雙星三星四星問題雙星三星四星問題雙星三星四星問題雙星三星四星問題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:雙星模型、三星模型、四星模型雙星問題1.模型構(gòu)建：在天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近，且在相互之間萬有引力作用下繞兩者連線上的某點(diǎn)做角速度、周期相同的勻速圓周運(yùn)動的恒星稱為雙星。2．模型條件：(1)兩顆星彼此相距較近。(2)兩顆星靠相互之間的萬有引力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動。(3)兩顆星繞同一圓心做圓周運(yùn)動。3．模型特點(diǎn):(1)“向心力等大反向”——兩顆星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由它們之間的萬有引力提供。(2)“周期、角速度相同”——兩顆恒星做勻速圓周運(yùn)動的周期、角速度相等。(3)三個(gè)反比關(guān)系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推導(dǎo)：根據(jù)兩球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2兩邊同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。(4)巧妙求質(zhì)量和：eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω2r1①eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω2r2②由①＋②得：eq\f(Gm1＋m2,L2)＝ω2L∴m1＋m2＝eq\f(ω2L3,G)4.解答雙星問題應(yīng)注意“兩等”“兩不等”(1)“兩等”:①它們的角速度相等。②雙星做勻速圓周運(yùn)動向心力由它們之間的萬有引力提供，即它們受到的向心力大小總是相等。(2)“兩不等”:①雙星做勻速圓周運(yùn)動的圓心是它們連線上的一點(diǎn)，所以雙星做勻速圓周運(yùn)動的半徑與雙星間的距離是不相等的，它們的軌道半徑之和才等于它們間的距離。②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1與m2一般不相等，故r1與r2一般也不相等。二、多星模型(1)定義：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)．②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)．(3)四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的恒星位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(如圖丙)．②另一種是三顆恒星始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(如圖丁所示)．三、衛(wèi)星的追及相遇問題1、某星體的兩顆衛(wèi)星從相距最近到再次相距最近遵從的規(guī)律：內(nèi)軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為2π的整數(shù)倍。2、某星體的兩顆衛(wèi)星從相距最近到相距最遠(yuǎn)遵從的規(guī)律：內(nèi)軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角與外軌道衛(wèi)星所轉(zhuǎn)過的圓心角之差為π的奇數(shù)倍。對于天體追及問題的處理思路：(1)根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝mrω2，可判斷出誰的角速度大；(2)根據(jù)兩星追上或相距最近時(shí)滿足兩星運(yùn)行的角度差等于2π的整數(shù)倍，相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩星運(yùn)行的角度差等于π的奇數(shù)倍。在與地球上物體追及時(shí)，要根據(jù)地球上物體與同步衛(wèi)星角速度相同的特點(diǎn)進(jìn)行判斷。天體物理中的雙星，三星，四星，多星系統(tǒng)是自然的天文現(xiàn)象，天體之間的相互作用遵循萬有引力的規(guī)律，他們的運(yùn)動規(guī)律也同樣遵循開普勒行星運(yùn)動的三條基本規(guī)律。雙星、三星系統(tǒng)的等效質(zhì)量的計(jì)算，運(yùn)行周期的計(jì)算等都是以萬有引力提供向心力為出發(fā)點(diǎn)的。雙星系統(tǒng)的引力作用遵循牛頓第三定律：，作用力的方向在雙星間的連線上，角速度相等，?！纠}1】天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）【解析】：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動的半徑分別為r1、r2，角速度分別為ω1、ω2。根據(jù)題意有 ① ②根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律，有 G ③G ④聯(lián)立以上各式解得 ⑤根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知 ⑥聯(lián)立③⑤⑥式解得 【例題2】神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律.天文學(xué)家觀測河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構(gòu)成，兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其他天體的影響.A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的距離保持不變，如圖4-2所示.引力常量為G，由觀測能夠得到可見星A的速率v和運(yùn)行周期T.(1)可見星A所受暗星B的引力Fa可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為m′的星體(視為質(zhì)點(diǎn))對它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，試求m′(用m1、m2表示).(2)求暗星B的質(zhì)量m2與可見星A的速率v、運(yùn)行周期T和質(zhì)量m1之間的關(guān)系式；(3)恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽質(zhì)量ms的2倍，它將有可能成為黑洞.若可見星A的速率v=×105m/s，運(yùn)行周期T=π×104s，質(zhì)量m1=6ms，試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎（G=×10-11N·m2/kg2，ms=×1030kg）解析：設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為，由題意知，A、B做勻速圓周運(yùn)動的角速度相同，設(shè)其為。由牛頓運(yùn)動定律，有，，

設(shè)A、B間距離為，則由以上各式解得由萬有引力定律，有，代入得令，通過比較得（2）由牛頓第二定律，有而可見星A的軌道半徑將代入上式解得（3）將代入上式得代入數(shù)據(jù)得設(shè)，將其代入上式得可見，的值隨的增大而增大，試令，得可見，若使以上等式成立，則必大于2，即暗星B的質(zhì)量必大于，由此可得出結(jié)論：暗星B有可能是黑洞?！纠}3】天體運(yùn)動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星，它們在萬有引力作用下間距始終保持不變，并沿半徑不同的同心軌道作勻速園周運(yùn)動，設(shè)雙星間距為L，質(zhì)量分別為M1、M2，試計(jì)算（1）雙星的軌道半徑（2）雙星運(yùn)動的周期。15.解析：雙星繞兩者連線上某點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，即：---------..-------由以上兩式可得：， 又由.----------得：【例題4】我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成,兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點(diǎn)C做勻速圓周運(yùn)動.由天文觀察測得其運(yùn)動周期為T,S1到C點(diǎn)的距離為r1,S1和S2的距離為r,已知引力常量為G.由此可求出S2的質(zhì)量為（D）A. B. C. D.答案：D解析雙星的運(yùn)動周期是一樣的,選S1為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得,則m2=.故正確選項(xiàng)D正確.【例題5】如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。求兩星球做圓周運(yùn)動的周期。在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為×1024kg和×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)果保留3位小數(shù)）【答案】⑴⑵【解析】⑴A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動，它們之間的萬有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期。因此有，，連立解得，對A根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得⑵將地月看成雙星，由⑴得將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律得化簡得所以兩種周期的平方比值為【例題6】【2012?江西聯(lián)考】如右圖，三個(gè)質(zhì)點(diǎn)a、b、c質(zhì)量分別為m1、m2、M（Mm1，Mm2）。在c的萬有引力作用下，a、b在同一平面內(nèi)繞c沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動，它們的周期之比Ta∶Tb=1∶k；從圖示位置開始，在b運(yùn)動一周的過程中，則（）A．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k次B．a(chǎn)、b距離最近的次數(shù)為k+1次C．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2kD．a(chǎn)、b、c共線的次數(shù)為2k-2【答案】D【解析】在b轉(zhuǎn)動一周過程中，a、b距離最遠(yuǎn)的次數(shù)為k-1次，a、b距離最近的次數(shù)為k-1次，故a、b、c共線的次數(shù)為2k-2，選項(xiàng)D正確?！纠}7】宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng),通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是三顆星位于同一直線上,兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行;另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行.設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m.(1)試求第一種形式下,星體運(yùn)動的線速度和周期.(2)假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動周期相同,第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少答案(1) (2)解析(1)對于第一種運(yùn)動情況,以某個(gè)運(yùn)動星體為研究對象,根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有:F1=F1+F2=mv2/R運(yùn)動星體的線速度:v=周期為T,則有T=T=4π(2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r,則三個(gè)星體做圓周運(yùn)動的半徑為R′=由于星體做圓周運(yùn)動所需要的向心力靠其它兩個(gè)星體的萬有引力的合力提供,由力的合成和牛頓運(yùn)動定律有：F合=cos30°F合=mR′所以r=R【例題8】（2012?湖北百校聯(lián)考）宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通常可忽略其他星體對四星系統(tǒng)的引力作用.已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，其運(yùn)動周期為；另一種形式是有三