第29線性代數(shù)59主講 大 教 Feb Feb第29高等數(shù)學138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概高等數(shù)學138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)考研題評講 傳課 : @ Feb我在課程高等數(shù)學138我在課程高等數(shù)學138及線性代數(shù)59講受 各地大學生的歡 件 課程的 希望此課件僅用于你的學習。請尊的著作權(quán)，切勿在網(wǎng) 課件。謝謝 (聯(lián)(聯(lián)大) Feb第29TheRankofa第29+請在優(yōu)酷網(wǎng)搜 + Feb第29 Feb第29什么是矩陣的 Feb第292 42

42 2

12 2

30 90大

行階梯形有一非零的3階子式：

51

任何4階子式都等于零

數(shù)(階梯數(shù))。 Thisistherankoftheechelon

Feb第29設A是mxn矩陣。任取A的k行與k 大大 Feb第29例 A

有1

2

大010121304175091 Feb 優(yōu)

第29設矩陣ArD≠0，且所有r+1階子式（如果存在的話）全等于0，則數(shù)r稱為A的(rank)，記作R(A)。大時，所有更高階的子式也全為0因此R(A)=rA中不0r 大 Feb第29由于行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等，因此A它的轉(zhuǎn)置矩陣有同樣的子式，所 大 (矩陣轉(zhuǎn)置其秩不變行滿秩（列滿秩）的矩陣川大n階矩A的秩等于它的階n，則A的行列式不等于零，A是可逆矩陣。此時稱A是滿若A不可逆，則A的行列式等于零，A的秩小

第29 4 3

3 大A

B 5

0大學 02階子

唯一3階子 6

A 7 13

A:=array([[1,-1,3],[2,4,-7],[4,2,-

Feb求下列矩陣的3 43

第29 B

5 0

3 大3階子

所有4階子式全

24

大Feb第29當矩陣的行數(shù)和列數(shù)較大時，其子定義求矩陣的秩很麻煩 大但是行階梯形矩陣的梯形（即每個矩陣都等價于一個行階梯形）我們自然問：矩陣的秩與它的行階梯形矩陣秩有什么關(guān)系 大 Feb第29 大證兩個等價矩陣的秩一定相等A兩個等價矩陣的秩一定相等A~BR(A)R(B)對證明要求不

Feb先證A經(jīng)過一次初等行變換變B，則R(A)≤R(B).

第29R(A)=r，且DA的非r階子式D的所有元素仍然構(gòu)Br階子式D11DD作了1R(A)所以R(BR(A)

D1D第29R(A)=r，且DAr設用非零kA的第i行，得矩B若D不包含A的第i行，則D也是B的非零r階子式； D包含AikD的對應行，得到B的一個r階非零子式D1：D1kD

Feb第29R(A)=r，且DA的非r階子式Ajk倍加iB若D不包含A的第i行，或者D同時包含A的i行和jD也是B的非r階子式；D包含Ai行，但不包A的第jB有r階子式 大 大

D1

aipkajp

kajp jp

其余r-1D相

Feb

第29D1

aip

大 11

ka

a

Dr1r r1r

...因為D≠0，D1和D2不能都等于0若D2≠0，由于D2的r行也是B中的r行，因此B有一r階非零子式。R(B)≥r=R(A)。 Feb第29R(A)≤R(B) 大初等行變換將B變回A，所以又有R(B)≤R(A)。因此，經(jīng)過一次初等變換，矩陣的秩不改變所以經(jīng)過有限次初等行變換，矩陣的秩也不變 所以，經(jīng)過初等變換后，矩陣 Feb定理 兩個等價矩陣的秩一定相等

第29A~A~BR(A)R(B)即若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為矩陣 大 ：矩陣乘可逆陣，其秩不變 Feb第29思考：等秩的矩陣一定等價嗎 大不同型的等秩大兩個同型的等答案是肯定的，因為它們等價于同一個標兩個等價矩陣的秩一定相等OO兩個等價矩陣的秩一定相等OO

其中Feb第29兩個同型的等秩矩OOA~ErOOO

其中大推 Feb第29求矩陣的秩的方 用初等行變A化為B，則A的秩等于B的非零行的行數(shù)。 Feb例20 20

第29 A

A的秩，并 的一個最高階 5

子式學解先將A化為階梯形 大0 20

010115437

1行減2 Feb 2

第290 0 A 5

7

川大6 26

交換23 5 17 20 5 大0 6川 17川

Feb第292332030112332030110

5A

57

6 171 1 2

2

0 0 大

0 2

4第292 0

A

5 5

5 7

大

這是B3列的非

子式

1

03 大23032102303210 Feb 秩的性

第290RAmn)min{mn矩陣的秩不超過矩陣的行列RATR 矩陣轉(zhuǎn)置，其R(kA)R(A)(kA~BR(A)R(B)

)R(A~B存在可逆矩陣P和Q

Feb 秩的性

第29max{R(A),R(B)}R(A,B)R(A)R(B)證A或B中的非零子式也是分塊矩陣(AB)中后一個不等式以后證明四川大R(AB)R(A)R(B)

和(差)的秩小證對分塊矩陣(AB,B)作初等列變換化可矩陣化為(A,所 R(AB)R(AB,B)R(A,B)R(A)R(B)

由

Feb 秩的性

第29R(AB)min{R(A),R(B)} 大Thiswillbeproved Feb第29例3An階矩陣R(AE)R(AE)

(同濟五版70頁例證因為AEAE)證大所以，由性質(zhì)R(AE)R(AR((AE)(AE))R(2E) Feb例4證明： AmnBnl

第29且R(Amn)n(A列滿秩 R(C) 因為A為列滿 大 rEnA的行最簡形形

A~ O 因此有m階可逆矩陣P，使 PAEn O于

BB OPCPABOO 大R(B)RBR(PC)O O 乘可逆陣秩不

Feb第29若AmnBnl且RAmnn(A列滿秩 R(AB)R(B)大結(jié)論：左乘列滿秩矩陣秩不變 大同理：右乘行滿秩矩陣秩不