預(yù)備知識回顧二重積分的計算法2022/12/141預(yù)備知識回顧2022/12/121且在積分區(qū)域D上連續(xù)時,若D為

X-

型區(qū)域

則若D為Y-型區(qū)域則利用直角坐標(biāo)計算二重積分2022/12/142且在積分區(qū)域D上連續(xù)時,若D為X-型區(qū)域則若D為Y說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-

型域或Y-

型域,則2022/12/143說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y-型例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X-型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y-型區(qū)域,

則2022/12/144例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x所例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則2022/12/145例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-

型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.2022/12/146例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)例4.計算二重積分其中區(qū)域D

是由直線與雙曲線

圍成的閉區(qū)域

.解:Y-型區(qū)域，則2022/12/147例4.計算二重積分其中區(qū)域D是由直線與雙曲線圍成的閉區(qū)例5.計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.x=2yy=2xx+y=3解:

由將D看作X-型區(qū)域，它由兩部分組成:122022/12/148例5.計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y和直線x例5(續(xù)).計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y,和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.x=2yy=2xx+y=3解:

積分域D由兩部分組成:12X-型區(qū)域2022/12/149例5(續(xù)).計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y,和第七節(jié)多維隨機(jī)變量

及其分布(1)一、二維隨機(jī)變量及其分布二、二維離散型隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量2022/12/1410第七節(jié)多維隨機(jī)變量

在實際問題中，可能遇到多個隨機(jī)變量的情形，如：1)

射擊問題中,對于彈著點(diǎn)往往需要橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)描述;2)

研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高,體重等;3)

具體評價產(chǎn)品的質(zhì)量,可能有多個評價指標(biāo)如尺寸,外形,外包裝等.2022/12/1411在實際問題中，可能遇到多個隨機(jī)變量的情形，如：1）定義：設(shè)

E

是一個隨機(jī)試驗，它的樣本空間是Ω={ω}，設(shè)X=X(ω)和Y=Y(ω)是定義在Ω

上的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個向量(X,Y)，叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。ΩωX(ω)Y(ω)一、

二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2022/12/14121）定義：ΩωX(ω)Y(ω)一、二維隨機(jī)變量及其分布函注意事項2022/12/1413注意事項2022/12/12133.聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x,y)(X,Y)2022/12/14143.聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x,y)(X,3）一個重要的公式y(tǒng)xox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)2022/12/14153）一個重要的公式y(tǒng)xox1x2y1y2(X,Y)(x24）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，即對于任意固定的y,當(dāng)x1<x2時，對于任意固定的y

,

且對于任意固定的

x,當(dāng)y1<y2時，對于任意固定的

x

,2022/12/14164）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）F(x,y)是

（3）

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),

即

F(x,y)關(guān)于

x

右連續(xù)，關(guān)于y

也右連續(xù).yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)說明：任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一個二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。2022/12/1417（3）F(x,y)=F(x+0,y),定義若X,Y均為離散隨機(jī)變量，則(X,Y)

為二維離散隨機(jī)變量,且二、二維離散隨機(jī)變量1.

二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布2022/12/1418定義若X,Y均為離散隨機(jī)變量，則(X,Y)為二XY………………………………其中2022/12/1419XY………………其中2022/12/1219設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取試求（X,Y）的聯(lián)合概率分布。例1一個值，隨機(jī)變量Y在1-X中等可能地取一整數(shù)值，解：由乘法公式易得（X,Y）的聯(lián)合概率分布。即Y

X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162022/12/1420設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取試求（X,設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布如下例2X

Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：2022/12/1421設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布如下例2XY0三、二維連續(xù)隨機(jī)變量1.二維連續(xù)隨機(jī)變量定義設(shè)X,Y均為連續(xù)隨機(jī)變量，2022/12/1422三、二維連續(xù)隨機(jī)變量1.二維連續(xù)隨機(jī)變量定義設(shè)X,聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：設(shè)G是平面上的一個區(qū)域，點(diǎn)(X,Y

)落在

G

內(nèi)的概率為：這個公式非常重要！2022/12/1423聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：設(shè)G是平面上的一例3(1)求F(x,y);1D1O

xy(2)求(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率,區(qū)域D如圖所示.2022/12/1424例3(1)求F(x,y);1D1Oxy(2)求(X,Y解(1)2022/12/1425解(1)2022/12/1225(2)1D10

xy2022/12/1426(2)1D10xy2022/12/1226例42022/12/1427例42022/12/12272022/12/14282022/12/12282022/12/14292022/12/12292022/12/14302022/12/1230x+y=12022/12/1431x+y=12022/12/1231小結(jié)：1二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率的定義及性質(zhì)。

2聯(lián)合分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。

3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度的定義及性質(zhì)，特別是4二維均勻分布和二維正態(tài)分布。2022/12/1432小結(jié)：4二維均勻分布和二維正態(tài)分布。2022/12/1231.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及分布函數(shù)3.二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度和分布函數(shù)內(nèi)容小結(jié)2022/12/14331.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合習(xí)題二(P64)：16,17,18

作業(yè)

2022/12/1434習(xí)題二(P64)：16,17,18

作業(yè)

2022/12/1思考題2022/12/1435思考題2022/12/1235備用題1.解2022/12/1436備用題1.解2022/12/1236XY01231300002022/12/1437XY01231302.解2022/12/14382.解2022/12/12382022/12/14392022/12/12392022/12/14402022/12/12403.設(shè)隨機(jī)事件A,B滿足求(X,Y)的分布列.解2022/12/14413.設(shè)隨機(jī)事件A,B滿足求(X,Y)的分布列.解2022/1所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/12/1442所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/12/1242所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/12/1443所以(X,Y)的聯(lián)合分布列為2022/12/12434.在長為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取獨(dú)立，它們的聯(lián)合密度函數(shù)為Y為線段中點(diǎn)右邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，一點(diǎn)，求兩點(diǎn)間的距離小于a/3的概率.記X為線段中點(diǎn)左邊所取點(diǎn)到端點(diǎn)0的距離，解OxaXY2022/12/14444.在長為a的線段的中點(diǎn)的兩邊隨機(jī)地各取獨(dú)立，它們的聯(lián)合密度圖2.2的陰影部分，因此，所求概率為xyO圖2-22022/12/1445圖2.2的陰影部分，因此，所求概率為xyO圖2-22022/5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為解故k=1/8.2022/12/14465.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為解故k=1/8.2xyO12234x+y=4圖2-42022/12/1447xyO12234x+y=4圖2-42022/12/12476.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為解(1)由聯(lián)合密度的性質(zhì)知2022/12/14486.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度為解(1)由聯(lián)合密度的性質(zhì)(2)求(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率，使用公式2022/12/1449(2)求(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率，使用公式2022/12于是有2022/12/1450于是有2022/12/1250預(yù)備知識回顧二重積分的計算法2022/12/1451預(yù)備知識回顧2022/12/121且在積分區(qū)域D上連續(xù)時,若D為

X-

型區(qū)域

則若D為Y-型區(qū)域則利用直角坐標(biāo)計算二重積分2022/12/1452且在積分區(qū)域D上連續(xù)時,若D為X-型區(qū)域則若D為Y說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y

-型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序,必要時還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-

型域或Y-

型域,則2022/12/1453說明:(1)若積分區(qū)域既是X-型區(qū)域又是Y-型例1.

計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x

所圍的閉區(qū)域.解法1.

將D看作X-型區(qū)域,則解法2.

將D看作Y-型區(qū)域,

則2022/12/1454例1.計算其中D是直線y＝1,x＝2,及y＝x所例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡便,先對x后對y積分,及直線則2022/12/1455例2.計算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:為計算簡例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X-

型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.2022/12/1456例3.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:由被積函數(shù)例4.計算二重積分其中區(qū)域D

是由直線與雙曲線

圍成的閉區(qū)域

.解:Y-型區(qū)域，則2022/12/1457例4.計算二重積分其中區(qū)域D是由直線與雙曲線圍成的閉區(qū)例5.計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.x=2yy=2xx+y=3解:

由將D看作X-型區(qū)域，它由兩部分組成:122022/12/1458例5.計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y和直線x例5(續(xù)).計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y,和直線x+y=3所圍的封閉區(qū)域.x=2yy=2xx+y=3解:

積分域D由兩部分組成:12X-型區(qū)域2022/12/1459例5(續(xù)).計算二重積分其中D是由直線y=2x,x=2y,和第七節(jié)多維隨機(jī)變量

及其分布(1)一、二維隨機(jī)變量及其分布二、二維離散型隨機(jī)變量三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量2022/12/1460第七節(jié)多維隨機(jī)變量

在實際問題中，可能遇到多個隨機(jī)變量的情形，如：1)

射擊問題中,對于彈著點(diǎn)往往需要橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)描述;2)

研究學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況，觀察身高,體重等;3)

具體評價產(chǎn)品的質(zhì)量,可能有多個評價指標(biāo)如尺寸,外形,外包裝等.2022/12/1461在實際問題中，可能遇到多個隨機(jī)變量的情形，如：1）定義：設(shè)

E

是一個隨機(jī)試驗，它的樣本空間是Ω={ω}，設(shè)X=X(ω)和Y=Y(ω)是定義在Ω

上的隨機(jī)變量。由它們構(gòu)成的一個向量(X,Y)，叫做二維隨機(jī)向量，或二維隨機(jī)變量。ΩωX(ω)Y(ω)一、

二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)2022/12/14621）定義：ΩωX(ω)Y(ω)一、二維隨機(jī)變量及其分布函注意事項2022/12/1463注意事項2022/12/12133.聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x,y)(X,Y)2022/12/14643.聯(lián)合分布函數(shù)1）定義2）幾何意義yo(x,y)(X,3）一個重要的公式y(tǒng)xox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)2022/12/14653）一個重要的公式y(tǒng)xox1x2y1y2(X,Y)(x24）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù)，即對于任意固定的y,當(dāng)x1<x2時，對于任意固定的y

,

且對于任意固定的

x,當(dāng)y1<y2時，對于任意固定的

x

,2022/12/14664）分布函數(shù)具有以下的基本性質(zhì)：（1）F(x,y)是

（3）

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0),

即

F(x,y)關(guān)于

x

右連續(xù)，關(guān)于y

也右連續(xù).yxox1x2y1y2(X,Y)(x2,y2)(x2,y1)(x1,y2)(x1,y1)說明：任何二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進(jìn)一步地，我們還可以證明：如果某一個二元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。2022/12/1467（3）F(x,y)=F(x+0,y),定義若X,Y均為離散隨機(jī)變量，則(X,Y)

為二維離散隨機(jī)變量,且二、二維離散隨機(jī)變量1.

二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布2022/12/1468定義若X,Y均為離散隨機(jī)變量，則(X,Y)為二XY………………………………其中2022/12/1469XY………………其中2022/12/1219設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取試求（X,Y）的聯(lián)合概率分布。例1一個值，隨機(jī)變量Y在1-X中等可能地取一整數(shù)值，解：由乘法公式易得（X,Y）的聯(lián)合概率分布。即Y

X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/162022/12/1470設(shè)隨機(jī)變量X在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取試求（X,設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布如下例2X

Y0123010/506/504/501/5019/5010/503/50025/502/5000解：2022/12/1471設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率分布如下例2XY0三、二維連續(xù)隨機(jī)變量1.二維連續(xù)隨機(jī)變量定義設(shè)X,Y均為連續(xù)隨機(jī)變量，2022/12/1472三、二維連續(xù)隨機(jī)變量1.二維連續(xù)隨機(jī)變量定義設(shè)X,聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：設(shè)G是平面上的一個區(qū)域，點(diǎn)(X,Y

)落在

G

內(nèi)的概率為：這個公式非常重要！2022/12/1473聯(lián)合概率密度的性質(zhì)：設(shè)G是平面上的一例3(1)求F(x,y);1D1O

xy(2)求(X,Y)落在區(qū)域D內(nèi)的概率,區(qū)域D如圖所示.2022/12/1474例3(1)求F(x,y);1D1Oxy(2)求(X,Y解(1)2022/12/1475解(1)2022/12/1225(2)1D10

xy2022/12/1476(2)1D10xy2022/12/1226例42022/12/1477例42022/12/12272022/12/14782022/12/12282022/12/14792022/12/12292022/12/14802022/12/1230x+y=12022/12/1481x+y=12022/12/1231小結(jié)：1二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布率的定義及性質(zhì)。

2聯(lián)合分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。

3二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度的定義及性質(zhì)，特別是4二維均勻分布和二維正態(tài)分布。2022/12/1482小結(jié)：4二維均勻分布和二維正態(tài)分布。2022/12/1231.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布及分布函數(shù)3.二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度和分布函數(shù)內(nèi)容小結(jié)2022/12/14831.二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合習(xí)題二(P64)：16,17,18

作業(yè)

2022/12/1484習(xí)題二(P64)：16,17,18

作業(yè)

2022/12/1思考題2022/12/1485思考題