例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：例析物理競賽中純電阻電路的簡化和等效變換計(jì)算一個(gè)電路的電阻，通常從歐姆定律出發(fā)，分析電路的串并聯(lián)關(guān)系。實(shí)際電路中，電阻的聯(lián)接千變?nèi)f化，我們需要運(yùn)用各種方法，通過等效變換將復(fù)雜電路轉(zhuǎn)換成簡單直觀的串并聯(lián)電路。本節(jié)主要介紹幾種常用的計(jì)算復(fù)雜電路等效電阻的方法。1、等勢節(jié)點(diǎn)的斷接法在一個(gè)復(fù)雜電路中，如果能找到一些完全對稱的點(diǎn)（以兩端連線為對稱軸），那么可以將接在等電勢節(jié)點(diǎn)間的導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路斷開（即去掉），也可以用導(dǎo)線或電阻或不含電源的支路將等電勢節(jié)點(diǎn)連接起來，且不影響電路的等效性。這種方法的關(guān)鍵在于找到等勢點(diǎn)，然后分析元件間的串并聯(lián)關(guān)系。常用于由等值電阻組成的結(jié)構(gòu)對稱的電路。【例題1】在圖8-4甲所示的電路中，R1=R2=R3=R4=R5=R，試求A、B兩端的等效電阻RAB。模型分析：這是一個(gè)基本的等勢縮點(diǎn)的事例，用到的是物理常識(shí)是：導(dǎo)線是等勢體，用導(dǎo)線相連的點(diǎn)可以縮為一點(diǎn)。將圖8-4甲圖中的A、D縮為一點(diǎn)A后，成為圖8-4乙圖。答案：RAB=R?！纠}2】在圖8-5甲所示的電路中，R1=1Ω，R2=4Ω，R3=3Ω，R4=12Ω，R5=10Ω，試求A、B兩端的等效電阻RAB。模型分析：這就是所謂的橋式電路，這里先介紹簡單的情形：將A、B兩端接入電源，并假設(shè)R5不存在，C、D兩點(diǎn)的電勢相等。因此，將C、D縮為一點(diǎn)C后，電路等效為圖8-5乙對于圖8-5的乙圖，求RAB是非常容易的。事實(shí)上，只要滿足=的關(guān)系，該橋式電路平衡。答案：RAB=Ω?！纠}3】在如圖所示的有限網(wǎng)絡(luò)中，每一小段導(dǎo)體的電阻均為R，試求A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻RAB。ABDC【例題4】用導(dǎo)線連接成如圖所示的框架，ABCD是正四面體，每段導(dǎo)線的電阻都是1。求ABDC2、電流分布法設(shè)有電流I從A點(diǎn)流入、B點(diǎn)流出，應(yīng)用電流分流的思想和網(wǎng)絡(luò)中兩點(diǎn)間不同路徑等電壓的思想，（即基耳霍夫定理），建立以網(wǎng)絡(luò)中各支路的電流為未知量的方程組，解出各支路電流與總電流I的關(guān)系，然后經(jīng)任一路徑計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的電壓，再由即可求出等效電阻。AB【例題1】7根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。AB【例題2】10根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，試求出A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。CDAB【例題3】8根電阻均為r的電阻絲接成如圖所示的網(wǎng)絡(luò)，C、D之間是兩根電阻絲并聯(lián)而成，試求出A、BCDAB電流疊加原理：直流電路中，任何一條支路的電流都可以看成是由電路中各個(gè)電源分別作用時(shí)，在此支路中產(chǎn)生的電流的代數(shù)和。所謂電路中只有一個(gè)電源單獨(dú)作用，就是假設(shè)將其余電源均除去，但是它們的內(nèi)阻仍應(yīng)計(jì)及?！纠}4】“田”字形電阻網(wǎng)絡(luò)如圖，每小段電阻為R，求A、B間等效電阻。BBA3、Y—△變換法在某些復(fù)雜的電路中往往會(huì)遇到電阻的Y型或△，如圖所示，有時(shí)把Y型聯(lián)接代換成等效的△型聯(lián)接，或把△型聯(lián)接代換成等效的Y型聯(lián)接，可使電路變?yōu)榇?、并?lián)，從而簡化計(jì)算，等效代換要求Y型聯(lián)接三個(gè)端紐的電壓及流過的電流與△型聯(lián)接的三個(gè)端紐相同。⑴將Y型網(wǎng)絡(luò)變換到△型電路中的變換式：⑵將△型電路變換到Y(jié)型電路的變換式：以上兩套公式的記憶方法：△→Y：分母為三個(gè)電阻的和，分子為三個(gè)待求電阻相鄰兩電阻之積。Y→△：分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對面的電阻。當(dāng)Y形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等時(shí)，與之等效的△形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等，且等于原來的三倍；同樣，當(dāng)△聯(lián)接的三個(gè)電阻相等時(shí)，與之等效的Y形聯(lián)接的三個(gè)電阻相等，且等于原來的1/3?！纠}1】對不平衡的橋式電路，求等效電阻RAB。提示：法一：“Δ→Y”變換；法二：基爾霍夫定律【例題2】試求如圖所示電路中的電流I。（分別應(yīng)用兩種變換方式計(jì)算）【課堂練習(xí)】分別求下圖中AB、CD間等效電阻。(答案：0.5R;RPQ=4Ω)4、無限網(wǎng)絡(luò)若（a＞0）在求x值時(shí)，注意到x是由無限多個(gè)組成，所以去掉左邊第一個(gè)對x值毫無影響，即剩余部分仍為x，這樣，就可以將原式等效變換為，即。所以這就是物理學(xué)中解決無限網(wǎng)絡(luò)問題的基本思路，那就是：無窮大和有限數(shù)的和仍為無窮大。⑴一維無限網(wǎng)絡(luò)【例題1】在圖示無限網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)電阻的阻值均為R，試求A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB。解法一：在此模型中，我們可以將“并聯(lián)一個(gè)R再串聯(lián)一個(gè)R”作為電路的一級(jí)，總電路是這樣無窮級(jí)的疊加。在圖8-11乙圖中，虛線部分右邊可以看成原有無限網(wǎng)絡(luò)，當(dāng)它添加一級(jí)后，仍為無限網(wǎng)絡(luò)，即RAB∥R+R=RAB解這個(gè)方程就得出了RAB的值。答案：RAB=R。解法二：可以，在A端注入電流I后，設(shè)第一級(jí)的并聯(lián)電阻分流為I1，則結(jié)合基爾霍夫第一定律和應(yīng)有的比例關(guān)系，可以得出相應(yīng)的電流值如圖8-12所示對圖中的中間回路，應(yīng)用基爾霍夫第二定律，有(I?I1)R+(I?I1)R?I1R=0解得I1=I很顯然UA?IR?I1R=UB即UAB=IR+IR=IR最后，RAB==R?！纠}2】如圖所示，由已知電阻r1、r2和r3組成的無窮長梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b間的等效電阻Rab．（開端形）【例題3】如圖所示，由已知電阻r1、r2和r3組成的無窮長梯形網(wǎng)絡(luò)，求a、b間的等效電阻Rab．（閉端形）⑵雙邊一維無限網(wǎng)絡(luò)【例題4】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨(dú)中間網(wǎng)孔上缺掉一個(gè)電阻r2，求e、f之間的等效電阻。（中間缺口形）【例題5】如圖所示，兩頭都是無窮長，唯獨(dú)旁邊缺一個(gè)電阻r2，求f、g之間的等效電阻.（旁邊缺口形）【例題6】如圖所示，求g、f間的等效電阻。（完整形）小結(jié)：一維無限網(wǎng)絡(luò)利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性。⑶二維無限網(wǎng)絡(luò)【例題7】圖為一個(gè)網(wǎng)格為正方形的平面無窮網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)都有四個(gè)電阻與上下左右四個(gè)節(jié)點(diǎn)分別相聯(lián)，每個(gè)電阻大小均為R，由此，按左右、上下一直延伸到無窮遠(yuǎn)處．A和B為網(wǎng)絡(luò)中任意兩個(gè)相鄰節(jié)點(diǎn)，試求A、B間的等效電阻RAB．模型分析：如圖，設(shè)有一電流I從A點(diǎn)流入，從無窮遠(yuǎn)處流出．由于網(wǎng)絡(luò)無窮大，故網(wǎng)絡(luò)對于A點(diǎn)是對稱的，電流I將在聯(lián)接A點(diǎn)的四個(gè)電阻上平均分配．這時(shí)，電阻R（指A、B兩節(jié)點(diǎn)間的電阻）上的電流為I/4，方向由A指向B．同理，再設(shè)一電流I從無窮遠(yuǎn)處流處，從節(jié)點(diǎn)B流出．由于網(wǎng)絡(luò)無窮大，B也是網(wǎng)絡(luò)的對稱點(diǎn)，因此在電阻R上分得的電流也為I/4，方向也是由A指向B．將上述兩種情況疊加，其結(jié)果將等效為一個(gè)從節(jié)點(diǎn)A流入網(wǎng)絡(luò)，又從節(jié)點(diǎn)B流出網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)恒電流I，在無窮遠(yuǎn)處既不流入也不流出．每個(gè)支路上的電流也是上述兩種情況下各支路電流的疊加．因此，R電阻上的電流為I/2．所以A、B兩節(jié)點(diǎn)間的電勢差為：【例題8】對圖示無限網(wǎng)絡(luò)，求A、B兩點(diǎn)間的電阻RAB。【例題9】有一個(gè)無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它由大小相同的正六邊形網(wǎng)眼組成，如圖所示。所有六邊形每邊的電阻為，求：（1）結(jié)點(diǎn)a、b間的電阻。（2）如果有電流I由a點(diǎn)流入網(wǎng)絡(luò)，由g點(diǎn)流出網(wǎng)絡(luò)，那么流過de段電阻的電流Ide為多大。解：（1）設(shè)有電流I自a點(diǎn)流入，流到四面八方無窮遠(yuǎn)處，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。再假設(shè)有電流I由四面八方匯集b點(diǎn)流出，那么必有電流由a流向c，有電流由c流向b。將以上兩種情況綜合，即有電流I由a點(diǎn)流入，自b點(diǎn)流出，由電流疊加原理可知（由a流向c）（由c流向b）因此，a、b兩點(diǎn)間等效電阻（2）假如有電流I從a點(diǎn)流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)，流向四面八方，根據(jù)對稱性，可以設(shè)應(yīng)該有因?yàn)閎、d兩點(diǎn)關(guān)于a點(diǎn)對稱，所以同理，假如有電流I從四面八方匯集到g點(diǎn)流出，應(yīng)該有最后，根據(jù)電流的疊加原理可知⑷三維無限網(wǎng)絡(luò)【例題10】假設(shè)如圖有一個(gè)無限大NaCl晶格，每一個(gè)鍵電阻為r，求相鄰兩個(gè)Na和Cl原子間的電阻?！纠}