15/15函數(shù)與數(shù)學模型【第一課時】幾個函數(shù)模型的比較【教學目標】1．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義。2．區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長速度的差異。3．會選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實際問題。4．通過本節(jié)的學習，使學生認識函數(shù)模型的作用，提升學生數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。【教學重難點】1．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義。2．區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長速度的差異?！窘虒W過程】一、情境引入理財?shù)姆绞接泻芏?，如儲蓄、債券、股票、保險、外匯、基金、P2P等，因為不同的理財方式有不同的特點，要選擇自己合適的理財方式，一定要了解理財產(chǎn)品的收益與風險情況，根據(jù)我們所學習的數(shù)學知識，并結(jié)合自己的經(jīng)濟實力和需求進行選擇，最好是多掌握一些理財知識和科學的理財技巧。如果你需要理財?shù)脑?，你選擇理財方式的依據(jù)是風險低，相同時間內(nèi)收益最大化。問題函數(shù)與我們的日常生活聯(lián)系密切，不同的函數(shù)模型可以刻畫不同的自然現(xiàn)象，我們怎樣選擇函數(shù)模型去擬合呢？提示不同的函數(shù)，變化趨勢不同，我們根據(jù)實際問題選擇擬合效果較好的函數(shù)。二、新知初探比較三種函數(shù)模型的性質(zhì)，填寫下表：函數(shù)性質(zhì)y＝ax（a>1）y＝logax（a>1）y＝xα（α>0）在（0，＋∞）上的增減性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸變“陡”隨x的增大逐漸趨于穩(wěn)定隨α值而不同增長速度ax的增長快于xα的增長，xα的增長快于logax的增長增長后果當x足夠大時，有ax>xα>logax（a>1）拓展深化[微判斷]1．當x增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數(shù)。（√）2．一個好的函數(shù)模型，既能與現(xiàn)有數(shù)據(jù)高度符合又能很好地推演和預測。（√）3．函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x衰減的速度越來越慢。（√）4．由于指數(shù)函數(shù)模型增長速度最快，所以對于任意x∈R恒有ax>x2（a>1）。（×）提示當x趨于無窮大時ax>x2（a>1）恒成立。[微訓練]1．已知函數(shù)為y＝1＋2x，當x減少1個單位時，y的變化情況是（）A．y減少1個單位 B．y增加1個單位C．y減少2個單位 D．y增加2個單位解析結(jié)合函數(shù)y＝1＋2x的變化特征可知C正確。答案C2．下列函數(shù)中隨x的增大而增大且速度最快的是（）A．y＝ex B．y＝lnxC．y＝x2 D．y＝e－x解析結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的圖象變化趨勢可知A正確。答案A3．某商場在銷售空調(diào)旺季的4天內(nèi)的利潤如下表所示。時間1234利潤（千元）23.988.0115.99現(xiàn)構(gòu)建一個銷售這種空調(diào)的函數(shù)模型，應是下列函數(shù)中的（）A．y＝log2x B．y＝2xC．y＝x2 D．y＝2x解析逐個檢驗可得答案為B．答案B[微思考]對數(shù)函數(shù)y＝logax（a>1），指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>1）與冪函數(shù)y＝xn（n>0）在區(qū)間（0，＋∞）上都是增函數(shù)，哪個函數(shù)的增長速度最快？提示在描述現(xiàn)實問題的變化規(guī)律時，常用“指數(shù)爆炸”、“直線上升”、“對數(shù)增長”等術(shù)語表示指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長方式，當x足夠大時，總有ax>xn>logax（a>1）。三、合作探究題型一函數(shù)模型的增長差異【例1】（1）下列函數(shù)中，增長速度最快的是（）A．y＝2019x B．y＝x2019C．y＝log2019x D．y＝2019x（2）四個自變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907則關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是________。解析（1）比較一次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)可知，指數(shù)函數(shù)增長速度最快，故選A．（2）以爆炸式增長的變量呈指數(shù)函數(shù)變化。從表格中可以看出，四個變量y1，y2，y3，y4均是從2開始變化，且都是越來越大，但是增長速度不同，其中變量y2的增長速度最快，畫出它們的圖象（圖略），可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)型函數(shù)變化。答案（1）A（2）y2規(guī)律方法指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長差異的判斷方法（1）根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進行判斷。（2）根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)。【訓練1】函數(shù)f（x）＝2x和g（x）＝3x的圖象如圖所示，設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1<x2．（1）請指出圖中曲線C1，C2分別對應的函數(shù)；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，比較f（3），g（3），f（2021），g（2021）的大小。解（1）C1對應的函數(shù)為g（x）＝3x，C2對應的函數(shù)為f（x）＝2x。（2）∵f（3）＝8，g（3）＝9，∴f（3）<g（3），又f（4）>g（4），∴3<x2<4．從圖象上可以看出，當x>x2時，f（x）>g（x），∴f（2021）>g（2021）。又g（2021）>g（3），∴f（2021）>g（2021）>g（3）>f（3）。題型二函數(shù)模型的選取【例2】科技創(chuàng)新在經(jīng)濟發(fā)展中的作用日益凸顯。某科技公司為實現(xiàn)9000萬元的投資收益目標，準備制定一個激勵研發(fā)人員的獎勵方案：當投資收益達到3000萬元時，按投資收益進行獎勵，要求獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金總數(shù)不低于100萬元，且獎金總數(shù)不超過投資收益的20%。（1）現(xiàn)有三個獎勵函數(shù)模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3000，9000]。試分析這三個函數(shù)模型是否符合公司要求？（2）根據(jù)（1）中符合公司要求的函數(shù)模型，要使獎金額達到350萬元，公司的投資收益至少要達到多少萬元？解（1）由題意符合公司要求的函數(shù)f（x）在[3000，9000]為增函數(shù)，且對?x∈[3000，9000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤eq\f(x,5)。①對于函數(shù)f（x）＝0.03x＋8，當x＝3000時，f（3000）＝98<100，不符合要求；②對于函數(shù)f（x）＝0.8x＋200為減函數(shù)，不符合要求；③對于函數(shù)f（x）＝100log20x＋50，x∈[3000，9000]，顯然f（x）為增函數(shù)，且當x＝3000時，f（3000）>100log2020＋50＝150≥100；又因為f（x）≤f（9000）＝100log209000＋50<100log20160000＋50＝450；而eq\f(x,5)≥eq\f(3000,5)＝600，所以當x∈[3000，9000]時，f（x）max≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,5)))eq\s\do7(min)。所以f（x）≥eq\f(x,5)恒成立；因此f（x）＝100log20x＋50為滿足條件的函數(shù)模型。（2）由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8000，所以公司的投資收益至少要達到8000萬元。規(guī)律方法不同的函數(shù)增長模型的特點對于函數(shù)模型選擇的問題，熟悉各種函數(shù)模型的增長特點是關(guān)鍵。一次函數(shù)模型的增長是勻速的，二次函數(shù)模型是對稱的，一側(cè)增，一側(cè)減；指數(shù)型函數(shù)模型適合描述增長速度很快的變化規(guī)律；對數(shù)型函數(shù)模型比較適合描述增長速度平緩的變化規(guī)律；冪型函數(shù)模型介于指數(shù)型函數(shù)模型和對數(shù)型函數(shù)模型之間，適合描述不快不慢的變化規(guī)律?！居柧?】某汽車制造商在2019年初公告：公司計劃2019年生產(chǎn)目標定為43萬輛。已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：年份201620172018產(chǎn)量（萬）81830如果我們分別將2016，2017，2018，2019年定義為第一、二、三、四年，現(xiàn)在你有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指數(shù)函數(shù)模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b>0，b≠1）。哪個模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？解建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點（1，8），（2，18），（3，30）。（1）構(gòu)造二次函數(shù)模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），將點的坐標代入，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，則f（x）＝x2＋7x，故f（4）＝44，與計劃誤差為1．（2）構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b>0，b≠1），將點的坐標代入可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42，則g（x）＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(x)－42，故g（4）＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))eq\s\up12(4)－42＝44．4，與計劃誤差為1．4．由（1）（2）可得f（x）＝x2＋7x模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系。四、課堂總結(jié)1．通過對函數(shù)增長模型的選取，提升數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。2．四類不同增長的函數(shù)模型（1）增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型。（2）增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型。（3）增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)型函數(shù)模型。（4）增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型。3．函數(shù)模型的應用（1）可推演原則：建立模型一定要有意義，既能作理論分析又能計算、推理且能得出正確結(jié)論。（2）反映性原則：建立模型應與原型具有“相似性”，所得模型的解應具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題。五、課堂練習1．三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表所示：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4則關(guān)于x分別呈對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)變化的變量依次為（）A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2解析通過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等不同函數(shù)模型的增長規(guī)律比較可知，對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢，變量y3隨x的變化符合此規(guī)律；指數(shù)函數(shù)的增長速度越來越快，變量y2隨x的變化符合此規(guī)律；冪函數(shù)的增長速度介于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間，變量y1隨x的變化符合此規(guī)律。故選C．答案C2．下列函數(shù)中增長速度越來越慢的是（）A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x6 D．y＝6x解析D增長速度不變，A，C增長速度越來越快，只有B符合題意。答案B3．下列選項是四種生意預期的收益y關(guān)于時間x的函數(shù)，從足夠長遠的角度看更為有前途的生意是________（填序號）。①y＝10×1．05x；②y＝20＋x1．5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50.解析增長速度最快的函數(shù)為y＝10×1．05x，故選①。答案①4．現(xiàn)測得（x，y）的兩組對應值分別為（1，2），（2，5），現(xiàn)有兩個待選模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得（x，y）的一組對應值為（3，10.2），則應選用________作為函數(shù)模型。解析將x＝3分別代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8．由于10更接近10.2，所以選用甲模型。答案甲5．某學校為了實現(xiàn)60萬元的生源利潤目標，準備制定一個激勵招生人員的獎勵方案：在生源利潤達到5萬元時，按生源利潤進行獎勵，且獎金y（單位：萬元）隨生源利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%。現(xiàn)有三個獎勵模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1．02x，其中哪個模型符合該校的要求？解作出函數(shù)y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1．02x的圖象（如圖所示）。觀察圖象可知，在區(qū)間[5，60]上，y＝0.2x，y＝1．02x的圖象都有一部分在直線y＝3的上方，只有y＝log5x的圖象始終在y＝3和y＝0.2x的下方，這說明只有按模型y＝log5x進行獎勵才符合學校的要求。【第二課時】函數(shù)的實際應用【教學目標】1．會利用已知函數(shù)模型解決實際問題。2．能建立函數(shù)模型解決實際問題。3．通過本節(jié)內(nèi)容的學習，使學生認識函數(shù)模型的作用，提升學生數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)?！窘虒W重難點】會利用已知函數(shù)模型解決實際問題?！窘虒W過程】一、情境引入愛因斯坦說過，復利的威力比原子彈還可怕。若每月堅持投資100元，40年之后將成為百萬富翁。也就是說隨著變量的增長，指數(shù)函數(shù)值的增長是非常迅速的，可以根據(jù)這一特點來進行資金的管理。例如，按復利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期的利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要寫出本利和y關(guān)于存期x的函數(shù)式。假設(shè)存入的本金為1000元，每期的利率為2．25%。問題五期后的本利和是多少？提示解決這一問題，首先要建立一個指數(shù)函數(shù)關(guān)系式，即y＝a（1＋r）x，將相應的數(shù)據(jù)代入該關(guān)系式就可得到五年期的本利和。二、新知初探1．常見的函數(shù)模型常用函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型y＝kx＋b（k，b為常數(shù)，k≠0）（2）二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）（3）指數(shù)函數(shù)模型y＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1）（4）對數(shù)函數(shù)模型y＝mlogax＋n（m，a，n為常數(shù)，m≠0，a>0且a≠1）（5）冪函數(shù)模型y＝axn＋b（a，b為常數(shù)，a≠0）（6）分段函數(shù)模型y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）（x<m），,g（x）（x≥m）))2．解決實際問題的一般程序：實際問題→建立數(shù)學模型→求解數(shù)學模型→解決實際問題拓展深化[微判斷]1．實際問題中兩個變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系。（×）提示兩個變量之間可以有關(guān)系，但不一定是確定的函數(shù)關(guān)系。2．函數(shù)模型中，要求的定義域只需使函數(shù)式有意義。（×）提示函數(shù)模型中定義域必須滿足實際意義。3．用函數(shù)模型預測的結(jié)果和實際結(jié)果必須相等，否則函數(shù)模型就無存在意義了。（×）提示擬合函數(shù)預測的結(jié)果近似的符合實際結(jié)果即可。4．利用函數(shù)模型求實際應用問題的最值時，要特別注意取得最值時的自變量與實際意義是否相符。（√）[微訓練]1．一輛汽車在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數(shù)模型是（）A．分段函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)函數(shù) D．對數(shù)函數(shù)答案A2．若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95．76%，設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y，則x，y的函數(shù)關(guān)系是（）A．y＝0.9576eq\s\up6(\f(x,100)) B．y＝（0.9576）100xC．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.9576,100)))eq\s\up12(x) D．y＝1－0.0424eq\f(x,100)答案A3．2014年我國人口總數(shù)約為14億，如果人口的自然年增長率控制在1．25%，則預計________年我國人口將首次超過20億（lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，lg7≈0.8451）。解析設(shè)x年我國人口將超過20億，由已知條件得14（1＋1．25%）x－2014>20，x－2014>eq\f(lg\f(10,7),lg\f(81,80))＝eq\f(1－lg7,4lg3－3lg2－1)≈28．7，則x>2042．7，即x最小為2043．答案2043[微思考]在冪函數(shù)模型的解析式中，n的正負如何影響函數(shù)的單調(diào)性？提示當x>0，n>0時，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是上升的，在（0，＋∞）上為增函數(shù)；當x>0，n<0時，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)是下降的，在（0，＋∞）上為減函數(shù)。三、合作探究題型一一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)模型【例1】某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本為10000元，每生產(chǎn)一臺該儀器需要增加投入100元，已知總收入滿足函數(shù)：H（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(400x－x2，0≤x≤200，x∈N，,40000，x>200，x∈N，))其中x是儀器的月產(chǎn)量。（1）將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)（用f（x）表示）；（2）當月產(chǎn)量為何值時，車間所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（總收入＝總成本＋利潤）解（1）設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為t＝10000＋100x。又f（x）＝H（x）－t，∴f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋300x－10000，0≤x≤200，x∈N，,30000－100x，x>200，x∈N.))（2）當0≤x≤200時，f（x）＝－（x－150）2＋12500，所以當x＝150時，有最大值12500；當x>200時，f（x）＝30000－100x是減函數(shù)，f（x）<30000－100×200<12500.所以當x＝150時，f（x）取最大值，最大值為12500.所以每月生產(chǎn)150臺儀器時，利潤最大，最大利潤為12500元。規(guī)律方法1．利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點（1）方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法及利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題。（2）注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相符。2．應用分段函數(shù)時的三個注意點（1）分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏。（2）分段函數(shù)的定義域為對應每一段自變量取值范圍的并集。（3）分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論?！居柧?】在經(jīng)濟學中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）＝f（x＋1）－f（x）。某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)x臺（x∈N*）的收入函數(shù)為R（x）＝3000x－20x2（單位：元），其成本函數(shù)為C（x）＝500x＋4000（單位：元），利潤是收入與成本之差。（1）求利潤函數(shù)P（x）及邊際利潤函數(shù)MP（x）；（2）利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）是否具有相同的最大值？解（1）由題意知，x∈[1，100]，且x∈N*。P（x）＝R（x）－C（x）＝3000x－20x2－（500x＋4000）＝－20x2＋2500x－4000，MP（x）＝P（x＋1）－P（x）＝－20（x＋1）2＋2500（x＋1）－4000－（－20x2＋2500x－4000）＝2480－40x。（2）P（x）＝－20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(125,2)))eq\s\up12(2)＋74125，當x＝62或x＝63時，P（x）的最大值為74120（元）。因為MP（x）＝2480－40x是減函數(shù)，當x＝1時，MP（x）的最大值為2440（元）。因此，利潤函數(shù)P（x）與邊際利潤函數(shù)MP（x）不具有相同的最大值。題型二指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型【例2】科學研究表明：人類對聲音有不同的感覺，這與聲音的強度I（單位：瓦/平方米）有關(guān)，在實際測量時，常用L（單位：分貝）來表示聲音強弱的等級，它與聲音的強度I滿足關(guān)系式：L＝a·lgeq\f(I,I0)（a是常數(shù)），其中I0＝1×10－12瓦/平方米，如風吹落葉沙沙聲的強度I＝1×10－11瓦/平方米，它的強弱等級L＝10分貝。（1）已知生活中幾種聲音的強度如表：聲音來源聲音大小風吹落葉沙沙聲輕聲耳語很嘈雜的馬路強度I（瓦/平方米）1×10－111×10－101×10－3強弱等級L（分貝）10m90求a和m的值。（2）為了不影響正常的休息和睡眠，聲音的強弱等級一般不能超過50分貝，求此時聲音強度I的最大值。解（1）將I0＝1×10－12瓦/平方米，I＝1×10－11瓦/平方米代入L＝a·lgeq\f(I,I0)得10＝a·lgeq\f(1×10－11,1×10－12)＝alg10＝a?a＝10，則m＝10lgeq\f(1×10－10,1×10－12)＝10lg100＝20?m＝20.（2）由題意得L≤50，即10lgeq\f(I,1×10－12)≤50，得lgeq\f(I,1×10－12)≤5，即eq\f(I,1×10－12)≤105?I≤1×10－7，此時聲音強度I的最大值為10－7瓦/平方米。規(guī)律方法指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法（1）指數(shù)函數(shù)模型：y＝max（a>0且a≠1，m≠0），在實際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示。（2）對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋c（m≠0，a>0且a≠1），對數(shù)函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)的運算求解。（3）指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)應用題的解題思路：①依題意找出或建立數(shù)學模型，②依實際情況確立解析式中的參數(shù)，③依題設(shè)數(shù)據(jù)解決數(shù)學問題，④得出結(jié)論?！居柧?】一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%，10年后森林面積變?yōu)閑q\f(a,2)。為保護生態(tài)環(huán)境所剩森林面積至少要為原面積的eq\f(1,4)。已知到今年為止森林面積為eq\f(\r(2),2)A．（1）求p%的值；（2）到今年為止該森林已砍伐了多少年？（3）今后最多還能砍伐多少年？解（1）由題意得a（1－p%）10＝eq\f(a,2)，即（1－p%）10＝eq\f(1,2)，解得p%＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,10))。（2）設(shè)經(jīng)過m年森林面積為eq\f(\r(2),2)a，則a（1－p%）m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，得eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5．故到今年為止，已砍伐了5年。（3）設(shè)從今年開始，n年后森林面積為eq\f(\r(2),2)a·（1－p%）n，令eq\f(\r(2),2)a（1－p%）n≥eq\f(1,4)a，即（1－p%）n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(3,2))，得eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15，故今后最多還能砍伐15年。四、課堂總結(jié)1．通過利用已知函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)學建模素養(yǎng)；通過建立函數(shù)模型解決實際問題，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。2．函數(shù)模型的應用實例主要包括三個方面：（1）利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；（2）建立確定性的函數(shù)模型解決實際問題；（3）建立擬合函數(shù)模型解決實際問題。3．在引入自變量建立函數(shù)解決函數(shù)應用題時，一是要注意自變量的取值范圍，二是要檢驗所得結(jié)果，必要時運用估算和近似計算，以使結(jié)果符合實際問題的要求。五、課堂練習1．某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如下表：x123…y138…則下面的函數(shù)關(guān)系式中擬合效果最好的是（）A．y＝2x－1 B．y＝x2