Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-§4.4可逆矩三、初等變換法四、初等變換法一、可逆矩陣及矩陣可逆的充分必要條引言一元一次方程ax=c，當(dāng)a0時(shí)，兩邊乘以1/a，而顯然1/a滿足

1aa1 設(shè)A,C是已知矩陣，X是未知矩陣，則AX=C稱為矩陣Zhanglizhuo- 則稱A是可逆矩陣(或非奇異矩陣)Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-定義2如果A是可逆矩陣，則適合(1)式的矩陣B于是，如果A可逆，AA-1=A-由(2)式可知，A-1也是可(A-1)-

Zhanglizhuo-【證】如果A是可逆矩陣，則它有逆矩陣A-1AA-從而有AA-1E，從而AA-1=1，因此A0。上述必要條件A0是不是充分條件？即如果A0A可逆Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-第1列，A的第2行元素的代數(shù)式寫成第2列A的第n行元素的代數(shù)式寫成第n列，組成矩

n2, nn稱它為矩陣A的伴隨矩陣，記成A*利用行列式按1

An1

AA

2n

n2

nA0A000A000A

nn

nn

E利用行列式按1即有如下結(jié)

于是，如果A0 AAAAAAA 從而A是可逆矩A-11A Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例1判斷A是否可逆？若可逆，求A-1 A 1 33 33 【解

A

120，所以A-1存在 12,

13, 2

同理可得A21=6,A22=-6,A23=2,A31=-4,A32=5,A33=- A 5 2 2 4 2故A-11A1 5 2

53

2

1 【注】利用伴隨【注】A可逆的充要條件是AX=O(AX=)只有零(唯一)Zhanglizhuo-因此A0B0，于是A,B都可逆，在AB=E的兩端左乘A-1A-1AB=A-由此得出，B=A-1，從而B-1=(A-1)-1=A。 Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例2判斷對(duì)角矩陣 0

d2 0000000000

n

dnd

0d1d

2 02 d1 iji【解】由于對(duì)單位矩陣E相繼施以兩次初等行變換ijijj仍得到E

+(-P(j,i(-k))P(j,從而P(ji(k))可逆，并且P(ji(k))-1=P(ji(-k))同理P(ij)P(ij)=E，P(ij)可逆，并且P(ij)-1=P(ij)P(i(k))P(i(1/k))=E，P(i(k))可逆，且P(i(k))-1=P(i(1/k))初等矩陣都可二、可逆矩陣的性質(zhì)2如果A可逆，則A-1也可逆，且(A-1)-1=A。性質(zhì)3如果n級(jí)矩陣AB都可逆，則AB也可逆，且(AB)-1=B-1A-1【證】(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=EAB可逆，且(AB)-1=B-1A-1?！就茝V】如果n級(jí)矩陣A1,A2,…,Am都可逆，則 Am-1…A1。- - -【證】因A可逆，所以A-1(AT)(A-1)T=(A-所以AT也可逆，且(AT)-1=(A-1)T。【注】若A可逆，數(shù)0，則A也可逆，且(A)-1=-1A-1【證】設(shè)n級(jí)可逆矩陣A 0 J 0 1 性質(zhì)6矩陣A可逆的充些初等矩陣之P1Pt，使 因此A=(Pt…P1)-1=P-1…P Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-性質(zhì)7用一個(gè)可逆矩陣左(右)乘矩陣A，不改變A【證】設(shè)P是可逆矩陣，依性質(zhì)6，有初等矩陣P1,…,使 從 【注】若Q是可逆矩陣，則rank(AQ)=rank(A)Zhanglizhuo-【證】由題P,Q均為可逆矩陣，依定理 Zhanglizhuo-【證】由題設(shè)，A可逆又因E+AB從而E+BA可逆(E+BA)-1=A-1(E+AB)-1AZhanglizhuo- 1

2

【解】A

1

0

2

0 0

0 1 1 1 2 01 0

0

01 2 1A3 1

313

2 1 2 Zhanglizhuo-三、初等變換法矩陣矩陣P1,P2,…,Pm，使得A- (3)式兩端右乘

P1P2…PmE=A- 由上述(5),(4)式知，如果用一系列初等行變換把矩陣化為E，則同樣的這些初等行變換就可把E化成A-1Zhanglizhuo-(AE)初等行變

(EA-這種求逆矩陣的方法稱為初等變換法Zhanglizhuo- 例6設(shè)A

1，求A-1 【解】對(duì)矩陣(A:E)作初 00AE 0

A- 1 2

3

52=(EA-0 0

1Zhanglizhuo-矩陣P1,P2,…,Pt，使得A-

由(67)式可知，我們可以把A與E上下放在一起，組E

A1Zhanglizhuo-四、初等變換法性質(zhì)6，存在初等矩陣P1,P2,…,Pm，使得A- 在(3)式兩端右乘A，E=P1P2…Pm- (89)式表(AB)初等行變換(EA-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例7求矩陣X，使AX=B 5A 1, B 1 【分析】因?yàn)锳0，因此A可逆，所以X=A-X=A-1B【法一】先求出A-1，再求A-(AE)初等行變【法二】直接求A-

(EA-(AB)初等行變換(EA-0012300123

(AB)

1 3 3

30 30 2即所 X=A-1B 3設(shè)B是mn矩陣，A是n級(jí)可逆矩陣，則A-1A-在(3)式兩端左乘B，BA-1=BP1P2…Pm-1Pm，(10),(11)式表明，

A B

BA1或 (ATBT)初等行變換(E(BA-Zhanglizhuo-解矩陣方程的初設(shè)A,C均為可逆矩陣，BAX=BX=A-(AB)初等行變換(EA-XC=BX=BC-C列 B BC1 AXC=BX=A-1BC-(AB)初等行(EA-

列

.A1BC1. Zhanglizhuo-【證】由A2+2A-3E=OA1(A2E)A

1A(A2E)或 所以A為可逆矩A11A3A+2EA2E113Zhanglizhuo-若方陣AA2+2A-3E=O，問A-2E【解】由A2+2A-3E=O得(A+4E)(A-2E)=-1(A+4E(A2E)E,(A+4E1(A2E55 55 故A-2E可逆，A2E11A5同時(shí)A+4E可逆，5【注】注意解矩Zhanglizhuo-若方陣A滿足A2+2A-3E=O，問A+nE可逆嗎(n為整數(shù)當(dāng)n3且n-1時(shí)，A+nEAnE1

(n3)(n

Zhanglizhuo-若A為冪零矩陣，滿足Am=O，則矩陣E-A(E-A)-1=E+A+A2+…+Am-2+Am-1【證】因?yàn)閱挝痪仃嘐(E-A)(E+A+A2+…+Am-2+Am-1)=Em-Am=EZhanglizhuo-Zhanglizhuo-Zhanglizhuo-例10如果方陣A滿足A2=A，則稱A為冪等矩若A是冪等矩陣，則對(duì)于正整數(shù)m(m>1)，矩陣A-mE可逆(A-mE)-1證明方法同例8

m(m

(A(m例11設(shè)3階矩陣AB滿足A1BA6ABAA

1

17求矩陣B 【解】由題設(shè)A可逆，等式兩端右乘A-1，整(A-1-

先化簡求 0 B=6(A-1-E)-1

1/

1/ 例1