1第三章積分（Integration）復習2第一節(jié)復變函數(shù)積分的概念一、積分的定義二、積分存在的條件及其計算法三、積分的性質四、小結與思考3積分的定義:4(5關于定義的說明:6二、積分存在的條件及其計算法1.存在的條件7在形式上可以看成是公式82.積分的計算法9在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.10例1解直線方程為11這兩個積分都與路線C無關12例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x13(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x14y=x(3)積分路徑由兩段直線段構成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為15例4解積分路徑的參數(shù)方程為16重要結論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關.17三、積分的性質復積分與實變函數(shù)的定積分有類似的性質.估值不等式第二節(jié)柯西－古薩基本定理

（CauchyIntegralTheorem

）一、問題的提出二、基本定理三、典型例題四、小結與思考19一、問題的提出觀察上節(jié)例1,此時積分與路線無關.觀察上節(jié)例4,20由以上討論可知,積分是否與路線有關,與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的連通性有關.21二、基本定理（CauchyIntegralTheorem

）柯西－古薩基本定理定理中的C可以不是簡單曲線.此定理也稱為柯西積分定理（CauchyIntegralTheorem

）.22關于定理的證明：

一般方法略.

若假設在B內(nèi)連續(xù)，利用

及格林公式即可證。23

242526關于定理的說明:(1)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,(2)如果曲線C是區(qū)域B的邊界,定理仍成立.27三、典型例題例1解根據(jù)柯西－古薩定理,有28例2證由柯西－古薩定理,29由柯西－古薩定理,由上節(jié)例4可知,30例3解根據(jù)柯西－古薩定理得3132思考通過本課學習,重點掌握柯西－古薩基本定理:并注意定理成立的條件.33思考題應用柯西–古薩定理應注意什么?34思考題答案(1)注意定理的條件“單連通域”.(2)注意定理的不能反過來用.放映結束，按Esc退出.35Augustin-LouisCauchyBorn:21Aug1789inParis,France

Died:23May1857inSceaux(nearParis),France柯西資料36GoursatBorn:21May1858inLanzac,Lot,France

Died:25Nov1936inParis,France古薩資料37ThekeyresultincomplexanalysisistheCauchyintegraltheorem,whichisthereasonthatsingle-variablecomplexanalysishassomanyniceresults.38四、基本定理的推廣一、問題的提出二、復合閉路定理三、典型例題復合閉路定理四、小結與思考39問題的提出根據(jù)本章第一節(jié)例4可知,由此希望將基本定理推廣到多連域中.40復合閉路定理1.閉路變形原理︵︵41︵︵︵︵︵︵︵︵42得︵︵︵︵43解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值.閉路變形原理說明:在變形過程中曲線不經(jīng)過函數(shù)f(z)的不解析的點.442.復合閉路定理那末4546典型例題例1解依題意知,47根據(jù)復合閉路定理,48例2解圓環(huán)域的邊界構成一條復合閉路,根據(jù)閉路復合定理,49例3解50由復合閉路定理,此結論非常重要,用起來很方便,因為不必是圓,a也不必是圓的圓心,只要a在簡單閉曲線內(nèi)即可.51例4解由上例可知52思考本課所講述的復合閉路定理與閉路變形原理是復積分中的重要定理,掌握并能靈活應用它是本章的難點.常用結論:53思考題復合閉路定理在積分計算中有什么用?要注意什么問題?54思考題答案利用復合閉路定理是計算沿閉曲線積分的最主要方法.使用復合閉路定理時,要注意曲線的方向.放映結束，按Esc退出.55五、原函數(shù)與不定積分一、主要定理和定義二、典型例題三、小結與思考56主要定理和定義定理一由定理一可知:解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點和終點有關,(如下頁圖)1.兩個主要定理:5758定理二證利用導數(shù)的定義來證.59由于積分與路線無關,6061由積分的估值性質,62此定理與微積分學中的對變上限積分的求導定理完全類似.[證畢]632.原函數(shù)的定義:原函數(shù)之間的關系:證64那末它就有無窮多個原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:[證畢]653.不定積分的定義:定理三(類似于牛頓-萊布尼茲公式)66證根據(jù)柯西-古薩基本定理,[證畢]說明:有了以上定理,復變函數(shù)的積分就可以用跟微積分學中類似的方法去計算.67典型例題例1解由牛頓-萊布尼茲公式知,68例2解(使用了微積分學中的“湊微分”法)69例3解由牛頓-萊布尼茲公式知,70例3另解此方法使用了微積分中“分部積分法”71例4解利用分部積分法可得課堂練習答案72例5解73例6解所以積分與路線無關,根據(jù)牛—萊公式:74思考本課介紹了原函數(shù)、不定積分的定義以及牛頓—萊布尼茲公式.在學習中應注意與《高等數(shù)學》中相關內(nèi)容相結合,更好的理解本課內(nèi)容.75思考題解析函數(shù)在單連通域內(nèi)積分的牛頓