筑物水平距離BC=25m，與涼亭距離CE=20m，某人從建筑物頂端測得E點的俯角為45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比）7.(6分)如圖KT28-2-11，64九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)265九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)266

8.(6分)如圖KT28-2-12所示，某數(shù)學(xué)活動小組選定測量小河對岸大樹BC的高度，他們在斜坡上D處測得大樹頂端B的仰角是30°，朝大樹方向下坡走6m到達坡底A處，在A處測得大樹頂端B的仰角是48°，若坡角∠FAE=30°，求大樹的高度.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）8.(6分)如圖KT28-67解：如答圖28-2-4所示，過點D作DG⊥BC于點G,DH⊥CE于點H，則四邊形DHCG為矩形．故DG=CH，CG=DH，在Rt△AHD中，∵∠DAH=30°，AD=6，∴DH=3，AH=3∴CG=3.解：如答圖28-2-4所示，68九年級數(shù)學(xué)下冊(人教版)課件：第28章銳角三角函數(shù)(5份打包)2691、聰明的人有長的耳朵和短的舌頭。——弗萊格2、重復(fù)是學(xué)習(xí)之