第三章理論分布與抽樣分布為了便于理解統(tǒng)計(jì)分析的基本原理，正確掌握和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析方法，本章在介紹概率論中最基本的兩個(gè)概念－事件、概率的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹科學(xué)研究中常用的幾種隨機(jī)變量的概率分布－正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、波松分布以及樣本平均數(shù)的抽樣分布和t分布。下一張

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第三章理論分布與抽樣分布為了便于理解統(tǒng)計(jì)分析11事件與概率1.1事件1.1.1必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象

在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會(huì)觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類：下一張

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1事件與概率1.1事件下一張主頁退2必然現(xiàn)象：可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生的（或必然不發(fā)生）。這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象（inevitablephenomena）或確定性現(xiàn)象（definitephenomena）。隨機(jī)現(xiàn)象：另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果未必相同。這類在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象（randomphenomena）或不確定性現(xiàn)象（indefinitephenomena）。下一張

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必然現(xiàn)象：可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行3隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)：在一定的條件實(shí)現(xiàn)時(shí)，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對(duì)一次或少數(shù)幾次觀察或試驗(yàn)而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性；但在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的、特定的規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。下一張

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隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)：下一張主41.1.2隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件1隨機(jī)試驗(yàn)通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對(duì)自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)（trial）。當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述三個(gè)特性，則稱其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)（randomtrial），簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。下一張

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1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件下一張主頁退出5（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。下一張

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（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；下一張主62隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（randomevent），簡(jiǎn)稱事件(event），通常用A、B、C等來表示。（1）基本事件

我們把不能再分的事件稱為基本事件（elementaryevent），也稱為樣本點(diǎn)（samplepoint）。下一張

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2隨機(jī)事件下一張主頁退出上一張7

例如，從編號(hào)為1、2、3、…、10的十個(gè)籃球中隨機(jī)抽取1個(gè)籃球，有10種不同的可能結(jié)果：“取得一個(gè)編號(hào)是1”、“取得一個(gè)編號(hào)是2”、…、“取得一個(gè)編號(hào)是10”，這10個(gè)事件都是不可能再分的事件，它們都是基本事件。由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件（compoundevent）。如“取得一個(gè)編號(hào)是2的倍數(shù)”是一個(gè)復(fù)合事件，它由“取得一個(gè)編號(hào)是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5個(gè)基本事件組合而成。下一張

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例如，從編號(hào)為1、2、3、…、10的十個(gè)籃球中8

（2）必然事件

把在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件（certainevent），用Ω表示。例如，一個(gè)大氣壓下，水加熱到100C，水會(huì)沸騰；種瓜得瓜、種豆得豆下一張

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（3）不可能事件

在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件（impossibleevent），用ф表示。例如，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出小雞，就是一個(gè)不可能事件。

必然事件與不可能事件實(shí)際上是確定性現(xiàn)象，它們不是隨機(jī)事件，但是為了方便起見，我們把它們看作為兩個(gè)特殊的隨機(jī)事件。（2）必然事件下一張主頁退出上一91.2概率1.2.1概率統(tǒng)計(jì)定義研究隨機(jī)試驗(yàn)，僅知道可能發(fā)生哪些隨機(jī)事件是不夠的，還需了解各種隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，以揭示這些事件的內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，從而指導(dǎo)實(shí)踐。這就要求有一個(gè)能夠刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)，這個(gè)指標(biāo)應(yīng)該是事件本身所固有的，且不隨人的主觀意志而改變，人們稱之為概率（probability）。事件A的概率記為P（A）。下一張

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概率：刻劃事件發(fā)生可能性大小的數(shù)量指標(biāo)1.2概率下一張主頁退出上一張概率：10

概率統(tǒng)計(jì)定義：

在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的次數(shù)為m，那么m/n稱為隨機(jī)事件A的頻率（frequency）；當(dāng)試驗(yàn)重復(fù)數(shù)n逐漸增大時(shí)，隨機(jī)事件A的頻率越來越穩(wěn)定地接近某一數(shù)值p，那么就把p稱為隨機(jī)事件A的概率。下一張

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如此定義的概率稱為統(tǒng)計(jì)概率（statisticsprobability），或者稱后驗(yàn)概率（posteriorprobability）。概率統(tǒng)計(jì)定義：在相同條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事11

表3-1拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗(yàn)記錄下一張

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例如為了確定拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面朝上這個(gè)事件的概率，歷史上有人作過成千上萬次拋擲硬幣的試驗(yàn)。在表3—1中列出了他們的試驗(yàn)記錄。表3-1拋擲一枚硬幣發(fā)生正面朝上的試驗(yàn)記錄下一張12從表3-1可看出，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，正面朝上這個(gè)事件發(fā)生的頻率越來越穩(wěn)定地接近0.5，我們就把0.5作為這個(gè)事件的概率。在一般情況下，隨機(jī)事件的概率p是不可能準(zhǔn)確得到的。通常以試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)隨機(jī)事件A的頻率作為該隨機(jī)事件概率的近似值。即P（A）=p≈m/n（n充分大）（3-1）下一張

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從表3-1可看出，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增多，正面朝上這131.2.2概率的性質(zhì)

（1）對(duì)于任何事件A，有0≤P（A）≤1；（2）必然事件的概率為1，即P（Ω）=1；（3）不可能事件的概率為0，即P（ф）=0。1.2.2概率的性質(zhì)142概率分布事件的概率表示了一次試驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小。若要全面了解試驗(yàn)，則必須知道試驗(yàn)的全部可能結(jié)果及各種可能結(jié)果發(fā)生的概率，即必須知道隨機(jī)試驗(yàn)的概率分布(probabilitydistribution)。為了深入研究隨機(jī)試驗(yàn)，我們先引入隨機(jī)變量(randomvariable)的概念。下一張

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2概率分布事件的概率表示了一次試驗(yàn)?zāi)骋粋€(gè)152.1隨機(jī)變量

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2004年奶粉事件“大頭娃”描述隨機(jī)事件的變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的取值在一次試驗(yàn)前不能確定，具有隨機(jī)性。作一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個(gè)數(shù)來表示，把這些數(shù)作為變量x的取值，則試驗(yàn)結(jié)果可用變量x來表示?！纠繉?duì)10種品牌袋裝奶粉進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，其可能結(jié)果是“0種合格”、“1種合格”、“2種合格”、“…”、“10種袋裝奶粉都合格”。若用x表示袋裝奶粉合格品牌數(shù)，則x的取值為0、1、2、…、10。2.1隨機(jī)變量下一張主頁退出上一張16【例】食品加工中高溫殺菌可能結(jié)果只有兩種，即“全部殺死細(xì)菌”與“未能全部殺死細(xì)菌”。若用變量x表示試驗(yàn)的兩種結(jié)果，則可令x=0表示“未能全部殺死細(xì)菌”，x=1表示“全部殺死細(xì)菌”?！纠繙y(cè)定關(guān)中地區(qū)不同小麥品種的蛋白質(zhì)含量，其蛋白質(zhì)含量在9.3-13.5％之間，如用x表示測(cè)定結(jié)果，那么x值可以是這個(gè)范圍內(nèi)的任何實(shí)數(shù)。下一張

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【例】食品加工中高溫殺菌可能結(jié)果只有兩種，即“全部殺死細(xì)17離散型隨機(jī)變量：如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值為可列個(gè)，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱x為離散型隨機(jī)變量(discreterandomvariable)；連續(xù)型隨機(jī)變量：如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能取值為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且x在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量(continuousrandomvariable)。

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試驗(yàn)結(jié)果和取此結(jié)果的概率可以一一列出。不能列出試驗(yàn)結(jié)果和取此結(jié)果的概率，只能給出一定范圍和在此范圍內(nèi)取值的概率。離散型隨機(jī)變量：如果表示試驗(yàn)結(jié)果的變量x，其可能182.2離散型隨機(jī)變量的概率分布要了解離散型隨機(jī)變量x的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，就必須知道它的一切可能值xi及取每種可能值的概率pi。如果我們將離散型隨機(jī)變量x的一切可能取值xi

(i=1,2,…)，及其對(duì)應(yīng)的概率pi，記作P(x=xi)=pi

i=1,2,…(3—3)則稱（3—3）式為離散型隨機(jī)變量x的概率分布或分布。常用分布列(distributionseries)來表示：下一張

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2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布下一張主頁退出19x1x2…xn….p1p2…pn…從分布列可以一目了然看出隨機(jī)變量X的可能取值及取這些值的概率。離散型隨機(jī)變量的概率分布具有pi≥0和Σpi=1這兩個(gè)基本性質(zhì)。2.3連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布

連續(xù)型隨機(jī)變量(如身高、體重等)的概率分布不能用分布列來表示，因?yàn)槠淇赡苋≈凳遣豢蓴?shù)的，不能一一列出。改用隨機(jī)變量x在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率P(a≤x<b)來表示。下面通過頻率分布密度曲線予以說明。下一張

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x1x2…xn….下一張主20

圖4—1為數(shù)據(jù)資料的頻率分布直方圖，圖中縱座標(biāo)取頻率與組距的比值。可以設(shè)想，如果樣本取得越來越大(n→+∞)，組分得越來越細(xì)(i→0)，某一范圍內(nèi)的頻率將趨近于一個(gè)穩(wěn)定值－概率。這時(shí)，頻率分布直方圖各個(gè)直方上端中點(diǎn)的連線－頻率分布折線將逐漸趨向于一條曲線。下一張

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圖4—1為數(shù)據(jù)資料的頻率分布直方圖，圖中縱座標(biāo)取頻21當(dāng)n→+∞、i→0時(shí)，頻率分布折線的極限是一條穩(wěn)定的函數(shù)曲線。對(duì)于樣本是取自連續(xù)型隨機(jī)變量的情況，這條函數(shù)曲線將是光滑的。這條曲線排除了抽樣和測(cè)量的誤差，完全反映了數(shù)據(jù)資料的變動(dòng)規(guī)律。這條曲線叫概率分布密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)叫概率分布密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱分布密度。下一張

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當(dāng)n→+∞、i→0時(shí)，頻率分布折線的極限是一條穩(wěn)定22

(3—4)式為連續(xù)型隨機(jī)變量x在區(qū)間[a,b）上取值概率的表達(dá)式。可見，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率由概率分布密度函數(shù)確定。若變量X概率分布密度函數(shù)記為f(x)，則x取值于區(qū)間[a,b）的概率為圖中陰影部分的面積，即P(a≤x<b)=(3-4)(3—4)式為連續(xù)型隨機(jī)變量23連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)：1、分布密度函數(shù)總是大于或等于0，即f(x)≥0；2、當(dāng)隨機(jī)變量x取某一特定值時(shí)，其概率等于0；即(c為任意實(shí)數(shù))

所以，對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，僅研究其在某一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，而不去討論取某一個(gè)值（點(diǎn)）的概率。下一張

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連續(xù)型隨機(jī)變量某一點(diǎn)的概率為0。連續(xù)型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)：下一張主243、隨機(jī)變量x取值在-∞＜x＜+∞范圍內(nèi)，所以下一張

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(3-5)(3—5)式表示分布密度曲線與橫軸所圍成的區(qū)間全部面積為1。P(a≤x<b)=4、隨機(jī)變量X取〔a，b）區(qū)間值的概率為：3、隨機(jī)變量x取值在-∞＜x＜+∞范圍內(nèi)，所以下一張253理論分布

3.1二項(xiàng)分布3.1.1貝努利試驗(yàn)及其概率公式貝努利試驗(yàn)：對(duì)于n次獨(dú)立的試驗(yàn)，如果每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)且只出現(xiàn)對(duì)立事件A與之一，在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)A的概率是常數(shù)p(0<p<1)，因而出現(xiàn)對(duì)立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)(Bernoullitrials)。

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重要的離散型分布只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)稱為貝努利試驗(yàn)食品抽樣中，產(chǎn)品合格或不合格，種子發(fā)芽或不發(fā)芽，施藥后害蟲死或活等等。3理論分布3.1二項(xiàng)分布下一張主頁退26貝努利試驗(yàn)的概率公式

在貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，用隨機(jī)變量x表示貝努利試驗(yàn)的兩種結(jié)果，記A發(fā)生時(shí)取1，A不發(fā)生時(shí)取0。那么，貝努利試驗(yàn)的概率公式可以表示為：P（x＝1）＝pP（x＝0）＝q其中x＝1，A事件發(fā)生，成功0，A事件未發(fā)生，失敗也稱為兩點(diǎn)分布（3-6）貝努利試驗(yàn)的概率公式在貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生27在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0，1，2，…，n次，現(xiàn)在我們來求事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。事件A在n次試驗(yàn)中正好發(fā)生k次共有種情況。由貝努利試驗(yàn)的獨(dú)立性可知，A在k次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生，而在其余n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率為下一張

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3.1.2二項(xiàng)分布的定義及其特點(diǎn)在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A可能發(fā)生0，1，2，…，n次，28一般，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為下一張

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k=0,1,2…，n(3-7)若把(3-7)式與二項(xiàng)展開式相比較就可以發(fā)現(xiàn)，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項(xiàng)，所以也把(3-7)式稱作二項(xiàng)概率公式。一般，在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0291.二項(xiàng)分布定義

設(shè)隨機(jī)變量x所有可能取的值為零和正整數(shù)：0,1,2,…，n，且有=k=0,1,2…，n其中p＞0，q＞0，p+q=1，則稱隨機(jī)變量x服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布(binomialdistribution)，記為x～B(n，p)。下一張

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二項(xiàng)分布是一種離散型隨機(jī)變量的概率分布。參數(shù)n稱為離散參數(shù)，只能取正整數(shù)；p是連續(xù)參數(shù)，它能取0與1之間的任何數(shù)值(q由p確定，故不是另一個(gè)獨(dú)立參數(shù))。1.二項(xiàng)分布定義下一張主頁退出上一張二30下一張

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(3-10)（5）（3）（4）(3-8)(3-9)（m1<m2）2.二項(xiàng)分布的特點(diǎn)具有概率分布的一切性質(zhì)，即：（1）P(x=k)=Pn(k)≥0(k=0,1,…，n)（2）二項(xiàng)分布的概率之和等于1，即下一張主頁退出上一張(3-10)（5）（331圖3-1n值不同的二項(xiàng)分布比較圖3-1n值不同的二項(xiàng)分布比較32（2）當(dāng)p值趨于0.5時(shí)，分布趨于對(duì)稱，如圖所示；（3）對(duì)于固定的n及p，當(dāng)k增加時(shí)，Pn(k)先隨之增加并達(dá)到其極大值，以后又下降。（4）在n較大，np、nq較接近時(shí)，二項(xiàng)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)n→∞時(shí)，二項(xiàng)分布的極限分布是正態(tài)分布。下一張

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二項(xiàng)分布由n和p兩個(gè)參數(shù)決定，其特點(diǎn)是：（1）當(dāng)p值較小且n不大時(shí)，分布是偏倚的。但隨著n的增大，分布逐漸趨于對(duì)稱，如圖所示；（2）當(dāng)p值趨于0.5時(shí)，分布趨33圖3-2p值不同的二項(xiàng)分布比較圖3-2p值不同的二項(xiàng)分布比較343.1.3二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及應(yīng)用條件（1）已知隨機(jī)變量x～B(n，p)，求x正好有k次發(fā)生的概率?！纠齪43】有一批食品，其合格率為0.85，今在該批食品中隨機(jī)抽取6份該食品，求正好有5份食品合格的概率？由題意可知，食品抽檢結(jié)果有兩種可能，合格與不合格，合格率為0.85，即P(A)=0.85，相應(yīng)不合格率為P（）＝1-0.85＝0.15，由概率公式得，正好有5個(gè)合格產(chǎn)品的概率為：下一張

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3.1.3二項(xiàng)分布的概率計(jì)算及應(yīng)用條件下一張主頁35（2）已知隨機(jī)變量x～B(n，p)，求x最多發(fā)生k次的概率。例：同上例，問最多有4個(gè)合格的概率是多少？當(dāng)產(chǎn)品最多有k個(gè)合格時(shí)，即可能的合格數(shù)為0，1，2，…，k，那么為最多有k個(gè)合格產(chǎn)品的概率。在本例中，下一張

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（2）已知隨機(jī)變量x～B(n，p)，求x最多發(fā)生k次的36二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件：（1）各觀察單位只具有相互對(duì)立的一種結(jié)果，如合格或不合格，生存或死亡等等，非此即彼；（2）已知發(fā)生某一結(jié)果(如死亡)的概率為p，其對(duì)立結(jié)果的概率則為1-P=q，實(shí)際中要求p是從大量觀察中獲得的比較穩(wěn)定的數(shù)值；（3）n次觀察結(jié)果互相獨(dú)立，即每個(gè)觀察單位的觀察結(jié)果不會(huì)影響到其它觀察單位的觀察結(jié)果。下一張

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二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件：下一張主頁退出373.1.4二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計(jì)學(xué)證明，服從二項(xiàng)分布B(n,p)的隨機(jī)變量x的平均數(shù)μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ與參數(shù)n、p有如下關(guān)系。設(shè)x～B(n，p)，那么，二項(xiàng)分布的總體特征數(shù)為：

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均值μ=np標(biāo)準(zhǔn)差σ=方差σ2=npq3.1.4二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差下一張主頁退38

當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果以事件A發(fā)生的頻率k／n表示時(shí)

也稱為總體百分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，當(dāng)p未知時(shí)，常以樣本百分?jǐn)?shù)來估計(jì)。此時(shí)式改寫為：

=稱為樣本百分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。下一張

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下一張主頁退出上一張393.2波松分布（Poisson）波松分布是一種可以用來描述和分析隨機(jī)地發(fā)生在單位空間或時(shí)間里的稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量n必須很大。

所謂稀有事件即是小概率事件。在生物、醫(yī)學(xué)等研究中，服從波松分布的隨機(jī)變量也是常見的。例如，正常生產(chǎn)線中單位事件生產(chǎn)出不合格產(chǎn)品個(gè)數(shù)，單位事件內(nèi)機(jī)器出現(xiàn)故障的次數(shù)，每升飲水中大腸桿菌數(shù)，計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù)，一批香腸中含有毛發(fā)的香腸數(shù)，1000袋面粉中含有金屬物的袋數(shù)等等，都是服從或近似服從波松分布的。下一張

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3.2波松分布（Poisson）波松分布是403.2.1波松分布的定義若隨機(jī)變量x(x=k)所有可能取值是非負(fù)整數(shù)，且其概率分布為

其中λ＞0；e=2.7182…，則稱x服從參數(shù)為λ的波松分布(Poisson‘sdistribution)，記為x～P(λ)。下一張

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k=0，1，……3.2.1波松分布的定義下一張主頁退出上一41λ是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對(duì)稱(如圖所示)。當(dāng)λ=20時(shí)分布接近于正態(tài)分布；當(dāng)λ=50時(shí)，可以認(rèn)為波松分布呈正態(tài)分布。所以在實(shí)際工作中，當(dāng)λ≥20時(shí)就可以用正態(tài)分布來近似地處理波松分布的問題。3.2.2波松分布重要的特征波松分布為離散型隨機(jī)變量的概率分布，其平均數(shù)和方差相等，都等于常數(shù)λ，即μ=σ2=λλ是波松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小分42圖3-3不同λ的泊松分布圖3-3不同λ的泊松分布433.2.3波松分布的概率計(jì)算由波松分布的概率計(jì)算公式可以看出，依賴于參數(shù)λ的確定，只要參數(shù)λ確定了，把k=0，1，2，…代入即可求得各項(xiàng)的概率。但是在大多數(shù)服從波松分布的實(shí)例中，分布參數(shù)λ往往是未知的，只能從所觀察的隨機(jī)樣本中計(jì)算出相應(yīng)的樣本平均數(shù)作為λ的估計(jì)值，將其代替計(jì)算公式中的λ，計(jì)算出k=0，1，2，…時(shí)的各項(xiàng)概率。下一張

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3.2.3波松分布的概率計(jì)算下一張主頁退出44【例3-6】為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫升飲用水中細(xì)菌數(shù)，共得400個(gè)記錄如下：試分析飲用水中細(xì)菌數(shù)的分布是否服從波松分布。若服從，按波松分布計(jì)算每毫升水中細(xì)菌數(shù)的概率及理論次數(shù)并將頻率分布與波松分布作直觀比較。下一張

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【例3-6】為監(jiān)測(cè)飲用水的污染情況，現(xiàn)檢驗(yàn)?zāi)成鐓^(qū)每毫45經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)=0.500,方差S2=0.496。兩者很接近，故可認(rèn)為每毫升水中細(xì)菌數(shù)服從波松分布。以=0.500代替λ，得(k=0,1,2…)計(jì)算結(jié)果如表所示。下一張

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經(jīng)計(jì)算得每毫升水中平均細(xì)菌數(shù)=0.5046細(xì)菌數(shù)的波松分布可見細(xì)菌數(shù)的頻率分布與λ=0.5的波松分布是相當(dāng)吻合的，進(jìn)一步說明用波松分布描述單位容積(或面積)中細(xì)菌數(shù)的分布是適宜的。下一張

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細(xì)菌數(shù)的波松分布下一張主頁退出上一張47注意，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是波松分布的應(yīng)用條件。比如二項(xiàng)分布要求n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，這也是波松分布的要求。然而一些具有傳染性的罕見疾病的發(fā)病數(shù)，因?yàn)槭桌l(fā)生之后可成為傳染源，會(huì)影響到后續(xù)病例的發(fā)生，所以不符合波松分布的應(yīng)用條件。對(duì)于在單位時(shí)間、單位面積或單位容積內(nèi)，所觀察的稀有事件由于某些原因分布不隨機(jī)時(shí)，如細(xì)菌在牛奶中成集落存在時(shí)，不呈波松分布，不能用波松分布來描述其發(fā)生規(guī)律。下一張

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注意，二項(xiàng)分布的應(yīng)用條件也是波松分布下一張主483.3正態(tài)分布（normaldistribution）

正態(tài)分布是一種很重要的連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。自然現(xiàn)象中有許多變量是服從或近似服從正態(tài)分布的。如食品中各種成分的含量、有害物質(zhì)殘留量、瓶裝食品的重量、分析測(cè)定過程中的隨機(jī)誤差等等。許多統(tǒng)計(jì)分析方法都是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。此外，還有不少隨機(jī)變量的概率分布在一定條件下以正態(tài)分布為其極限分布。因此在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，正態(tài)分布無論在理論研究上還是實(shí)際應(yīng)用中，均占有十分重要的地位。

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3.3正態(tài)分布（normaldistribution）493.3.1正態(tài)分布的定義及其特征1.正態(tài)分布的定義

若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率分布密度函數(shù)為

其中μ為平均數(shù)，σ2為方差，則稱隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布，記為x～N(μ,σ2)。相應(yīng)的概率分布函數(shù)為

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(3-12)(3-11)3.3.1正態(tài)分布的定義及其特征下一張主頁退50分布密度曲線如圖3-4所示。圖3-4正態(tài)分布密度（函數(shù)）曲線分布密度曲線如圖3-4所示。圖3-4正態(tài)分布密度（函512.正態(tài)分布的特征（1）正態(tài)分布密度曲線是單峰、對(duì)稱的懸鐘形曲線，對(duì)稱軸為x=μ；（2）f(x)在x=μ處達(dá)到極大，極大值（3）f(x)是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從-∞至+∞；下一張

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；2.正態(tài)分布的特征下一張主頁退出上52（4）曲線在x=μ±σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞)區(qū)間上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]區(qū)間內(nèi)是上凸的；（5）正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即平均數(shù)μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ。μ是位置參數(shù)，如圖3—5所示。當(dāng)σ恒定時(shí)，μ愈大，則曲線沿x軸愈向右移動(dòng)；反之，μ愈小，曲線沿x軸愈向左移動(dòng)。σ是形狀參數(shù)，如圖3—6所示。當(dāng)μ恒定時(shí)，σ愈大，表示x的取值愈分散，曲線愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲線愈“瘦”。下一張

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（4）曲線在x=μ±σ處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即曲線在(-∞,μ-53圖3-5σ相同而μ不同的3個(gè)正態(tài)分布比較圖3-5σ相同而μ不同的3個(gè)正態(tài)分布比較54圖3-6μ相同而σ不同的3個(gè)正態(tài)分布比較大圖3-6μ相同而σ不同的3個(gè)正態(tài)分布比較大55（6）分布密度曲線與橫軸所圍成的區(qū)間面積為1，即：下一張

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（7）正態(tài)分布的次數(shù)多數(shù)集中在平均數(shù)μ的附近，離均數(shù)越遠(yuǎn)，其相應(yīng)次數(shù)越少，在3σ以外的極少，這就是食品工業(yè)控制中的3σ原理的基礎(chǔ)。（6）分布密度曲線與橫軸所圍成的區(qū)間面積為1，即：56正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ2(或σ)的一簇分布，正態(tài)曲線的位置及形態(tài)隨μ和σ2的不同而不同。這就給研究具體的正態(tài)總體帶來困難，通常將一般的N(μ，σ2)轉(zhuǎn)換為μ=0,σ2=1的正態(tài)分布。3.3.2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布μ=0,σ2=1的正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standardnormaldistribution)。正態(tài)分布是依賴于參數(shù)μ和σ2(或σ)的57標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作ψ(u)和Φ(u)，下一張

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(3-14)μ＝0σ＝1（3-13）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)分別記作ψ(58隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作u～N(0，1)，分布密度曲線如圖3—7所示。圖3-7標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線隨機(jī)變量u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作u～N(0，59

對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x，都可以通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，u=(x-μ)／σ(3-15)將其變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u。u稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差。

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x～N(μ,σ2)x～N(0,1)u=(x-μ)／σ對(duì)于任何一個(gè)服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x603.3.3正態(tài)分布的概率計(jì)算

1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算

設(shè)u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則u在[u1，u2）內(nèi)取值的概率為：＝Φ(u2)－Φ(u1)(3-16)Φ(u1)與Φ(u2)可由附表1查得。下一張

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3.3.3正態(tài)分布的概率計(jì)算下一張主頁退出61例如，u=1.75時(shí)，由附表1可以查出Φ(1.75)=0.95994有時(shí)會(huì)遇到給定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284，反過來查u值。這時(shí)只需在附表1中找到與0.284最接近的值0.2843，對(duì)應(yīng)查出相應(yīng)的u值為

u=-0.57，即Φ(-0.57)=0.284下一張

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例如，u=1.75時(shí)，由附表1可以查出下一張主62由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率計(jì)算式及正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出下列關(guān)系式：P(0≤u＜u1)＝

P(u≥u1)=

P(｜u｜≥u1)=

P(｜u｜＜u1）

＝

P(u1≤u＜u2)＝下一張

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Φ(u1)-0.5Φ(-u1)2

Φ(-u1)(3-17)1-2

Φ(-u1)Φ(u2)-Φ(u1)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率計(jì)算式及正態(tài)分布的對(duì)稱性可推出63【例3.7】已知u～N(0，1)，試求：(1)P(u＜-1.64)＝?(2)P(u≥2.58)=?(3)P(｜u｜≥2.56)=?(4)P(0.34≤u＜1.53)=?下一張

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【例3.7】已知u～N(0，1)，試求：下一張主64(1)P(u＜-1.64)=0.05050(2)P(u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940(3)P(｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468(4)P(0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389下一張

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(1)P(u＜-1.64)=0.05050下一張65對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，特殊區(qū)間的概率為：P（-1≤u＜1）=0.6826P（-2≤u＜2）=0.9545

P（-3≤u＜3）=0.9973P（-1.96≤u＜1.96）=0.95P(-2.58≤u＜2.58)=0.99標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個(gè)常用概率如圖示下一張

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對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，特殊區(qū)間的概率為：下一張主頁66理論分布與抽樣分布課件67u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1-P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1-P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01下一張

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統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)中常用u變量在上述區(qū)間以外取值的概率分別為：下一張主68

2.一般正態(tài)分布的概率計(jì)算

若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，則x的取值落在任意區(qū)間[x1,x2）的概率，記作P(x1≤x＜x2)，等于圖3—8中陰影部分的面積。即：下一張

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圖3-8正態(tài)分布的概率2.一般正態(tài)分布的概率計(jì)算下一張主頁退69

對(duì)(3-18)式作變換u=(x-μ)／σ，得dx=σdu，故有下一張

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(3-18)其中，

70表明服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x在[x1，x2）內(nèi)取值的概率，等于服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量u在[(x1-μ)/σ,(x2-μ)/σ）內(nèi)取值的概率。因此，計(jì)算一般正態(tài)分布的概率時(shí)，只要將原區(qū)間的上下限作適當(dāng)變換(標(biāo)準(zhǔn)化)，就可用查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率表的方法求取某一區(qū)間的概率。下一張

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表明服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量x在71【例3-8】P53已知x～N（100，22），試求P(100≤x＜102)＝？。=P(0≤u＜1)=Φ(1)-Φ(0)=

0.8413-0.5000＝0.3413【例3-8】P53已知x～N（100，22），試求P(72【例】設(shè)x服從μ=30.26,σ2=5.102的正態(tài)分布，試求P(21.64≤x＜32.98)。令則u服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故=P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69)=0.7019-0.04551=0.6564

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【例】設(shè)x服從μ=30.26,σ2=5.10273關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個(gè)概率(即隨機(jī)變量x落在μ加減不同倍數(shù)σ區(qū)間的概率)是經(jīng)常用到的。P(μ-σ≤x＜μ+σ)=P(μ-2σ≤x＜μ+2σ)=

P(μ-3σ≤x＜μ+3σ)=P(μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ)=P(μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.68260.95450.99730.950.99關(guān)于一般正態(tài)分布，以下幾個(gè)概率(即隨機(jī)變量x落在74

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析中，不僅注意隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差區(qū)間（μ-kσ,μ+kσ）之內(nèi)的概率，更關(guān)心的是x落在此區(qū)間之外的概率。把隨機(jī)變量x落在平均數(shù)μ加減不同倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差σ區(qū)間之外的概率稱為雙側(cè)概率（兩尾概率），記作α。下一張

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對(duì)應(yīng)于雙側(cè)概率，也可以求得隨機(jī)變量x小于μ-kσ或大于μ+kσ的概率，稱為單側(cè)概率（一尾概率）,記作α／2。

圖3—9兩尾概率在數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析中，不僅注意隨機(jī)變量x落在平均數(shù)加減75附表2給出了滿足P(｜u｜＞)=α的雙側(cè)分位的數(shù)值。因此，只要已知雙側(cè)概率α的值，由附表2就可直接查出對(duì)應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)。例如，已知u～N(0,1)試求：(1)P(u＜-)+P(u≥)=0.10的(2)P(-≤u＜﹚=0.86的由于附表2中的α值是：下一張

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附表2給出了滿足P(｜u｜＞)=α76（1)P(u＜-)+P(u≥)=0.10=α由附表2查得：=1.644854(2)P(-≤u＜)=0.86，α=1-P(-≤u＜)=1-0.86=0.14由附表2查得：=1.475791對(duì)于x～N(μ,σ2)，只要將其轉(zhuǎn)換為u～N(0,1),即可求得相應(yīng)的雙側(cè)分位數(shù)。下一張

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（1)P(u＜-)+P(u≥77【例3-9】已知飲料灌裝量x（ml）服從正態(tài)分布N(250，1.582)，若P(x＜)=0.05,P(x≥)=0.05,求,。P54

由題意可知，α／2=0.05,α=0.10因?yàn)镻(x≥)=故P(x＜)+P(x≥)=P(u＜-)+P(u≥)下一張

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【例3-9】已知飲料灌裝量x（ml）服從正態(tài)分布N(78=1-P(-≤u＜)=0.10=α由附表2查得：=1.644854,所以(-250)/1.58=-1.644854(-250)/1.58=1.644854即＝247.40，＝252.60。下一張

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和分別為a＝0.10（雙側(cè)）時(shí)的下側(cè)分位數(shù)和上側(cè)分位數(shù)=1-P(-≤u＜)79

前面討論的三個(gè)重要的概率分布中，前兩個(gè)屬離散型隨機(jī)變量的概率分布，后一個(gè)屬連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。三者間的關(guān)系如下：

對(duì)于二項(xiàng)分布，在n→∞,p→0，且np=λ(較小常數(shù))情況下，二項(xiàng)分布趨于波松分布。在這種場(chǎng)合，波松分布中的參數(shù)λ用二項(xiàng)分布的np代之；在n→∞,p→0.5時(shí)，二項(xiàng)分布趨于正態(tài)分布。在這種場(chǎng)合，正態(tài)分布中的μ、σ2用二項(xiàng)分布的np、np

q代之。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)p＜0.1且n很大時(shí)，二項(xiàng)分布可由波松分布近似；當(dāng)p＞0.1且n很大時(shí)，二項(xiàng)分布可由正態(tài)分布近似。下一張

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前面討論的三個(gè)重要的概率分布中，前兩個(gè)屬離散型隨80

對(duì)于波松分布，當(dāng)λ→∞時(shí)，波松分布以正態(tài)分布為極限。在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)λ≥20(也有人認(rèn)為λ≥6)時(shí)，用波松分布中的λ代替正態(tài)分布中的μ及σ2，即可由后者對(duì)前者進(jìn)行近似計(jì)算。下一張

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對(duì)于波松分布，當(dāng)λ→∞時(shí)，波松分布以正態(tài)分布為81

研究總體與所抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中心內(nèi)容。對(duì)這種關(guān)系的研究從兩方面著手：一是從總體到樣本，這就是研究抽樣分布(samplingdistribution)的問題；二是從樣本到總體，這就是統(tǒng)計(jì)推斷(statisticalinference)問題。下一張

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4抽樣分布研究總體與所抽取的樣本之間的關(guān)系是統(tǒng)計(jì)學(xué)的中82統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基礎(chǔ)的。為了能正確地利用樣本去推斷總體，并能正確地理解統(tǒng)計(jì)推斷的結(jié)論，必須對(duì)樣本的抽樣分布有所了解。由總體中隨機(jī)地抽取若干個(gè)體組成樣本，即使每次抽取的樣本含量相等，其統(tǒng)計(jì)量(如，S)也將隨著樣本的不同而有所不同，因而樣本統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量，也有其概率分布。我們把統(tǒng)計(jì)量的概率分布稱為抽樣分布。下一張

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統(tǒng)計(jì)推斷是以總體分布和樣本抽樣分布的理論關(guān)系為基83由總體隨機(jī)抽樣(randomsampling)的方法可分為有返置抽樣和不返置抽樣兩種。前者指每次抽出一個(gè)個(gè)體后，這個(gè)個(gè)體應(yīng)返置回原總體；后者指每次抽出的個(gè)體不返置回原總體。對(duì)于無限總體，返置與否都可保證各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等。對(duì)于有限總體，就應(yīng)該采取返置抽樣，否則各個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)就不相等。下一張

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4.1樣本平均數(shù)的抽樣分布由總體隨機(jī)抽樣(randomsampling)84設(shè)有一個(gè)總體，總體平均數(shù)為μ,方差為σ2，總體中各變數(shù)為x，將此總體稱為原總體?，F(xiàn)從這個(gè)總體中隨機(jī)抽取含量為n的樣本，樣本平均數(shù)記為?？梢栽O(shè)想，從原總體中可抽出很多甚至無窮多個(gè)含量為n的樣本。由這些樣本算得的平均數(shù)有大有小，不盡相同，與原總體平均數(shù)μ相比往往表現(xiàn)出不同程度的差異。這種差異是由隨機(jī)抽樣造成的，稱為抽樣誤差(samplingerror)。

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設(shè)有一個(gè)總體，總體平均數(shù)為μ,方差為σ2，總85總體樣本觀測(cè)前樣本值1樣本值2…樣本值n隨抽機(jī)樣…（x1,x2,…xn）（x1,x2,…xn）（x1,x2,…xn）樣本值1樣本值2樣本值nX1，X2，…，Xn隨抽機(jī)樣樣本總體X觀測(cè)以后……………總體樣本觀測(cè)前樣本值1樣本值2…樣本值n隨抽機(jī)樣…（86顯然，樣本平均數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布叫做樣本平均數(shù)的抽樣分布。由樣本平均數(shù)構(gòu)成的總體稱為樣本平均數(shù)的抽樣總體。其平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為和。是樣本平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤(standarderror)，它表示平均數(shù)抽樣誤差的大小。統(tǒng)計(jì)學(xué)上已證明總體的兩個(gè)參數(shù)與x

總體的兩個(gè)參數(shù)有如下關(guān)系：

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(3-19)=μ，顯然，樣本平均數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布叫做87（1）若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μσ2)，、、…、是由x總體得來的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量=Σx／n的概率分布也是正態(tài)分布，且有＝μ，，即～

N(μ,σ2／n)。（2）若隨機(jī)變量x服從平均數(shù)是μ，方差是σ2的分布(不是正態(tài)分布)；，，…，是由此總體得來的隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計(jì)量=Σx／n的概率分布，當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)逼近正態(tài)分布N(μ,σ2／n)。這就是中心極限定理。下一張

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X變量與變量概率分布間的關(guān)系可由下列兩個(gè)定理說明：（1）若隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(μσ2)，下一張主88由中心極限定理可知，不論x變量是連續(xù)型的還是離散型的，也無論x服從何種分布，一般只要n＞30，就可認(rèn)為的分布是正態(tài)的。若x的分布不很偏倚，在n＞20時(shí)，的分布就近似于正態(tài)分布。下一張

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由中心極限定理可知，不論x變量是連續(xù)型的還是離散型89均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤(平均數(shù)抽樣總體的標(biāo)準(zhǔn)差)的大小，反映樣本平均數(shù)的抽樣誤差的大小，即精確性的高低。標(biāo)準(zhǔn)誤大，說明各樣本平均數(shù)間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之，小，說明間的差異程度小，樣本平均數(shù)的精確性高。的大小與原總體的標(biāo)準(zhǔn)差σ成正比，與樣本含量n的平方根成反比。從特定總體抽樣時(shí)，因?yàn)棣沂且怀?shù)，所以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù)的抽樣誤差。下一張

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均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤下一張主頁退出上一張90但在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ往往是未知的，因而無法求得。此時(shí)，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S估計(jì)σ。于是，以估計(jì)。記為，稱作樣本標(biāo)準(zhǔn)誤或均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤。樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是平均數(shù)抽樣誤差的估計(jì)值。若樣本中各觀測(cè)值為，，…，，則下一張

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(3-20)但在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ往往是未知的，因而無91注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，(3-20)式已表明了二者的聯(lián)系。二者的區(qū)別在于：

樣本標(biāo)準(zhǔn)差S是反映樣本中各觀測(cè)值，，…，變異程度大小的一個(gè)指標(biāo)，它的大小說明了對(duì)該樣本代表性的強(qiáng)弱。

樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，它是抽樣誤差的估計(jì)值，其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。下一張

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注意，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本標(biāo)準(zhǔn)誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩92

對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本平均數(shù)配合使用，記為±S，用以說明所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。

對(duì)于小樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)誤與樣本平均數(shù)配合使用，記為±，用以表示所考察性狀或指標(biāo)的優(yōu)良性與抽樣誤差的大小。下一張

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對(duì)于大樣本資料，常將樣本標(biāo)準(zhǔn)差S與樣本平均數(shù)934.2兩樣本均數(shù)差數(shù)的抽樣分布設(shè)x1～，x2～，且x1與x2相互獨(dú)立，由這兩個(gè)總體中抽樣（無論樣本容量n1、n2多大），則樣本平均數(shù)之差（）服從正態(tài)分布，即且總體參數(shù)有如下關(guān)系：（3-21）～4.2兩樣本均數(shù)差數(shù)的抽樣分布設(shè)x1～94若所有樣本均來自同一個(gè)正態(tài)總體x～，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布（不論樣本容量n1、n2大?。┓恼龖B(tài)分布，且（3-22）若所有樣本均來自非正態(tài)的同一總體，則其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布按中心極限定理在樣本容量n1、n2相當(dāng)大時(shí)（大于30）才逐漸接近于正態(tài)分布。若所有樣本均來自同一個(gè)正態(tài)總體x～95若所有樣本均來自兩個(gè)非正態(tài)總體，當(dāng)與相差不太大，且n1和n2趨于無窮大時(shí)，其平均數(shù)差數(shù)的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布。實(shí)際研究中與是未知的，常用S12與S22分別來代替，于是常用來估計(jì)，記為稱為均數(shù)差數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤（3-23）其中，S12、S22分別是樣本含量為n1、n2的兩個(gè)樣本方差。若所有樣本均來自兩個(gè)非正態(tài)總體，當(dāng)與96如果兩個(gè)總體的方差相等，即那么，S12、S22都是的估計(jì)值，這時(shí)應(yīng)該用他們的加權(quán)平均值S02來估計(jì)

統(tǒng)計(jì)量：～t（）如果兩個(gè)總體的方差相等，即那么，S12、S22都974.3學(xué)生氏t分布（t－distribution）由樣本平均數(shù)抽樣分布的性質(zhì)知道：若x～N(μ,σ2)，則～N(μ,σ2/n)。將隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化得：，則u～N(0,1)。但當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ未知時(shí)，以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S代替σ所得到的統(tǒng)計(jì)量記為t。下一張

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（3-26）～t（df）4.3學(xué)生氏t分布（t－distribution98下一張

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在計(jì)算時(shí)，由于采用S來代替σ，使得t變量不再服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而是服從t分布。它的概率分布密度函數(shù)如下：(3-27)式中，df=n-1為自由度，t的取值范圍是（-∞，+∞）t分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為：μt＝0(3-28)（df>2）（df>1）下一張主頁退出上一張?jiān)谟?jì)算99t分布密度曲線如圖3-11所示圖3-11不同自由度的t分布t分布密度曲線如圖3-11所示圖3-11不同自由度的t分100（1）t分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條t分布密度曲線。（2）t分布密度曲線以縱軸為對(duì)稱軸，左右對(duì)稱，且在t＝0時(shí)，分布密度函數(shù)取得最大值。（3）與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢(shì)越明顯。df越大，t分布越趨近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)n>30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的區(qū)別很小；n>100時(shí)，t分布基本與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相同；n→∞時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布完全一致。下一張

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t分布的特點(diǎn)是：（1）t分布受自由度的制約，每一個(gè)自由度都有一條t分布密度101

t分布的概率分布函數(shù)為：(3-29)因而t在區(qū)間（t1，+∞）取值的概率—右尾概率為1-Ft(df)。由于t分布左右對(duì)稱，t在區(qū)間（-∞，-t1）取值的概率也為1-Ftdf)。于是t分布曲線下由-∞到-t1和由t1到+∞兩個(gè)相等的概率之和—兩尾概率為2(1-Ft(df))。對(duì)于不同自由度下t分布的兩尾概率及其對(duì)應(yīng)的臨界t值已編制成附表3，即t分布表。下一張

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t分布的概率分布函數(shù)為：下一張主頁退102例如，當(dāng)df=15時(shí)，查附表3得兩尾概率等于0.05的臨界t值為=2.131，其意義是：P(-∞<t<-2.131)=P(2.131<t<+∞)=0.025；P(-∞<t<-2.131)+

(2.131<t<+∞)=0.05。由附表3可知，當(dāng)df一定時(shí)，概率P越大，臨界t值越??；概率P越小，臨界t值越大。當(dāng)概率P一定時(shí)，隨著df的增加，臨界t值在減小，當(dāng)df=∞時(shí)，臨界t值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界u值相等。下一張

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例如，當(dāng)df=15時(shí)，查附表3得兩尾概率等于0.01034.4分布如果是來自正態(tài)總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，定義樣本方差為：那么，統(tǒng)計(jì)量服從自由度為n-1的分布，記為4.4分布如果是來自正態(tài)總104分布密度曲線（卡方）（4）分布的形狀取決于參數(shù)df,，df＝1時(shí)，曲線極端左偏，呈反J型；隨著df的增大，曲線漸趨左右對(duì)稱。當(dāng)df>30時(shí)，分布已趨向于正態(tài)分布。分布密度曲線（卡方）（4）分布的形狀取決于參數(shù)df105下一張

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設(shè)為來自正態(tài)總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，樣本方差為S12，為來自正態(tài)總體的一個(gè)隨機(jī)樣本，樣本方差為S22，且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量4.5F分布（Fdistribution）服從第一自由度為df1=n1-1，第二自由度為df2＝n2-1的F分布。記為～F（n1-1,n2-1）下一張主頁退出上一張?jiān)O(shè)106下一張

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F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態(tài)曲線，其形態(tài)隨著df1、df2的增大逐漸趨于對(duì)稱，如圖所示。下一張主頁退出上一張F(tuán)分布密度曲線是隨自107第三章理論分布與抽樣分布為了便于理解統(tǒng)計(jì)分析的基本原理，正確掌握和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析方法，本章在介紹概率論中最基本的兩個(gè)概念－事件、概率的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)介紹科學(xué)研究中常用的幾種隨機(jī)變量的概率分布－正態(tài)分布、二項(xiàng)分布、波松分布以及樣本平均數(shù)的抽樣分布和t分布。下一張

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第三章理論分布與抽樣分布為了便于理解統(tǒng)計(jì)分析1081事件與概率1.1事件1.1.1必然現(xiàn)象與隨機(jī)現(xiàn)象

在自然界與生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，人們會(huì)觀察到各種各樣的現(xiàn)象，把它們歸納起來，大體上分為兩大類：下一張

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1事件與概率1.1事件下一張主頁退109必然現(xiàn)象：可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果總是確定的，必然發(fā)生的（或必然不發(fā)生）。這類現(xiàn)象稱為必然現(xiàn)象（inevitablephenomena）或確定性現(xiàn)象（definitephenomena）。隨機(jī)現(xiàn)象：另一類是事前不可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行試驗(yàn)，其結(jié)果未必相同。這類在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性現(xiàn)象，稱為隨機(jī)現(xiàn)象（randomphenomena）或不確定性現(xiàn)象（indefinitephenomena）。下一張

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必然現(xiàn)象：可預(yù)言其結(jié)果的，即在保持條件不變的情況下，重復(fù)進(jìn)行110隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)：在一定的條件實(shí)現(xiàn)時(shí)，有多種可能的結(jié)果發(fā)生，事前人們不能預(yù)言將出現(xiàn)哪種結(jié)果；對(duì)一次或少數(shù)幾次觀察或試驗(yàn)而言，其結(jié)果呈現(xiàn)偶然性、不確定性；但在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，其試驗(yàn)結(jié)果卻呈現(xiàn)出某種固有的、特定的規(guī)律性——頻率的穩(wěn)定性，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。下一張

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隨機(jī)現(xiàn)象或不確定性現(xiàn)象，有如下特點(diǎn)：下一張主1111.1.2隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件1隨機(jī)試驗(yàn)通常我們把根據(jù)某一研究目的，在一定條件下對(duì)自然現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或試驗(yàn)統(tǒng)稱為試驗(yàn)（trial）。當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)如果滿足下述三個(gè)特性，則稱其為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)（randomtrial），簡(jiǎn)稱試驗(yàn)。下一張

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1.1.2隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件下一張主頁退出112（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；（2）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且事先知道會(huì)有哪些可能的結(jié)果；（3）每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果。下一張

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（1）試驗(yàn)可以在相同條件下多次重復(fù)進(jìn)行；下一張主1132隨機(jī)事件

隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能結(jié)果，在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，稱為隨機(jī)事件（randomevent），簡(jiǎn)稱事件(event），通常用A、B、C等來表示。（1）基本事件

我們把不能再分的事件稱為基本事件（elementaryevent），也稱為樣本點(diǎn)（samplepoint）。下一張

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2隨機(jī)事件下一張主頁退出上一張114

例如，從編號(hào)為1、2、3、…、10的十個(gè)籃球中隨機(jī)抽取1個(gè)籃球，有10種不同的可能結(jié)果：“取得一個(gè)編號(hào)是1”、“取得一個(gè)編號(hào)是2”、…、“取得一個(gè)編號(hào)是10”，這10個(gè)事件都是不可能再分的事件，它們都是基本事件。由若干個(gè)基本事件組合而成的事件稱為復(fù)合事件（compoundevent）。如“取得一個(gè)編號(hào)是2的倍數(shù)”是一個(gè)復(fù)合事件，它由“取得一個(gè)編號(hào)是2”、“是4”、“是6、“是8”、“是10”5個(gè)基本事件組合而成。下一張

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例如，從編號(hào)為1、2、3、…、10的十個(gè)籃球中115

（2）必然事件

把在一定條件下必然會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件（certainevent），用Ω表示。例如，一個(gè)大氣壓下，水加熱到100C，水會(huì)沸騰；種瓜得瓜、種豆得豆下一張

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（3）不可能事件

在一定條件下不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件（impossibleevent），用ф表示。例如，在滿足一定孵化條件下，從石頭孵化出小雞，就是一個(gè)不可能事件。