第五章工程研究的基本理論和方法5.1量綱分析理論5.1.1量綱與量綱的特性一、單位和量綱

1、物理量的度量體系描述現(xiàn)象或物體可定量測量的屬性稱為物理量。對客觀事物某些特征的度量，若無明確的度量單位，其含義則是含混的。數(shù)學(xué)模型中的測量值通常都是以物理量的形式出現(xiàn)。物理量分為基本物理量和導(dǎo)出的（衍生的）物理量兩大類。物理量的度量體系由基本物理量及其度量單位所確定.

1第五章工程研究的基本理論和方法5.1量綱分析理論1

2、單位

量度各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)量，稱單位。如長度單位為m或cm等。（涉及物理量的性質(zhì)和數(shù)值大小）

(量綱表征物理量的性質(zhì)和類別)單位分為基本單位、導(dǎo)出單位和輔助單位三類?，F(xiàn)在通用的國際單位制（SI制），由七個基本單位組成。

物理量單位符號長度（L）米m質(zhì)量（M）千克kg時間（T）秒s電流強(qiáng)度（I）安培A溫度（Θ）開爾文K光強(qiáng)（J）坎德拉cd物質(zhì)的量（N）摩爾mol2

2、單位物理量單位符號長度（L）米m質(zhì)量（M）

其他物理量的單位將由這七個基本單位通過物理關(guān)系導(dǎo)出。下表列出了幾個常用的物理量及其單位。物理量單位符號力（N）牛頓kgms-2能量（J）焦耳kgm2s-2功率（W）瓦特kgm2s-3壓強(qiáng)（Pa）帕斯卡kgm-1s-2頻率（Hz）赫茲s-13

其他物理量的單位將由這七個基本單位通過物理關(guān)物理量

3、量綱（1）定義指撇開單位的大小后，表征物理量的性質(zhì)和類別的表達(dá)式。如長度量綱為[L]。（2）量綱的分類基本量綱具有獨立性的，不能由其他量綱推導(dǎo)出來的量綱。

誘導(dǎo)量綱可由基本量綱導(dǎo)出的量綱。

4、量綱表達(dá)式

物理量Q的量綱一般都可以表示為基本量的冪的乘積：dimQ=LaMbTcΘdIeJfNg或者[Q]=[LaMbTcΘdIeJfNg]

式中a,b,c,d,e,f,g——量綱指數(shù)。

常用量綱幾何學(xué)量綱：α≠0，其余=0；

運動學(xué)量綱：α≠0，c≠0，其余=0；

動力學(xué)量綱：α≠0，b≠0，c≠0，其余=04

3、量綱4

[例題5-1]試以長度L、質(zhì)量M和時間T為基本量綱，確定動力粘度μ的量綱表達(dá)式。解：從基本量綱L、M、T可以確定加速度的導(dǎo)出量綱表達(dá)式為LT-2，力（F）的導(dǎo)出量綱表達(dá)式為[F]=MLT-2，面積的量綱表達(dá)式為[A]=L2。寫出切應(yīng)力的物理表達(dá)式又因為將各量綱表達(dá)式代入切應(yīng)力表達(dá)式，則所以

5

[例題5-1]試以長度L、質(zhì)量M和時間T為基本量

5、無量綱數(shù)（純數(shù)，相似準(zhǔn)數(shù)）

若量綱指數(shù)a,b,c,d,e,f,g均為0,稱其為無量綱量，記為：[Q]=[1]特點：（a）無量綱單位，它的大小與所選單位無關(guān)；（b）具有客觀性；（c）在超越函數(shù)（對數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)）運算中，均應(yīng)用無量綱數(shù)。應(yīng)注意：無量綱量不一定是無單位的量，如角度。

無量綱常數(shù)組成該無量綱量中的量綱僅與某些常數(shù)υ（運動粘度）,α（熱擴(kuò)散率）,D（擴(kuò)散系數(shù)）等有關(guān)。

無量綱參數(shù)組成該無量綱量中的某些量綱起著運動參數(shù)（如：速度）或動力參數(shù)（如：溫度差、濃度差）的作用。6

5、無量綱數(shù)（純數(shù)，相似準(zhǔn)數(shù)）6

二、量綱的特性

1、量綱和諧性

表現(xiàn)物理規(guī)律的方程中，其方程兩邊的量綱應(yīng)相同，同名物理量應(yīng)采用同一種單位，此為物理方程的量綱和諧性。

量綱和諧原理的重要性：

a.可用來確定公式中物理量的指數(shù)。

b.可用來檢驗經(jīng)驗公式的正確性和完整性。

c.可用來建立物理方程式的結(jié)構(gòu)形式。

2、量綱的獨立和非獨立條件

量綱獨立性是指任何n個量的結(jié)合（包括代數(shù)運算等），不能產(chǎn)生第三個量的量綱。7

二、量綱的特性1、量綱和諧性

表現(xiàn)物理規(guī)律的方程中

量綱獨立性判斷：

以由三個量綱量組成的物理量為例，說明判斷過程。a1,a2,a3——量綱量。

設(shè)a的量綱分別為

要使Xj變?yōu)闊o量綱量，必須滿足條件[Xj]=[L0T0M0]8

量綱獨立性判斷：8

即Δ≠0時，線性方程只有xj=yj=zj=0的解，則a1,a2,aj3為具有互相獨立量綱的量Δ=0時，線方程可以有xj、yj、zj的數(shù)值解，Xj成為無量綱量，則a1,a2,a3為量綱上不互相獨立的量。當(dāng)所研究的參量的數(shù)目大于3個時，則要取其中任何可能的3個參量，照上述方法進(jìn)行驗算，以確定其量綱的獨立或不獨立性。9

即9

三、完整集合中無量綱乘積的數(shù)目定理：在一個完整的集合中，無量綱乘積的數(shù)目等于獨立變量的總數(shù)減去它們量綱矩陣的秩（r）。

或者獨立變量總數(shù)-基本量綱數(shù)目=無量綱乘積數(shù)目

雷諾數(shù)、付里葉準(zhǔn)數(shù)等就是某些無量綱乘積的完整集合。10

三、完整集合中無量綱乘積的數(shù)目定理：在一個完整5.1.2量綱分析一、柏金漢量綱分析法

1、π定理若物理方程f(x1，x2,……,xn)=0中，含有n個物理量，其中k個是具有互相獨立量綱的物理量，并且保持量綱的和諧性。則該物理方程可簡化為：

F(π1，π2,……,πn-k)=0，或π1=φ(π2,π3,……,πn-k)

2、π定理解題步驟：

（1）確定關(guān)系式：根據(jù)所研究的現(xiàn)象，確定影響該現(xiàn)象的各個物理量及其關(guān)系式:

f(x1，x2,……,xn)=0

（2）確定基本量：從n個物理量中選取所包含的k個有獨立量綱的物理量作為基本量的代表。

115.1.2量綱分析一、柏金漢量綱分析法11

f(x1，x2,…xk，xk+1，…,xn)=0x1，x2,…xk為有獨立量綱的物理量；xk+1，…,xn為無獨立量綱的物理量。即:xk+1，…,xn均可用x1，x2,…xk表示出來。

xk+1=g（x1，x2,…xk）獨立變量i=1，2，3，….k非獨立變量則≠1。πj為無量綱的參數(shù)

12

f(x1，x2,…xk，xk+1，…,xn)

（3）確定π數(shù)的個數(shù)N（π）=（n-k），并寫出其余物理量與基本物理量組成的π表達(dá)式

i=1，2，3，…k；j=1，2，….n-k（4）確定無量綱π參數(shù)：由量綱和諧原理解聯(lián)立指數(shù)方程，求出各π項的指數(shù)αi，從而定出各無量綱π參數(shù)。π參數(shù)分子分母可以相互交換，也可以開方或乘方，而不改變其無因次的性質(zhì)。（5）寫出描述現(xiàn)象的關(guān)系式F(π1，π2,……,πn-k)=0。13

（3）確定π數(shù)的個數(shù)N（π）=（n-k），并寫出其

3、例如k=3……[xk+1]=[x1a1x2a2x3a3]

根據(jù)[xk+1]中的基本量和[x1a1x2a2x3a3]中的基本量，進(jìn)行比較和計算，解出a1,a2,a3,帶入到π1，所得到π1便是無量綱參數(shù)。14

3、例如k=314

二、瑞利量綱分析法瑞利法是量綱和諧原理的直接應(yīng)用瑞利法的計算步驟：

1.確定與所研究的物理現(xiàn)象有關(guān)的n個物理量：y=f(x1，x2,……,xn)

2.寫出各物理量之間的指數(shù)乘積的形式，如：3.根據(jù)量綱和諧原理，確定物理量的指數(shù)k1,k2,k3,k4,代入指數(shù)方程式即得各物理量之間的關(guān)系式。

說明：①應(yīng)用范圍：一般情況下，要求相關(guān)變量未知數(shù)n小于等于4~5個。

②導(dǎo)出的相似準(zhǔn)數(shù)中含有無量綱常數(shù)C和待定常數(shù)k4，通常通過研究現(xiàn)象的實驗加以確定。

15

二、瑞利量綱分析15

三、兩種分析方法的比較

柏金漢法解函數(shù)關(guān)系式；要挑選出k個有獨立量綱的量。

瑞利法用無限級數(shù)代替函數(shù)關(guān)系式；n≤5；有待定常數(shù)需靠實驗得出。16

三、兩種分析方法的比較

16

[例題5-3]根據(jù)實驗和分析得知，粘性不可壓縮流體的管內(nèi)流動，其臨界速度uc與管徑d、流體密度ρ及流體的動力粘度μ有關(guān)，即：uc=f（d、ρ、μ）據(jù)雷利因次分析法，上式可改寫為：uc=Kdx1ρx2μx3式中x1、x2、x3分別為d、ρ、μ各物理量的待定指數(shù)；K為無因次比例常數(shù)。寫出上式等式兩邊的因次得：[LT-1]=[L]x1[ML-3]x2[ML-1T-1]x3根據(jù)因次和諧性原理，等式兩邊的因次應(yīng)該相等，于是：

17

[例題5-3]根據(jù)實驗和分析得知，粘性不可壓縮

解上述聯(lián)立方程，得：X1=-1，X1=-1，X1=+1將X1，X2，X3代入原式，得：于是：顯然，上式右邊為由臨界速度等物理量所組成的雷諾數(shù)，故可稱K為臨界雷諾數(shù)，常用符號Rec表示。即：18

解上述聯(lián)立方程，得：X1=-1，X1=-1，

[例題5-4]設(shè)根據(jù)觀察分析，影響管流現(xiàn)象的因素有管內(nèi)平均流速u，流體密度ρ，管道直徑d，管長ι，流體的動力粘性系數(shù)μ，管壁粗糙度ε。試用π定理確定水平有壓管道壓力損失Δp的函數(shù)關(guān)系式及相似準(zhǔn)數(shù)。解：①根據(jù)上列影響因素可寫成函數(shù)關(guān)系：f（Δp、ρ、u、d、μ、ι、ε）=0②已知變量個數(shù)為7。選u、d、ρ三個互為獨立的變量為基本物理量，這三者包含了[LMT]三個基本因次。通常選一個代表幾何的量，一個表征運動的量，另一個是與力或質(zhì)量有關(guān)的量。寫出7—3=4個π項如下：19

[例題5-4]設(shè)根據(jù)觀察分析，影響管流現(xiàn)象

根據(jù)分子分母的因次應(yīng)該相同，可求出各π項中的指數(shù)（x1，y1，z1），……，等數(shù)值?，F(xiàn)以π1為例：對[M]有1=z1對[L]有-1=x1+y1-3z1對[T]有-2=-x1解得：x1=2；y1=0；z1=1代入原式，得：

20

根據(jù)分子分母的因次應(yīng)該相同，可求出各π項中的指數(shù)

同理可得：于是轉(zhuǎn)化后的無因次函數(shù)方程式為

f（π1，π2，π3，π4）=0或π1=f（π2，π3，π4）即：

21

同理可得：21量綱分析方法小結(jié)1、可以解決下述問題：

（1）有利于建立統(tǒng)一協(xié)調(diào)的單位系統(tǒng)；確定經(jīng)驗公式中兩種單位制的轉(zhuǎn)換因子。

（2）推導(dǎo)物理量的量綱。

（3）校核由理論推導(dǎo)出來的代數(shù)方程式，確定無量綱乘積集合的完整性。

（4）通過研究各個無量綱乘積階的大小，可以確定各物理參量的相對重要性。

（5）把包含若干個變量的函數(shù)式轉(zhuǎn)換為包括幾個無量綱數(shù)的函數(shù)式。準(zhǔn)數(shù)方程減少了獨立變數(shù)的數(shù)量，減少實驗工作量。

（6）研究某物理現(xiàn)象時，可以先推導(dǎo)出一個完整集合的無量綱乘積，再根據(jù)π定理及相關(guān)實驗來確定描敘該現(xiàn)象的方程。22量綱分析方法小結(jié)1、可以解決下述問題：

（1）有利于

2、容易出現(xiàn)的問題

（1）沒有正確地選擇有關(guān)的物理量。

（2）遺漏了某些有量綱的常數(shù)。

（3）量綱相同，而物理意義不同的量容易混淆。

（4）量綱分析法一般沒有考慮物理現(xiàn)象的單值性條件。23

2、容易出現(xiàn)的問題

（1）沒有正確地選擇有關(guān)的物理量。

（5.2相似理論

5.2.1相似概述一、相似理論的發(fā)展概況

解決復(fù)雜的實際工程問題，直接采用數(shù)學(xué)分析法極其困難，因此需要依靠實驗研究來解決。為了減少實驗工作量，并提高實驗結(jié)果的準(zhǔn)確度和應(yīng)用的廣度，所以便發(fā)展出了相似理論。

1848年，法國的伯特朗(J．Bertrand)在分析力學(xué)方程的基礎(chǔ)上確定了相似現(xiàn)象的基本性質(zhì)。并提出了相似第一定理?！胺蚕嗨频默F(xiàn)象，其相似準(zhǔn)數(shù)相等”。

245.2相似理論

5.2.1相似概述一、相似理論的發(fā)展概況

1931年，蘇聯(lián)學(xué)者基爾皮喬夫和古赫曼提出了相似第二定理，“凡同一類現(xiàn)象(即都被同一完整方程組所描述的現(xiàn)象)，當(dāng)單值條件相似，而且由單值條件的物理量所組成的相似準(zhǔn)數(shù)相等，則這些現(xiàn)象就必定相似”。1911年，俄國學(xué)者費德爾曼提出了相似第三定理(又稱兀定理)?！懊枋銎洮F(xiàn)象的各種量之間的關(guān)系可表示成相似準(zhǔn)數(shù)π1，π2,……,πn之間的函數(shù)關(guān)系，即：F(π1，π2,……,πn)=0。這種關(guān)系式稱為“準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式”或“準(zhǔn)數(shù)方程式”。

目前相似理論已成為一門完整的學(xué)科，它是最先進(jìn)的科學(xué)研究方法之一。25

1931年，蘇聯(lián)學(xué)者基爾皮喬夫和古赫曼提出了相似第

二、相似現(xiàn)象的相似性質(zhì)(1)凡相似的現(xiàn)象都屬于同一種類的現(xiàn)象?？捎梦淖只蛐问缴贤耆嗤耐暾匠探M來描述(包括描述現(xiàn)象的基本方程及描述現(xiàn)象單值條件的方程)。

(2)用來表征這些現(xiàn)象的一切物理量的場都相似。

(3)相似現(xiàn)象必然發(fā)生在幾何相似的空間中。即：凡相似的現(xiàn)象，其邊界條件必定相似。

(4)由性質(zhì)(2)得知，相似現(xiàn)象的對應(yīng)量互成比例。由性質(zhì)(1)得知，由這些量組成的方程組又是相同的。所以各物理量的比值(相似倍數(shù))是彼此既相互聯(lián)系，又相互約束。26

二、相似現(xiàn)象的相似性質(zhì)(1)凡相似的現(xiàn)象都屬于同一

三、近似?；皖愃?/p>

相似三定理規(guī)定的所有相似條件通常很難全部實現(xiàn)。

只需要滿足為保證實驗結(jié)果具有足夠的準(zhǔn)確性所必須滿足的幾個重要的相似條件。該研究方法稱為近似?；ā?/p>

把那些過程的內(nèi)容不同，而描述它們的數(shù)學(xué)方程的形式相同的現(xiàn)象稱為類似現(xiàn)象。27

三、近似?；皖愃葡嗨迫ɡ硪?guī)定的所有相似條件5.2.2相似原理與相似條件

一、物理現(xiàn)象之間的相似情況1、同類相似

指兩個物理現(xiàn)象都遵從相同的自然規(guī)律，可用相同的數(shù)學(xué)方程組來描述，而且兩種物理現(xiàn)象所包含的諸物理量具有相同的物理性質(zhì)(稱為同名量)。則它們屬于同類相似或簡稱相似。2、異類相似

若兩物理現(xiàn)象之間雖然在形式上可用相同的數(shù)學(xué)方程組來描述，但方程組內(nèi)所含的參量具有不同的性質(zhì)，這種不同類現(xiàn)象之間的相似稱為異類相似或者類似。

不同類系統(tǒng)間存在的這種異類相似性在人工智能、電模擬、系統(tǒng)仿真等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。3、類比

通過對一種現(xiàn)象的研究去了解其變化的數(shù)學(xué)規(guī)律相同而物理性質(zhì)不同的另一種現(xiàn)象，稱為類比。285.2.2相似原理與相似條件

一、物理現(xiàn)象之間的相似情況二、幾種常見的相似

1、幾何相似相似三角形

2、物理量相似

式中Cx——物理量x的相似常數(shù)。

x可以代表速度、溫度等各種不同物理量。Xi則可抽象為二維、三維或多維空間的物理量。29二、幾種常見的相似1、幾何相似相似三角形29

3、運動相似（通常包括速度場與加速度場的相似）

ω=dL/dτ

CωCτ/CL是判斷兩個系統(tǒng)的運動是否相似的條件，通常稱為相似指標(biāo)。

結(jié)論：若現(xiàn)象相似，則其相似指標(biāo)等于1。

30

3、運動相似（通常包括速度場與加速度場的相似）

4、動力相似（指系統(tǒng)里力場的相似）

兩個幾何相似、時間相似的系統(tǒng)中，對應(yīng)點(或?qū)?yīng)部分)的質(zhì)量成一定的比例，則兩個系統(tǒng)稱為動力相似。即，力的方向相同，大小成一定的比例。

此即兩個物體實現(xiàn)動力相似的條件。通常稱為牛頓準(zhǔn)數(shù)。有時為便于分析穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，牛頓準(zhǔn)數(shù)也可以改寫為：31

4、動力相似（指系統(tǒng)里力場的相似）

兩個幾

三、相似常數(shù)和相似定數(shù)

以幾何相似為例，說明之。

1、相似常數(shù)

一對相似三角形，其對應(yīng)邊的比值為一常數(shù)，則稱為相似常數(shù)。但當(dāng)從一對相似三角形轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪粚ο嗨迫切螘r，相似常數(shù)將發(fā)生變化。

2、相似定數(shù)

式中，Cl1和Cl2稱為相似三角△A1B1C1和△A2B2C2另兩邊的相似定數(shù)。32

三、相似常數(shù)和相似定數(shù)

以幾何相似為例，說明之。32

3、相似定數(shù)與相似常數(shù)的區(qū)別

用相對單位長度來表示度量單位。

對于所有相似三角形，相似定數(shù)都相等。換言之，若兩個三角的相似定數(shù)的數(shù)值分別相等，則這兩個三角形就一定相似。

物理量或物理現(xiàn)象的相似中，最好用相似定數(shù)來描述。

同一類物理現(xiàn)象中的相似，使用相似定數(shù)，可免除度量單位的轉(zhuǎn)換。

在相似現(xiàn)象群中的相似，則可免除不同單位帶來的不便。33

3、相似定數(shù)與相似常數(shù)的區(qū)別

用相對單位長度來表5.2.3相似準(zhǔn)數(shù)及其導(dǎo)出方法一、相似準(zhǔn)數(shù)

1、相似準(zhǔn)數(shù)

在相似的物理現(xiàn)象中，由物理量組成的無量綱數(shù)群，通常稱為相似準(zhǔn)數(shù)。

如：

ωτ/ι則稱為相似準(zhǔn)數(shù)。

345.2.3相似準(zhǔn)數(shù)及其導(dǎo)出方法一、相似準(zhǔn)數(shù)34

2、相似準(zhǔn)數(shù)的主要性質(zhì)如下：

(1)任何相似準(zhǔn)數(shù)都是無量綱量，它的數(shù)值與測量單位無關(guān)。

(2)凡由微分方程直接導(dǎo)出的相似準(zhǔn)數(shù)都具有明確的物理意義。

(3)組成相似準(zhǔn)數(shù)的各個物理量都是空間位置的函數(shù)。因此，相似準(zhǔn)數(shù)也隨空間的位置變化。但是，在相似系統(tǒng)的對應(yīng)點上，相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值始終相等。

(4)對于非穩(wěn)態(tài)過程，相似準(zhǔn)數(shù)是空間位置和時間的函數(shù)。但是，當(dāng)從一個現(xiàn)象轉(zhuǎn)變到與它相似的另一現(xiàn)象時，在對應(yīng)點，對應(yīng)瞬時，相似準(zhǔn)數(shù)的數(shù)值相等。35

2、相似準(zhǔn)數(shù)的主要性質(zhì)如下：

(1)任何相似準(zhǔn)數(shù)都

3、相似準(zhǔn)數(shù)按其性質(zhì)分為兩類：

(1)定性準(zhǔn)數(shù)(或已定準(zhǔn)數(shù))

凡由決定性單值性條件中所包含的已知物理量組成的相似準(zhǔn)數(shù)稱為定性準(zhǔn)數(shù)。如雷諾準(zhǔn)數(shù)Re，傅立葉準(zhǔn)數(shù)Fo，貝克來準(zhǔn)數(shù)Pe和弗魯?shù)聹?zhǔn)數(shù)Fr等。

(2)非定性準(zhǔn)數(shù)(或待定準(zhǔn)數(shù))

凡包含待求的未知物理量的相似準(zhǔn)數(shù)稱為非定性準(zhǔn)數(shù)。如歐拉準(zhǔn)數(shù)Eu(含待求物理量壓力損失△p)，努塞爾特準(zhǔn)數(shù)Nu(含待求的對流換熱系數(shù)α)等。

相似準(zhǔn)數(shù)是定性準(zhǔn)數(shù)還是非定性準(zhǔn)數(shù)，隨給出的單值性條件而改變。36

3、相似準(zhǔn)數(shù)按其性質(zhì)分為兩類：

(1)定性準(zhǔn)數(shù)(

（3）兩者間的轉(zhuǎn)換

對于相似準(zhǔn)數(shù)，為了研究問題的方便、簡單，有時需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換的目的是：

a)通過準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換使實驗研究便于控制某一特定變量。

b)通過準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換可以將某些原始準(zhǔn)數(shù)轉(zhuǎn)換成人們所熟悉的準(zhǔn)數(shù)，使準(zhǔn)數(shù)的物理概念、物理意義更明確，應(yīng)用起來更方便。

c)通過準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換可以刪除已被引入的某個或某些對所研究現(xiàn)象影響不大或者可以忽略不計的參量，使準(zhǔn)數(shù)方程進(jìn)一步簡化，減少研究的工作量，節(jié)省資金，提高效益。

d)通過準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換，使準(zhǔn)數(shù)中所包含的物理量便于測量，為研究工作提供方便。37

（3）兩者間的轉(zhuǎn)換

對于相似準(zhǔn)數(shù)，為了研究問題的4、幾個常用的相似準(zhǔn)數(shù)。

(1)雷諾準(zhǔn)數(shù)Re

主要應(yīng)用范圍：流體的運動速度變化很大的流動等問題。

物理意義：表明流體流動狀態(tài)的準(zhǔn)數(shù)，表示慣性力與粘滯力的比值。(2)歐拉準(zhǔn)數(shù)Eu

主要應(yīng)用范圍：管流、氣融、流體機(jī)械等。

物理意義：壓力場相似準(zhǔn)數(shù)；表明作用在流體上的壓力降(或壓力)與慣性力的比值。(3)伽利略準(zhǔn)數(shù)Ga

主要應(yīng)用范圍：由浮力引起的運動。

物理意義：重力慣性力與粘性力平方的比值。又稱為阿基米德準(zhǔn)數(shù)

384、幾個常用的相似準(zhǔn)數(shù)。(1)雷諾準(zhǔn)數(shù)Re

主要應(yīng)用范圍

(4)格拉修夫準(zhǔn)數(shù)Gr

主要應(yīng)用范圍：研究熱氣體的運動。

物理意義：浮升力乘以慣性力與粘性力的平方之比的度量。

格拉修夫準(zhǔn)數(shù)是伽利略準(zhǔn)數(shù)的特殊形式。(5)舍伍德準(zhǔn)數(shù)Sh

主要應(yīng)用范圍：用于研究對流傳熱問題。

物理意義：對流產(chǎn)生的傳遞質(zhì)量與擴(kuò)散質(zhì)量之比。相當(dāng)于傳熱中的努塞爾特準(zhǔn)數(shù)，有時又稱泰勒準(zhǔn)數(shù)。(6)拉格朗日準(zhǔn)數(shù)La

主要應(yīng)用范圍：研究流體的層流流動。

物理意義：表明壓力場與速度場相似的準(zhǔn)數(shù)，無因次壓力場與速度場之間的關(guān)系。39

(4)格拉修夫準(zhǔn)數(shù)Gr

主要應(yīng)用范圍：研究熱氣體的運動。

(7)施米特準(zhǔn)數(shù)Sc

主要應(yīng)用范圍：研究動量交換和伴有傳質(zhì)的流動問題。

物理意義：相當(dāng)于傳熱中的普朗特數(shù)，貝克勒數(shù)與雷諾準(zhǔn)數(shù)之比。(8)努塞爾特準(zhǔn)數(shù)Nu

主要應(yīng)用范圍：用于研究傳熱問題。

物理意義：放熱強(qiáng)度與流體邊界層溫度場間的關(guān)系。(9)弗魯?shù)聹?zhǔn)數(shù)Fr

主要應(yīng)用范圍：研究受重力影響的運動。

物理意義：表明慣性力與重力的比值。(10)普朗特準(zhǔn)數(shù)Pr

主要應(yīng)用范圍：研究受迫對流傳熱問題。

物理意義：表明流體內(nèi)動量擴(kuò)散與熱量擴(kuò)散之比的度量或流體的速度場與溫度場之間相似程度的度量。

40

(7)施米特準(zhǔn)數(shù)Sc

主要應(yīng)用范圍：研究動量交換和伴有傳

(11)貝克勒準(zhǔn)數(shù)Pe

應(yīng)用范圍：研究傳熱問題。

物理意義：流體內(nèi)的對流傳熱與導(dǎo)熱的比值。(12)傅立葉準(zhǔn)數(shù)Fo

應(yīng)用范圍：研究導(dǎo)熱等問題。

物理意義：通過固體表面的導(dǎo)熱熱流與固體的焓隨時間變化之比的度量。

或者溫度場的改變速度與流體物理特性及幾何尺寸的關(guān)系。(13)劉易斯準(zhǔn)數(shù)Le

主要應(yīng)用范圍：研究傳熱與傳質(zhì)問題。

物理意義：溫度擴(kuò)散效率與傳質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)之比。41

(11)貝克勒準(zhǔn)數(shù)Pe

應(yīng)用范圍：研究傳熱問題。二、相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出方法

導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)是模型研究的重要內(nèi)容之一。

目前某些基本物理過程的相似準(zhǔn)數(shù)都已導(dǎo)出，使用時不必重新推導(dǎo)，但是對于某些特殊物理過程或某些新開發(fā)的物理過程的相似準(zhǔn)數(shù)則需從頭推導(dǎo)，慎重選擇準(zhǔn)數(shù)的形式。

導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)的方法有方程分析方法、量綱分析方法等。

1、方程分析法

由基本微分方程組和全部單值條件導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)的方法，稱為方程分析方法。物理方程的量綱和諧性是方程分析導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)方法的基礎(chǔ)。方程分析法有相似轉(zhuǎn)換法及積分類比法。42二、相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出方法導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)是模型研究的重要內(nèi)

(1)相似轉(zhuǎn)換法用相似轉(zhuǎn)換法導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)的步驟為：①寫出現(xiàn)象的基本微分方程組和全部單值條件；②寫出相似倍數(shù)的表示式；③將相似倍數(shù)式代入方程組進(jìn)行相似轉(zhuǎn)換從而獲相似指標(biāo)式；④將相似倍數(shù)表示式代入相似指標(biāo)式，從而獲得相似準(zhǔn)數(shù)；⑤同樣的方法，從單值條件方程中推出相似準(zhǔn)數(shù)。43

(1)相似轉(zhuǎn)換法4344444545464647474848

(2)積分類比法積分類比法，較相似轉(zhuǎn)換法要簡單，故獲得廣泛的應(yīng)用。積分類比法的步驟為：①寫出現(xiàn)象的基本微分方程組和全部單值條件；②用方程式中的任一項，除以其它各項(對于類型相同的項，取其中一項即可)；③所有導(dǎo)數(shù)用相應(yīng)量的比值，即所謂的積分類比法來代替，換句話說，所有微分符號都去掉，此外，沿各軸向的分量，用量本身代替，坐標(biāo)用定性尺寸代替。最后獲得相似準(zhǔn)數(shù)。49

(2)積分類比法4950505151525253535.3模擬研究方法模擬研究方法，也稱為模型實驗技術(shù)、?；夹g(shù)。

1、模擬研究方法的特點在模型上進(jìn)行實驗研究，最后按相似理論將研究結(jié)果類推到原型。理論基礎(chǔ)為量綱分析、相似理論、實驗測試技術(shù)等。

2、模擬研究方法研究過程三個步驟

(1)收集所研究客體的有關(guān)原始資料及種參數(shù)。建立相似的物理模型。

(2)確定研究方案，在模型上開展實驗研究。

(3)將模型實驗研究結(jié)果，按相似理論外推到所模擬研究的客體上(即原型上)。545.3模擬研究方法模擬研究方法，也稱為模型實驗技術(shù)

(3)應(yīng)用方程分析法求相似準(zhǔn)數(shù)的條件

用方程分析法求相似準(zhǔn)數(shù)，要求描述現(xiàn)象的方程式(函數(shù)式)滿足下列要求時，才能應(yīng)用。變數(shù)間呈冪乘積關(guān)系，以及函數(shù)為如下形式的多項式：式中α——參數(shù)（如μ，ρ等物理參數(shù)）；b、c——常數(shù)；、x——變數(shù)。上述函數(shù)稱為相似（同族）函數(shù)。通常，流體運動、換熱、導(dǎo)熱方程都屬于此類函數(shù)。對于同為一方程式所描述，但不能作各量互成比例的函數(shù)，如y=Kxn(式中，K——常數(shù)；y,x,n——變數(shù))則不能通過相似轉(zhuǎn)換得出相似指標(biāo)式。55

(3)應(yīng)用方程分析法求相似準(zhǔn)數(shù)的條件

用方程分析

2、量綱分析法當(dāng)無法列出描述現(xiàn)象的方程時，只能寫出某種形式的不定函數(shù)式，就無法應(yīng)用方程分析方法，此時只能采用量綱分析方法來導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)。

利用量綱分析方法推導(dǎo)相似準(zhǔn)數(shù)，應(yīng)當(dāng)注意：

①應(yīng)全面考慮到所研究現(xiàn)象的全部物理量；

②根本不能組成相似準(zhǔn)則的物理量(即包含有重復(fù)量綱的物理量)應(yīng)當(dāng)刪掉；

③非獨立的物理量不應(yīng)考慮在內(nèi)；

④基本量綱成組出現(xiàn)時，應(yīng)按一個量綱考慮；

⑤如何假定多余未知數(shù)的值，對結(jié)果無影響；

⑥采用什么單位制對結(jié)果無影響。56

2、量綱分析法56

綜上所述，在量綱分析之前，應(yīng)當(dāng)全面考慮所有物理量及對物理量進(jìn)行必要的分析，以避免所得的相似準(zhǔn)數(shù)數(shù)目不全，并減少量綱分析的工作量。量綱矩陣法和步步組合兩種方法。(1)量綱矩陣法(2)步步組合法57

綜上所述，在量綱分析之前，應(yīng)當(dāng)全面考慮所57

由Ipsen在20世紀(jì)60年代提出，相似準(zhǔn)數(shù)可以通過參量的逐步組合消除基本量綱，直接導(dǎo)出無量綱數(shù)群的表達(dá)式(準(zhǔn)數(shù)方程)。這種導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)的方法稱為步步組合法。

利用步步組合法最后獲得的無量綱準(zhǔn)數(shù)的形式與基本量綱被消除的先后順序及用什么樣的變量去消除這些量綱有關(guān)系?？梢岳眠@個特點安排消除基本量綱的順序，選擇好合適的消除變量。以便直接獲得所需要的、有明確物理意義的相似準(zhǔn)數(shù)，避免再進(jìn)行準(zhǔn)數(shù)的轉(zhuǎn)換。58

由Ipsen在20世紀(jì)60年代提出，相似準(zhǔn)數(shù)可以通5.3模擬研究方法模擬研究方法，也稱為模型實驗技術(shù)、?；夹g(shù)。

1、模擬研究方法的特點在模型上進(jìn)行實驗研究，最后按相似理論將研究結(jié)果類推到原型。理論基礎(chǔ)為量綱分析、相似理論、實驗測試技術(shù)等。

2、模擬研究方法研究過程三個步驟

(1)收集所研究客體的有關(guān)原始資料及種參數(shù)。建立相似的物理模型。

(2)確定研究方案，在模型上開展實驗研究。

(3)將模型實驗研究結(jié)果，按相似理論外推到所模擬研究的客體上(即原型上)。595.3模擬研究方法模擬研究方法，也稱為模型實驗技術(shù)

3、模擬研究的范圍凡是可以定量化的物理現(xiàn)象都屬于開展模擬研究的范圍。能否開展模擬研究，主要取決于這些定量化的變數(shù)之間是否存在因果關(guān)系，如果存在因果關(guān)系，即使預(yù)先不知道它們之間所存在的具體函數(shù)關(guān)系也可以開展模擬實驗研究。

但是對于那些必須用統(tǒng)計學(xué)方法處理的現(xiàn)象；不能再現(xiàn)的現(xiàn)象；不能定量化研究的現(xiàn)象，或者即使能定量化，但與那些變數(shù)相關(guān)的物理法則尚且不知的現(xiàn)象，都不適合做模型實驗研究。

60

3、模擬研究的范圍60

4、模擬研究的應(yīng)用建造大型、復(fù)雜結(jié)構(gòu)的設(shè)備如水力機(jī)械、熱工設(shè)備、化工設(shè)備等及各類運載設(shè)備。如船舶、飛機(jī)、宇宙飛船、大壩等。模擬研究方法已開始應(yīng)用于生物科學(xué)、地球科學(xué)、生命科學(xué)、電磁學(xué)、音響學(xué)等領(lǐng)域。已成為節(jié)約人力、財力、縮短研究周期的一種行之有效的工程研究方法。隨著計算機(jī)的發(fā)展，驗證隨之而發(fā)展的數(shù)學(xué)模型所要的實驗也更加復(fù)雜而多樣化，模擬技術(shù)的不斷發(fā)展為它的應(yīng)用提供了可靠的保障。61

4、模擬研究的應(yīng)用615.3.1模型研究的分類按系統(tǒng)工程的觀點，模型研究分為兩類：物理模型和符號模型研究。

物理模型研究包括：實體模型研究、近似?；芯俊⒈壤；芯康?。

符號模型研究包括數(shù)學(xué)模型研究和圖形模型研究。

圖形模型研究主要指軟件研究，研究內(nèi)容包括：圖畫；草圖；框圖（統(tǒng)稱為不嚴(yán)格圖）。圖論圖、邏輯圖、工程圖（統(tǒng)稱為嚴(yán)格圖）

數(shù)學(xué)模型研究，傳統(tǒng)工程技術(shù)領(lǐng)域把它分為確定型和隨機(jī)型。在系統(tǒng)工程中，把它分為近代數(shù)學(xué)模型和經(jīng)典數(shù)學(xué)模型。

在物理模型研究中，有時按其選用的介質(zhì)又分為水模型、空氣模型及氣體(燃?xì)?模型；按介質(zhì)的溫度分為冷模型(室溫)、熱模型(運行溫度下)及溫模型(介于室溫與運行溫度之間)。按幾何形狀分為三維模型、二維模型；按使用介質(zhì)(水)與大氣接觸與否分為開式模型及閉式模型。625.3.1模型研究的分類按系統(tǒng)工程的觀點，模型研究5.3.2物理模型的設(shè)計

物理模型研究包括物理模型的設(shè)計及實驗兩部分。一、模型設(shè)計主要內(nèi)容

1、結(jié)構(gòu)設(shè)計模型結(jié)構(gòu)不是為了參觀、展覽，主要目的在于研究內(nèi)部運動規(guī)律。在不影響研究工作的前提下，無明顯影響的部分可以簡化，降低造價，同時要便于觀察和測試。

2、原始數(shù)據(jù)

物理模型設(shè)計用的有關(guān)原始數(shù)據(jù)，應(yīng)取自實物的結(jié)構(gòu)尺寸以及熱力、空氣動力等計算結(jié)果，包括幾何尺寸、流體特性及流動特性等。635.3.2物理模型的設(shè)計物理模型研究包括物理模型的

3、模型尺寸

確定模型結(jié)構(gòu)尺寸時，除滿足幾何相似的條件外，應(yīng)注意：(1)確保研究區(qū)段的空氣速度不低于可靠測量的允許值，不宜低于2m／s。

(2)測量、觀察方便，故模型高度通常在1.5～3m之間。

(3)模型的阻力要盡量小，使一般的風(fēng)機(jī)、泵能滿足研究的需要.模型比例可以取1：1。一般采用縮小尺寸的模型，有時也采用放大尺寸的模型。

4、介質(zhì)選擇

選擇空氣為介質(zhì)的模型很普遍，在空氣流中測量可靠、準(zhǔn)確、模型結(jié)構(gòu)簡單，動力相似條件容易實現(xiàn)。

定性研究流場時，通常采用水為介質(zhì)的模型較為適宜。

設(shè)計一般過程模型時，對介質(zhì)壓力不必專門考慮。64

3、模型尺寸

確定模型結(jié)構(gòu)尺寸時，除滿足幾何相似的

5、定性尺寸

一般通道（如煙道等）選擇通道的水力半徑為定性尺寸。介質(zhì)在管內(nèi)流動時，定性尺寸選取內(nèi)徑。研究管束對流換熱時，定性尺寸取外徑。

6、定性溫度

通常選用某種平均溫度作為定性溫度。

（1）壁面的平均溫度tW；（2）流體的平均溫度tf（焓平均；體積平均和面積平均；管道進(jìn)、出口兩截面處的流體平均溫度）。（3）選取流體平均溫度和壁面溫度的不同組合作為定性溫度。65

5、定性尺寸

一般通道（如煙道等）選擇通道的水力半

7、確定模型研究的自模區(qū)

自模性物理現(xiàn)象在一定條件下自行相似的現(xiàn)象稱做自模性。

某些物體，如：粘性流體具有自模性，試驗時只要保證模型和原型處于同一自模區(qū)就不一定要求模型和原型的Re準(zhǔn)數(shù)相等，這樣可以降低模型的造價而又滿足相似的要求。

自模區(qū)的確定：

對于粘性流體的流動，按其臨界雷諾數(shù)的數(shù)值分為第一自模區(qū)和第二自模區(qū)。定義粘性流體流動時，其雷諾數(shù)Re大于第一臨界值時的范圍稱做第一自模區(qū)。雷諾數(shù)Re大于第二臨界值時，為第二自模區(qū)。66

7、確定模型研究的自模區(qū)

自模性物理現(xiàn)象在

規(guī)定用拉格朗日準(zhǔn)數(shù)La與雷諾數(shù)Re無關(guān)時作為流動流體進(jìn)入第一自模區(qū)的標(biāo)志。見圖7—1所示。

當(dāng)所研究區(qū)域流動流體的歐拉準(zhǔn)數(shù)Eu與雷諾準(zhǔn)數(shù)Re無關(guān)時，作為流動流體進(jìn)入第二自模區(qū)的標(biāo)志。見圖7—2所示。

67

規(guī)定用拉格朗日準(zhǔn)數(shù)La與雷諾數(shù)Re無關(guān)時作為流動流

對于所研究的對象，Re數(shù)的第二臨界值只有當(dāng)模型建立后，通過試驗才能得知。一般情況下，只能參照類似設(shè)備的已知雷諾數(shù)第二臨界值近似地估計所要研究設(shè)備的數(shù)值。也可以先作小模型求Re數(shù)的第二臨界值后，再考慮正式模型的設(shè)計。

對于較為復(fù)雜的流動情況，某一區(qū)域已進(jìn)入自模區(qū)，并不意味著整個系統(tǒng)均進(jìn)入自模區(qū)。此時，只要確保所研究的區(qū)域進(jìn)入自模區(qū)，即可保證研究的正確性。

在復(fù)雜的物理現(xiàn)象中，一種物理量場已進(jìn)入自模區(qū)，并不意味著其它物理量場也進(jìn)入自模區(qū)。這一點在進(jìn)行模型研究時必須引起足夠的重視。68

對于所研究的對象，Re數(shù)的第二臨界值只有當(dāng)模型建6

二、模型設(shè)計原則

(1)模型與原型必須保持幾何相似；

(2)模型所研究的現(xiàn)象與原型必須能用同一物理方程來描述；

(3)保持模型與原型進(jìn)行過程的初始條件與邊界條件相似；

(4)參與這兩種現(xiàn)象中的各物理量應(yīng)當(dāng)是相似的。

在開始模型設(shè)計前，應(yīng)首先以無量綱數(shù)群的形式寫出模型與原型過程之間必須具備的相似條件，在此前提下，按實際情況確定模型尺寸，選擇工作介質(zhì)，決定過程操作范圍。（5）設(shè)計過程結(jié)束時，可以進(jìn)行實驗，并按π定理整理數(shù)據(jù)，推廣應(yīng)用到原型。69

二、模型設(shè)計原則

(1)模型與原型必須保持幾何相似；

雷諾模型法則：

研究流體流動、模型和原型中的雷諾數(shù)Re1=Re2，則

通常稱這種被粘滯力所控制的模型法則為雷諾模型法則。

弗魯?shù)履Ｐ头▌t：

當(dāng)控制流體運動過程的主要影響因素是重力加速度g時，若保持弗魯?shù)聹?zhǔn)數(shù)相等，則模型與原型中的流動相似。若Fr1=Fr2，即

稱這種為重力所控制的模型法則為弗魯?shù)履Ｐ头▌t。

當(dāng)過程只受一個決定性準(zhǔn)數(shù)控制時，工作介質(zhì)可任意選擇。當(dāng)過程受兩個決定性準(zhǔn)數(shù)控制時，工作介質(zhì)不能任意選擇。當(dāng)過程受三個或更多個定性相似準(zhǔn)數(shù)控制時，對工作介質(zhì)的選擇要受到更多的限制，此時往往使用變型模型來研究。70

雷諾模型法則：

研究流體流動、模型和原型中的雷諾數(shù)5.3.3實驗數(shù)據(jù)的整理與綜合方法根據(jù)相似第三定理（π定理），將實驗結(jié)果整理成準(zhǔn)數(shù)之間的關(guān)系式，以便推廣到實物上去。

導(dǎo)出的非定性準(zhǔn)數(shù)可以用定性準(zhǔn)數(shù)來表示，即

（7-1）

或（7-2）

式中C，nl，n2，…，——常數(shù)。

定性相似準(zhǔn)數(shù)愈多，模型實驗愈困難，實驗工作量愈大。通常定性準(zhǔn)數(shù)不超過3個時，利用相似理論來整理和綜合實驗數(shù)據(jù)才方便。下面分別介紹僅有一個、兩個定性準(zhǔn)數(shù)時，實驗數(shù)據(jù)的整理和綜合方法。715.3.3實驗數(shù)據(jù)的整理與綜合方法根據(jù)相似第三定

（1）僅有一個定性準(zhǔn)數(shù)

方程式(7—2)可以簡化為(7—5)

計算步驟如下：

①通過模型實驗測量出π非、π定準(zhǔn)數(shù)中所包括的諸物理量；

②對所測出的一組物理量的數(shù)值，分別計算出對應(yīng)的π非和π定值；

③根據(jù)計算出的一組π非和π定，在對數(shù)坐標(biāo)上繪出圖形?？v坐標(biāo)π非，橫坐標(biāo)π定。圖形通常呈一條直線。

④在圖上確定常數(shù)n值⑤確定常數(shù)C值。在對數(shù)坐標(biāo)圖中，任意選擇一π非值，然后找出對應(yīng)的π定值，代入方程計算出C值。C值至少應(yīng)當(dāng)計算三次，取C的算術(shù)平均值。72

（1）僅有一個定性準(zhǔn)數(shù)

方程式(7—2)可以簡化為

⑥將n值和C值代入方程式(7—5)，所得準(zhǔn)數(shù)方程式即為可以應(yīng)用的準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式。

在許多情況下，各點是分布在直線的兩側(cè)，通常把方程式(7—5)經(jīng)變量變換成線性關(guān)系式

利用最小二乘法求出常數(shù)C、n。(2)當(dāng)有兩個定性準(zhǔn)數(shù)時

通常將式(7—3)簡化為(7—7)

計算步驟如下：73

⑥將n值和C值代入方程式(7—5)，所得準(zhǔn)數(shù)方程式

①選擇任一定性準(zhǔn)數(shù)，并給于某固定值。如，令：在此條件下進(jìn)行實驗，此時方程(7—7)變成式中，②按前述方法確定C1及指數(shù)n值。

③再令另一定性準(zhǔn)數(shù)為一定值。將式(7—7)改寫為

式中，并按前述方法確定C2值及指數(shù)m值。

④方程式(7—7)中C值可按下式計算或⑤將獲得的常數(shù)C、指數(shù)m、n代入方程式(7—7)，則獲得便于直接應(yīng)用的公式。74

①選擇任一定性準(zhǔn)數(shù)，并給于某固定值。如，74

應(yīng)注意的問題：

（a)方程式(7—7)也可經(jīng)過變換成二元線性關(guān)系式(7—8)

利用二元線性回歸方法確定式(7—8)中常數(shù)C及指數(shù)m、n，然后代入方程式(7—7)即可。

（b)在建立準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式過程中，可以利用分析方法簡化準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式以便使計算簡化。

（c)當(dāng)全部實驗點并不落在一條直線上而是形成一條曲線帶時，可沿整條曲線帶連成兩段或三段直線相接的折線，然后分別確定這些直線的斜率和截距，從而得到兩個或三個準(zhǔn)數(shù)方程式，計算時在不同的區(qū)段范圍使用對應(yīng)的準(zhǔn)數(shù)方程式。75

應(yīng)注意的問題：

（a)方程式(7—7)也可

5.3.4實體模型研究方法以過程、設(shè)備等實物為原型，嚴(yán)格遵循相似理論設(shè)計、制造與原型結(jié)構(gòu)尺寸相同(放大或縮小)的物理模型開展模擬研究的方法，稱為實體模型研究方法。

實體模型研究方法可用于過程設(shè)備的設(shè)計改進(jìn)、設(shè)計的驗證、研究生產(chǎn)過程操作條件、過程規(guī)律等領(lǐng)域。

實體模型研究方法具有設(shè)備制造費用低、實驗費用少、易改變操作條件、測量方便、便于觀察的優(yōu)點。它在工程界獲得廣泛的應(yīng)用。

在模型實驗時，若規(guī)定了介質(zhì)或材料的物性參數(shù)再去找這種介質(zhì)或材料非常困難。一般是預(yù)先選擇好介質(zhì)和材料，再規(guī)定基本物理量的相似倍數(shù)。76

5.3.4實體模型研究方法以過程、設(shè)備等實物為

例如，研究玻璃池窯玻璃液流動時，模擬液應(yīng)滿足定性準(zhǔn)數(shù)Gr相等。即

由上述分析可知，幾何相似倍數(shù)CL應(yīng)由運動粘度相似倍數(shù)Cν所決定，不能任意選取。為使模型尺寸大小適宜于觀察和測試，可通過調(diào)整模擬液中各成分的配比，使Cν選擇合理，保證得到合理的CL。77

例如，研究玻璃池窯玻璃液流動時，模擬液應(yīng)滿足定性準(zhǔn)

建立實體模型應(yīng)遵循的規(guī)則

(1)在模型與實物中進(jìn)行的過程屬同一性質(zhì)的現(xiàn)象，描述它們的微分方程相同。

(2)模型與原型中進(jìn)行過程的單值條件相似，即幾何條件、物理條件、邊界條件以及初始條件都相似。

(3)模型與原型的定性準(zhǔn)數(shù)相等。

滿足上述三個相似條件，則模型與原型相似。即相似三定理在實體模型相似模擬方法上的具體應(yīng)用。

但是在進(jìn)行模型實驗時，要同時滿足上述三個條件是很困難的，有時甚至無法做到。

為使實體、模型相似模擬得以進(jìn)行，通常采用近似?；姆椒?。78

建立實體模型應(yīng)遵循的規(guī)則

(1)在模型與實物中5.3.5近似?；芯糠椒ń颇；芯糠椒壳矮@得日益廣泛的實際應(yīng)用。

下面以流體動力研究為例，說明如何確定影響它的主、次要因素。

(1)粘性流體強(qiáng)制流動時，對流動狀態(tài)起主要作用的是Re準(zhǔn)數(shù)，只要原型的Re數(shù)處于自模區(qū)以內(nèi)，則模型中的Re數(shù)就不必與原型相等。

(2)模擬流體自由運動時，對流動狀態(tài)起主要作用的是Fr數(shù)(重力流動)或Gr數(shù)(自然對流)，只需要保證模型的Fr數(shù)或Gr數(shù)與原型相等，而Re數(shù)可忽略。

(3)考慮溫度場的Pr數(shù)，對于氣體來說，當(dāng)原子數(shù)目相同時，其值幾乎相等并不受溫度的影響。用冷空氣模擬不等溫的熱煙氣，準(zhǔn)數(shù)Pr自行相等。煙氣中三原子氣體的Pr數(shù)與雙原子氣體的Pr數(shù)差別不大，研究時可以忽略。Pr數(shù)對于流體流動來說，不起大的影響作用，因此，不保證Pr數(shù)相等，仍可以得到較好的結(jié)果。但對于對流換熱來說，考慮溫度場的Pr數(shù)是不可忽略的。795.3.5近似?；芯糠椒ń颇；芯糠椒壳矮@

(4)通道幾何形狀的相似(包括表面粗糙度的相似)，不易實現(xiàn)完全保證。由于粘性流體具有“穩(wěn)定性”，離開表面一定距離的流動狀態(tài)、流速分布不起影響作用。故通道的表面狀態(tài)一般不必保證相似。

(5)流體溫度不均勻情況下，模型內(nèi)各點流體的物理參數(shù)要實現(xiàn)相似很難。通常模型研究時，用等溫(如冷態(tài))的空氣或水來模擬不等溫的熱煙氣。這類絕熱模型(等溫介質(zhì))未考慮自然對流和自抽力的影響。當(dāng)需要得出準(zhǔn)確數(shù)量關(guān)系時，應(yīng)將模型上所得的準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式及流體溫度分布情況作必要的修正。乘以校正系數(shù)ρ0/ρt(式中ρ為流體的密度)。

(6)窯爐內(nèi)的燃燒過程不僅包含有物理的傳遞過程，而且還有化學(xué)反應(yīng)過程。此時燃燒過程的問題可以有條件地當(dāng)作流體流動的物理過程問題進(jìn)行相似模擬。而化學(xué)過程可以當(dāng)作一個疊加變量來考慮?？梢杂脽嵩?、點火溫度等概念來代替實際發(fā)生的化學(xué)過程。80

(4)通道幾何形狀的相似(包括表面粗糙度的相似)，5.3.6比例?；ㄈ绻ㄐ詼?zhǔn)數(shù)的數(shù)目在二三個以上，要同時保證它們在模型與原型之間相等，則很難實現(xiàn)。要是忽略掉一些較次要的定性準(zhǔn)數(shù)，又會造成較大的誤差。這里采用比例?；?。

比例模化法，就是在相似條件中，將被忽略掉的次要定性準(zhǔn)數(shù)所產(chǎn)生的影響，用若干個改正因子k1,k2，…，kn分別表示，將其分別乘以模型保留的各定性準(zhǔn)數(shù)，再使模型與原型相應(yīng)的定性準(zhǔn)數(shù)相等的一種近似?；椒?。該方法模擬結(jié)果的準(zhǔn)確度較高，可以較好地滿足工程的要求。815.3.6比例?；ㄈ绻ㄐ詼?zhǔn)數(shù)的數(shù)目在二

82

825.3.7特殊?；C合與局部?；C合為使若干過程綜合的復(fù)雜現(xiàn)象的實體模型能夠建立起來，可以對現(xiàn)象極端情況下進(jìn)行模擬，然后綜合起來；也可以對現(xiàn)象的局部空間區(qū)域建立模型進(jìn)行模擬，然后整體綜合起來。

一、特殊?；C合

如果所研究的現(xiàn)象復(fù)雜，支配的物理法則較多，定性準(zhǔn)數(shù)較多而又都不能忽略，可以甚至不考慮一般情況，僅就兩三個特殊現(xiàn)象(極端情況)研究其各自的相似，最后把結(jié)果加以綜合，再恢復(fù)為一般情況。由于特殊現(xiàn)象的定性準(zhǔn)數(shù)較少，較易建立模型。

例如，窯爐火焰空間中通常既有輻射傳熱，又有對流換熱。如果兩者都在同一模型上考慮，模型很難建立。這時可以單獨研究輻射傳熱模型和單獨研究對流換熱模型，最后綜合兩者的研究結(jié)果。

835.3.7特殊?；C合與局部模化綜合為使若干過程

二、局部模化綜合

在較為復(fù)雜的情況下，從整體上做到模型與原型完全相似很困難?？梢詴簳r拋開整體，先在局部區(qū)域?qū)崿F(xiàn)相似，進(jìn)行實驗得出結(jié)果。如果依次在各局部區(qū)域進(jìn)行模型實驗，得出一系列局部區(qū)域的模擬結(jié)果，最后綜合起來就得到整體的結(jié)果。

特殊模化綜合與局部?；C合也是一種近似模擬方法。

例如研究排管和受熱面的對流換熱，只能使用局部?；C合方法。要保證受熱面邊界處溫度場分布規(guī)律的相似。作到這點非常困難，只能用局部?；C合方法。將其劃分成若干區(qū)域，依次研究每批管子的換熱，然后把若干區(qū)域綜合起來，得出整個受熱面的換熱特征。84

二、局部?；C合

在較為復(fù)雜的情況下，從整

局部?；C合的準(zhǔn)確程度問題：

(1)實驗介質(zhì)的溫度影響。當(dāng)研究對流換熱系數(shù)h時，由于h隨溫度變化不大，用定溫空氣作為模型介質(zhì)代替煙氣介質(zhì)不影響研究結(jié)果。

(2)研究熱流方向的影響時，通常采用與實物相反的熱流方向，研究起來較方便，但所得結(jié)果要進(jìn)行校正。

(3)對于密集管束排列，介質(zhì)為液態(tài)金屬時，研究對流換熱的影響不宜使用局部?；C合方法，否則易引起大的計算誤差。85

局部?；C合的準(zhǔn)確程度問題：

(1)實驗介5.3.8分割相似方法對于定性準(zhǔn)數(shù)較多，所模擬的現(xiàn)象較復(fù)雜，在模型上很難實現(xiàn)相似條件，通常采取分割相似的方法，即把現(xiàn)象分割為幾部分，制作各部分的相似模型。分割的方法有三種：按時間分隔；按空間分隔；按方向分隔。(1)時間分割法

把一個接著一個發(fā)生的不同過程按時間分割，對每個過程單獨進(jìn)行模擬。如，導(dǎo)熱過程，可以按時間分割為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程和穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程，分別進(jìn)行模擬。

865.3.8分割相似方法對于定性準(zhǔn)數(shù)較多，所模擬的

(2)空間分割法

把所研究的現(xiàn)象按空間分隔成若干部分，每部分由各自的物理法則所支配，有各自的定性準(zhǔn)數(shù)。對各部分進(jìn)行單獨的相似模擬。

(3)方向分割法

如果支配現(xiàn)象的物理法則存在有方向性的話，那么可以把現(xiàn)象按方向分別處理。除上述研究方法外，還有集總相似方法(時間、空間集總相似)，變形模型研究方法(對稱簡化、表面簡化、失真模型、替代元件、近似復(fù)制)，材料及介質(zhì)物性的近似研究方法，近似仿效模型研究方法等。87

(2)空間分割法

把所研究的現(xiàn)象按空間分隔成若干部5.3.9相似模擬的應(yīng)用范圍及可靠性模化方法在科學(xué)研究與產(chǎn)品設(shè)計中已應(yīng)用50多年，大量復(fù)雜現(xiàn)象主要依靠物理模擬方法進(jìn)行研究，尤其在工程與科研領(lǐng)域內(nèi)獲得廣泛應(yīng)用。但任何一種研究方法都不可能適用于一切現(xiàn)象，因此確定相似模擬的應(yīng)用范圍極其重要。

在采用近似模型法時，我們經(jīng)常需要忽略一些定性準(zhǔn)數(shù)，保留一些定性準(zhǔn)數(shù)。這種忽略與保留是否合理，特別對于從未研究過的一些現(xiàn)象，必須采取必要的實驗方法來旁證相似模擬結(jié)果的可靠性。通常相似模擬可靠性的旁證有兩種方法：局部旁證法與總體旁證法。885.3.9相似模擬的應(yīng)用范圍及可靠性?；椒ㄔ诳?/p>

(1)局部旁證法

在模型上進(jìn)行單項實驗，僅改變某一個參數(shù)，其余參數(shù)保持不變。如果實驗中發(fā)現(xiàn)該參數(shù)對非定性準(zhǔn)數(shù)有明顯影響，則可認(rèn)為凡包含該參數(shù)的定性準(zhǔn)數(shù)就是主要的，必須加以保證，否則就可以忽略。

(2)總體旁證法

在制作模型(大模型)的同時，再制作一個小模型。如果在小模型上按照大模型的近似模擬條件進(jìn)行實驗，所得結(jié)果與大模型相似時，就證明了大模型所確定的近似相似模擬條件是正確的，所忽略的一些次要定性準(zhǔn)數(shù)及保留下來的定性準(zhǔn)數(shù)的形式都是正確的。說明在小模型與大模型幾何相似倍數(shù)的條件下，邊界效應(yīng)與尺寸效應(yīng)的影響可以忽略不計。也說明大模型上的模擬結(jié)果推廣到幾何相似倍數(shù)大致相同的原型上是可行的、可靠的。89

(1)局部旁證法

在模型上進(jìn)行單項實驗，僅改變某一5.4工程實驗數(shù)據(jù)的分析與整理方法工程實驗數(shù)據(jù)的三種整理方法，列表法，圖示法和公式表示法。

列表法將實驗結(jié)果進(jìn)行歸納、分析，最后以表格的形式表示出來。

圖示法將經(jīng)過分析整理的實驗結(jié)果以圖形的方式繪制在坐標(biāo)紙上，供研究與分析用。

公式表示法也稱做分析表示法將實驗結(jié)果，借助數(shù)學(xué)計算，用一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式(或稱經(jīng)驗公式)表示出來。

對于工程研究，人們最感興趣的是公式表示方法。它應(yīng)用起來方便、準(zhǔn)確，變量之間的關(guān)系明確。整理出來的經(jīng)驗表達(dá)式便于推廣應(yīng)用。905.4工程實驗數(shù)據(jù)的分析與整理方法工程實驗數(shù)據(jù)的三

一個函數(shù)所涉及的變量之間的關(guān)系大致可分為兩類:一類是確定性關(guān)系，即變量之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個較精確的函數(shù)關(guān)系式來表達(dá)，例如，求圓的面積公式S=πr2。另一類為非確定關(guān)系，稱為相關(guān)關(guān)系。對于具有相關(guān)關(guān)系的問題，通?？梢越柚诨貧w分析方法來確定它們的經(jīng)驗表達(dá)式?；貧w分析方法是處理已有的實驗數(shù)據(jù)的一種數(shù)理統(tǒng)計方法?？捎没貧w分析方法來確定最佳曲線，并確定它的誤差及精度如何。91

一個函數(shù)所涉及的變量之間的關(guān)系大致可分為兩類:91

回歸分析方法除解決上述問題，還可以幫助我們解決下列問題：(1)確定所研究的變量間是否存在相關(guān)關(guān)系。對于存在相關(guān)關(guān)系的變量，確定它們的經(jīng)驗表達(dá)式(即回歸方程)。根據(jù)一個或n個變量的觀測值，預(yù)測或控制另一個變量的取值范圍，并可以確定預(yù)測或控制的精確度。(2)可以確定變量對研究問題的重要程度以決定取舍，簡化研究方案。

工程研究中，我們通常碰到的變量大多具有相關(guān)關(guān)系。因此掌握并熟練應(yīng)用這種方法將實驗結(jié)果整理成我們所需要的形式，極為重要。92

回歸分析方法除解決上述問題，還可以幫助我們解決下5.5數(shù)值計算法

5.5.1數(shù)值求解的基本思路與有限差分法對物理問題進(jìn)行數(shù)值求解的基本思想可以概括為：把原來在時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場，如溫度場、流場等，用有限個離散點上的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點上被求物理量的值。這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。935.5數(shù)值計算法

5.5.1數(shù)值求解的基本思路與有限差分

94

94

以圖4-2a所示的二維矩形域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)熱源、常物性的導(dǎo)熱問題為例，對數(shù)值求解過程的六個步驟作進(jìn)一步說明。

（1）建立控制方程及定解條件

分析問題的物理和幾何特性、時間與邊界條件，以確定它的類型和性質(zhì)，并給出其數(shù)學(xué)描述，即控制方程（導(dǎo)熱微分方程）和定解條件（初始條件和邊界條件）。

（a）

（2）區(qū)域離散化

將求解區(qū)域按一定的格式劃分成若干個子區(qū)域，并確定溫度節(jié)點的空間位置，該過程稱為離散化。

相鄰兩節(jié)點間的距離稱為步長，記為△x、△y；節(jié)點的位置以該點在兩個方向上的標(biāo)號m、n來表示。每一個節(jié)點都可以看成是以它為中心的一個小區(qū)域的代表，該小區(qū)域稱為元體（又叫控制容積）。95

以圖4-2a所示的二維矩形域內(nèi)的穩(wěn)態(tài)、無內(nèi)

(3)建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程

節(jié)點上物理量的代數(shù)方程稱為離散方程。它的建立是數(shù)值求解過程中的重要環(huán)節(jié)。如圖4—2中，節(jié)點(m，n)的代數(shù)方程，當(dāng)Δx=Δy時，有

（b）

(4)設(shè)立迭代初場

代數(shù)方程組的求解方法有直接解法與迭代法兩大類。有限差分解法中主要采用迭代法。采用此法求解時需要對被求的溫度場預(yù)先假定一個解，稱為初場，并在求解過程中不斷改進(jìn)。96

(3)建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程

節(jié)點上物理量的

(5)求解代數(shù)方程組

在圖4-2b中除m=1的左邊界上各節(jié)點的溫度為已知外，其余(M-1)×N個節(jié)點都需建立起類似于上面的離散方程，一共(M-1)×N個代數(shù)方程，構(gòu)成了一個封閉的代數(shù)方程組。

代數(shù)方程中各項的系數(shù)在整個求解過程中不再變化，稱為線性問題。如果系數(shù)不是常數(shù)，這種問題稱為非線性問題。

收斂判斷是指用迭代方法求解代數(shù)方程是否收斂，即本次迭代計算所得之解與上一次迭代計算所得之解的偏差是否小于允許值。

(6)解的分析

對于數(shù)值計算所獲得的溫度場及所需的一些其他物理量應(yīng)作仔細(xì)分析，以獲得定性或定量上的一些新的結(jié)論。97

(5)求解代數(shù)方程組

在圖4-2b中除m=15.5.2結(jié)點離散方程的建立與求解一、內(nèi)結(jié)點離散方程的建立建立內(nèi)節(jié)點離散方程的方法有泰勒級數(shù)展開法及熱平衡法兩種。把圖4-2a中的節(jié)點(m，n)及其鄰點取出并放大，如圖4-3所示。

(1)泰勒(Taylor)級數(shù)展開法以節(jié)點(m，n)處的二階偏導(dǎo)數(shù)為例，用這種方法來導(dǎo)出其差分表達(dá)式。

對節(jié)點（m+1，n）及（m-1，n）分別寫出函數(shù)t對（m，n）點的泰勒級數(shù)展開式：985.5.2結(jié)點離散方程的建立與求解一、內(nèi)結(jié)點離散方程的建立

將式(c)、(d)相加得

99

99

將式(e)改寫成的表示式，有（f）

這是用三個離散點上的值來計算二階導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格的表達(dá)式，其中符號O(△x2)表示未明確寫出的級數(shù)余項中△x的最低階數(shù)為2。在進(jìn)行數(shù)值計算時，希望得出用三個相鄰節(jié)點上的值表示的二階導(dǎo)數(shù)的近似表達(dá)式。于是，略去式(f)中的余項后，得（4-1a）

此為二階導(dǎo)數(shù)的差分表達(dá)式，稱為中心差分。100

將式(e)改寫成的表示式，

同理可有（4-1b）

將式(4-1)代人式(a)，節(jié)點(m，n)的離散方程（4-2）

如果△x=△y，則式(4-2)即變?yōu)槭?b)。101

同理可有101

(2)熱平衡法對每個節(jié)點所代表的元體可用傅里葉導(dǎo)熱定律直接寫出其能量守恒的表達(dá)式。此時把節(jié)點看成是元體的代表。例如，從節(jié)點(m-1，n)通過界面ω傳導(dǎo)到節(jié)點(m，n)的熱流量可表示為

（g）

類似地可以寫出通過其他三個界面e、n及s而傳導(dǎo)給節(jié)點(m，n)的熱量。對于所研究的問題，元體(m，n)的能量守恒方程為（h）將類似于式(g)的表達(dá)式代人得：102

(2)熱平衡法102

（4-3）

注意，式(4-3)中的各項熱流量都以導(dǎo)入元體(m，n)的方向為正。

對式(4-3)進(jìn)一步簡化可得出式(4-2)。由上述推導(dǎo)過程可見，用熱平衡法導(dǎo)出式(4-3)的思路和過程與前面建立導(dǎo)熱微分方程的思路和過程完全一致，所不同的只是前面所討論的是一個微元體，而此處為有限大小的元體。這種方法物理概念清晰，推導(dǎo)過程簡捷。

上述分析與推導(dǎo)都是對笛卡兒坐標(biāo)系進(jìn)行的，其他坐標(biāo)系中導(dǎo)熱問題的離散方程的推導(dǎo)可仿此進(jìn)行。103

103

二、邊界結(jié)點離散方程的建立

對于第一類邊界條件的導(dǎo)熱問題，所有內(nèi)節(jié)點的離散方程組成了一個封閉的代數(shù)方程組，可立即進(jìn)行求解。

但對于含有第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，由內(nèi)節(jié)點的離散方程組成的方程組是不封閉的，必須對位于這類邊界上的節(jié)點補(bǔ)充相應(yīng)的代數(shù)方程，才能使方程組封閉。

把第二類邊界條件及第三類邊界條件合并起來考慮，并以qW代表邊界上已知的熱流密度值或熱流密度表達(dá)式，用熱平衡方法導(dǎo)出三類典型邊界節(jié)點的離散方程，然后針對qW的三種不同情況使導(dǎo)得的離散方程進(jìn)一步具體化。為使結(jié)果更具一般性，假設(shè)物體具有內(nèi)熱源(不必均布)。104

二、邊界結(jié)點離散方程的建立104

(1)位于平直邊界上的節(jié)點這時邊界節(jié)點(m，n)代表半個元體。如圖4-4中有陰影線的區(qū)域所示。設(shè)邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw,于是該元體的能量守恒定律可表示為（4-4a）

△x=△y，時有（4-4b）105

(1)位于平直邊界上的節(jié)點105

(2)外部角點

在如圖4-5所示的二維墻角計算區(qū)域中，節(jié)點A～E均為外部角點，其特點是每個節(jié)點僅代表四分之一個以△x、△y為邊長的元體。今以外部角點D為例，假設(shè)其邊界上有向該元體傳遞的熱流密度qw，則其熱平衡式為

（4-5a）

Δx=Δy時有

（4-5b）106

(2)外部角點

在如圖4-5所示的二維墻角計

(3)內(nèi)部角點

圖4-5中的F點為內(nèi)部角點，代表了四分之三個元體。在同樣的假設(shè)條件下有

（4-6a）

△x=△y時有

（4-6b）107

(3)內(nèi)部角點

圖4-5中的F點為內(nèi)部角點，代

（4）關(guān)于邊界熱流密度的三種情況。

①絕熱邊界令式(4-4)～(4-6)中的qw=0即可。

②qw值不為零以給定的qw值代入上述方程，但要注意上述三式中以傳入計算區(qū)域的熱量為正。

③對流邊界此時qw=h(tf-tm，n)，將此表達(dá)式代入式(4-4)～(4-6)，并將此項中的tm，nn與等號前的tm，nn合并。對于Δx=Δy的情形有：

平直邊界

（4-7）

外部角點

（4-8）

內(nèi)部角點

（4-9）

出現(xiàn)在式(4-7)～(4-9)中的無量綱數(shù)hΔx/λ是以網(wǎng)格步長Δx為特征長度的Bi數(shù)，它是在對流邊界條件的離散過程中引入的。108

（4）關(guān)于邊界熱流密度的三種情況。

①絕熱邊界

另外，當(dāng)計算區(qū)域中出現(xiàn)曲線邊界或傾斜的邊界時，常常用階梯形的折線來模擬真實邊界，然后再用上述方法建立起邊界節(jié)點的離散方程。109

另外，當(dāng)計算區(qū)域中出現(xiàn)曲線邊界或傾斜的邊界時，

三、迭代法求解代數(shù)方程

迭代法中應(yīng)用較廣的是高斯一賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法，現(xiàn)以簡單的三元方程組為例說明其實施步驟。

設(shè)有一個三元方程組，記為

其中ai，j(i=1，2，3；j=1，2，3)及bi(i=1，2，3)是已知的系數(shù)(設(shè)均不為零)及常數(shù)。采用高斯一賽德爾迭代法求解的步驟如下：

（1）將式(a)改寫成關(guān)于t1、t2、t3的顯式形式(迭代方程)，如

110

三、迭代法求解代數(shù)方程

迭代法中應(yīng)用較廣的是高斯一賽德

(2)假設(shè)一組解(即迭代初場)，記為，由式(b)逐一計算出改進(jìn)值。每次計算均用t的最新值代入。例如當(dāng)由式(b)中的第三式計算時代入的是之值。

(3)以計算所得之值作為初場，重復(fù)上述計算，直到相鄰兩次迭代值之差小于允許值，此時稱為已達(dá)到迭代收斂，迭代計算終止。

判斷迭代是否收斂的準(zhǔn)則一般有以下三種：其中上角標(biāo)志k及(k+1)表示迭代次數(shù)，為第k次迭代計算所得的計算區(qū)域中的最大值。當(dāng)計算區(qū)域中有接近于零的t時，采用式(4-10