直線與直線的位置關(guān)系(2)直線與直線的位置關(guān)系(2)一、新課引入：在正方體A1B1C1D1-ABCD中，說(shuō)出下列各對(duì)線段的位置關(guān)系（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B；（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1；思考：1、兩條直線不相交則平行。（）2、無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線一定平行。（）ABCDA1B1C1D1一、新課引入：（1）AB和C1D1；思考：ABCDA二、新授：兩條不重合直線之間有、lmPml圖1圖2llll(一)、空間中兩直線的位置關(guān)系從圖中可見(jiàn)，直線l與m既不相交，也不平行。空間中直線之間的這種關(guān)系稱為異面直線。在空間中，相交平行及異面直線三種位置關(guān)系.二、新授：兩條不重合直線之間有、（1）從公共點(diǎn)的數(shù)目來(lái)看可分為：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)則兩直線相交兩平行直線②沒(méi)有公共點(diǎn)則兩直線為異面直線（2）從平面的性質(zhì)來(lái)講，可分為：兩直線相交①在同一平面內(nèi)兩直線平行②不同在任何一個(gè)平面內(nèi)則兩直線為異面直線。定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線為異面直線(一)、空間中兩直線的位置關(guān)系:1、空間中兩直線的位置關(guān)系分類:（1）從公共點(diǎn)的數(shù)目來(lái)看可分為：（2）從平面的性質(zhì)來(lái)講，可2.判定異面直線的方法：（1）根據(jù)異面直線的定義：應(yīng)用反證法來(lái)證明。3.異面直線的畫(huà)法：（2）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。（可作判斷依據(jù)）Abaαbaba2.判定異面直線的方法：3.異面直線的畫(huà)法：（2）過(guò)平面內(nèi)一兩條都是平行直線，但是它們之間有什么區(qū)別？“定量”研究平行線，必須引入“距離”的概念問(wèn)題回顧：兩條都是平行直線，但是它們之間有什么區(qū)別？“定量”研究平行線abca與b是相交直線，a與c也是相交直線，它們之間又有什么區(qū)別？“定量”研究相交直線，必須引入“角”的概念abca與b是相交直線，a與c也是相交直線，它們之間又有什么NaMbcd直線a與b，直線a與c,直線a與d

都是異面直線，它們有什么區(qū)別？NaMbcd直線a與b，直線a與c,直線a與d直線a與b，直線a與c,都是異面直線，它們有什么區(qū)別？aMbc直線a與b，直線a與c,都是異面直線，它們有什么區(qū)別？異面直線所成的角的定義aMba1b1

直線a,b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，分別引直線a1∥a,b1∥b,我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1異面直線所成的角的定義aMba1b1直線a,b是異aMba1b1o.a2b2o1.O是空間中的任意一點(diǎn)所成的銳角是否相等？

點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上aMba1b1o.a2b2o1.O是空間中的任意一點(diǎn)所成的銳aMbo點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上

相交直線所成角的大小，就是異面直線所成角的大小相交直線a,b所成的角？異面直線所成的角？異面直線所成的角的范圍？00°﹤90°≤aMbo點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上相交直線(二)、異面直線所成角的定義：1.直線a、b是異面直線。經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a1∥a，b1∥b。我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。aαa1b1Ob

aαOθ為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上。2.異面直線a和b所成的角的范圍：(二)、異面直線所成角的定義：1.直線a、b是異面直線。經(jīng)過(guò)abOa1b1Oab1b3.找角方法：βabOa1b1Oab1b3.找角方法：β如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。

相交垂直（有垂足）垂直異面垂直（無(wú)垂足）OααO因此，異面直線所成角的范圍是（0，]4、特例：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。例1.如圖，在正方體中，（1）哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？（2）求直線BA1和CC1所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1(三)、例題分析：解:(2)∵BB//CC，且BB∩BA=B1111∴∠ABB為異面直線AB與CC所成角的平面角.1111∴異面直線BA與CC所成的角為45011又∵∠ABB=45011例1.如圖，在正方體中，（1）哪些棱所在的直線與直線BA1成求異面直線所成的角的一般步驟是：

根據(jù)異面直線所成角的定義，求異面直線所成角,就是要將其變換成相交直線所成有角。其一般方法有：（1）平移法：即根據(jù)定義，以“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角。(1)找出或作出有關(guān)的圖形；(2)證明它符合定義；

(3)計(jì)算。[即：要求先證，要證先作。]

具體地講是選擇“特殊點(diǎn)”作異面直線的平行線，構(gòu)作含異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)的三角形，再求之。求異面直線所成的角的一般步驟是：根據(jù)異面直線例2：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。O1M（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。BDB1A1D1C1AC例2：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cF1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二（補(bǔ)形法）：

說(shuō)明：1.異面直線所成角的范圍是（0，]，在把異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，當(dāng)余弦值為負(fù)值時(shí)，其對(duì)應(yīng)角為鈍角，這不符合兩條異面直線所成角的定義，故其補(bǔ)角為所求的角，這一點(diǎn)要注意。 2.當(dāng)異面直線垂直時(shí)，應(yīng)用線面垂直的定義或三垂線定理（或逆定理）等方法判定所成的角為90o(可不必作出平面角)，也是不可忽視的辦法。F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二（補(bǔ)形法）：說(shuō)明例3.如圖，正方體中，A1B1與C1C所成的角AD與B1B所成的角A1D與BC1所成的角D1C與A1A所成的角A1D與AC所成的角ABCDA1B1C1D1例3.如圖，正方體中，ABCDA1B1C1D1例4正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

分析：根據(jù)正三棱錐的對(duì)稱性，以及E、F為SC、AB的中點(diǎn)，應(yīng)取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，從而達(dá)到將SA平移至EG，與EF相交的目的.易證直線EF與SA所成的角為∠GEFCGSBEFAC例4正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分例5正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分別為SC、AB的中點(diǎn)，求異面直線SF與BE所成的角.GSABCEF

解：連結(jié)CF，取CF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、BG，則EG//SF，∴∠BEG為異面直線SF、BE所成的角.在ΔBEG中，利用余弦定理可解得：COS∠BEG=.∴∠BEG=arccos()例5正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果θ1

例6

如圖：長(zhǎng)方體AC1中，AB=BC=2a,AA1=a,E、H分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，求（1）EH與AD1所成的角；（2）AC1與B1C所成的角.θABCDA1B1C1D1EHθ1例6如圖：長(zhǎng)方體AC1中，AB=BC=2a,AA1=ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2θABCDA1B1C1D1EOθABCDA1B1C1D1A2B2C2D2θABCDA1B1C三、鞏固練習(xí)：①畫(huà)兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫(huà)一條直線，使它們成為：⑴平行直線；⑵相交直線；⑶異面直線。abαβαβbaαβba三、鞏固練習(xí)：abαβαβbaαβba②填空：1、空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有________、________、

________三種。2、沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線可能是________直線，也有可能是

________直線。3、和兩條異面直線中的一條平行的直線與另一條的位置關(guān)系有______________。4、過(guò)已知直線上一點(diǎn)可以作______條直線與已知直線垂直。5、過(guò)已知直線外一點(diǎn)可以作______條直線與已知直線垂直。平行相交異面平行異面無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)相交、異面②填空：平行相交異面平行異面無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)相交、異面③判斷對(duì)錯(cuò)：1、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線。()2、空間兩條不相交的直線一定是異面直線。()3、垂直于同一條直線的兩條直線必平行。()4、過(guò)一點(diǎn)能引且只能引一條直線和已知直線垂直。()5、若一條直線垂直于兩條平行直線中的一條，則它一定與另一條直線垂直。()③判斷對(duì)錯(cuò)：思考題：1、a與b是異面直線，且c∥a，則c與b一定（）。（A）異面（B）相交（C）平行（D）不平行2、正方體一條對(duì)角線與正方體的棱可組成的異面直線的對(duì)數(shù)是（）對(duì)。（A）6（B）3（C）8（D）123、一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定（）平面。（A）一個(gè)（B）兩個(gè)（C）三個(gè)（D）四個(gè)DAB思考題：DAB四、小結(jié)：1、空間兩直線的位置關(guān)系、異面直線的定義；2、求異面直線所成的角的方法與步驟是：（1）根據(jù)定義找出或作輔助線找出所求的角并設(shè)為θ；（2）選取適當(dāng)?shù)娜切危é葹槠湟粋€(gè)內(nèi)角），通過(guò)解三角形求得θ的值；（3）異面直線所成的角的范圍是0＜θ≤900，盡量用余弦定理；（4）若余弦值為負(fù)，則θ為其補(bǔ)角；（5）如果兩條異面直線所成的角為直角，只需證它們垂直而不找角。3、異面直線所成角的兩種常見(jiàn)作法（作平行線、補(bǔ)形）；4、降維法（立體圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題）是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法．歸納為：①作輔助線找角；②指出角（或其補(bǔ)角）；③求角（解三角形）；④結(jié)論。四、小結(jié)：歸納為：①作輔助線找角；②指出角（或其補(bǔ)角）；③求五、作業(yè)布置：1、課本Ｐ１４練習(xí)No.４；Ｐ１５習(xí)題９.２No.10(1)、(2).2、補(bǔ)充：1.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,若AB=BC=3,A1A=4,求AB1和BC1所成角的余弦值.2.在空間四邊形ABCD中,AD=1,BC=,AD⊥BC,對(duì)角線BD=,AC=,求AC與BD所成的角.五、作業(yè)布置：1、課本Ｐ１４練習(xí)No.４；2、補(bǔ)充：直線與直線的位置關(guān)系(2)直線與直線的位置關(guān)系(2)一、新課引入：在正方體A1B1C1D1-ABCD中，說(shuō)出下列各對(duì)線段的位置關(guān)系（1）AB和C1D1；（2）A1C1和AC；（3）A1C和D1B；（4）AB和CC1；（5）BD1和A1C1；思考：1、兩條直線不相交則平行。（）2、無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線一定平行。（）ABCDA1B1C1D1一、新課引入：（1）AB和C1D1；思考：ABCDA二、新授：兩條不重合直線之間有、lmPml圖1圖2llll(一)、空間中兩直線的位置關(guān)系從圖中可見(jiàn)，直線l與m既不相交，也不平行?？臻g中直線之間的這種關(guān)系稱為異面直線。在空間中，相交平行及異面直線三種位置關(guān)系.二、新授：兩條不重合直線之間有、（1）從公共點(diǎn)的數(shù)目來(lái)看可分為：①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)則兩直線相交兩平行直線②沒(méi)有公共點(diǎn)則兩直線為異面直線（2）從平面的性質(zhì)來(lái)講，可分為：兩直線相交①在同一平面內(nèi)兩直線平行②不同在任何一個(gè)平面內(nèi)則兩直線為異面直線。定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線為異面直線(一)、空間中兩直線的位置關(guān)系:1、空間中兩直線的位置關(guān)系分類:（1）從公共點(diǎn)的數(shù)目來(lái)看可分為：（2）從平面的性質(zhì)來(lái)講，可2.判定異面直線的方法：（1）根據(jù)異面直線的定義：應(yīng)用反證法來(lái)證明。3.異面直線的畫(huà)法：（2）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線。（可作判斷依據(jù)）Abaαbaba2.判定異面直線的方法：3.異面直線的畫(huà)法：（2）過(guò)平面內(nèi)一兩條都是平行直線，但是它們之間有什么區(qū)別？“定量”研究平行線，必須引入“距離”的概念問(wèn)題回顧：兩條都是平行直線，但是它們之間有什么區(qū)別？“定量”研究平行線abca與b是相交直線，a與c也是相交直線，它們之間又有什么區(qū)別？“定量”研究相交直線，必須引入“角”的概念abca與b是相交直線，a與c也是相交直線，它們之間又有什么NaMbcd直線a與b，直線a與c,直線a與d

都是異面直線，它們有什么區(qū)別？NaMbcd直線a與b，直線a與c,直線a與d直線a與b，直線a與c,都是異面直線，它們有什么區(qū)別？aMbc直線a與b，直線a與c,都是異面直線，它們有什么區(qū)別？異面直線所成的角的定義aMba1b1

直線a,b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)o，分別引直線a1∥a,b1∥b,我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1異面直線所成的角的定義aMba1b1直線a,b是異aMba1b1o.a2b2o1.O是空間中的任意一點(diǎn)所成的銳角是否相等？

點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上aMba1b1o.a2b2o1.O是空間中的任意一點(diǎn)所成的銳aMbo點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上

相交直線所成角的大小，就是異面直線所成角的大小相交直線a,b所成的角？異面直線所成的角？異面直線所成的角的范圍？00°﹤90°≤aMbo點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上相交直線(二)、異面直線所成角的定義：1.直線a、b是異面直線。經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a1∥a，b1∥b。我們把直線a1和b1所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。aαa1b1Ob

aαOθ為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上。2.異面直線a和b所成的角的范圍：(二)、異面直線所成角的定義：1.直線a、b是異面直線。經(jīng)過(guò)abOa1b1Oab1b3.找角方法：βabOa1b1Oab1b3.找角方法：β如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。

相交垂直（有垂足）垂直異面垂直（無(wú)垂足）OααO因此，異面直線所成角的范圍是（0，]4、特例：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。例1.如圖，在正方體中，（1）哪些棱所在的直線與直線BA1成異面直線？（2）求直線BA1和CC1所成的角的大小。ABCDA1B1C1D1(三)、例題分析：解:(2)∵BB//CC，且BB∩BA=B1111∴∠ABB為異面直線AB與CC所成角的平面角.1111∴異面直線BA與CC所成的角為45011又∵∠ABB=45011例1.如圖，在正方體中，（1）哪些棱所在的直線與直線BA1成求異面直線所成的角的一般步驟是：

根據(jù)異面直線所成角的定義，求異面直線所成角,就是要將其變換成相交直線所成有角。其一般方法有：（1）平移法：即根據(jù)定義，以“運(yùn)動(dòng)”的觀點(diǎn)，用“平移轉(zhuǎn)化”的方法，使之成為相交直線所成的角。(1)找出或作出有關(guān)的圖形；(2)證明它符合定義；

(3)計(jì)算。[即：要求先證，要證先作。]

具體地講是選擇“特殊點(diǎn)”作異面直線的平行線，構(gòu)作含異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)的三角形，再求之。求異面直線所成的角的一般步驟是：根據(jù)異面直線例2：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。O1M（2）補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。BDB1A1D1C1AC例2：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cF1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二（補(bǔ)形法）：

說(shuō)明：1.異面直線所成角的范圍是（0，]，在把異面直線所成的角平移轉(zhuǎn)化為平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，當(dāng)余弦值為負(fù)值時(shí)，其對(duì)應(yīng)角為鈍角，這不符合兩條異面直線所成角的定義，故其補(bǔ)角為所求的角，這一點(diǎn)要注意。 2.當(dāng)異面直線垂直時(shí)，應(yīng)用線面垂直的定義或三垂線定理（或逆定理）等方法判定所成的角為90o(可不必作出平面角)，也是不可忽視的辦法。F1EFE1BDB1A1D1C1AC解法二（補(bǔ)形法）：說(shuō)明例3.如圖，正方體中，A1B1與C1C所成的角AD與B1B所成的角A1D與BC1所成的角D1C與A1A所成的角A1D與AC所成的角ABCDA1B1C1D1例3.如圖，正方體中，ABCDA1B1C1D1例4正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

分析：根據(jù)正三棱錐的對(duì)稱性，以及E、F為SC、AB的中點(diǎn)，應(yīng)取AC的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，從而達(dá)到將SA平移至EG，與EF相交的目的.易證直線EF與SA所成的角為∠GEFCGSBEFAC例4正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分例5正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分別為SC、AB的中點(diǎn)，求異面直線SF與BE所成的角.GSABCEF

解：連結(jié)CF，取CF的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、BG，則EG//SF，∴∠BEG為異面直線SF、BE所成的角.在ΔBEG中，利用余弦定理可解得：COS∠BEG=.∴∠BEG=arccos()例5正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果θ1

例6

如圖：長(zhǎng)方體AC1中，AB=BC=2a,AA1=a,E、H分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，求（1）EH與AD1所成的角；（2）AC1與B1C所成的角.θABCDA1B1C1D1EHθ1例6如圖：長(zhǎng)方體AC1中，AB=BC=2a,AA1=ABCDA1B1C1D1A2B2C2D2θABCDA1B1C1D1EOθABCDA1B1C1D1A2B2C2D2θABCDA1B1C三、鞏固練習(xí)：①畫(huà)兩個(gè)相交平面，在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫(huà)一條直線，使它們成為：⑴平行直線；⑵相交直線；⑶異面直線。abαβαβbaαβba三、鞏固練習(xí)：abαβαβbaαβba②填空：1、空間兩條不重合的直線的位置關(guān)系有________、________、

________三種。2、沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線可能是________直線，也有可能是

________直線。3、和兩條異面直線中的一條平行的直線與另一條的位置關(guān)系有______________。4、過(guò)已知直線上一點(diǎn)可以作______條直線與已知直線垂直。5、過(guò)已知直線外一點(diǎn)可以作______條直線與已知直線垂直。平行相交異面平行異面無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)相交、異面②填空：平行相交異面平行異面無(wú)數(shù)無(wú)數(shù)相交、異面③判斷對(duì)錯(cuò)：1、分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線。()2、空間兩條不相交的直線一定是異面直線。()3、垂直于同一條直線的兩條直線必平行。()4、過(guò)一點(diǎn)能引且只能引一條直線和已知直線垂直。()5、若一條直線垂直于兩條平行直線中的一條，則它一定與另一條直線垂直。()③判斷對(duì)錯(cuò)：