第21講數(shù)列中的公共項問題一、單選題TOC\o"1-5"\h\z（2021?全國?高二課時練習）已知兩個等差數(shù)列5,8,11 302與3,7,11 399,則它們所有公共項的個數(shù)為（ ）A.23 B.24 C.25 D.26【答案】C【分析】求得新數(shù)列的首項以及公差，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式進行求解.【詳解】設兩數(shù)列的所有相同的項構成的新數(shù)列為｛q｝,q=H,又數(shù)列5,8,11 302的公差為3,數(shù)列3,7,11 399的公差為4,所以數(shù)列上｝的公差為12,所以c.=12〃-14302,解得〃425；,所以兩數(shù)列有25個公共項.故選：C二、多選題（2022?全國?高三專題練習）已知”,/neN,,將數(shù)列｛4〃+1｝與數(shù)列｛5”｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛靖，則（ ）A.an=5n B.an=5nC.｛4｝的前〃項和空二D D.｛4｝的前"項和為5（25”二I）4 24【答案】BC【分析】先分析出數(shù)列｛5,為數(shù)列｛4〃+1｝的子數(shù)列，從而判斷出=5",求出｛4｝的前〃項和.【詳解】令4〃+1=5n（n,meN*）,所以〃===（4+l~L，+C：，4-"..+Cr.4eN（,〃=2,3「.），4 4 4 ' "當帆=1時，〃=1,所以數(shù)列，｝為數(shù)列｛4〃+1｝的子數(shù)列,所以=5"=所以=5"=1,2,3…),所以｛〃〃｝的前幾項為1-55(5f)故選：BC.【點睛】等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換和靈活運用性質(zhì).三、雙空題（2021?江蘇?蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學高二開學考試）已知兩個等差數(shù)列｛4｝：5,8,11,…與｛2｝：3,7,11,它們的公共項組成數(shù)列卜“｝,則數(shù)列｛c“｝的通項公式1=;若數(shù)列｛叫和圾｝的項數(shù)均為100,則仁｝的項數(shù)是.【答案】cn=l2n-l25【分析】根據(jù)等差數(shù)列｛q｝，｛2｝得到｛%｝是等差數(shù)列及其公差，寫出｛%｝的通項公式，根據(jù)數(shù)列｛q｝和｛"｝的項數(shù)均為100,由上｝的項是應｝,｛〃｝的公共項，利用通項公式求解.【詳解】因為等差數(shù)列的｝：5,8,11,…的首項為5,公差為3,所以通項公式為q=3〃+2,｛〃,｝：3,7,11,…的首項為3,公差為4,所以通項公式為仇=4〃-1,所以它們的公共項組成數(shù)列｛g｝是等差數(shù)列，1首項為II,公差為3*4=12,所以數(shù)列｛&｝的通項公式4=11+12（〃—1）=12〃-1；因為數(shù)列｛4｝和｛2｝的項數(shù)均為100,所以J12n-l<3xl00+2112n-l<4xl00-l所以J12n-l<3xl00+2112n-l<4xl00-l,解得l<n<25.25,所以｛c“｝的項數(shù)是25.故答案為：c?=l2n-l,25.（2021?北京昌平?高二期末）數(shù)歹ij｛%｝：q,%，l,a“，l；｛bn｝:bt,%,l,b“，l,定義數(shù)列a“&2：4，%，4，。4，4，4，%，L.①設a?①設a?='-1,"為奇數(shù)2,〃為偶數(shù)則數(shù)列?！?么的所有項的和等于②設4=5",4=4"-1,1<W<29,則數(shù)列與或&a.有個公共項.【答案】19 2【分析】D由題意可以得到數(shù)列%&。的通項公式,然n;根據(jù)｛““｝、的｝的通項公式可以知道29個項里面有9個I,10個-1，10個2,從而得到問題解答：心由題意可以得到數(shù)列4&R和"&4的通項公式,再令4&b“=心&q,即可得至心、加的關系式，最后根據(jù)5的倍數(shù)與4的倍數(shù)的特征可以得到解答.【詳解】①由題意可得：/73kk￡N'凡”???當掇女29時，數(shù)列凡&a的所有項的和為：b“,n=3k,keN9xl+(15-5)x(-l)+(14-4)x2=19；②由題意可得；?, 5n,n豐3k、kwN*,? 3k,kwN*a&b=\ .,bm&.am=\ ,,[4n-l,n=3k,keN [5m,m=3k,kwN很顯然，要使必須"、加同時為3的倍數(shù)或者同時不為3的倍數(shù)，若"、，"同時為3的倍數(shù)，則有5帆=4〃一1,則〃=24或〃=9,此時"?=19或m=7,不成立；若"、機同時不為3的倍數(shù)，則有5〃=4,〃-1,則加=4或14或19或29,此時對應的有〃=3或H或15或23,把與題意相矛盾的舍去，剩下m=14,〃=11或加=29,〃=23,即如&%=/&0H或/&%=%&。29，即數(shù)列4,&b?與b,&4有2個公共項；故答案為19；2.四、填空題(2021?江蘇?高二單元測試)將數(shù)列｛2"｝與｛2〃｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛〃“｝,則｛4｝的前10項和為【答案】40462"-2【分析】根據(jù)題意確定數(shù)列｛4｝的前10項，利用等比數(shù)列的前〃項和公式即可求出結果.【詳解】因為數(shù)列｛《,｝是由｛2"｝和｛2〃｝的公共項從小到大排列得到，所以數(shù)列｛《,｝的前10項為2,2?2,，…,2'°,即｛4｝是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.所以數(shù)列｛%｝的前10項和為2+22+23+--.+2,o=2（1二2"）=2"-2=4046.1-2故答案為：4046（2021?江西?南昌市八一中學高一月考）將數(shù)列｛4〃-3｝與｛3〃-1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列｛。“｝,則｛??｝的前〃項和為.【答案】【分析】由已知數(shù)列觀察得出公共項數(shù)列｛為｝的首項和公差，然后由等差數(shù)列前"項和公式計算.【詳解】數(shù)列｛4〃-3｝是首項為1,公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列｛3〃-1｝是首項為2公差為3的等差數(shù)列，它們的公共項是首項為5公差為12的等差數(shù)列，所以=5〃+也二“x12=”（6〃-1）.2故答案為：?（6n-l）.（2021?河南商丘?高三月考（理））將數(shù)列｛2"｝與｛3〃+1｝的公共項從小到大排列得到數(shù)列的｝，則其通項4=.【答案】4"【分析】經(jīng)檢驗，數(shù)列｛21中的偶數(shù)項都是數(shù)列｛3〃+1｝中的項，觀察歸納可得&=4".【詳解】數(shù)列｛2"｝中的項為：2,4,8,16,32,64,128,256,...經(jīng)檢驗，數(shù)列｛2"｝中的偶數(shù)項都是數(shù)列｛3〃+1｝中的項.即4，16,64,256,...可以寫成3〃+1的形式，觀察，歸納可得4=4".故答案為：4".五、解答題（2021?全國?高三專題練習）已知數(shù)列｛2%｝是公比為4的等比數(shù)列，且滿足外,小,生成等比數(shù)列，5.為數(shù)列｛々｝的前“項和，且“是1和5”的等差中項，若數(shù)列｛4｝是由數(shù)列｛/｝中的項依次剔除與｛"｝的公共項剩下的部分組成，求數(shù)列｛%｝的前100項和.【答案】11302【分析】根據(jù)數(shù)列｛2%｝是公比為4的等比數(shù)列，滿足外,小，成等比數(shù)列，得到。,,=2〃+4,根據(jù)題意得到紇,=I+S“，i\Ub?=2"',餃a"=b,“,得到〃=2”--2,數(shù)列㈤｝的前105項中有5項需要別除，計算得到答案.【詳解】數(shù)列｛2"”｝是公比為4的等比數(shù)列，則帛=2-"=4,即%-。,,=2,即｛4｝是公差為2的等差數(shù)列.a2>a4>的成等比數(shù)列‘故廿1"'?，即+6）2=（q+2）.（q+12）,解得4=6.故a“=2〃+4.2是1和S”的等差中項，則"=1+5",當〃=1時，2〃=1+E=1+4，解得印=1；當〃N2時，也t=1+S,t，2Z,?=1+S?,兩式相減得到期-說,=￡,即々=2/*,故步“｝是首項為1公比為2的等比數(shù)列，bn=2"-',驗證”=1時滿足.故"=2"T.令a“=2〃+4=粼=2",BPn=2m-2-2.當〃7=4時，72=2；當機=5時，n=6；當帆=6時，77=14；當機=7時，n=30；當〃7=8時，77=62；當機=9時，〃=126.故數(shù)列｛%｝的前105項中有5項需耍剔除，分別為8,16,32,64,128.故數(shù)列｛&｝的前100項和為105x6+W?*x2-8-16-32-64-128=11302.（2020?江蘇?高二期中）已知數(shù)列｛。,,｝為首項為8,公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列｛2｝滿足：對任意的“cN*,都有M+a也+…+姐=62"".（1）求數(shù)列｛〃"｝,｛"｝的通項公式；（2）將數(shù)列｛a,,｝,仍“｝中的公共項按照從小到大重新排列構成新數(shù)列｛%｝,求數(shù)列｛%｝的通項公式以及數(shù)列回口的前〃項和.【答案】（1）?！?4”+4,2=2"；（2）Mx2n+5【分析】（1）依題意可得%=4〃+4,再利用作差法得到女；（2）由（1）川得｛<"的首項為8,公比為2,即可得到G、4G，再利用錯位相減法求和即可；【詳解】解：（1）依題意=8+4（〃-1）=4"+4因為afy+a也+...+a也="-2"”，即物+1也+...+（4"+4）d=".2"”①；所以地+1次+...+4也_,=（”-1）.2”“②；①一②得，（4〃+4）勿=〃-2/3-（〃一1卜2"+2=（〃+1）.2-2,所以4=2",故a.=4〃+4,2=2"（2）由⑴可知9｝的首項為8,公比為2,故c.=8x2"T=2"2,所以a,￡=（4〃+4）x2-2設｛4G｝的前〃項和為5“，則S“=qq+a2c?+…+a”c”=8x23+12x24+---+（4n+4）x2"+2@；2Sn=8x24+12x25+---4-（4n+4）x2n+3（D；①-②得-S“=8x23+4x（24+25+..-+2n+2）-（4/I+4）x2n+3=8x23+4x2（[：）-（4〃+4）x2n+3=26x2"i-（4〃+4）x2"+3所以，=（4〃+4）*2"3_26、2"|=”、2"+5（2021?廣東?橫崗高中高三月考）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S“滿足2S“一〃a“=〃，nwN*,且=3.（1）求證：數(shù)列22）是常數(shù)列；（2）求數(shù)列｛《,｝的通項公式.若數(shù)列｛"｝通項公式〃=3"-2,將數(shù)列｛%｝與｛或｝的公共項按從小到大的順序排列得到數(shù)列｛G｝,求｛%｝的前〃項和.【答案】（1）證明見解析；（2）31-2".【分析】（1）根據(jù)S“與4,的關系式得到為“=旦?（〃22）,然后證明%1二1-=0即可；n—\ wn—\（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列｛4｝的通項公式，然后根據(jù)數(shù)列與｛4｝的通項公式得到新數(shù)列｛J｝是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，從而根據(jù)等差數(shù)列的前〃項和公式求｛c“｝的前〃項和.【詳解】（1）證明：由2s“-叫=",得2s“+]-（〃+l）a"+|=〃+1,將上述兩式相減，得2a“+1-（"+l）a“+i+〃a“=l,即叫一（“一1）?！啊?1TOC\o"1-5"\h\znu-i [ 1貝Ija“+|T《,T_n-\ ■一=0(n>2), n-\ n-\n n—i n 〃-I,數(shù)列｛黃3伽22)是常數(shù)列；(2)由(1)可知，當〃22時，上1=與二'=2,/1-1 2-1:,an=2n-\(n>2)t檢驗當〃=1時，勺=2〃-1也適用，:.a”=2〃-1(〃eN,),.,?數(shù)列｛%｝是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，又數(shù)列｛"｝是以1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，???這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列｛cj是以I為首項，以6為公差的等差數(shù)列，(cj的前?項和為+ 。><6=3〃2-2n.(2021?全國?高三專題練習)已知等差數(shù)列｛4｝及關于x的方程a“x2-2a“+1X+a”+2=。(*eN*)，且數(shù)列｛4”｝的公差daO,(1)求證：這些方程有一個公共根；(2)若方程的另一根為X”，求證：數(shù)列為等差數(shù)列：(3)若數(shù)列｛a,,｝的任意兩不同項％,、4(叭%wN")之和都是數(shù)列的項，求4與d滿足的充要條件.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析：(3)a,=0,d^O^a,=Sd(S>-1,SeZ).【分析】?元二次方程系有公共根，結合｛4“｝成等差數(shù)列，必有2a“M=4+a,“2,與方程比技顯然可以發(fā)現(xiàn)x=l是方程系的公共根；(2)使用韋達定理，求出X”，進?步發(fā)小出一二，通過等差數(shù)列的定義i正明是等x”T l^-lj差數(shù)列：(3)假設存在feN?使4+4=4成立，尋找4與d滿足的關系式(其中任意wi、eN").【詳解】(1)證明：因為｛4｝為等差數(shù)列，所以2"向=q+4+2,因此x=l是方程-2a”“x+a“q=0的一個公共根.(2)若方程的另根為乙，則由韋達定理得lxx,,=4也，即七=&業(yè)，Q1二1二%故七-1二亨"j即天-1 %!_] 2d,an 4出葉_! 1向4_4用一”“一"-1此MTxn-l2d2d2d2d2'故數(shù)列|」一J是等差數(shù)列，得證.(3)設存在/(twN*),有4+4=4，即q+(m一l)d+q+(4一l)d=q+(r-l)rf,所以q+(〃7+Z—r—l)d=0,存在fwN*，對任意/〃，JlwN?恒成立，若4=0,則6+Z—r—1=0,即，=機+2—122,故4=0,dwO.若4戶0,則?+(/?+J_])=o,由M,k,reTV，故幺為整數(shù)，設幺=S(5eZ),即弓=5",d a因此(m+Z-，-l+s)d=0,HPm+k-t-\+S=G,即帆+左一1+S=，N1,又fwN■對任意〃?，k,fwN,恒成立，即機+女之2-S對用，kwN"恒成立，所以3之2—S,BPS>-1,SgZ.綜上所述，《與d滿足的充要條件是：4=。，4工0或4=Sd(S>-1,SgZ).(2021?全國?高三專題練習)設數(shù)列｛勺｝與他｝的通項公式分別是4=2〃，2=3〃+2,將它們的公共項從小到大排列成新數(shù)列｛qj,求｛q｝的前〃項和.【答案】s=8(2J).， 3【分析】先將所給數(shù)列｛%"」｛2｝的前若「項一一列出，找出它們的公共項中的前幾項，由這幾項進行分析，猜想卜“｝的項可能是｛《J中除去前兩項的所有奇數(shù)項，構成以8為首項，以4為公比的等比數(shù)列.再證明猜想，可得出答案.【詳解】解：由題意可知｛”“｝的前幾項是:2,4,8,16,32,64,128,256,...,｛4｝的前幾項是：5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,...(即被3除余2的數(shù)).由此可知，數(shù)列｛c,J的前三項是8,32,128.回到數(shù)列｛4｝中，不難發(fā)現(xiàn)匕｝的項可能是｛4｝中除去前兩項的所有奇數(shù)項，構成以8為首項，以4為公比的等比數(shù)列.對此猜想證明如下：設數(shù)列｛，｝中的第〃項在｛%｝中是第"?項，在他J中是第k項，由數(shù)列在“｝的定義可知，。=8,故有c“=2m=3A+2,則應｝中的第機+1項為 =2?2"'=2(3%+2)=3(2&+1)+1.顯然，心“不是數(shù)列｛勿｝中的項，從而不是上“｝中的項.而同中的第機+2項為：囁=2*2=42"=4(3k+2)=3(4Z+2)+2,顯然它是數(shù)列｛〃,｝中的項，從而是上“｝中的第〃+1項，且皿=要=4,故｛%｝是以8為首項，4為公比的等比數(shù)列，且其前〃項和為s“/PT.(2021?上海市復興高級中學高一期末)已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列｛a,,｝與等比數(shù)列他,｝滿足弓=用=4,又4、%、%+3。成等比數(shù)列且々=她..(1)求數(shù)列｛4｝、也｝的通項公式；(2)將數(shù)列｛%｝、他,｝的所有公共項從小到大排序構成數(shù)列｛4｝,試求數(shù)列但,｝前2021項之和；(3)若g=ah-na“-kb”(kwR),數(shù)列k｝是嚴格遞增數(shù)列，求出的取值范圍.【答案】(1)a?=3n-2,bn=2n-(2)*4如-1)；(3),8彳).【分析】(1)設出公差和公比，用基本量表達出條件即可解出；(2)根據(jù)兩個數(shù)列的通項公式列舉出｛紇｝的前幾項，得出數(shù)列的類型再求和即可；(3)根據(jù)數(shù)列的增減性，分類變量即可解出.【詳解】4+d=b、q=4(1)設｛q｝公差為d,但｝公比為q,由已知可得：<(。1+24)2=4(。|+6(/+30),如4=4.如:XV9>0,rf>0,解得：q=l,d=3,々=2,q=2.(2)q=4出=16出=32,84=64「.，二｛耳1｝是以4為苜項，4為公比的等比數(shù)列，則其前2021項和為4(]_4力,(42⑼1-4 3、 '(3)c?=(3n-2)2n-n(3n-2)-k-2",Cfl+1=(3n+l)2"+,-(n+l)(3n+l)-jt-2"+1,q)+i—c“=(3〃+4)2"—(6〃+l)—2”,?.?卜“｝是嚴格遞增數(shù)列，二。.-4>0恒成立，即A<(3"+4)-與/恒成立，設/(〃)=(3〃+4)-琮1，則/(〃+1)-/(〃)=3+?m>0,即/(〃)嚴格單調(diào)遞增，二f(〃)24l)=g,丘18W).(2015?江蘇?高三月考)已知等比數(shù)列｛”“｝的首項4=2012,公比口=-；，數(shù)列｛a,,｝前n項和記為S“，前n項積記為T,.(1)證明：S2<S?<5,;(2)求n為何值時，7；取得最大值；(3)證明：若數(shù)列｛〃“｝中的任意相鄰三項按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從大到小的順序依次記為4,…則數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列.【答案】(1)見解析；(2)12；(3)見解析.【解析】試題分析：(1)只要證明a?+%+…<°，4+4+…>0即可，由等比數(shù)列前〃項和公式易得；(2)由于數(shù)列的項正負相間，因此｛7；｝中從第2項開始兩項負兩項正出現(xiàn)，因此可先求園的最大值，為此求得"±11J4%…4〃，+/=|=型4,可見圜中的最大值是叩，只ITn| |ata2???an\ 2"是7]]<0,因此比較與它最接近的正值7；和心，知為最大；(3)山「數(shù)列｛?！保钦撓嚅g的，因此其相鄰三項4，4”,%+2重新排序(按從小到大順序)時要按“的奇偶性分類，注意到｛時|｝是遞減的，不論女為奇數(shù)還是偶數(shù)，總有a*+a*.=2%+2，且當人為奇數(shù)時，4 -(-g力=舒’當A為偶數(shù)時'4=at+2-ak=aI[(-^+'-(-^-']=粉，固有數(shù)列｛4｝成等比數(shù)列?試題解析：(試題解析：(1)證明:'14與，當”=1時，等號成立,

1a3[l-(--)"~] 1 1S”=S2+ _=S2-0,[1-(-)^]<S2-20111-(--) 6 22011(2)解：1&|1=1的丁-1="i=|7JIq-ql向..2011,2011..2011,2011.?.當〃410時，|&->|7J，當〃Nil時，|&J<|7J，又加*:。，Tlt<0.4>0，兀>0,，7；的最大值是7；和心中的較大者,,,牛=aiOatlal2=[2011(—^)"1]3>1>-7；2>7；.因此當〃=12時，7；最大.(3)證明：???a“=2011(_3'i，二141隨n增大而減小，4奇數(shù)項均正，偶數(shù)項均負,①當k是奇數(shù)時，設｛4｝中的任意相鄰三項按從小到大排列為”*“,4*2，%，則ak+i+ak=4(-景+4(-(廣'=/，2%2=2q(-g)*“=/，+%=2%,2，因此4+“a—，4成等差數(shù)列，公差4=4……卜景1=券②當k是偶數(shù)時，設｛%｝中的任意相鄰三項按從小到大排列為4,4.2,4T，則4+1+4="(_；)"+4(-g)i=-故'2喉=24(一9+'=_*，：?4+1+4=2%+2-因此4+“4.2,4成等差數(shù)列，公差4=4+2-%=a,[(-3)"'_(- 1=券，綜上可知，｛4｝中的任意相鄰三項按從小到大排列，總可以使其成等差數(shù)列，且4=翁，?.?勺=；,???數(shù)列｛4,｝為等比數(shù)列.考點：等比數(shù)列的前〃項和，數(shù)列的最大(小)項，等差數(shù)列與等比數(shù)列的判斷.【名師點睛】1.等差數(shù)列與等比數(shù)列相結合的綜合問題是高考考查的面點，特別是等差、等比數(shù)列的通項公式、前"項和公式以及等差中項、等比中項問題是歷年命題的熱點.2.有關數(shù)列的最大項、最小項，數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法.求最大項時也可用可滿足*"向；若求最小項，則用滿足［”"’4田.本題中數(shù)列｛r｝中的正負依次出現(xiàn)，因此首先研究｛仁|｝的單調(diào)性及A-%最大項，再考慮｛7；｝的最大值.15.(2020?江蘇蘇州?高三期末)已知數(shù)列｛《,｝滿足25“=”+4,人=4,其中5“是數(shù)列｛4｝的前〃項和.(1)求生和內(nèi)的值及數(shù)列｛為｝的通項公式；①若《=4(,求《的值；②求證：數(shù)列(｛(｝中的任意一項總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積.【答案】(1)4=0,%=2,an=2n-2.(2)①1,②見解析【分析】(1)利用遞推關系式求出數(shù)列的前幾項，同時求出數(shù)列｛4｝的通項公式；(2)結合第一問的結論求出(=二，①直接代入<=」即可求解;②對于給定的"eN"、若存住k,t#n,k,reN*,使得】=(?7；,只要找到相應的整數(shù)，即可證明.【詳解】(1)〃=2時，2S2=20,+4?!=2(<?1+a,),所以q=。，〃=3時，2s3=3a3+q=12,所以q+/+4=6,所以叼=2.由2S“ ="，①所以2s同=(〃+1)%,②由②-①得4+i=(〃+1)《川一，即w“=(〃-l)a“+i，③當“22時，(〃T)%=("-2)a”,④由③-④得(〃-l)a“+l+(〃-l)a“T=2(〃-l)a,即a.+i+a“T=2%,所以數(shù)列｛““｝是首項為0,公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列｛4｝的通項公式是4=2〃-2.(2)-Z——= ~= :-Sn+2nn(n+1)nn+\'1 1 1 1 .111 1 1t1n++...++―—+...+.S1+2S2+4S3+6Sn+2m223nw+1 〃+1〃+1'上—=y.k+1342②對于給定的〃￡“，若存在3k,igN,使得］=￡?7；：。=號，只需號=占'-〃+1 〃+1k+1r+1兩邊取倒數(shù)，R|J(14--=(14--y-)(l+-),即一 F—;nktn ktkt即k=成+〃，/=〃(+D；取攵=〃+1,則，=〃(〃+2)；k-n?.?對數(shù)列｛4｝中的任意一項，總可以表示成該數(shù)列其他兩項之積.【點睛】本題考查了遞推關系、等比數(shù)列的通項公式及其前"項和公式，考查了推理能力與計算能力,屬于難題.16.(2016?上海市晉元高級中學高三期中)已知遞增的等差數(shù)列伍“｝的首項《=1,且4、%、4成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列數(shù)“｝的通項公式4;(2)設數(shù)列｛c“｝對任意〃eN*,都有m+才 卜才=an+i成立，求j+c2H ("Czos的值.(3)若或=3(〃eN"),求證：數(shù)列｛"｝中的任意一項總可以表示成其他兩項之積.01,【答案】(1)4,="(〃€2*)；(2)2叫(3)見解析.【分析】(1)根據(jù)解出公差，即可得到通項公式;(2)當〃22時，由3+后^1"虐="+1①，及T+昔"1端^"=〃②，兩式作差求出22 2 22 24=2",即可求解；(3)通過數(shù)列通項公式關系對數(shù)列｛或｝中的任意一項〃=54,都存在以產(chǎn)詈和* 等1使得2=%耳曲,即可得證??n+2n【詳解】?.?｛4｝是遞增的等差數(shù)列，設公差為d3>0）q、和、fl4成等比數(shù)列，=%?4由（l+d）2=lx（l+3d）及4>0得 d=\/.an=n（neN*）V^n+i=w+1,]+晟+…+/=〃+1對〃eN*都成立當〃=1時，]=2得。=4當〃22時，由%■+…+卷=〃+1①,及尹景+…+黜=〃②①一②得梟=1，得c“=2".J4(〃=1)-％一[2“(〃22)C[+c2+...+c2o[2=4+22+23+.■.+221"2=4+2?°~^1'')=22013(3)對于給定的〃eN*,若有■在kJ豐n,k，twN*,使得。,="也BPl+-=（l+-）-（l+-）,Bpl=l+-+—nktnktkt〃（k+1）即卜=”+欣+〃，t= 取Z=〃+l,則，=〃（"+2）k-n：.對數(shù)列｛4｝中的任意一項4=—,都存在"3=再和b421t="產(chǎn)；+1使得b“=b”+「bj’2“【點睛】此題考查求數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和，考查對數(shù)列通項公式的理解認識，證明相關結論.17.（2021?上海交大附中高二期中）已知數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,,我們把滿足條件<S.（〃為任意正整數(shù)）的所有數(shù)列｛q｝構成的集合記為M.（1）若數(shù)列｛q｝的通項為為=，1（0<”1）,判斷｛q｝是否屬于M,并說明理由；（2）若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且｛a“+〃｝wM,求?、偷娜≈捣秶唬?）若數(shù)列｛《,｝的各項均為正數(shù)，且｛4｝wM,數(shù)列｛/1中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列?若存在，給出一個數(shù)列｛4｝的通項；若不存在，說明理由.【答案】｛a,,｝屬于M,理由見解析.[—2021,4-oo)(3)數(shù)列中不可能存在無窮多項依次成等差數(shù)列，理由見解析.【分析】⑴利用等比數(shù)列前n項和公式計算，再比較a.與S“大小關系即可判斷作答.(2)設等差數(shù)列｛《,｝的公差d,求出數(shù)列｛《,+〃｝的前”項和，列出不等式，借助恒成立探求出d與0的取值即可計算作答.(3)根據(jù)給定條件探求出數(shù)列±4具有的性質(zhì)，再借助反證法思想并結合等差數(shù)列通項即可lAJ判斷作答.因數(shù)列｛《,｝的通項為4=/一(0<9<1)，則數(shù)列｛《,｝是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，其前〃項和S“有：S?=^-,"q因。則有―詈寧工/川丁飛-小)>0,"q "q \-q即V〃eNL4+i<5“恒成立，所以｛《,｝屬于M.沒等差微列｛4｝的公差則數(shù)列｛《.+〃｝是等差數(shù)列，首項為0+1,公差為d+1,令r,為｛〃“+〃｝的前n項和，因｛a“+〃｝eM,則V〃eN*,a?+l+n+l<T?,當〃=1時，％+2?工=4+1,于是得dV-l,t .、〃(〃一1)z..、d+12z3,1、z、.Vn￡N"，4+1+〃(d+1)WM(n)+1)h ——,(d+1)<c=c>———?n~+(%——d——)w(q+1)N0,當?shù)?lt;0時，二次函數(shù)卜=等72+(卬—|〃一3口一(4+1)開口向下，則必存在某個正數(shù)A,當時，y<0,于是有-jd+1)NO對 N'成立，必有"JNO,即dN—1,因此，d=—1,則有(％+1)(〃-1)N0對 wN*成立，解得42T,于是%m=4+2020J=-2020+qN-2021,所以外⑼的取值范圍是[-2021,+00).因數(shù)列｛4｝的各項均為正數(shù)，且則｛4｝的前〃項和S“有：可+145“對\/〃€葉成立，于是得S.「S"4S"O?42,則5.「要.在.聯(lián)L.....自母442%,顯然。”+24S〃+]W2"q，當〃N3時，atl<2n~2ax,而々4E=Z?""，因此，y/2ejq*,n>2,恒有《42iq,4” 4〃 4 4〃4對XMwN",時，————j-=—2",當〃=1時，—=——9冊2-qq an%假設數(shù)列土中存在無窮多項依次成等差數(shù)列，不妨設該等差數(shù)列的第〃項為c〃+)(c,h為常數(shù))，4W4 4則存在mwN*,6N*使得c〃+b=-N—?2'”N—?2〃，即cq〃+。/N2"c,44 %當〃eN"〃N3時，令/(〃)=券，則f(〃+l)_f(〃)=^^■一券=2-；1；1)<0,即/(〃+1)</(〃)4"3)=v<1,于是當〃eN',〃23時，2"2>〃2,從而有當neN*，〃N3時，catn+a｝b>n2,BPn2-cain-axb<Q,依題意，不等式〃2-。4〃-46<0在〃23上有無窮多個解，乂：次函數(shù)丫=/-"4》-"也圖象開口向上，則必存在某個大丁-3的正數(shù)4,當x>4時，y^O,從而得不等式/-C