第四章三角形第一部分河北中考考點過關(guān)《河北·中考》數(shù)學(xué)第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線目錄（河北·中考）考點考點1直線與線段考點2角及其平分線考點3相交線考點4平行線考點5命題考點直線與線段考點11.兩個基本事實(1)直線的基本事實:兩點確定一條直線.(2)線段的基本事實:兩點之間,線段最短.2.線段的中點及性質(zhì)如圖,點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB,點M叫做線段AB的中點,即AM=BM=AB.3.線段的和差運算如圖,點B是線段AC上一點,則有:AB=①

-BC;BC=AC②

AB;AC=AB③

BC.4.兩點之間的距離:兩點間線段的長度叫做兩點間的距離.AC-+角及其平分線考點21.度、分、秒的換算:1°=60',1'=60″,度、分、秒之間的進制是60.2.余角與補角余角

若∠1+∠2=90°,則∠1與∠2互為余角.補角

若∠3+∠4=180°,則∠3與∠4互為補角.性質(zhì)同角(等角)的余角④;同角(等角)的補角⑤.相等相等角及其平分線考點23.角平分線

內(nèi)容字母表示圖示概念從一個角的頂點引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.若OC是∠AOB的平分線,則∠AOC=⑥=∠AOB.

性質(zhì)定理角平分線上的點到角兩邊的距離⑦.∵OC平分∠AOB,PM⊥OA,PN⊥OB,∴PM=PN.性質(zhì)定理的逆定理在角的內(nèi)部,到角兩邊的距離⑧的點在這個角的平分線上.如果PM⊥OA,PN⊥OB,PM=PN,那么點P在∠AOB的平分線上.∠BOC相等相等相交線考點31.對頂角(如圖)(1)對頂角有:∠1與∠3,∠2與∠4,∠5與∠7,∠6與∠8.(2)性質(zhì):對頂角⑨

.2.三線八角(如圖)(1)同位角有:∠1與⑩

,∠2與∠6,∠3與?

,∠4與∠8.(2)內(nèi)錯角有:∠2與?

,∠3與∠5.(3)同旁內(nèi)角有:∠3與∠8,∠2與?

.相等∠5∠7∠8∠5相交線考點33.垂線及其性質(zhì)(如圖)(1)垂線:在兩條直線AB和CD相交所成的四個角中,如果有一個角是?

,我們就說這兩條直線互相?

,記作“AB⊥CD”.其中一條直線叫做另一條直線的?

,它們的交點O叫做垂足.(2)垂線段:過直線外一點,作已知直線的垂線,該點與垂足之間的線段,叫做該點到該直線的垂線段.(3)點到直線的距離:直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離.(4)垂線的基本性質(zhì)①在同一平面內(nèi),過一點有且只有?

條直線與已知直線垂直;②連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,?

最短.直角垂直垂線一垂線段相交線考點3(5)線段的垂直平分線

內(nèi)容字母表示圖示概念垂直于一條線段,并且平分這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.直線CD是線段AB的垂直平分線,直線CD交線段AB于點O,則CD⊥AB,OA=OB.

性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到?

的距離相等.直線CD是線段AB的垂直平分線,點P在直線CD上,則PA=PB.性質(zhì)定理的逆定理到一條線段兩端點?________的點在這條線段的垂直平分線上.如果PA=PB,那么點P在線段AB的垂直平分線上.線段兩端點距離相等相交線考點3判定一條直線是線段的垂直平分線時,需證明直線上有兩點到線段兩端點的距離相等,切忌只證明直線上有一個點到線段兩端點的距離相等,就說這條直線是線段的垂直平分線.如圖,AB=AC,但直線AD不是線段BC的垂直平分線.溫馨提示平行線考點41.平行公理及推論2.平行線的判定和性質(zhì)平行公理經(jīng)過直線外一點有且只有?

直線與這條直線平行.平行公理的推論如果a∥b,c∥b,那么a∥c.同位角?

兩直線平行;內(nèi)錯角相等兩直線?

;同旁內(nèi)角?

兩直線平行.一條相等平行互補平行線考點43.利用平行線求角度時常見的輔助線的作法作法1:作平行線

作法2:從拐點處延長相交

結(jié)論∠ABC=∠1+∠2∠ABC=360°-∠1-∠2∠ABC=∠2-∠1平行線考點4在同一平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行;兩條平行線之間的距離處處相等.溫馨提示命題考點51.命題2.互逆命題:如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題.把其中一個命題叫做原命題時,另一個命題就叫做原命題的逆命題.第四章三角形第一部分河北中考考點過關(guān)《河北·中考》數(shù)學(xué)第二節(jié)三角形及其性質(zhì)目錄（河北·中考）考點考點1三角形的分類考點2三角形的性質(zhì)考點3三角形中的重要線段方法命題角度1三角形的三邊關(guān)系命題角度2三角形的內(nèi)角和外角命題角度3三角形中的重要線段考點三角形的分類考點1等邊三角形直角（或鈍角）三角形鈍角（或直角）三角形的性質(zhì)考點2穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和④第三邊,三角形任意兩邊之差⑤第三邊,即若一個三角形的三邊長分別為a,b,c,則|a-b|<c<a+b.邊角關(guān)系在同一個三角形中,等邊對等角,大邊對大角,小邊對小角.三角形的內(nèi)角和外角內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于⑥.外角相等關(guān)系三角形的一個外角⑦與它不相鄰的兩個內(nèi)角的⑧.如圖,有∠ACD=∠A+∠B.

不等關(guān)系三角形的一個外角⑨任何一個與它不相鄰的內(nèi)角.如圖,有∠ACD>∠A,∠ACD>∠B.大于小于180°等于和大于三角形中的重要線段考點3名稱圖示位置性質(zhì)相關(guān)結(jié)論中線

AM是△ABC的一條中線,點M是BC邊的中點.三角形的三條中線均在三角形內(nèi)部.BM=CM,S△ABM=S△ACM=⑩S△ABC.重心:三角形三條中線的交點,它到三角形頂點的距離等于它到該頂點對邊中點的距離的2倍.高線

AD是△ABC的一條高線可能在三角形的內(nèi)部、外部或三角形的邊上.AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°.垂心:三角形三條高線所在直線的交點.三角形中的重要線段考點3名稱圖示位置性質(zhì)相關(guān)結(jié)論角平分線

AD是△ABC的一條角平分線三角形的三條角平分線均在三角形內(nèi)部.∠1=∠2=?

___.內(nèi)心:三角形的三條角平分線的交點,它到三角形三邊的距離相等.中位線

EF是△ABC的一條中位線,點E,F分別是邊AB,AC的中點.在三角形內(nèi)部.EF∥?

,且EF=?

BC,S△AEF=S△ABC.∠BACBC方法三角形的三邊關(guān)系命題角度1例1[2020山東濟寧]已知三角形的兩邊長分別為3和6,則這個三角形的第三邊長可以是

(寫出一個即可).【思路分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊解答即可.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用1.判斷三條線段能否組成三角形,只需求兩條較短線段的長度之和,若這兩條線段的長度之和大于第三邊的長度,則這三條線段能組成三角形,否則不能.2.若三角形兩條邊的長分別為a,b,則第三條邊的長c的取值范圍是|a-b|<c<a+b.提分技法4(答案不唯一,正確即可)三角形的內(nèi)角和外角命題角度2例2[2020江蘇泰州中考改編]如圖,將分別含有30°,45°角的一副三角板重疊,使直角頂點重合,若兩直角重疊形成的角為65°,則圖中∠α的度數(shù)為

.【思路分析】利用三角形的內(nèi)角和定理和“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”求解即可.40°三角形中的重要線段命題角度3例3[2019湖北黃石]如圖,在△ABC中,∠B=50°,CD⊥AB于點D,∠BCD的平分線和∠BDC的平分線相交于點E,F為邊AC的中點,且CD=CF,則∠ACD+∠CED=(

)

A.125° B.145° C.175°

D.190°【思路分析】C第四章三角形第一部分河北中考考點過關(guān)《河北·中考》數(shù)學(xué)高分突破·微專項5與角平分線相關(guān)的三大模型與角平分線相關(guān)的三大模型微專項5模型一輔助線作法圖示結(jié)論見角平分線,用性質(zhì)定理已知射線AP是∠MAN的平分線.作法:過AP上一點O作OB⊥AM于點B,OC⊥AN于點C.

1.△ABO≌△ACO;2.OB=OC;3.AB=AC.與角平分線相關(guān)的三大模型微專項5例1[2019浙江湖州]如圖,在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,則四邊形ABCD的面積是 (

)A.24 B.30 C.36 D.42【思路分析】過點D作DH⊥AB交BA的延長線于點H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=CD=4,再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.B與角平分線相關(guān)的三大模型微專項5模型二輔助線作法圖示結(jié)論見“角平分線+平行線”,得等腰三角形已知射線AP是∠MAN的平分線.作法:過AP上一點O作OB∥AN交AM于點B.

1.∠BAO=∠BOA;2.AB=BO.與角平分線相關(guān)的三大模型微專項5例2如圖,已知?AOBC的頂點O(0,0),A(-1,2),點B在x軸的正半軸上.按以下步驟作圖:①以點O為圓心、適當(dāng)長度為半徑作弧,分別交邊OA,OB于點D,E;②分別以點D,E為圓心、大于DE的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB內(nèi)交于點F;③作射線OF,交邊AC于點G.則點G的坐標為 ()【思路分析】由作圖可知,OF為∠AOB的平分線.先依據(jù)勾股定理求AO的長度,再依據(jù)“OF平分∠AOB”和“AC∥OB”,得到AG=AO,進而求得點G的坐標.A與角平分線相關(guān)的三大模型微專項5模型三輔助線作法圖示結(jié)論見“角平分線+垂直”,得“三線合一”已知射線AP是∠MAN的平分線.作法:過AP上一點O作AP的垂線,交AM于點B,交AN于點C.

1.AB=AC;2.OB=OC;3.∠ABC=∠ACB.與角平分線相關(guān)的三大模型微專項5例3[2019山東青島]如圖,BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,垂足為F.若∠ABC=35°,∠C=50°,連接DE,則∠CDE的度數(shù)為 ()A.35° B.40° C.45° D.50°【思路分析】先根據(jù)“BD是△ABC的角平分線”和“AE⊥BD”,得AF=EF,∠BAE=∠BEA,繼而得到DA=DE,據(jù)此求解即可.C第四章三角形第一部分河北中考考點過關(guān)《河北·中考》數(shù)學(xué)第三節(jié)等腰三角形和直角三角形目錄（河北·中考）考點考點1等腰三角形和等邊三角形考點2直角三角形方法命題角度1等腰三角形的性質(zhì)與判定命題角度2等邊三角形的性質(zhì)與判定命題角度3直角三角形的性質(zhì)與判定考點等腰三角形和等邊三角形考點1等腰三角形等邊三角形概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.三邊都相等的三角形叫做等邊三角形.性質(zhì)(1)兩腰相等,兩底角①(簡稱“等邊對等角”).(2)頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合(簡稱“三線合一”).(3)是軸對稱圖形,有一條對稱軸.(1)三邊相等.(2)三個內(nèi)角相等,都等于②.(3)是軸對稱圖形,有三條對稱軸.判定(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形(依據(jù)“等角對等邊”).(1)三邊相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個角等于③的等腰三角形是等邊三角形.面積S=ah(a為等腰三角形的底邊長,h為底邊上的高)S=a2(a為等邊三角形的邊長)相等60°60°直角三角形考點2概念有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.性質(zhì)(1)兩銳角之和等于④.(2)斜邊上的中線等于斜邊的⑤.(3)30°角所對的直角邊等于斜邊的⑥.(4)若一條直角邊等于斜邊的一半,則這條直角邊所對的銳角等于⑦.(5)勾股定理:兩直角邊的平方和等于斜邊的平方,即a2+b2=c2(a,b為直角邊,c為斜邊).判定(1)有一個角為90°的三角形是直角三角形.(2)勾股定理的逆定理:若a2+b2=c2,則以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形.(3)如果三角形的一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是直角三角形.面積S=ch=ab(a,b為直角邊,c為斜邊,h為斜邊上的高)90°一半一半30°方法等腰三角形的性質(zhì)與判定命題角度1例1[2019邢臺二模改編]我們知道,經(jīng)過三角形一頂點和此頂點所對邊上的任意一點(不含端點)的直線,均能把三角形分割成兩個三角形,請據(jù)此回答下列問題:(1)如圖,在△ABC中,∠A=25°,∠ABC=105°,過點B作一直線交AC于點D,若BD把△ABC分割成兩個等腰三角形,則∠BDA的度數(shù)是

;(2)已知在△ABC中,AB=AC,點D為AC邊上一點,且直線BD把△ABC分割成兩個等腰三角形,則∠A的最小度數(shù)為

.130°等腰三角形的性質(zhì)與判定命題角度1【思路分析】

等腰三角形中的分類討論在解決與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問題時,如果不知道已知的邊是腰還是底邊或不知道已知的角是頂角還是底角,就需要分類討論.1.已知等腰三角形的兩邊長分別為a,b(a≠b),求周長C時,分兩種情況:(1)若腰長為a且2a>b,則周長C=2a+b;(2)若腰長為b且2b>a,則周長C=2b+a.2.已知等腰三角形的一個角為α,求頂角或底角的度數(shù)時,有三種情況:(1)若α為鈍角,則α為頂角,底角的度數(shù)為(180°-α).(2)若α為直角,則α為頂角,且該三角形為等腰直角三角形,底角為45°.(3)若α為銳角,則應(yīng)分兩種情況討論:①當(dāng)α為頂角時,底角的度數(shù)為(180°-α);②當(dāng)α為底角時,頂角的度數(shù)為180°-2α.特別注意:無論哪種情況,都要注意三角形的三邊必須滿足“任意兩邊之和大于第三邊”,三個角必須滿足“三角形的內(nèi)角和等于180°”.提分技法等腰三角形的性質(zhì)與判定命題角度1等邊三角形的性質(zhì)與判定命題角度2例2[2020浙江紹興]如圖,已知邊長為2的等邊三角形ABC,分別以點A,C為圓心,m為半徑作弧,兩弧交于點D,連接BD.若BD的長為2,則m的值為

.【思路分析】直角三角形的性質(zhì)與判定命題角度3例3[2020內(nèi)蒙古包頭]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中點,BE⊥CD,交CD的延長線于點E.若AC=2,BC=2,則BE的長為 (

)A直角三角形的性質(zhì)與判定命題角度3【思路分析】方法一：方法二：過點D作DF⊥BC于點F.直角三角形的性質(zhì)與判定命題角度3例4

[2019湖北鄂州]如圖,已知線段AB=4,O是AB的中點,直線l經(jīng)過點O,∠1=60°,點P是直線l上一點,當(dāng)△APB為直角三角形時,BP=___________.

【思路分析】分三種情況討論:利用勾股定理或三角函數(shù)計算即可.

直角三角形的性質(zhì)與判定命題角度3解決與直角三角形有關(guān)問題的常用方法1.當(dāng)出現(xiàn)30°角時,應(yīng)想到30°角所對的直角邊是斜邊的一半.2.當(dāng)出現(xiàn)斜邊上的中線時,要想到直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半.3.作輔助線構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理或三角函數(shù)求線段長或角度.4.利用全等三角形或相似三角形的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)換求相關(guān)的量.提分技法第四章三角形第一部分河北中考考點過關(guān)《河北·中考》數(shù)學(xué)高分突破·微專項6與中點相關(guān)的五大模型與中點相關(guān)的五大模型微專項6模型輔助線作法圖示結(jié)論模型一:見中線(或類中線),可倍長已知AD是△ABC的中線.作法:延長AD到點E,使DE=AD,連接BE,CE.

1.△ABD≌△ECD;2.△ACD≌△EBD;3.四邊形ABEC是平行四邊形.已知點D是△ABC的邊BC的中點.作法1:延長ED到點F,使DF=ED,連接CF.作法2:過點C作AB的平行線,交ED的延長線于點F.

△BED≌△CFD模型二:見斜邊,想中線已知點D是Rt△ABC的斜邊AC的中點.作法:連接BD(構(gòu)造斜邊上的中線).

1.AD=BD=CD;2.∠A=∠ABD,∠C=∠CBD.與中點相關(guān)的五大模型微專項6例1

如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°.在Rt△ADE中,∠AED=90°,點D在線段AB上,點F是線段BD的中點,連接FE,FC,EC.請判斷△FEC是不是等邊三角形,并說明理由.與中點相關(guān)的五大模型微專項6【思路分析】方法一(倍長中線法):延長EF到點G,使FG=EF,連接BG,CG,根據(jù)條件證明△CBG∽△CAE,可求得∠ECG=90°,∠CEG=60°,最后結(jié)合直角三角形斜邊中線的性質(zhì),可得CF=EF,問題得證.方法二(倍長中線法):延長CF至點H,使FH=CF,連接DH,EH,根據(jù)條件證明△EDH∽△EAC,可求得∠CEH=90°,∠ECH=60°,最后結(jié)合直角三角形斜邊中線的性質(zhì),可得CF=EF,問題得證.方法三:(構(gòu)造直角三角形斜邊中線法)取AD的中點M,連接EM,根據(jù)條件證明△AEC≌△MEF,得到EC=EF,∠AEC=∠MEF,從而得到∠CEF=60°,問題得證.方法四(構(gòu)造直角三角形斜邊中線法):取AB的中點N,連接CN,根據(jù)條件證明△CAE≌△CNF,得到CE=CF,∠ACE=∠NCF,從而得到∠ECF=60°,問題得證.方法五(構(gòu)造直角三角形斜邊中線法):過點D作DP⊥BC,DO⊥AC,垂足分別為點P,O,連接PF,根據(jù)條件證明△EDF≌△CPF,得到FE=FC,∠DFE=∠PFC,從而得到∠EFC=60°,問題得證.與中點相關(guān)的五大模型微專項6【自主解答】解:△FEC是等邊三角形.理由如下:方法一(倍長中線法):如圖(1),延長EF到點G,使FG=EF,連接BG,CG,易證△EFD≌△GFB,∴BG=DE,∠FBG=∠EDF.易知∠EDA=30°,DE=AE,∠CAE=120°,∴,∠FBG=∠EDF=150°,∴∠CBG=150°-30°=120°=∠CAE,∴△CBG∽△CAE,∴∠BCG=∠ACE,

∴∠ECG=∠ECB+∠BCG=∠ECB+∠ACE=90°,∴∠CEG=60°,CF=EF,∴△FEC是等邊三角形.與中點相關(guān)的五大模型微專項6方法二(倍長中線法):如圖(2),延長CF至點H,使FH=CF,連接DH,EH,易證△DFH≌△BFC,∴DH=BC=AC,∠HDF=∠B=30°,∴,∠EDH=180°-30°-30°=120°=∠EAC,∴△EDH∽△EAC,∴∠DEH=∠AEC,

∴∠CEH=∠CED+∠DEH=∠CED+∠AEC=90°,∴∠ECH=60°,CF=EF,∴△FEC是等邊三角形.與中點相關(guān)的五大模型微專項6方法三(構(gòu)造直角三角形斜邊中線法):如圖(3),取AD的中點M,連接EM.∵∠AED=90°,∴EM=AM,又∠EAM=60°,∴△AEM是等邊三角形,∴AE=EM,∠AME=60°,∴∠EMF=120°=∠CAE.∵MF=MD+DF=

AD+

BD=

AB,AC=

AB,∴MF=AC,∴△AEC≌△MEF,∴EC=EF,∠AEC=∠MEF,∴∠CEF=∠MEF+∠CEM=∠AEC+∠CEM=∠AEM=60°,∴△FEC是等邊三角形.與中點相關(guān)的五大模型微專項6方法四(構(gòu)造直角三角形斜邊中線法):如圖(4),取AB的中點N,連接CN,則CN=AN=BN=

AB,又DF=FB=

DB,∴NF=NB-FB=

(AB-BD)=

AD=AE.易證△ACN是等邊三角形,∴AC=NC,∠ANC=60°,∴∠CNF=120°=∠CAE,∴△CAE≌△CNF,∴CE=CF,∠ACE=∠NCF,∴∠ECF=∠ECN+∠NCF=∠ECN+∠ACE=∠ACN=60°,∴△FEC是等邊三角形.與中點相關(guān)的五大模型微專項6方法五(構(gòu)造直角三角形斜邊中線法):如圖(5),過點D作DP⊥BC,DO⊥AC,垂足分別為點P,O,連接PF,則PF=DF=BF.易證DE=DO=PC,∠FPC=∠FDE=150°,△DFP是等邊三角形,∴△EDF≌△CPF,∠DFP=60°,∴FE=FC,∠DFE=∠PFC,∴∠EFC=∠DFP=60°,∴△FEC是等邊三角形.與中點相關(guān)的五大模型微專項6模型三輔助線作法圖示結(jié)論見等腰三角形,想“三線合一”已知點D是等腰三角形ABC底邊上的中點.作法:連接AD.

1.△ABD≌△ACD;2.∠BAD=∠CAD;3.AD⊥BC.與中點相關(guān)的五大模型微專項6例2

如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC的中點,點E是AB上一點.過點D作BC的垂線,過點E作AC的平行線,兩線交于點F.若AC=4,EF=3,求BE的長.【思路分析】見等腰三角形底邊中點,連接頂角頂點與底邊中點,利用“三線合一”的性質(zhì)解題.與中點相關(guān)的五大模型微專項6【自主解答】

解:如圖,連接AD.∵AB=AC,點D是BC的中點,∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,又DF⊥BC,∴點A,D,F三點共線.∵EF∥AC,∴∠F=∠CAD,∴∠BAD=∠F,∴AE=FE=3,又AB=AC=4,∴BE=4-3=1.與中點相關(guān)的五大模型微專項6模型四輔助線作法圖示結(jié)論見一個或