附錄I截面的幾何性質

I.1截面的靜矩和形心I.2慣性矩慣性積I.3平行移軸公式組合截面慣性矩和慣性積I.4轉軸公式主慣性軸和主慣性矩附錄I截面的幾何性質I.1截面的靜矩和形心1I.1.1靜矩（面積矩）I.1截面的靜矩和形心1、定義dA對y軸的微靜矩:2、量綱：［長度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對x軸的微靜矩:3、靜矩的值可以是正值、負值、或零。OxydA

xyI.1.1靜矩（面積矩）I.1截面的靜矩和形心1、定義24、靜矩和形心的關系平面圖形的形心公式結論：

圖形對過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。靜矩和形心的關系xyO

dA

xyxCCyC4、靜矩和形心的關系平面圖形的形心公式結論：圖形對3組合圖形:由若干個基本圖形組合而成的圖形基本圖形:面積、形心位置已知的圖形I.1.2組合圖形的靜矩：組合圖形對于某一軸的靜矩，等于圖形各組成部分對于同一軸靜矩之代數(shù)和。組合圖形:由若干個基本圖形組合而成的圖形基本圖形:4例Ⅰ-1求圖示半圓形的靜矩Sx、Sy。解：由對稱性取平行于x軸的狹長條作為微面積dAORxyydy例Ⅰ-1求圖示半圓形的靜矩Sx、Sy。解：由對稱性取平行5I.2慣性矩慣性積1、定義：dA對x軸的慣性矩:dA對y軸的慣性矩:2、量綱：m4、mm4。3、慣性矩是對軸而言（軸慣性矩）。4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對O點而言）圖形對x軸的慣性矩:圖形對y軸的慣性矩:I.2.1慣性矩

OxydA

xy

圖形對任一對相互垂直的坐標系的慣性矩之和恒等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩。I.2慣性矩慣性積1、定義：dA對x軸的慣性矩6bhxccyc⑴圓形截面的慣性矩：實心（直徑D）空心（外徑D，內徑d）⑵矩形截面的慣性矩：bdyhdx6、慣性半徑：bhxccyc⑴圓形截面的慣性矩：實心（直徑D）空心（外徑71、定義：2、量綱：［長度］4，單位：m4、mm4。3、慣性積是對軸而言。4、慣性積的取值為正值、負值、零。5、規(guī)律：兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標軸的慣性積為零。I.2.2慣性積

OxydA

xy1、定義：2、量綱：［長度］4，單位：m4、mm4。3、慣性8I.3

平行移軸公式I.3.1平行移軸公式

圖形截面積A，形心坐標xc、yc

，對形心軸的慣性矩和慣性積分別為Ixc、Iyc、Ixcyc，a、b已知。xc

軸平行于x軸；yc軸平行于y軸。求：Iz、Iy。xyOCbaycxcdAycxcxy同理I.3平行移軸公式I.3.1平行移軸公式9xyOCbaycxcdAycxcxy——平行移軸公式注意：xC、yC為形心軸

a、b為圖形形心C在Oxy坐標系的坐標值，可正可負xyOCbaycxcdAycxcxy——平行移軸公式注意：10I.3.2組合截面的慣性矩慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得

組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：例I-2求T形截面對其形心軸yc

的慣性矩。解：將截面分成兩個矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對稱軸zc

上。取過矩形2的形心且平行于底邊的y軸作為參考軸形心坐標zCI.3.2組合截面的慣性矩慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積112014010020zcycy12zC2014010020zcycy12zC12例I-3

求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。解：xydycCxcb(y)取平行于x軸的狹長條作為微面積dA求對形心軸xc

的慣性矩由平行移軸公式得：例I-3求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc13例I-4試求圖示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。1、矩形對x軸的慣性矩：2、一個半圓對其自身形心軸的慣性矩xyCd=8040100a=10040

a+2d3p3、一個半圓對x的慣性矩4、整個截面對于對稱軸x的慣性矩例I-4試求圖示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將14I.4.1轉軸公式

I.4轉軸公式主慣性軸主慣性矩dA在坐標系Oxy的坐標為（x，y

）慣性矩定義xyOxyAdAx1y1a已知：Ix、Iy、Ixy。求：Ix1、Iy1、Ix1y1。ax1y1dA在坐標系Ox1y1的坐標（x1，

y1）BDECI.4.1轉軸公式I.4轉軸公式主慣性15利用二倍角函數(shù)，得轉軸公式：的符號為：從x軸至x1軸逆時針為正，順時針為負。表明:截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩前兩式相加利用二倍角函數(shù)，得轉軸公式：的符號為：從x軸16I.4.2主慣性軸和主慣性矩令可求得a0

和a0+90?

兩個角度，從而確定兩根軸x0，y0，且I.4.2主慣性軸和主慣性矩令可求得a0和a0+17由求出代入轉軸公式可得：2、主慣性矩（主矩）：圖形對主軸的慣性矩Ix0、Iy0稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。由此引出幾個概念：1、主慣性軸（主軸）：如果圖形對過某點的某一對坐標軸的慣性積為零，則該對軸為圖形過該點的主慣性軸。（Ix0y0=0，x0，y0

軸為主軸）。由求出183、形心主慣性軸（形心主軸）：如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（Ixcyc=0。xc、yc為形心軸。xc、yc

為形心主軸）。4、形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩。（Ixc、Iyc）。幾個結論:

若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。

若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。

若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。3、形心主慣性軸（形心主軸）：如果圖形的兩個19求截面形心主慣性矩的基本步驟1)、建立坐標系。2)、求形心位置。3)、建立形心坐標系，并求：Iyc，Ixc，Ixcyc4)、確定形心主軸位置——

0：5)、求形心主慣性矩求截面形心主慣性矩的基本步驟1)、建立坐標系。2)、求形心位20例I-5確定圖示截面的形心主慣性軸位置，并計算形心主慣性矩。解：(1)首先確定圖形的形心。矩形I：11707080801111IIIIII11Cxy利用平行移軸公式分別求出各矩形對x軸和y軸的慣性矩和慣性積。例I-5確定圖示截面的形心主慣性軸位置，并計算形心主2111707080801111IIIIII11Cxy矩形Ⅲ：矩形Ⅱ：整個圖形對x軸和y軸的慣性矩和慣性積為:11707080801111IIIIII11Cxy矩形Ⅲ：2211707080801111IIIIII11Cxy(2)求a0：a0

的兩個值分別確定了形心主慣性軸x0和y0的位置x0y0則：11707080801111IIIIII11Cxy(2)求23附錄I截面的幾何性質

I.1截面的靜矩和形心I.2慣性矩慣性積I.3平行移軸公式組合截面慣性矩和慣性積I.4轉軸公式主慣性軸和主慣性矩附錄I截面的幾何性質I.1截面的靜矩和形心24I.1.1靜矩（面積矩）I.1截面的靜矩和形心1、定義dA對y軸的微靜矩:2、量綱：［長度］3；單位：m3、cm3、mm3。dA對x軸的微靜矩:3、靜矩的值可以是正值、負值、或零。OxydA

xyI.1.1靜矩（面積矩）I.1截面的靜矩和形心1、定義254、靜矩和形心的關系平面圖形的形心公式結論：

圖形對過形心的軸的靜矩為零。

若圖形對某軸的靜矩為零，則此軸一定過圖形的形心。靜矩和形心的關系xyO

dA

xyxCCyC4、靜矩和形心的關系平面圖形的形心公式結論：圖形對26組合圖形:由若干個基本圖形組合而成的圖形基本圖形:面積、形心位置已知的圖形I.1.2組合圖形的靜矩：組合圖形對于某一軸的靜矩，等于圖形各組成部分對于同一軸靜矩之代數(shù)和。組合圖形:由若干個基本圖形組合而成的圖形基本圖形:27例Ⅰ-1求圖示半圓形的靜矩Sx、Sy。解：由對稱性取平行于x軸的狹長條作為微面積dAORxyydy例Ⅰ-1求圖示半圓形的靜矩Sx、Sy。解：由對稱性取平行28I.2慣性矩慣性積1、定義：dA對x軸的慣性矩:dA對y軸的慣性矩:2、量綱：m4、mm4。3、慣性矩是對軸而言（軸慣性矩）。4、慣性矩的取值恒為正值。5、極慣性矩：（對O點而言）圖形對x軸的慣性矩:圖形對y軸的慣性矩:I.2.1慣性矩

OxydA

xy

圖形對任一對相互垂直的坐標系的慣性矩之和恒等于此圖形對該兩軸交點的極慣性矩。I.2慣性矩慣性積1、定義：dA對x軸的慣性矩29bhxccyc⑴圓形截面的慣性矩：實心（直徑D）空心（外徑D，內徑d）⑵矩形截面的慣性矩：bdyhdx6、慣性半徑：bhxccyc⑴圓形截面的慣性矩：實心（直徑D）空心（外徑301、定義：2、量綱：［長度］4，單位：m4、mm4。3、慣性積是對軸而言。4、慣性積的取值為正值、負值、零。5、規(guī)律：兩坐標軸中，只要有一個軸為圖形的對稱軸，則圖形這一對坐標軸的慣性積為零。I.2.2慣性積

OxydA

xy1、定義：2、量綱：［長度］4，單位：m4、mm4。3、慣性31I.3

平行移軸公式I.3.1平行移軸公式

圖形截面積A，形心坐標xc、yc

，對形心軸的慣性矩和慣性積分別為Ixc、Iyc、Ixcyc，a、b已知。xc

軸平行于x軸；yc軸平行于y軸。求：Iz、Iy。xyOCbaycxcdAycxcxy同理I.3平行移軸公式I.3.1平行移軸公式32xyOCbaycxcdAycxcxy——平行移軸公式注意：xC、yC為形心軸

a、b為圖形形心C在Oxy坐標系的坐標值，可正可負xyOCbaycxcdAycxcxy——平行移軸公式注意：33I.3.2組合截面的慣性矩慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積的定義易得

組合截面對于某軸的慣性矩（或慣性積）等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩（或慣性積）之和：例I-2求T形截面對其形心軸yc

的慣性矩。解：將截面分成兩個矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在對稱軸zc

上。取過矩形2的形心且平行于底邊的y軸作為參考軸形心坐標zCI.3.2組合截面的慣性矩慣性積根據(jù)慣性矩和慣性積342014010020zcycy12zC2014010020zcycy12zC35例I-3

求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。解：xydycCxcb(y)取平行于x軸的狹長條作為微面積dA求對形心軸xc

的慣性矩由平行移軸公式得：例I-3求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc36例I-4試求圖示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將截面看作一個矩形和兩個半圓組成。1、矩形對x軸的慣性矩：2、一個半圓對其自身形心軸的慣性矩xyCd=8040100a=10040

a+2d3p3、一個半圓對x的慣性矩4、整個截面對于對稱軸x的慣性矩例I-4試求圖示截面對于對稱軸x的慣性矩。解：將37I.4.1轉軸公式

I.4轉軸公式主慣性軸主慣性矩dA在坐標系Oxy的坐標為（x，y

）慣性矩定義xyOxyAdAx1y1a已知：Ix、Iy、Ixy。求：Ix1、Iy1、Ix1y1。ax1y1dA在坐標系Ox1y1的坐標（x1，

y1）BDECI.4.1轉軸公式I.4轉軸公式主慣性38利用二倍角函數(shù)，得轉軸公式：的符號為：從x軸至x1軸逆時針為正，順時針為負。表明:截面對于通過同一點的任意一對相互垂直的坐標軸的慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標原點的極慣性矩前兩式相加利用二倍角函數(shù)，得轉軸公式：的符號為：從x軸39I.4.2主慣性軸和主慣性矩令可求得a0

和a0+90?

兩個角度，從而確定兩根軸x0，y0，且I.4.2主慣性軸和主慣性矩令可求得a0和a0+40由求出代入轉軸公式可得：2、主慣性矩（主矩）：圖形對主軸的慣性矩Ix0、Iy0稱為主慣性矩，主慣性矩為圖形對過該點的所有軸的慣性矩中的最大和最小值。由此引出幾個概念：1、主慣性軸（主軸）：如果圖形對過某點的某一對坐標軸的慣性積為零，則該對軸為圖形過該點的主慣性軸。（Ix0y0=0，x0，y0

軸為主軸）。由求出413、形心主慣性軸（形心主軸）：如果圖形的兩個主軸為圖形的形心軸，則此兩軸為形心主慣軸。（Ixcyc=0