大一高數-第一章數列極限_第1頁
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文檔簡介

一、數列極限的定義二、收斂數列的性質§1.2數列的極限上頁下頁鈴結束返回首頁數列

如果按照某一法則,對每一nN,對應著一個確定的實數xn,

則得到一個序列x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,這一序列叫做數列,記為{xn},

其中第n項xn叫做數列的一般項.

一、數列的極限

當n無限增大時,如果數列{xn}的一般項xn無限接近于常數a,

則常數a稱為數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂a,記為下頁數列極限的描述性定義如果一個數列沒有極限,則稱該數列是發(fā)散的。舉例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

1如果數列{xn}收斂,那么數列{xn}一定有界發(fā)散的數列是否一定無界?有界的數列是否收斂?討論下頁二、收斂數列的性質定理1(極限的唯一性)

如果數列{xn}收斂那么它的極限唯一

定理2(收斂數列的有界性)

如果數列{xn}收斂那么數列{xn}一定有界

2收斂有界

無界發(fā)散有界收斂

發(fā)散無界下頁二、收斂數列的性質定理1(極限的唯一性)

如果數列{xn}收斂那么它的極限唯一

定理2(收斂數列的有界性)

如果數列{xn}收斂那么數列{xn}一定有界

定理3(收斂數列的保號性)

如果數列{xn}收斂于a,且a0(或a0)

那么存在正整數N

當nN時有xn0(或xn0)推論

如果數列{xn}從某項起有xn0(或xn0)

且數列{xn}收斂于a

那么a0(或a0)注:

在數列{xn}中任意抽取無限多項并保持這些項在原數列中的先后次序這樣得到的一個數列稱為原數列{xn}的子數列.

定理4(收斂數列與其子數列間的關系)

如果數列{xn}收斂于a那么它的任一子數列也收斂且極限也是a下頁

例如數列{xn}1

11

1

(1)n1

的一個子數列為{x2n}

1

1

1

(1)2n1

1數列的子數列如果發(fā)散,原數列是否發(fā)散?2數列的兩個子數列收斂,但其極限不同,原數列的收斂性如何?3發(fā)散的數列的子數列

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