傅氏變換與小波分析簡介

你想知道你六十年后的樣子嗎？你想讓自己的歌聲變得美妙嗎？一切的答案都在……物理09馬立國傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!傅里葉變換1807年傅立葉提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”1829年狄里赫利個給出收斂條件拉格朗日反對發(fā)表1822年傅立葉首次發(fā)表在“熱的分析理論”

一書中2傅立葉，1768年生于法國傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!傅氏變換簡介傅立葉變換歷史：1822年，法國數(shù)學(xué)家傅里葉(J.Fourier,1768-1830)在研究熱傳導(dǎo)理論時發(fā)表了“熱的分析理論”，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去，得到廣泛應(yīng)用。19世紀(jì)末，人們制造出用于工程實際的電容器。進(jìn)入20世紀(jì)以后，諧振電路、濾波器、正弦振蕩器等一系列具體問題的解決為正弦函數(shù)與傅里葉分析的進(jìn)一步應(yīng)用開辟了廣闊的前景。在通信與控制系統(tǒng)的理論研究和工程實際應(yīng)用中，傅里葉變換法具有很多的優(yōu)點?！癋FT”快速傅里葉變換為傅里葉分析法賦予了新的生命力。

傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!4

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示：不可能用三角級數(shù)來表示一個具有間斷點的函數(shù),因此三角級數(shù)的應(yīng)用非常有限。傅里葉很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學(xué)研究，1807年他在向法國科學(xué)院呈交一篇關(guān)于熱傳導(dǎo)問題的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。這篇論文經(jīng)J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒讓德等著名數(shù)學(xué)家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關(guān)于三角級數(shù)的觀點相矛盾，而遭拒絕。由于拉格朗日的強烈反對,傅里葉的論文從未公開露面過。為了使他的研究成果能讓法蘭西研究院接受并發(fā)表,在經(jīng)過了幾次其他的嘗試以后,傅里葉才把他的成果以另一種方式出現(xiàn)在"熱的分析理論"這本書中。這本書出版于1822年,也即比他首次在法蘭西研究院宣讀他的研究成果時晚十五年。這本書已成為數(shù)學(xué)史上一部經(jīng)典性的文獻(xiàn)，其中基本上包括了他的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)成就。

作為一名出色的數(shù)學(xué)家，傅立葉更清楚兩點之間線段最短，但特殊情況下，也許曲線更有生命力，他的曲線不僅解決了個人問題更是解決了數(shù)學(xué)應(yīng)用上的大問題。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!5一、三角函數(shù)的傅里葉級數(shù):

直流分量基波分量n=1

諧波分量n>1傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!6傅立葉變換應(yīng)用傅里葉變換應(yīng)用：

傅里葉變換在物理學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、結(jié)構(gòu)動力學(xué)；數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、概率論、統(tǒng)計學(xué)、信號處理、密碼學(xué)、通訊、海洋學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量。傅立葉變換在物理的數(shù)據(jù)處理中占據(jù)著舉足輕重的地位，在后面將展示我們物理學(xué)院與之相關(guān)的實驗。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!

小波分析(Wavelet)

小波變換歷史：

小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經(jīng)驗的建立了反演公式，當(dāng)時未能得到數(shù)學(xué)家的認(rèn)可。正如1807年法國的熱學(xué)工程師J.B.J.Fourier提出任一函數(shù)都能展開成三角函數(shù)的無窮級數(shù)的創(chuàng)新概念未能得到著名數(shù)學(xué)家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認(rèn)可一樣。

幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發(fā)現(xiàn)、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準(zhǔn)備，而且J.O.Stromberg還構(gòu)造了歷史上非常類似于現(xiàn)在的小波基；1986年著名數(shù)學(xué)家Y.Meyer偶然構(gòu)造出一個真正的小波基，并與S.Mallat合作建立了構(gòu)造小波基的同意方法棗多尺度分析之后，小波分析才開始蓬勃發(fā)展起來，其中比利時女?dāng)?shù)學(xué)家I.Daubechies撰寫的《小波十講（TenLecturesonWavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。

它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數(shù)或信號進(jìn)行多尺度細(xì)化分析（MultiscaleAnalysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!8小波變換的應(yīng)用

小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號分析、圖象處理；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化；計算機分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時間，提高分辨率等。

(1)小波分析用于信號與圖象壓縮是小波分析應(yīng)用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮后能保持信號與圖象的特征不變，且在傳遞中可以抗干擾?；谛〔ǚ治龅膲嚎s方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理模型方法，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。

(2)小波在信號分析中的應(yīng)用也十分廣泛。它可以用于邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數(shù)、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。

(3)在工程技術(shù)等方面的應(yīng)用。包括計算機視覺、計算機圖形學(xué)、曲線設(shè)計、湍流、遠(yuǎn)程宇宙的研究與生物醫(yī)學(xué)方面。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!小波--連續(xù)小波變換(連續(xù))小波函數(shù)母小波:小波由時域中的小波函數(shù)ψ(t)(即母小波)和縮放函數(shù)φ(t)(也稱為父小波)來定義。L1等價于L2等價于并滿足則可作為母小波

并滿足函數(shù)傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!常用的基本小波

Haar小波haar小波用途：音頻、人臉傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!物理實驗中的傅立葉變換

聲、光、電，原子、電子、夸克，用德布羅意的話來說全是波。甚至大到天體都可以是波。物理學(xué)很多實驗是和波打交道。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!12《熱的分析理論》

書中處理了各種邊界條件下的熱傳導(dǎo)問題，以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分而著稱，他的學(xué)生以后把它們稱為傅里葉級數(shù)和傅里葉積分，這個名稱一直沿用至今。傅里葉在書中斷言：“任意”函數(shù)（實際上要滿足一定的條件,例如分段單調(diào)）都可以展開成三角級數(shù),他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。

傅里葉的創(chuàng)造性工作為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法-傅里葉級數(shù)法,從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)物理等應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展；其次，傅里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，其影響還擴及純粹數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域。傅里葉深信數(shù)學(xué)是解決實際問題的最卓越的工具，并且認(rèn)為“對自然界的深刻研究是數(shù)學(xué)最富饒的源泉。”這一見解已成為數(shù)學(xué)史上強調(diào)通過實際應(yīng)用發(fā)展數(shù)學(xué)的一種代表性的觀點。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!13余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)直流分量余弦分量系數(shù)求上式中的系數(shù)傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!14小波分析與傅立葉變換

從數(shù)學(xué)地角度來看，信號與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號處理(圖象可以看作是二維信號)，在小波分析地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號處理問題?，F(xiàn)在，對于其性質(zhì)隨時間是穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。

但是在實際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號的工具就是小波分析。小波(Wavelet)這一術(shù)語，顧名思義，“小波”就是小區(qū)域、長度有限、均值為0的波形。所謂“小”是指它具有衰減性；而稱之為“波”則是指它的波動性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間(空間)頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號(函數(shù))逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動適應(yīng)時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學(xué)方法上的重大突破。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!小波分析特點

小波變換和傅里葉變換的信號都是用正弦函數(shù)的和來表示。主要的區(qū)別是小波在時域和頻域都是局部的,而標(biāo)準(zhǔn)的傅里葉變換只在頻域上是局部的。短時距傅里葉變換(Short-timeFouriertransform)(STFT)也是時域和頻域都局部化的.但有些頻率和時間的分辨率問題，而小波通常通過多分辨率分析給出信號更好的表示。小波變換計算復(fù)雜度上也更小，只需要O(N)時間，而不是快速傅里葉變換的O(NlogN)，N代表數(shù)據(jù)大小。傅里葉變換和小波變換簡介共19頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!小波應(yīng)用

通常來講，離散小波變換(DWT)用于信號編碼，而連續(xù)小波變換(CWT)用于信號分析。所以，DWT通常用于工程和計算機科學(xué)而CWT經(jīng)常用于科學(xué)研究。

小波變換現(xiàn)在被大量不同的應(yīng)用領(lǐng)域采納，經(jīng)常取代了傅里葉變換的位置。很多物理學(xué)的領(lǐng)域經(jīng)歷了這個范式的轉(zhuǎn)變，包括分子動力學(xué)，從頭計算(abinitiocalculations),天文物理學(xué)，密度矩陣局部化，地震地質(zhì)物理學(xué)，光學(xué)，湍流，和量子力學(xué)。其他經(jīng)歷了這種變化的學(xué)科有圖像處理，血壓，心率和心電圖分析，DNA分析，蛋白質(zhì)分析，氣象學(xué)，通用信號處理，語言識別，計算機圖形學(xué)，和多分形分析。小波的一個用途是數(shù)據(jù)壓縮。和其他變換一樣，小波變換可以用于原始數(shù)