數(shù)學(xué)史教程主講人孫利－－李文林第十章分析的嚴(yán)格化---01數(shù)學(xué)史教程主講人孫利－－李文林第十章分1一、分析基礎(chǔ)的嚴(yán)密化19世紀(jì)分析嚴(yán)格化,波爾察諾(1781--1848)1817年發(fā)表《純粹分析證明》,柯西(1789--1851)1821年《分析教程》,1823年《無限小計(jì)算教程》,魏爾斯特拉斯的ε—δ語言,戴德金的單調(diào)有界數(shù)列收斂和實(shí)數(shù)分割理論,康托爾的集合論可數(shù)集合與不可數(shù)集合,是實(shí)數(shù)集的基數(shù).狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune,他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)。一、分析基礎(chǔ)的嚴(yán)密化19世紀(jì)分析嚴(yán)格化,波爾察諾(1781-2柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857）(一)單復(fù)變函數(shù)柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實(shí)定積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等?？挛鳎–auchy，AugustinLouis1789-3(二)分析基礎(chǔ)柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析，簡(jiǎn)稱分析)以來，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進(jìn)一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論。在柯西的著作中，沒有通行的語言，他的說法看來也不夠確切，從而有時(shí)也有錯(cuò)誤，例如由于沒有建立一致連續(xù)和一致收斂概念而產(chǎn)生的錯(cuò)誤?？墒顷P(guān)于微積分的原理，他的概念主要是正確的，其清晰程度是前所未有的。例如他關(guān)于連續(xù)函數(shù)及其積分的定義是確切的，他首先準(zhǔn)確地證明了泰勒公式，他給出了級(jí)數(shù)收斂的定義和一些判別法。(二)分析基礎(chǔ)柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)4。

柯西在分析方面最深刻的貢獻(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題。通常認(rèn)為是柯西提出的三種主要方法，即柯西－利普希茨法，逐漸逼近法和強(qiáng)級(jí)數(shù)法，實(shí)際上以前也散見到用于解的近似計(jì)算和估計(jì)。柯西的最大貢獻(xiàn)就是看到通過計(jì)算強(qiáng)級(jí)數(shù)，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。(三)常微分方程?？挛髟诜治龇矫孀钌羁痰呢暙I(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明5數(shù)理彈性理論的奠基人之一

分析方面：在一階偏微分方程論中行進(jìn)丁特征線的基本概念；認(rèn)識(shí)到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。幾何方面：開創(chuàng)了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。代數(shù)方面：首先證明了階數(shù)超過了的矩陣有特征值；與比內(nèi)同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡的結(jié)果；獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了所謂“代數(shù)要領(lǐng)”，即格拉斯曼的外代數(shù)原理。數(shù)理彈性理論的奠基人之一分析方面：在一階偏微分方程論中行進(jìn)6第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件7第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件8第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件9第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件10第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件11第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件12魏爾斯特拉斯(Weierstrass，KarlTheodorWilhelm，1815---1897)，德國數(shù)學(xué)家

1.在數(shù)學(xué)分析方面他是把嚴(yán)格的論證引進(jìn)分析學(xué)的一位大師，為分析嚴(yán)密化作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)，是分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)者之一。他改進(jìn)了波爾查諾柯西、阿貝爾的方法，早在1841年至1856年，作中學(xué)教師的魏爾斯特拉斯，就給出了今天大學(xué)數(shù)學(xué)分析教科書中一直沿用的連續(xù)函數(shù)的定義（ε-δ定義），以及完整的一套類似的表示法，使數(shù)學(xué)分析的敘述精確化。他證明了（1860）：任何有界無窮點(diǎn)集，一定存在一個(gè)極限點(diǎn)。在1860年的一次演講中，他從自然數(shù)導(dǎo)出了有理數(shù)，然后用遞增有界數(shù)列的極限來定義無理數(shù)，從而得到了整個(gè)實(shí)數(shù)系。成功地為微積分奠定理論基礎(chǔ)的理論。魏爾斯特拉斯(Weierstrass，KarlTheodo13為了說明直覺的不可靠，1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏林科學(xué)院的一次講演中，構(gòu)造了一個(gè)連續(xù)函數(shù)卻處處不可微的例子，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。這個(gè)例子推動(dòng)了人們?nèi)?gòu)造更多的函數(shù)，這樣的函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)或處處連續(xù)，但在一個(gè)稠密集或在任何點(diǎn)上都不可微。從而推動(dòng)了函數(shù)論的發(fā)展。早在1842年，魏爾斯特拉斯就有了一致收斂的概念，并利用這一概念給出了級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分和在積分號(hào)下微分的條件。1885年，魏爾斯特拉斯所證明的用多項(xiàng)式任意逼近連續(xù)函數(shù)的定理，是二十世紀(jì)的一個(gè)廣闊研究領(lǐng)域函數(shù)構(gòu)造論，即函數(shù)的逼近與插值理論的出發(fā)點(diǎn)之一。為了說明直覺的不可靠，1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏142.在解析函數(shù)方面他用冪級(jí)數(shù)來定義解析函數(shù)，并建立了一整套解析函數(shù)理論，與柯西、黎曼一起被稱為函數(shù)論的奠基人。從已知的一個(gè)在限定區(qū)域內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)出發(fā)，根據(jù)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)定理，推導(dǎo)出在其它區(qū)域中定義同一函數(shù)的另一些冪級(jí)數(shù)，這是他的一項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn)。他把整函數(shù)定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級(jí)數(shù)的和的函數(shù)；還斷定，若整函數(shù)不是多項(xiàng)式，則在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有一個(gè)本性奇點(diǎn)。魏爾斯特拉斯關(guān)于解析函數(shù)的研究成果，組成了現(xiàn)今大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)中復(fù)變函數(shù)論的主要內(nèi)容。2.在解析函數(shù)方面153、在橢圓函數(shù)方面橢圓函數(shù)是雙周期亞純函數(shù)，是從求橢圓弧長引起的。有關(guān)研究是19世紀(jì)的熱門課題。繼阿貝爾、雅克比之后，魏爾斯特拉斯在這方面作出了巨大貢獻(xiàn)。1882年，他將橢圓函數(shù)分別化成含有一個(gè)三次多項(xiàng)式的平方根的3個(gè)不同形式，把通過“反演”的第一個(gè)積分所得的橢圓函數(shù)作為基本的橢圓函數(shù)，還證明了這是最簡(jiǎn)單的雙周期函數(shù)。他證明了每個(gè)橢圓函數(shù)均可用這個(gè)基本橢圓函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)單地表示出來?？傊籂査固乩拱褭E圓函數(shù)論的研究推到了一個(gè)新的水平，進(jìn)一步完備了、改寫了、并且美化了其理論體系。3、在橢圓函數(shù)方面164、在代數(shù)領(lǐng)域1858年，他對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一般方法，并證明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，這個(gè)化簡(jiǎn)也是可能的。1868年，他已完成二次型的理論體系，并將這些結(jié)果推廣到了雙線性型。5、在變分學(xué)方面1879年，他證明了弱變分的3個(gè)條件，即函數(shù)取得極小值的充分條件。此后，他轉(zhuǎn)向了強(qiáng)變分問題，并得到了強(qiáng)變分的極大值的充分條件。在變分學(xué)方面還得到了不少的其它成果。6、在微分幾何方面魏爾斯特拉斯研究了側(cè)地線和最小曲面。4、在代數(shù)領(lǐng)域17魏爾斯特拉斯不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，而且是一位杰出的教育家，他高尚的風(fēng)范和精湛的藝術(shù)是永遠(yuǎn)值得全世界數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)的光輝典范。他培養(yǎng)了一大批有成就的數(shù)學(xué)人才，其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡婭，俄國女?dāng)?shù)學(xué)家、作家、政論家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，HermannAmandus，1843---1921，法國數(shù)學(xué)家）、I.L.富克斯（Fuchs，ImmanuelLazarus，法國數(shù)學(xué)家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，MagnusGustaf，1846--1927，瑞典數(shù)學(xué)家）、F.H.朔特基（Schottky，F(xiàn)riedrichHermann，1851---1935，法國數(shù)學(xué)家）、L.柯尼希貝格（Konigsberger，Leo，1837---1921.，法國數(shù)學(xué)家）等。魏爾斯特拉斯不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，而且是一位杰出的教育家，18

19第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件20第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件21第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件22第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件23第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件24尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）最偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。戴德金是哥廷根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。1862－1912年任不倫瑞克高等技術(shù)學(xué)校教授，發(fā)展了有理數(shù)和無理數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)（無空隙的）實(shí)數(shù)的連續(xù)系統(tǒng)，前提是實(shí)數(shù)和直線上的點(diǎn)有著一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

戴德金分割:假設(shè)給定某種方法，把所有的有理數(shù)分為兩個(gè)集合，A和B，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素，任何一種分類方法稱為有理數(shù)的一個(gè)分割。尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelm25戴德金在數(shù)學(xué)上有很多新發(fā)現(xiàn)。不少概念和定理以他的名字命名。主要貢獻(xiàn)有以下兩個(gè)方面：在實(shí)數(shù)和連續(xù)性理論方面，他提出“戴德金分割”，給出了無理數(shù)及連續(xù)性的純算術(shù)的定義。1872年，他的《連續(xù)性與無理數(shù)》出版，使他與G.康托爾、K.魏爾斯特拉斯等一起成為現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的奠基人。在代數(shù)數(shù)論方面，他建立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)和代數(shù)數(shù)域的理論，將E.E.庫默爾的理想數(shù)加以推廣，引出了現(xiàn)代的“理想”概念，并得到了代數(shù)整數(shù)環(huán)上理想的唯一分解定理。今天把滿足理想唯一分解條件的整環(huán)稱為“戴德金整環(huán)”。他在數(shù)論上的貢獻(xiàn)對(duì)19世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻影響。戴德金在數(shù)學(xué)上有很多新發(fā)現(xiàn)。不少概念和定理以他的名字命名。26

對(duì)于任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立:A有一個(gè)最大元素a，B沒有最小元素。例如A是所有≤1的有理數(shù)，B是所有>1的有理數(shù)。B有一個(gè)最小元素b，A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數(shù)。B是所有≥1的有理數(shù)。A沒有最大元素，B也沒有最小元素。例如A是所有負(fù)的有理數(shù)，零和平方小于2的正有理數(shù)，B是所有平方大于2的正有理數(shù)。顯然A和B的并集是所有的有理數(shù)，因?yàn)槠椒降扔?的數(shù)不是有理數(shù)。注:A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在于A和B兩個(gè)集合中，與A和B的并集是所有的有理數(shù)矛盾。第3種情況，戴德金稱這個(gè)分割為定義了一個(gè)無理數(shù)，或者簡(jiǎn)單的說這個(gè)分割是一個(gè)無理數(shù)。前面2種情況中，分割是有理數(shù)。這樣，所有可能的分割構(gòu)成了數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)，既有有理數(shù)，又有無理數(shù)，統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。對(duì)于任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立271888年，戴德金提出了算術(shù)公理的完整系統(tǒng)，其中包括完全數(shù)學(xué)歸納法原理的準(zhǔn)確表達(dá)方式，把映象的許多概念用最普通的形式引入數(shù)學(xué)中。此外，他還研究了結(jié)構(gòu)理論的基礎(chǔ)，使之成為現(xiàn)代代數(shù)的中心分支之一?，F(xiàn)今數(shù)學(xué)上的許多命題和術(shù)語，如環(huán)、場(chǎng)、結(jié)構(gòu)、截面、函數(shù)、定理、互換原理等，都是與他的名字聯(lián)系在一起的。他于1916年2月12日在不倫瑞克去世。盡管他的關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的許多重要思想在他生前并未被人們充分認(rèn)識(shí)，但仍然影響著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。1888年，戴德金提出了算術(shù)公理的完整系統(tǒng)，其中包括完全數(shù)學(xué)28格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845---1918）

德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人.康托爾對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是集合論和超窮數(shù)理論?？低袪柺窃趯ふ液瘮?shù)展開為三角級(jí)數(shù)表示的唯一性判別準(zhǔn)則的工作中，認(rèn)識(shí)到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究。早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，證明了函數(shù)f(x)的三角級(jí)數(shù)表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個(gè)間斷點(diǎn)處不收斂，定理仍然成立。格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinan29康托爾以一一對(duì)應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念，將有窮集合的元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無窮集合。兩個(gè)集合只有它們的元素間可以建立一一對(duì)應(yīng)才稱為是等價(jià)的。這樣就第一次對(duì)各種無窮集合按它們?cè)氐摹岸嗌佟边M(jìn)行了分類。他引進(jìn)了“可列”這個(gè)概念，把凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱為可列集合。1874年他在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表的論文中，證明了有理數(shù)集合是可列的，后來他還證明了所有的代數(shù)數(shù)的全體構(gòu)成的集合也是可列的?？低袪栆砸灰粚?duì)應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念，將有窮集合的元30第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件31第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件321872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》發(fā)表了《三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣》，把唯一性的結(jié)果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合，他首先定義了點(diǎn)集的極限點(diǎn)，然后引進(jìn)了點(diǎn)集的導(dǎo)集和導(dǎo)集的導(dǎo)集等有關(guān)重要概念。這是從唯一性問題的探索向點(diǎn)集論研究的開端，并為點(diǎn)集論奠定了理論基礎(chǔ)。以后，他又在《數(shù)學(xué)年鑒》和《數(shù)學(xué)雜志》兩刊上發(fā)表了許多文章。他稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識(shí)到并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體。他指出，如果一個(gè)集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，它就是無窮的，給出了開集、閉集和完全集等重要概念，并定義了集合的并與交兩種運(yùn)算。1872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》發(fā)表了《三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣》33在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，康托爾的集合論得到公開的承認(rèn)和熱情的稱贊。瑞士蘇黎世理工大學(xué)教授胡爾維茨（Hurwitz，Adolf，1859－1919）在他的綜合報(bào)告中，明確地闡述康托爾集合論對(duì)函數(shù)論的進(jìn)展所起的巨大推動(dòng)作用，這破天荒第一次向國際數(shù)學(xué)界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學(xué)，而是真正對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（HadamardJacques，1865－1963），報(bào)告康托爾對(duì)他的工作的重要作用。希爾伯特(HilbertDavid，1862.1.23-1943.2.14)高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”，“是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，康托爾的集合論得到34在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)重要數(shù)學(xué)問題之首。當(dāng)康托爾的樸素集合論出現(xiàn)一系列悖論時(shí)，克羅內(nèi)克的后繼者布勞威爾（1881－1966.）等人借此大做文章，希爾伯特用堅(jiān)定的語言向他的同代人宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來”。在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾35第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件361873年康托爾給戴德金的一封信中提出實(shí)數(shù)集合是否可列的問題，不久他自己得到回答：實(shí)數(shù)集合是不可列的。由于實(shí)數(shù)集合是不可列的，而代數(shù)數(shù)集合是可列的，于是他得到了必定有超越數(shù)存在的結(jié)論，而且超越數(shù)“大大多于”代數(shù)數(shù)。同年又構(gòu)造了實(shí)變函數(shù)論中著名的“康托爾集”,給出測(cè)度為零的不可數(shù)集的一個(gè)例子。1873年康托爾給戴德金的一封信中提出實(shí)數(shù)集合是否可列的問題37克羅內(nèi)克（Kronecker，Leopold；1823～1891）

德國數(shù)學(xué)家。對(duì)代數(shù)和代數(shù)數(shù)論，特別是橢圓函數(shù)理論有突出貢獻(xiàn)。克羅內(nèi)克最主要的功績(jī)?cè)谟谂y(tǒng)一數(shù)論、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)的研究?？肆_內(nèi)克（Kronecker，Leopold；1823～1838克羅內(nèi)克定理

設(shè)θ為正無理數(shù)，α為實(shí)數(shù)，則對(duì)任給正數(shù)ε，都存在兩個(gè)正整數(shù)m,n,使得∣nθ-m+α∣＜ε。α=0的特殊情況稱為狄利克雷定理?？肆_內(nèi)克的數(shù)學(xué)觀對(duì)后世有極大影響。他主張分析學(xué)應(yīng)奠基于算術(shù)，而算術(shù)的基礎(chǔ)是整數(shù)。他的名言是：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”，反映了他對(duì)當(dāng)時(shí)的分析學(xué)持批判態(tài)度。他作為直覺主義的代表人物，還曾極力反對(duì)G.康托爾的集合論?？肆_內(nèi)克定理39數(shù)學(xué)史教程主講人孫利----李文林第十章分析的嚴(yán)格化---02數(shù)學(xué)史教程主講人孫利----李文林第十章40分析的擴(kuò)展（一）復(fù)分析的建立分析的擴(kuò)展（一）復(fù)分析的建立41德國數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣義相對(duì)論的發(fā)展鋪平了道路。他的名字出現(xiàn)在黎曼ζ函數(shù)，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。他作了題為“論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)”的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。黎曼（1826～1866）Riemann，

德國數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣42在1858年發(fā)表的關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文中，研究了黎曼ζ函數(shù)，給出了ζ函數(shù)的積分表示與它滿足的函數(shù)方程，他提出著名的黎曼猜想至今仍未解決。另外，他對(duì)偏微分方程及其在物理學(xué)中的應(yīng)用有重大貢獻(xiàn)。黎曼首先提出用復(fù)變函數(shù)論特別是用ζ函數(shù)研究數(shù)論的新思想和新方法，開創(chuàng)了解析數(shù)論的新時(shí)期，并對(duì)單復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展有深刻的影響。在1858年發(fā)表的關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文中，研究了黎曼ζ函數(shù)，給43第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件44第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件45（二）解析數(shù)論的形成（二）解析數(shù)論的形成46狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune狄利克雷在數(shù)學(xué)和力學(xué)兩個(gè)領(lǐng)域都做出了名垂史冊(cè)的重大貢獻(xiàn)，尤以分析、數(shù)論、位勢(shì)倫為最.狄利克雷函數(shù)、狄利克雷級(jí)數(shù)、狄利克雷系數(shù)、狄利克雷指數(shù)、狄利克雷數(shù)據(jù)、狄利克雷型、狄利克雷抽屜原理、狄利克雷變分問題、狄利克雷除數(shù)問題、狄利克雷代數(shù)、狄利克雷范數(shù)、狄利克雷分布、狄利克雷積分、狄利克雷核、狄利克雷空間、狄利克雷間斷乘子、狄利克雷鋪砌、狄利克雷區(qū)域、狄利克雷特征標(biāo)、狄利克雷原理，以及多種狄利克雷定理等等.

狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter47對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。在分析學(xué)方面，他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)。1863年狄利克雷撰寫了《數(shù)論講義》，對(duì)高斯劃時(shí)代的著作《算術(shù)研究》作了明晰的解釋并有創(chuàng)見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構(gòu)造了狄利克雷級(jí)數(shù)。1838～1839年，他得到確定二次型類數(shù)的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數(shù)數(shù)域中單位數(shù)的阿貝爾群的結(jié)構(gòu)。對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一48在分析方面，他最卓越的工作是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的研究.他在1822—1825年期間在巴黎會(huì)見傅里葉之后，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)產(chǎn)生了興趣.日本數(shù)學(xué)家丸山哲朗說：“把任意函數(shù)用三角級(jí)數(shù)表示出來的傅里葉方法，被狄利克雷所繼承，他給出了傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性證明.”即1829年在其論文《關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性》中，第一次對(duì)傅里也級(jí)數(shù)的收斂性給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，得到函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件:“對(duì)于在[-π,π]內(nèi)有定義且有限的，逐段連續(xù)且逐段單調(diào)的函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)在（-π,π）內(nèi)收斂于,在端點(diǎn)x=±π處收斂于.這一研究還促使他將函數(shù)作了一般化的推廣.在分析方面，他最卓越的工作是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的研究.他在149他在1829年給出如下具有典型意義的例子：

他在1829年給出如下具有典型意義的例子：501837年，狄利克雷證明了：對(duì)于一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，可以把它的項(xiàng)加以組合或重新排列，而不改變?cè)?jí)數(shù)的和.并且舉例說明一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)經(jīng)過一定的重新排列，而使其收斂和發(fā)生改變，例如：

(1)將其重新排列

+....

(2)

(即（2）中的項(xiàng)是（1）中的頭兩個(gè)正項(xiàng)之后接第一個(gè)負(fù)項(xiàng)，然后是其次兩個(gè)正項(xiàng)之后接第二個(gè)負(fù)項(xiàng)，如此等等)可以驗(yàn)證重新排列后的級(jí)數(shù)(2)式收斂于.他曾明確指出，由連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其和函數(shù)未必是連續(xù)函數(shù).1837年，狄利克雷證明了：對(duì)于一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，可以把它511837年，他在證明每個(gè)算術(shù)序列{a+nb}(式中a與b互素)包含無窮多個(gè)素?cái)?shù)時(shí)，創(chuàng)立了狄利克雷級(jí)數(shù)：式中

是復(fù)數(shù)，他還證明了在序列{a+nb}中的素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的.1838—1839期間，他得到了確定二次型類數(shù)的公式.他用“若干在n個(gè)抽樣中，存在n+1個(gè)事物，那么至少在1個(gè)抽樣中，至少包含2個(gè)事物”的狄利克雷抽樣法，闡明代數(shù)數(shù)域的單位群的結(jié)構(gòu).狄利克雷發(fā)展了代數(shù)數(shù)域中關(guān)于單位的一般理論，他的《數(shù)論講義》(1863年)及其補(bǔ)編中有許多關(guān)于理想方面的重要內(nèi)容.在此書第三版中，他還對(duì)阿貝爾群的特征指標(biāo)作了一般性的描述.在1841年，他證明了關(guān)于在復(fù)數(shù)a+bi的級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)的一個(gè)定理.他在20歲時(shí)的第一篇數(shù)學(xué)論文中，就證明當(dāng)n=5時(shí)，費(fèi)馬大定理是正確的，但勒讓德指出他的證明不完全，狄利克雷把自己的證明修改后，得出了完整的證明并于1828年發(fā)表，當(dāng)時(shí)他年僅23歲.1837年，他在證明每個(gè)算術(shù)序列{a+nb}(式中a與b互素52素?cái)?shù)定理素?cái)?shù)定理53第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件54（三）數(shù)學(xué)物理方程（三）數(shù)學(xué)物理方程55第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件56第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件57第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件58讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（JeanBaptisteJosephFourier,1768---1830），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。

提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（JeanBaptisteJ59第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件60第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件61柯瓦列夫斯卡婭（СофьяВасильевнаКовалевская，1850－1891）

俄國女?dāng)?shù)學(xué)家。德國哥廷根大學(xué)哲學(xué)博士。曾任瑞典斯德哥爾摩大學(xué)教授。在偏微分方程和剛體旋轉(zhuǎn)理論等方面有重要貢獻(xiàn)。1888年因解決剛體繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題而獲得法蘭西科學(xué)院鮑廷獎(jiǎng)，并成為圣彼得堡科學(xué)院院士，是俄國歷史上獲此稱號(hào)的第一個(gè)女性?？峦吡蟹蛩箍▼I（СофьяВасильевнаКовал62歷史上的首位數(shù)學(xué)女博士柯瓦列夫斯卡婭嘔心瀝血，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)。索菲婭一生只發(fā)表過10篇數(shù)學(xué)論文。在兩段時(shí)間內(nèi)完成的：一是從1871年到1874年，在導(dǎo)師魏爾斯特拉斯教授指導(dǎo)下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。論文重點(diǎn)基本上是放在分析中的理論問題上；二是從1881年至去世，研究重點(diǎn)基本上是在力學(xué)和數(shù)學(xué)物理方法上。就數(shù)學(xué)領(lǐng)域而言，柯瓦列夫斯卡婭最重要的貢獻(xiàn)有兩個(gè)：一是關(guān)于偏微分方程中現(xiàn)在稱為柯西—柯瓦列夫斯卡婭定理的證明，這是她1874年向哥廷根大學(xué)提出的三篇論文之一；二是關(guān)于剛體統(tǒng)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)問題的工作，這使她在1888年獲得法國科學(xué)院獎(jiǎng)?？峦吡蟹蛩箍▼I的第一項(xiàng)工作屬于偏微分方程領(lǐng)域。這些方程牽涉到一個(gè)多變量函數(shù)。這種函數(shù)的一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)函數(shù)關(guān)于某一自變量的變化率。偏微分方程被看成是純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的基本領(lǐng)域。歷史上的首位數(shù)學(xué)女博士柯瓦列夫斯卡婭嘔心瀝血，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做63在《關(guān)于偏微分方程的理論》一文中，索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭證明了，在某種條件下一類給定的偏微分方程有且僅有一解。法國科學(xué)家柯西在1842年已經(jīng)提出這個(gè)問題，并且給出了一個(gè)解答，但是1873年至1874年間，無論是魏爾斯特拉斯教授還是索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭都不知道他的工作。實(shí)際上，直到1875年法國人達(dá)布發(fā)表了一篇與索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭的結(jié)果類似的論文時(shí)，數(shù)學(xué)家們還沒有普遍知道柯西關(guān)于這個(gè)問題的工作。在一場(chǎng)以魏爾斯特拉斯代表索菲婭為一方，埃爾米特代表達(dá)布為另一方所進(jìn)行的確保優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)論中，柯西的解答才得以發(fā)現(xiàn)。索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭的結(jié)論及簡(jiǎn)明扼要的表述贏得了專家們的稱贊?？峦吡蟹蛩箍▼I還曾經(jīng)考察了熱傳導(dǎo)方程，發(fā)現(xiàn)了某些偏微分方程即使有“形式冪極數(shù)”解，也沒有分析解?？挛鳌峦吡蟹蛩箍▼I定理對(duì)于偏微分方程論是基本的，它是偏微分方程方面所有未來研究的起點(diǎn)。當(dāng)代俄國數(shù)學(xué)家奧萊尼克對(duì)此曾表示同意，并且說：“柯瓦列夫斯卡婭的工作標(biāo)志著偏微分方程一般理論的發(fā)展的開端?！痹凇蛾P(guān)于偏微分方程的理論》一文中，索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭證明64索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭最重要的研究工作中的另一主題是關(guān)于剛體繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)這一經(jīng)典問題。擺、陀螺與回轉(zhuǎn)儀是這種類型的運(yùn)動(dòng)的例子。索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭基本上是從她開始數(shù)學(xué)生涯時(shí)就對(duì)這一問題感興趣，并且一直感到借助于阿貝爾函數(shù)是可以解決這一問題的。數(shù)學(xué)家們對(duì)于分析剛體相對(duì)于定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的研究已經(jīng)有100多年的歷史，但都沒有解決這一難題，因此，它被稱為“數(shù)學(xué)水妖”。歐拉、勒讓德、泊松和雅可比研究了兩種經(jīng)典的情況?？峦吡蟹蛩箍▼I分析了這個(gè)問題的第三種情況。她研究的這類剛體，難度是最大的。索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭的答案不但正確，而且推理過程清晰、簡(jiǎn)潔，使人一目了然。這是與她對(duì)阿貝爾函數(shù)透徹的掌握程度有關(guān)，這使得她的論證過程顯得輕而易舉、勢(shì)如破竹。索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭最重要的研究工作中的另一主題是關(guān)于剛體65一位數(shù)學(xué)家評(píng)論了她分析問題的方法說：“她處理方法的聰明之處，反映在她機(jī)敏地想出了從簡(jiǎn)單逐漸轉(zhuǎn)化為更復(fù)雜的路子，反映在她把非常困難的問題轉(zhuǎn)化成不太困難問題的能力?！彼鞣茓I·柯瓦列夫斯卡婭的三篇著名的論文中，有一篇論述的是把阿貝爾積分化簡(jiǎn)成較簡(jiǎn)單的橢圓積分。對(duì)于這一問題，她使用了一些魏爾斯特拉斯的最新成果。人們?cè)u(píng)價(jià)說她“以高度的技巧性有效地解決了一個(gè)很困難的問題”。索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭的第三篇論文，是論述土星光環(huán)的形狀。這是古典天文學(xué)的一個(gè)問題。她首先假設(shè)這個(gè)環(huán)是流體的，然后在這一假設(shè)之下作了運(yùn)算，她改進(jìn)了拉普拉斯關(guān)于土星環(huán)模型的理論。拉普拉斯確認(rèn)這些土星環(huán)是橢圓形的，索菲婭·柯瓦列夫斯卡婭確定這些環(huán)必然是卵體形的，并且以某種方式顯示出方向性。盡管后來的科學(xué)研究表明，她的結(jié)論并非完全正確，但她所使用的方法卻具有實(shí)際意義，并為其他科學(xué)家所采用。一位數(shù)學(xué)家評(píng)論了她分析問題的方法說：“她處理方法的聰明之處，66I.L.富克斯（1833-1902）

I.L.富克斯（Fuchs，ImmanuelLazarus，1833---1902），德國數(shù)學(xué)家。1858年獲柏林大學(xué)博士學(xué)位。1866年任教授，先后在炮兵工程學(xué)校（1867）、格廷根（1874）、海德堡（1875）和柏林（1882）等地的大學(xué)執(zhí)教。1882年當(dāng)選為科學(xué)院院士。1892年任《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》編輯。他是魏爾斯特拉斯的學(xué)生，上學(xué)時(shí)受庫默爾和魏爾斯特拉斯影響研究函數(shù)論，也曾一度傾心高等幾何與數(shù)論，后來探討的重點(diǎn)轉(zhuǎn)到微分方程理論。富克斯在常微分方程的奇點(diǎn)理論方面，做出了重要貢獻(xiàn)。I.L.富克斯（1833-1902）I.L.富克斯6719世紀(jì)中期，奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解的問題成為常微分方程理論的主要研究課題。富克斯在1866年的一篇論文中指出，在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解可以用級(jí)數(shù)表出。研究這一問題的理論被稱為線性微分方程的富克斯理論。正是有了線性微分方程的富克斯理論，使得數(shù)學(xué)家們成功地?cái)U(kuò)展了能明顯積分的線性常微分方程類。這一理論的另一個(gè)重要意義，就是亨利·龐加萊(H.Poincaré)和克萊因（F.Klein，）由此引進(jìn)了一個(gè)新概念—自守函數(shù)，成為一個(gè)新的研究課題。它不僅對(duì)各種應(yīng)用是重要的，而且在微分方程理論本身中也扮演著重要的角色，自守函數(shù)中有一類重要者稱為富克斯函數(shù)。這類函數(shù)在一種線性變換類作用下是不變的，這個(gè)變換形成一個(gè)群，叫做富克斯群。這說明富克斯在線性常微分方程方面的貢獻(xiàn)有深遠(yuǎn)的影響。19世紀(jì)中期，奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的解的問題成為常微分方程理論的主要研68亨利·龐加萊

(JulesHenriPoincaré)法國數(shù)學(xué)家、天體力學(xué)家、數(shù)學(xué)物理學(xué)家、科學(xué)哲學(xué)家，1854---1912。龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)物理、多復(fù)變函數(shù)論、科學(xué)哲學(xué)等許多領(lǐng)域。他被公認(rèn)是19世紀(jì)后四分之一和二十世紀(jì)初的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家，是對(duì)于數(shù)學(xué)和它的應(yīng)用具有全面知識(shí)的最后一個(gè)人。龐加萊在數(shù)學(xué)方面的杰出工作對(duì)20世紀(jì)和當(dāng)今的數(shù)學(xué)造成極其深遠(yuǎn)的影響，他在天體力學(xué)方面的研究是牛頓以來的第二個(gè)偉大的里程碑，他對(duì)電子理論的研究被公認(rèn)為相對(duì)論的理論先驅(qū)。亨利·龐加萊

(JulesHenriPoincaré)法69龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等許多領(lǐng)域，最重要的工作是在分析學(xué)方面。他早期的主要工作是創(chuàng)立自守函數(shù)理論(1878)。他引進(jìn)了富克斯群和克萊因群，構(gòu)造了更一般的基本域。他利用后來以他的名字命名的級(jí)數(shù)構(gòu)造了自守函數(shù)，并發(fā)現(xiàn)這種函數(shù)作為代數(shù)函數(shù)的單值化函數(shù)的效用。1883年，龐加萊提出了一般的單值化定理(1907年，他和克貝相互獨(dú)立地給出完全的證明)。同年，他進(jìn)而研究一般解析函數(shù)論，研究了整函數(shù)的虧格及其與泰勒展開的系數(shù)或函數(shù)絕對(duì)值的增長率之間的關(guān)系，它同皮卡定理構(gòu)成后來的整函數(shù)及亞純函數(shù)理論發(fā)展的基礎(chǔ)。他又是多復(fù)變函數(shù)論的先驅(qū)者之一。龐加萊為了研究行星軌道和衛(wèi)星軌道的穩(wěn)定性問題，在1881～1886年發(fā)表的四篇關(guān)于微分方程所確定的積分曲線的論文中，創(chuàng)立了微分方程的定性理論。他研究了微分方程的解在四種類型的奇點(diǎn)(焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)、中心)附近的性態(tài)。他提出根據(jù)解對(duì)極限環(huán)(他求出的一種特殊的封閉曲線)的關(guān)系，可以判定解的穩(wěn)定性。龐加萊的研究涉及數(shù)論、代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等許多領(lǐng)域，最重701885年，瑞典國王奧斯卡二世設(shè)立“n體問題”獎(jiǎng)，引起龐加萊研究天體力學(xué)問題的興趣。他以關(guān)于當(dāng)三體中的兩個(gè)的質(zhì)量比另一個(gè)小得多時(shí)的三體問題的周期解的論文獲獎(jiǎng)，還證明了這種限制性三體問題的周期解的數(shù)目同連續(xù)統(tǒng)的勢(shì)一樣大。這以后，他又進(jìn)行了大量天體力學(xué)研究，引進(jìn)了漸進(jìn)展開的方法，得出嚴(yán)格的天體力學(xué)計(jì)算技術(shù)。龐加萊這一工作究竟給N體問題的解決以及動(dòng)力系統(tǒng)的研究帶來巨大而無比深刻的影響：第一，龐加萊證明了對(duì)于N體問題在N大于二時(shí)，不存在統(tǒng)一的第一積分(uniformfirstintegral)。也就是說即使是一般的三體問題，也不可能通過發(fā)現(xiàn)各種不變量最終降低問題的自由度，把問題化簡(jiǎn)成更簡(jiǎn)單可以解出來的問題，這打破了當(dāng)時(shí)很多人希望找到三體問題一般的顯式解的幻想。在一百年后學(xué)習(xí)微分方程課的人大多在第二個(gè)星期就從老師那里知道絕大多數(shù)微分方程是沒法找到定量的解的，但一般都能從定性理論中了解更多解的性質(zhì)，甚至可以通過計(jì)算機(jī)“看到”解的形狀行為。而在龐加萊的年代，大多數(shù)數(shù)學(xué)家更熱衷于用代數(shù)或冪函數(shù)方法找到解，使用定性方法和幾何方法來討論微分方程就是起源于龐加萊對(duì)于N體問題的研究，這徹底改變?nèi)藗冄芯课⒎址匠痰幕鞠敕ā?885年，瑞典國王奧斯卡二世設(shè)立“n體問題”獎(jiǎng)，引起龐加萊71第二，為了研究N體問題，龐加萊發(fā)明了許多全新的數(shù)學(xué)工具。例如他完整地提出了不變積分(invariantintegrals)的概念，并且使用它證明了著名的回歸定理(recurrencetheorem)。另一個(gè)例子是他為了研究周期解的行為，引進(jìn)了第一回歸映象(firstreturnmap)的概念，在后來的動(dòng)力系統(tǒng)理論中被稱為龐加萊映象。還有象特征指數(shù)(characteristicexpontents)，解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性(continuousdependenceofsolutionswithrespecttoparameters)等等。所有這些都成為了現(xiàn)代微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)理論中的基本概念。第三，龐加萊通過研究所謂的漸進(jìn)解(asymptoticsolutions)，同宿軌道(homoclinicorbits)和異宿軌道(hetroclinicorbits)，發(fā)現(xiàn)即使在簡(jiǎn)單的三體問題中，在這樣的同宿軌道或者異宿軌道附近，方程的解的狀況會(huì)非常復(fù)雜，以至于對(duì)于給定的初始條件，幾乎是沒有辦法預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，這個(gè)軌道的最終命運(yùn)。事實(shí)上半個(gè)世紀(jì)后，后來的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象在一般動(dòng)力系統(tǒng)中是常見的，他們把它叫做穩(wěn)定流形(stablemanifold)和不穩(wěn)定流形(unstablemanifold)正態(tài)相交(intersectstransversally)所引起的同宿交錯(cuò)網(wǎng)(homoclinictangle)，而這種對(duì)于軌道的長時(shí)間行為的不確定性，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家稱之為混沌(chaos)。龐加萊的發(fā)現(xiàn)可以說是混沌理論的開創(chuàng)者。第二，為了研究N體問題，龐加萊發(fā)明了許多全新的數(shù)學(xué)工具。例如72龐加萊還開創(chuàng)了動(dòng)力系統(tǒng)理論，1895年證明了“龐加萊回歸定理”。他在天體力學(xué)方面的另一重要結(jié)果是，在引力作用下，轉(zhuǎn)動(dòng)流體的形狀除了已知的旋轉(zhuǎn)橢球體、不等軸橢球體和環(huán)狀體外，還有三種龐加萊梨形體存在。龐加萊對(duì)數(shù)學(xué)物理和偏微分方程也有貢獻(xiàn)。他用括去法證明了狄利克雷問題解的存在性，這一方法后來促使位勢(shì)論有新發(fā)展。他還研究拉普拉斯算子的特征值問題，給出了特征值和特征函數(shù)存在性的嚴(yán)格證明。他在積分方程中引進(jìn)復(fù)參數(shù)方法，促進(jìn)了弗雷德霍姆理論的發(fā)展。龐加萊對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的影響是創(chuàng)立組合拓?fù)鋵W(xué)。1892年他發(fā)表了第一篇論文，1895～1904年，他在六篇論文中建立了組合拓?fù)鋵W(xué)。他還引進(jìn)貝蒂數(shù)、撓系數(shù)和基本群等重要概念，創(chuàng)造流形的三角剖分、單純復(fù)合形、重心重分、對(duì)偶復(fù)合形、復(fù)合形的關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣等工具，借助它們推廣歐拉多面體定理成為歐拉—龐加萊公式，并證明流形的同調(diào)對(duì)偶定理。龐加萊的思想預(yù)示了德·拉姆定理和霍奇理論。他還提出龐加萊猜想，在“龐加萊的最后定理”中，他把限制性三體問題的周期解的存在問題，歸結(jié)為滿足某種條件的平面連續(xù)變換不動(dòng)點(diǎn)的存在問題。龐加萊還開創(chuàng)了動(dòng)力系統(tǒng)理論，1895年證明了“龐加萊回歸定理73龐加萊在數(shù)論和代數(shù)學(xué)方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數(shù)域上的代數(shù)幾何學(xué)》一書開創(chuàng)了丟番圖方程的有理解的研究。他定義了曲線的秩數(shù)，成為丟番圖幾何的重要研究對(duì)象。他在代數(shù)學(xué)中引進(jìn)群代數(shù)并證明其分解定理。第一次引進(jìn)代數(shù)中的左理想和右理想的概念。證明了李代數(shù)第三基本定理及坎貝爾—豪斯多夫公式。還引進(jìn)李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)，并對(duì)其基加以描述，證明了龐加萊—伯克霍夫—維特定理。龐加萊對(duì)經(jīng)典物理學(xué)有深入而廣泛的研究，對(duì)狹義相對(duì)論的創(chuàng)立有貢獻(xiàn)。他從1899年開始研究電子理論，首先認(rèn)識(shí)到洛倫茨變換構(gòu)成群（1904年），第二年愛因斯坦在創(chuàng)立狹義相對(duì)論的論文中也得出相同結(jié)果。龐加萊的哲學(xué)著作《科學(xué)與假設(shè)》、《科學(xué)的價(jià)》、《科學(xué)與方法》也有著重大的影響。他是約定主義哲學(xué)的代表人物，認(rèn)為科學(xué)公理是方便的定義或約定，可以在一切可能的約定中進(jìn)行選擇，但需以實(shí)驗(yàn)事實(shí)為依據(jù)，避開一切矛盾。在數(shù)學(xué)上，他不同意羅素、希爾伯特的觀點(diǎn)，反對(duì)無窮集合的概念，贊成潛在的無窮，認(rèn)為數(shù)學(xué)最基本的直觀概念是自然數(shù)，反對(duì)把自然數(shù)歸結(jié)為集合論。這使他成為直覺主義的先驅(qū)者之一。1905年，匈牙利科學(xué)院頒發(fā)一項(xiàng)獎(jiǎng)金為l0000金克朗的鮑爾約獎(jiǎng)。這個(gè)獎(jiǎng)是要獎(jiǎng)給在過去25年為數(shù)學(xué)發(fā)展作出過最大貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家。由于龐加萊從1879年就開始從事數(shù)學(xué)研究，并在數(shù)學(xué)的幾乎整個(gè)領(lǐng)域都作出了杰出貢獻(xiàn)，因而此項(xiàng)獎(jiǎng)又非他莫屬。龐加萊在數(shù)論和代數(shù)學(xué)方面的工作不多，但很有影響。他的《有理數(shù)74阿達(dá)馬

他早期就致力于把A.-L.柯西在分析學(xué)上的局部理論推廣到全局。在復(fù)域里其博士論文《泰勒級(jí)數(shù)所定義的函數(shù)的解析開拓》(1892)第一次把集合論引進(jìn)復(fù)變函數(shù)論，更簡(jiǎn)單地重證了柯西有關(guān)收斂半徑的結(jié)果；并探索了奇點(diǎn)在收斂圓上的位置及其性質(zhì)，從而使收斂圓外的解析開拓更切實(shí)可行。這些成果至今仍是復(fù)變函數(shù)論的基本內(nèi)容。他和他學(xué)生S.曼德爾勃羅伊合著《泰勒級(jí)數(shù)及其解析開拓》(1901)已成為經(jīng)典著作。他在研究函數(shù)的極大模時(shí)得到了著名的三圓定理，并應(yīng)用到整函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)系數(shù)極大模的衰減和這個(gè)函數(shù)的虧格間的關(guān)系上，完善了(J.-)H.龐加萊的結(jié)果，獲得了1892年法國科學(xué)院大獎(jiǎng)。他還證明了黎曼ζ函數(shù)的虧格為零(1896)，對(duì)黎曼猜想的解決作出了貢獻(xiàn)。證明了素?cái)?shù)定理，從而建立解析數(shù)論的基礎(chǔ)。

素?cái)?shù)定理阿達(dá)馬他早期就致力于把A.-L.柯西在分析學(xué)上的局部理論75在實(shí)域里，他的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在常微分方程定性理論、泛函分析、線性二階偏微分方程定解問題和流體力學(xué)上。在常微分方程方面，他用不同的方法稍后于Α.М.李亞普諾夫獨(dú)立地證明了有關(guān)穩(wěn)定性的結(jié)果。龐加萊的定性理論就是把常微分方程柯西問題的局部結(jié)果推廣到全局。在實(shí)域里，他的貢獻(xiàn)體現(xiàn)在常微分方程定性理論、泛函分析、線性二76阿達(dá)馬認(rèn)為這個(gè)推廣之所以成為可能，是因?yàn)辇嫾尤R得到E.伽羅瓦用群處理代數(shù)方程解法的思想的啟示，這種思想使他關(guān)心并重視泛函分析工作。他在線性泛函的表示問題上的結(jié)果，開創(chuàng)里斯定理的先河。1908年他關(guān)于泛函微商問題的論文獲巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)，他在這篇論文中得到了Δu＝0的格林函數(shù)的一個(gè)非線性積分方程的重要成果，他注意到這個(gè)方程與邊界s有關(guān)，而與方程無關(guān)，這至今還是泛函分析的一個(gè)重要課題。他的《變分學(xué)教程》一書奠定了泛函分析的基礎(chǔ)。1920年在泛函分析會(huì)議上作的報(bào)告《泛函分析所起的科學(xué)作用》是有影響的文獻(xiàn)。他的行列式定理在E.I.弗雷德霍姆的證明中居重要地位。在偏微分方程方面，他堅(jiān)持柯西提倡的定解問題方向，明確了定解問題的含義，完善了適定性的要求。他得出根據(jù)二階方程的特征表達(dá)式分型(橢圓、雙曲、拋物)的結(jié)論。那么，這三個(gè)型方程有沒有共同點(diǎn)呢?阿達(dá)馬認(rèn)為這個(gè)推廣之所以成為可能，是因?yàn)辇嫾尤R得到E.伽羅瓦77阿達(dá)馬提出了一般方程基本解的概念。有了基本解，模雙曲型方程的柯西問題的解，只要支柱是空向的，已給數(shù)據(jù)適當(dāng)正規(guī)，就可以用一個(gè)發(fā)散積分的有限部分來表示。橢圓型方程就可以形成勢(shì)代表解，并通過這個(gè)勢(shì)滿足的弗雷德霍姆型積分方程求得狄利克雷問題的解。間接地求拋物型方程的基本解的步驟，也是由阿達(dá)馬提出來的。他不愧為線性二階偏微分方程理論的總結(jié)者、奠基者和開拓者。在流體力學(xué)方面的工作，大都包含在《波的傳播教程》一書里。他通過有關(guān)定解問題的討論，說明引進(jìn)波的概念的必要性，對(duì)D.希爾伯特的重要工作，進(jìn)行簡(jiǎn)化和增補(bǔ)，對(duì)特征理論做了詳盡的討論，從而指出方程組和單個(gè)方程有本質(zhì)的不同，并在附錄中指出流體滑動(dòng)的可能性。這些都在后來的氣動(dòng)力學(xué)大范圍研究中起作用。阿達(dá)馬曾在1936年來中國清華大學(xué)講學(xué)三個(gè)多月。1964年在中國出版了他的著作《偏微分方程論》。阿達(dá)馬提出了一般方程基本解的概念。有了基本解，模雙曲型方程的78希爾伯特.(DHilbert，David，1862～1943)希爾伯特是對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)有深刻影響的數(shù)學(xué)家之一.他領(lǐng)導(dǎo)了著名的格廷根學(xué)派，使格廷根大學(xué)成為當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)研究的重要中心，并培養(yǎng)了一批對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)的杰出數(shù)學(xué)家.希爾伯特.(DHilbert，David，1862～19479希爾伯特的數(shù)學(xué)工作可以劃分為幾個(gè)不同的時(shí)期，每個(gè)時(shí)期他幾乎都集中精力研究一類問題.按時(shí)間順序，他的主要研究?jī)?nèi)容有:不變式理論、代數(shù)數(shù)域理論、幾何基礎(chǔ)、積分方程、物理學(xué)、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其間穿插的研究課題有：狄利克雷原理和變分法、華林問題、特征值問題、“希爾伯特空間”等.在這些領(lǐng)域中，他都做出了重大的或開創(chuàng)性的貢獻(xiàn).希爾伯特認(rèn)為，科學(xué)在每個(gè)時(shí)代都有它自己的問題，而這些問題的解決對(duì)于科學(xué)發(fā)展具有深遠(yuǎn)意義.他指出：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨(dú)立發(fā)展的衰亡和終止希爾伯特的數(shù)學(xué)工作可以劃分為幾個(gè)不同的時(shí)期，每個(gè)時(shí)期他幾乎都80在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演.他根據(jù)過去特別是十九世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的成果和發(fā)展趨勢(shì)，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題.這23個(gè)問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學(xué)家力圖攻克的難關(guān)，對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動(dòng)作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決.他在講演中所闡發(fā)的想信每個(gè)數(shù)學(xué)問題都可以解決的信念，對(duì)于數(shù)學(xué)工作者是一種巨大的鼓舞.他說：“在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這里有一個(gè)數(shù)學(xué)問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)中沒有不可知.”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡榮譽(yù)市民稱號(hào)的講演中，針對(duì)一些人信奉的不可知論觀點(diǎn)，他再次滿懷信心地宣稱：“我們必須知道，我們必將知道.”希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》（1899）是公理化思想的代表作，書中把歐幾里得幾何學(xué)加以整理，成為建立在一組簡(jiǎn)單公理基礎(chǔ)上的純粹演繹系統(tǒng)，并開始探討公理之間的相互關(guān)系與研究整個(gè)演繹系統(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu).在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表大會(huì)上，希爾伯特發(fā)表了題為《數(shù)811904年，又著手研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，經(jīng)過多年醞釀，于二十年代初，提出了如何論證數(shù)論、集合論或數(shù)學(xué)分析一致性的方案.他建議從若干形式公理出發(fā)將數(shù)學(xué)形式化為符號(hào)語言系統(tǒng)，并從不假定實(shí)無窮的有窮觀點(diǎn)出發(fā)，建立相應(yīng)的邏輯系統(tǒng).然后再研究這個(gè)形式語言系統(tǒng)的邏輯性質(zhì)，從而創(chuàng)立了元數(shù)學(xué)和證明論.希爾伯特的目的是試圖對(duì)某一形式語言系統(tǒng)的無矛盾性給出絕對(duì)的證明，以便克服悖論所引起的危機(jī)，一勞永逸地消除對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)以及數(shù)學(xué)推理方法可靠性的懷疑.然而，1930年，年青的奧地利數(shù)理邏輯學(xué)家哥德爾(K.G.del，1906～1978)獲得了否定的結(jié)果，證明了希爾伯特方案是不可能實(shí)現(xiàn)的.但正如哥德爾所說，希爾伯特有關(guān)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方案“仍不失其重要性，并繼續(xù)引起人們的高度興趣”.希爾伯特的著作有《希爾伯特全集》（三卷，其中包括他的著名的《數(shù)論報(bào)告》）、《幾何基礎(chǔ)》、《線性積分方程一般理論基礎(chǔ)》等，與其他合著有《數(shù)學(xué)物理方法》、《理論邏輯基礎(chǔ)》、《直觀幾何學(xué)》、《數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》.1904年，又著手研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題，經(jīng)過多年醞釀，于二十年代82數(shù)學(xué)史教程主講人孫利－－李文林第十章分析的嚴(yán)格化---01數(shù)學(xué)史教程主講人孫利－－李文林第十章分83一、分析基礎(chǔ)的嚴(yán)密化19世紀(jì)分析嚴(yán)格化,波爾察諾(1781--1848)1817年發(fā)表《純粹分析證明》,柯西(1789--1851)1821年《分析教程》,1823年《無限小計(jì)算教程》,魏爾斯特拉斯的ε—δ語言,戴德金的單調(diào)有界數(shù)列收斂和實(shí)數(shù)分割理論,康托爾的集合論可數(shù)集合與不可數(shù)集合,是實(shí)數(shù)集的基數(shù).狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune,他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)。一、分析基礎(chǔ)的嚴(yán)密化19世紀(jì)分析嚴(yán)格化,波爾察諾(1781-84柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-1857）(一)單復(fù)變函數(shù)柯西最重要和最有首創(chuàng)性的工作是關(guān)于單復(fù)變函數(shù)論的。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們采用過上、下限是虛數(shù)的定積分。但沒有給出明確的定義?？挛魇紫汝U明了有關(guān)概念，并且用這種積分來研究多種多樣的問題，如實(shí)定積分的計(jì)算，級(jí)數(shù)與無窮乘積的展開，用含參變量的積分表示微分方程的解等等。柯西（Cauchy，AugustinLouis1789-85(二)分析基礎(chǔ)柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)界造成了極大的影響。自從牛頓和萊布尼茨發(fā)明微積分(即無窮小分析，簡(jiǎn)稱分析)以來，這門學(xué)科的理論基礎(chǔ)是模糊的。為了進(jìn)一步發(fā)展，必須建立嚴(yán)格的理論?？挛鳛榇耸紫瘸晒Φ亟⒘藰O限論。在柯西的著作中，沒有通行的語言，他的說法看來也不夠確切，從而有時(shí)也有錯(cuò)誤，例如由于沒有建立一致連續(xù)和一致收斂概念而產(chǎn)生的錯(cuò)誤?？墒顷P(guān)于微積分的原理，他的概念主要是正確的，其清晰程度是前所未有的。例如他關(guān)于連續(xù)函數(shù)及其積分的定義是確切的，他首先準(zhǔn)確地證明了泰勒公式，他給出了級(jí)數(shù)收斂的定義和一些判別法。(二)分析基礎(chǔ)柯西在綜合工科學(xué)校所授分析課程及有關(guān)教材給數(shù)學(xué)86。

柯西在分析方面最深刻的貢獻(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明了方程解的存在和唯一性。在他以前，沒有人提出過這種問題。通常認(rèn)為是柯西提出的三種主要方法，即柯西－利普希茨法，逐漸逼近法和強(qiáng)級(jí)數(shù)法，實(shí)際上以前也散見到用于解的近似計(jì)算和估計(jì)?？挛鞯淖畲筘暙I(xiàn)就是看到通過計(jì)算強(qiáng)級(jí)數(shù)，可以證明逼近步驟收斂，其極限就是方程的所求解。(三)常微分方程?？挛髟诜治龇矫孀钌羁痰呢暙I(xiàn)在常微分方程領(lǐng)域。他首先證明87數(shù)理彈性理論的奠基人之一

分析方面：在一階偏微分方程論中行進(jìn)丁特征線的基本概念；認(rèn)識(shí)到傅立葉變換在解微分方程中的作用等等。幾何方面：開創(chuàng)了積分幾何，得到了把平面凸曲線的長用它在平面直線上一些正交投影表示出來的公式。代數(shù)方面：首先證明了階數(shù)超過了的矩陣有特征值；與比內(nèi)同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩行列式相乘的公式，首先明確提出置換群概念，并得到群論中的一些非平凡的結(jié)果；獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了所謂“代數(shù)要領(lǐng)”，即格拉斯曼的外代數(shù)原理。數(shù)理彈性理論的奠基人之一分析方面：在一階偏微分方程論中行進(jìn)88第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件89第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件90第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件91第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件92第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件93第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件94魏爾斯特拉斯(Weierstrass，KarlTheodorWilhelm，1815---1897)，德國數(shù)學(xué)家

1.在數(shù)學(xué)分析方面他是把嚴(yán)格的論證引進(jìn)分析學(xué)的一位大師，為分析嚴(yán)密化作出了不可磨滅的貢獻(xiàn)，是分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)的開創(chuàng)者之一。他改進(jìn)了波爾查諾柯西、阿貝爾的方法，早在1841年至1856年，作中學(xué)教師的魏爾斯特拉斯，就給出了今天大學(xué)數(shù)學(xué)分析教科書中一直沿用的連續(xù)函數(shù)的定義（ε-δ定義），以及完整的一套類似的表示法，使數(shù)學(xué)分析的敘述精確化。他證明了（1860）：任何有界無窮點(diǎn)集，一定存在一個(gè)極限點(diǎn)。在1860年的一次演講中，他從自然數(shù)導(dǎo)出了有理數(shù)，然后用遞增有界數(shù)列的極限來定義無理數(shù)，從而得到了整個(gè)實(shí)數(shù)系。成功地為微積分奠定理論基礎(chǔ)的理論。魏爾斯特拉斯(Weierstrass，KarlTheodo95為了說明直覺的不可靠，1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏林科學(xué)院的一次講演中，構(gòu)造了一個(gè)連續(xù)函數(shù)卻處處不可微的例子，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。這個(gè)例子推動(dòng)了人們?nèi)?gòu)造更多的函數(shù)，這樣的函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)或處處連續(xù)，但在一個(gè)稠密集或在任何點(diǎn)上都不可微。從而推動(dòng)了函數(shù)論的發(fā)展。早在1842年，魏爾斯特拉斯就有了一致收斂的概念，并利用這一概念給出了級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分和在積分號(hào)下微分的條件。1885年，魏爾斯特拉斯所證明的用多項(xiàng)式任意逼近連續(xù)函數(shù)的定理，是二十世紀(jì)的一個(gè)廣闊研究領(lǐng)域函數(shù)構(gòu)造論，即函數(shù)的逼近與插值理論的出發(fā)點(diǎn)之一。為了說明直覺的不可靠，1872年7月18日魏爾斯特拉斯在柏962.在解析函數(shù)方面他用冪級(jí)數(shù)來定義解析函數(shù)，并建立了一整套解析函數(shù)理論，與柯西、黎曼一起被稱為函數(shù)論的奠基人。從已知的一個(gè)在限定區(qū)域內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)出發(fā)，根據(jù)冪級(jí)數(shù)的有關(guān)定理，推導(dǎo)出在其它區(qū)域中定義同一函數(shù)的另一些冪級(jí)數(shù)，這是他的一項(xiàng)重要發(fā)現(xiàn)。他把整函數(shù)定義為在全平面上都能表示為收斂的冪級(jí)數(shù)的和的函數(shù)；還斷定，若整函數(shù)不是多項(xiàng)式，則在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有一個(gè)本性奇點(diǎn)。魏爾斯特拉斯關(guān)于解析函數(shù)的研究成果，組成了現(xiàn)今大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)中復(fù)變函數(shù)論的主要內(nèi)容。2.在解析函數(shù)方面973、在橢圓函數(shù)方面橢圓函數(shù)是雙周期亞純函數(shù)，是從求橢圓弧長引起的。有關(guān)研究是19世紀(jì)的熱門課題。繼阿貝爾、雅克比之后，魏爾斯特拉斯在這方面作出了巨大貢獻(xiàn)。1882年，他將橢圓函數(shù)分別化成含有一個(gè)三次多項(xiàng)式的平方根的3個(gè)不同形式，把通過“反演”的第一個(gè)積分所得的橢圓函數(shù)作為基本的橢圓函數(shù)，還證明了這是最簡(jiǎn)單的雙周期函數(shù)。他證明了每個(gè)橢圓函數(shù)均可用這個(gè)基本橢圓函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)單地表示出來。總之，魏爾斯特拉斯把橢圓函數(shù)論的研究推到了一個(gè)新的水平，進(jìn)一步完備了、改寫了、并且美化了其理論體系。3、在橢圓函數(shù)方面984、在代數(shù)領(lǐng)域1858年，他對(duì)同時(shí)化兩個(gè)二次型成平方和給出了一般方法，并證明了若二次型之一是正定的，即使某些特征值相等，這個(gè)化簡(jiǎn)也是可能的。1868年，他已完成二次型的理論體系，并將這些結(jié)果推廣到了雙線性型。5、在變分學(xué)方面1879年，他證明了弱變分的3個(gè)條件，即函數(shù)取得極小值的充分條件。此后，他轉(zhuǎn)向了強(qiáng)變分問題，并得到了強(qiáng)變分的極大值的充分條件。在變分學(xué)方面還得到了不少的其它成果。6、在微分幾何方面魏爾斯特拉斯研究了側(cè)地線和最小曲面。4、在代數(shù)領(lǐng)域99魏爾斯特拉斯不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，而且是一位杰出的教育家，他高尚的風(fēng)范和精湛的藝術(shù)是永遠(yuǎn)值得全世界數(shù)學(xué)教師學(xué)習(xí)的光輝典范。他培養(yǎng)了一大批有成就的數(shù)學(xué)人才，其中最著名的有：柯瓦列夫斯卡婭，俄國女?dāng)?shù)學(xué)家、作家、政論家）、H.A.施瓦茨（Schwarz，HermannAmandus，1843---1921，法國數(shù)學(xué)家）、I.L.富克斯（Fuchs，ImmanuelLazarus，法國數(shù)學(xué)家）、M.G.米塔-列夫勒（Mittag-Leffler，MagnusGustaf，1846--1927，瑞典數(shù)學(xué)家）、F.H.朔特基（Schottky，F(xiàn)riedrichHermann，1851---1935，法國數(shù)學(xué)家）、L.柯尼希貝格（Konigsberger，Leo，1837---1921.，法國數(shù)學(xué)家）等。魏爾斯特拉斯不僅是一位偉大的數(shù)學(xué)家，而且是一位杰出的教育家，100

101第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件102第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件103第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件104第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件105第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件106尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）最偉大的德國數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。戴德金是哥廷根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。1862－1912年任不倫瑞克高等技術(shù)學(xué)校教授，發(fā)展了有理數(shù)和無理數(shù)可以構(gòu)成一個(gè)（無空隙的）實(shí)數(shù)的連續(xù)系統(tǒng)，前提是實(shí)數(shù)和直線上的點(diǎn)有著一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。

戴德金分割:假設(shè)給定某種方法，把所有的有理數(shù)分為兩個(gè)集合，A和B，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素，任何一種分類方法稱為有理數(shù)的一個(gè)分割。尤利烏斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelm107戴德金在數(shù)學(xué)上有很多新發(fā)現(xiàn)。不少概念和定理以他的名字命名。主要貢獻(xiàn)有以下兩個(gè)方面：在實(shí)數(shù)和連續(xù)性理論方面，他提出“戴德金分割”，給出了無理數(shù)及連續(xù)性的純算術(shù)的定義。1872年，他的《連續(xù)性與無理數(shù)》出版，使他與G.康托爾、K.魏爾斯特拉斯等一起成為現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的奠基人。在代數(shù)數(shù)論方面，他建立了現(xiàn)代代數(shù)數(shù)和代數(shù)數(shù)域的理論，將E.E.庫默爾的理想數(shù)加以推廣，引出了現(xiàn)代的“理想”概念，并得到了代數(shù)整數(shù)環(huán)上理想的唯一分解定理。今天把滿足理想唯一分解條件的整環(huán)稱為“戴德金整環(huán)”。他在數(shù)論上的貢獻(xiàn)對(duì)19世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深刻影響。戴德金在數(shù)學(xué)上有很多新發(fā)現(xiàn)。不少概念和定理以他的名字命名。108

對(duì)于任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立:A有一個(gè)最大元素a，B沒有最小元素。例如A是所有≤1的有理數(shù)，B是所有>1的有理數(shù)。B有一個(gè)最小元素b，A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數(shù)。B是所有≥1的有理數(shù)。A沒有最大元素，B也沒有最小元素。例如A是所有負(fù)的有理數(shù)，零和平方小于2的正有理數(shù)，B是所有平方大于2的正有理數(shù)。顯然A和B的并集是所有的有理數(shù)，因?yàn)槠椒降扔?的數(shù)不是有理數(shù)。注:A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因?yàn)檫@樣就有一個(gè)有理數(shù)不存在于A和B兩個(gè)集合中，與A和B的并集是所有的有理數(shù)矛盾。第3種情況，戴德金稱這個(gè)分割為定義了一個(gè)無理數(shù)，或者簡(jiǎn)單的說這個(gè)分割是一個(gè)無理數(shù)。前面2種情況中，分割是有理數(shù)。這樣，所有可能的分割構(gòu)成了數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)，既有有理數(shù)，又有無理數(shù)，統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。對(duì)于任一分割,必有3種可能,其中有且只有1種成立1091888年，戴德金提出了算術(shù)公理的完整系統(tǒng)，其中包括完全數(shù)學(xué)歸納法原理的準(zhǔn)確表達(dá)方式，把映象的許多概念用最普通的形式引入數(shù)學(xué)中。此外，他還研究了結(jié)構(gòu)理論的基礎(chǔ)，使之成為現(xiàn)代代數(shù)的中心分支之一?，F(xiàn)今數(shù)學(xué)上的許多命題和術(shù)語，如環(huán)、場(chǎng)、結(jié)構(gòu)、截面、函數(shù)、定理、互換原理等，都是與他的名字聯(lián)系在一起的。他于1916年2月12日在不倫瑞克去世。盡管他的關(guān)于數(shù)學(xué)基本理論的許多重要思想在他生前并未被人們充分認(rèn)識(shí)，但仍然影響著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。1888年，戴德金提出了算術(shù)公理的完整系統(tǒng)，其中包括完全數(shù)學(xué)110格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845---1918）

德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人.康托爾對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是集合論和超窮數(shù)理論?？低袪柺窃趯ふ液瘮?shù)展開為三角級(jí)數(shù)表示的唯一性判別準(zhǔn)則的工作中，認(rèn)識(shí)到無窮集合的重要性，并開始從事無窮集合的一般理論研究。早在1870年和1871年，康托爾兩次在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表論文，證明了函數(shù)f(x)的三角級(jí)數(shù)表示的唯一性定理，而且證明了即使在有限個(gè)間斷點(diǎn)處不收斂，定理仍然成立。格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinan111康托爾以一一對(duì)應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念，將有窮集合的元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無窮集合。兩個(gè)集合只有它們的元素間可以建立一一對(duì)應(yīng)才稱為是等價(jià)的。這樣就第一次對(duì)各種無窮集合按它們?cè)氐摹岸嗌佟边M(jìn)行了分類。他引進(jìn)了“可列”這個(gè)概念，把凡是能和正整數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的任何一個(gè)集合都稱為可列集合。1874年他在《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表的論文中，證明了有理數(shù)集合是可列的，后來他還證明了所有的代數(shù)數(shù)的全體構(gòu)成的集合也是可列的?？低袪栆砸灰粚?duì)應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念，將有窮集合的元112第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件113第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件1141872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》發(fā)表了《三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣》，把唯一性的結(jié)果推廣到允許例外值是某種無窮的集合情形。為了描述這種集合，他首先定義了點(diǎn)集的極限點(diǎn)，然后引進(jìn)了點(diǎn)集的導(dǎo)集和導(dǎo)集的導(dǎo)集等有關(guān)重要概念。這是從唯一性問題的探索向點(diǎn)集論研究的開端，并為點(diǎn)集論奠定了理論基礎(chǔ)。以后，他又在《數(shù)學(xué)年鑒》和《數(shù)學(xué)雜志》兩刊上發(fā)表了許多文章。他稱集合為一些確定的、不同的東西的總體，這些東西人們能意識(shí)到并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體。他指出，如果一個(gè)集合能夠和它的一部分構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)，它就是無窮的，給出了開集、閉集和完全集等重要概念，并定義了集合的并與交兩種運(yùn)算。1872年他在《數(shù)學(xué)年鑒》發(fā)表了《三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣》115在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，康托爾的集合論得到公開的承認(rèn)和熱情的稱贊。瑞士蘇黎世理工大學(xué)教授胡爾維茨（Hurwitz，Adolf，1859－1919）在他的綜合報(bào)告中，明確地闡述康托爾集合論對(duì)函數(shù)論的進(jìn)展所起的巨大推動(dòng)作用，這破天荒第一次向國際數(shù)學(xué)界顯示康托爾的集合論不是可有可無的哲學(xué)，而是真正對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起作用的理論工具。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（HadamardJacques，1865－1963），報(bào)告康托爾對(duì)他的工作的重要作用。希爾伯特(HilbertDavid，1862.1.23-1943.2.14)高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”，“是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。在瑞士蘇黎世召開的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，康托爾的集合論得到116在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)重要數(shù)學(xué)問題之首。當(dāng)康托爾的樸素集合論出現(xiàn)一系列悖論時(shí)，克羅內(nèi)克的后繼者布勞威爾（1881－1966.）等人借此大做文章，希爾伯特用堅(jiān)定的語言向他的同代人宣布：“沒有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來”。在1900年第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾117第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件1181873年康托爾給戴德金的一封信中提出實(shí)數(shù)集合是否可列的問題，不久他自己得到回答：實(shí)數(shù)集合是不可列的。由于實(shí)數(shù)集合是不可列的，而代數(shù)數(shù)集合是可列的，于是他得到了必定有超越數(shù)存在的結(jié)論，而且超越數(shù)“大大多于”代數(shù)數(shù)。同年又構(gòu)造了實(shí)變函數(shù)論中著名的“康托爾集”,給出測(cè)度為零的不可數(shù)集的一個(gè)例子。1873年康托爾給戴德金的一封信中提出實(shí)數(shù)集合是否可列的問題119克羅內(nèi)克（Kronecker，Leopold；1823～1891）

德國數(shù)學(xué)家。對(duì)代數(shù)和代數(shù)數(shù)論，特別是橢圓函數(shù)理論有突出貢獻(xiàn)。克羅內(nèi)克最主要的功績(jī)?cè)谟谂y(tǒng)一數(shù)論、代數(shù)學(xué)和分析學(xué)的研究?？肆_內(nèi)克（Kronecker，Leopold；1823～18120克羅內(nèi)克定理

設(shè)θ為正無理數(shù)，α為實(shí)數(shù)，則對(duì)任給正數(shù)ε，都存在兩個(gè)正整數(shù)m,n,使得∣nθ-m+α∣＜ε。α=0的特殊情況稱為狄利克雷定理?？肆_內(nèi)克的數(shù)學(xué)觀對(duì)后世有極大影響。他主張分析學(xué)應(yīng)奠基于算術(shù)，而算術(shù)的基礎(chǔ)是整數(shù)。他的名言是：“上帝創(chuàng)造了整數(shù)，其余都是人做的工作”，反映了他對(duì)當(dāng)時(shí)的分析學(xué)持批判態(tài)度。他作為直覺主義的代表人物，還曾極力反對(duì)G.康托爾的集合論。克羅內(nèi)克定理121數(shù)學(xué)史教程主講人孫利----李文林第十章分析的嚴(yán)格化---02數(shù)學(xué)史教程主講人孫利----李文林第十章122分析的擴(kuò)展（一）復(fù)分析的建立分析的擴(kuò)展（一）復(fù)分析的建立123德國數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣義相對(duì)論的發(fā)展鋪平了道路。他的名字出現(xiàn)在黎曼ζ函數(shù)，黎曼積分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希爾伯特問題，黎曼思路回環(huán)矩陣和黎曼曲面中。他作了題為“論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)”的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何，并為愛因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。黎曼（1826～1866）Riemann，

德國數(shù)學(xué)家，對(duì)數(shù)學(xué)分析和微分幾何做出了重要貢獻(xiàn)，其中一些為廣124在1858年發(fā)表的關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文中，研究了黎曼ζ函數(shù)，給出了ζ函數(shù)的積分表示與它滿足的函數(shù)方程，他提出著名的黎曼猜想至今仍未解決。另外，他對(duì)偏微分方程及其在物理學(xué)中的應(yīng)用有重大貢獻(xiàn)。黎曼首先提出用復(fù)變函數(shù)論特別是用ζ函數(shù)研究數(shù)論的新思想和新方法，開創(chuàng)了解析數(shù)論的新時(shí)期，并對(duì)單復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展有深刻的影響。在1858年發(fā)表的關(guān)于素?cái)?shù)分布的論文中，研究了黎曼ζ函數(shù)，給125第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件126第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件127（二）解析數(shù)論的形成（二）解析數(shù)論的形成128狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，PeterGustavLejeune狄利克雷在數(shù)學(xué)和力學(xué)兩個(gè)領(lǐng)域都做出了名垂史冊(cè)的重大貢獻(xiàn)，尤以分析、數(shù)論、位勢(shì)倫為最.狄利克雷函數(shù)、狄利克雷級(jí)數(shù)、狄利克雷系數(shù)、狄利克雷指數(shù)、狄利克雷數(shù)據(jù)、狄利克雷型、狄利克雷抽屜原理、狄利克雷變分問題、狄利克雷除數(shù)問題、狄利克雷代數(shù)、狄利克雷范數(shù)、狄利克雷分布、狄利克雷積分、狄利克雷核、狄利克雷空間、狄利克雷間斷乘子、狄利克雷鋪砌、狄利克雷區(qū)域、狄利克雷特征標(biāo)、狄利克雷原理，以及多種狄利克雷定理等等.

狄利克雷（1805～1859）Dirichlet，Peter129對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一。在分析學(xué)方面，他是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一。1837年他提出函數(shù)是x與y之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系的現(xiàn)代觀點(diǎn)。1863年狄利克雷撰寫了《數(shù)論講義》，對(duì)高斯劃時(shí)代的著作《算術(shù)研究》作了明晰的解釋并有創(chuàng)見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構(gòu)造了狄利克雷級(jí)數(shù)。1838～1839年，他得到確定二次型類數(shù)的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數(shù)數(shù)域中單位數(shù)的阿貝爾群的結(jié)構(gòu)。對(duì)數(shù)論、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)物理有突出貢獻(xiàn)，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一130在分析方面，他最卓越的工作是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的研究.他在1822—1825年期間在巴黎會(huì)見傅里葉之后，對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)產(chǎn)生了興趣.日本數(shù)學(xué)家丸山哲朗說：“把任意函數(shù)用三角級(jí)數(shù)表示出來的傅里葉方法，被狄利克雷所繼承，他給出了傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性證明.”即1829年在其論文《關(guān)于三角級(jí)數(shù)的收斂性》中，第一次對(duì)傅里也級(jí)數(shù)的收斂性給出了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，得到函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂的第一個(gè)充分條件:“對(duì)于在[-π,π]內(nèi)有定義且有限的，逐段連續(xù)且逐段單調(diào)的函數(shù)f(x),其傅里葉級(jí)數(shù)在（-π,π）內(nèi)收斂于,在端點(diǎn)x=±π處收斂于.這一研究還促使他將函數(shù)作了一般化的推廣.在分析方面，他最卓越的工作是對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的研究.他在1131他在1829年給出如下具有典型意義的例子：

他在1829年給出如下具有典型意義的例子：1321837年，狄利克雷證明了：對(duì)于一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，可以把它的項(xiàng)加以組合或重新排列，而不改變?cè)?jí)數(shù)的和.并且舉例說明一個(gè)條件收斂級(jí)數(shù)經(jīng)過一定的重新排列，而使其收斂和發(fā)生改變，例如：

(1)將其重新排列

+....

(2)

(即（2）中的項(xiàng)是（1）中的頭兩個(gè)正項(xiàng)之后接第一個(gè)負(fù)項(xiàng)，然后是其次兩個(gè)正項(xiàng)之后接第二個(gè)負(fù)項(xiàng)，如此等等)可以驗(yàn)證重新排列后的級(jí)數(shù)(2)式收斂于.他曾明確指出，由連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，其和函數(shù)未必是連續(xù)函數(shù).1837年，狄利克雷證明了：對(duì)于一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，可以把它1331837年，他在證明每個(gè)算術(shù)序列{a+nb}(式中a與b互素)包含無窮多個(gè)素?cái)?shù)時(shí)，創(chuàng)立了狄利克雷級(jí)數(shù)：式中

是復(fù)數(shù)，他還證明了在序列{a+nb}中的素?cái)?shù)的倒數(shù)之和是發(fā)散的.1838—1839期間，他得到了確定二次型類數(shù)的公式.他用“若干在n個(gè)抽樣中，存在n+1個(gè)事物，那么至少在1個(gè)抽樣中，至少包含2個(gè)事物”的狄利克雷抽樣法，闡明代數(shù)數(shù)域的單位群的結(jié)構(gòu).狄利克雷發(fā)展了代數(shù)數(shù)域中關(guān)于單位的一般理論，他的《數(shù)論講義》(1863年)及其補(bǔ)編中有許多關(guān)于理想方面的重要內(nèi)容.在此書第三版中，他還對(duì)阿貝爾群的特征指標(biāo)作了一般性的描述.在1841年，他證明了關(guān)于在復(fù)數(shù)a+bi的級(jí)數(shù)中的素?cái)?shù)的一個(gè)定理.他在20歲時(shí)的第一篇數(shù)學(xué)論文中，就證明當(dāng)n=5時(shí)，費(fèi)馬大定理是正確的，但勒讓德指出他的證明不完全，狄利克雷把自己的證明修改后，得出了完整的證明并于1828年發(fā)表，當(dāng)時(shí)他年僅23歲.1837年，他在證明每個(gè)算術(shù)序列{a+nb}(式中a與b互素134素?cái)?shù)定理素?cái)?shù)定理135第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件136（三）數(shù)學(xué)物理方程（三）數(shù)學(xué)物理方程137第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件138第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件139第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件140讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（JeanBaptisteJosephFourier,1768---1830），法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。

提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)（即三角級(jí)數(shù)）、傅立葉分析等理論均由此創(chuàng)始。讓·巴普蒂斯·約瑟夫·傅立葉（JeanBaptisteJ141第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件142第十第一講分析的嚴(yán)格化-課件143柯瓦列夫斯卡婭（СофьяВасильевнаКовалевская，1850－1891）

俄國女?dāng)?shù)學(xué)家。德國哥廷根大學(xué)哲學(xué)博士。曾任瑞典斯德哥爾摩大學(xué)教授。在偏微分方程和剛體旋轉(zhuǎn)理論等方面有重要貢獻(xiàn)。1888年