第24課計算圓周率π的近似值第24課計算圓周率π的近似值11.用迭代法求π的近似值。2.用蒙特卡洛法求π的值。3.設(shè)計一個算法計算1900年1月1日之后的任何一天是星期幾？用VB程序?qū)崿F(xiàn)這一算法。1.用迭代法2復(fù)習(xí)引入解析算法基本思想：用解析的方法找出表示問題的前提條件與所求結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過表達(dá)式的計算來實現(xiàn)問題求解。

在設(shè)計解析算法時，必須注意保證計算過程描述的正確性。復(fù)習(xí)引入解析算法基本思想：3問題提出

圓周率π=3.1415926……有無窮多位，歷史上有很多科學(xué)家計算過這個數(shù)，古希臘學(xué)者阿基米德、我國杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之等，都提出許多求解的方法。

公元前3世紀(jì)，古希臘學(xué)者阿基米德用圓內(nèi)接或外切正多邊形來近似代替圓，得到近似圓周率。到了公元5世紀(jì)，我國杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之在劉徽“割圓術(shù)”的基礎(chǔ)上，使用更加精密的方法，精確到小數(shù)點后七位，求出結(jié)果在3.1415926～3.1415927間，這個的圓周率，在當(dāng)時是非常了不起的成就。直到16世紀(jì)，才由中亞人計算出精確度為小數(shù)16位。隨著計算機(jī)的出現(xiàn)，π的計算取得了新的突破。利用計算機(jī)技術(shù)將π值計算到小數(shù)點后20多億位，甚至到上千億位。問題提出圓周率π=3.1415926……有無窮多4古今中外的數(shù)學(xué)家們計算π的近似值主要有三類方法：

1.利用“正多邊形逼近”的方法。

2.使用迭代法。可利用下列式子計算π。

3.使用蒙特卡洛法（Monte-Carlomethod）。蒙特卡洛法是使用隨機(jī)模擬實驗結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計來求得π的近似值的方法。古今中外的數(shù)學(xué)家們計算π的近似值主要有三類方法：

15實踐活動用級數(shù)公式，計算圓周率π的近似值。實踐活動用級數(shù)公式，61.算法分析

按照級數(shù)公式，由若干項求和得到，第1項為，第2項為，第3項為，第4項為分析可得第n項為an與前一項an-1的關(guān)系是。

1.算法分析

按照級數(shù)公式，72.算法流程圖：變量n:輸入計算的項數(shù)變量pi:計算的結(jié)果變量an:第n項的值

2.算法流程圖：變量n:輸入計算的項數(shù)83.程序界面設(shè)計：3.程序界面設(shè)計：9控件屬性值的設(shè)置參考如下表：對象名屬性名屬性值說明Form1Caption計算π的近似值說明程序的功能Text2Text空串輸出計算的結(jié)果（π的近似值）BackColor藍(lán)色Text1Text空串輸入各個電阻的阻值（每次輸入一個）BackColor黃色Command1Caption計算說明命令按鈕的作用Label1Caption輸入項數(shù)n：說明文本框Text1的作用Label2Caption計算π的近似值說明文本框Text2的作用Image1Picturepi.jpg顯示圖片pi.jpg（級數(shù)公式）控件屬性值的設(shè)置參考如下表：對象名屬性名屬性值說明Form104.分析算法流程，編寫代碼PrivateSubCommand1_Click()

DimPiAsDouble,anAsDouble

Dimm,nAsInteger

n=Val(Text1.Text)

Pi=1

an=1

Form=2Ton

an=an*(m-1)/(2*m-1)

'計算第n項的值

Pi=Pi+an

'進(jìn)行累加

Next

Text2.Text=Str(Pi*2)

EndSub4.分析算法流程，編寫代碼PrivateSubComm115.運(yùn)行調(diào)試程序;5.運(yùn)行調(diào)試程序;12課堂練習(xí)1.使用蒙特卡洛法求π的近似值。

利用求單位正方形與內(nèi)接圓面積的比例關(guān)系來求得π的近似值。單位圓的1/4面積是一個扇形，它是邊長為1單位正方形的一部分。如果能求出扇形面積s1在正方形面積s中占的比例k=s1/s，它的值也等于π/4，從而就計算得到π的值。

怎樣求出扇形面積在正方形面積中占的比例k呢？蒙特卡洛法是在正方形中隨機(jī)投入很多點，使所投的點落在正方形中每一個位置的機(jī)會相等。有些點將落在扇形內(nèi)，而另一些點將會落在扇形外，落在扇形內(nèi)的點數(shù)m與所投點的總數(shù)n之間比m/n即為k的近似值。

蒙特卡洛(MonteCarlo)方法，或稱計算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計算方法。這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)時研制原子彈的“曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。課堂練習(xí)1.使用蒙特卡洛法求π的近似值。

13

使用隨機(jī)函數(shù)Rnd隨機(jī)產(chǎn)生兩個小數(shù)x、y,可構(gòu)成一個坐標(biāo)點(x,y），判斷是否落在扇形內(nèi)的充要條件是x2+y2<=1，總計投放n次，根據(jù)條件判斷統(tǒng)計得到落在扇形內(nèi)的次數(shù)m，再根據(jù)兩者的比例m/n，求得π=4*m/n的近似值。

使用隨機(jī)函數(shù)Rnd隨機(jī)產(chǎn)生兩個小數(shù)x、y,可構(gòu)141）參考程序代碼：

PrivateSubCommand1_Click()DimPiAsDouble,xAsDouble,yAsDoubleDimmAsLong,nAsLongRandomizeTimer'隨機(jī)數(shù)初始化n=Val(Text1.Text)'讀入投放次數(shù)nIfn=0ThenMsgBox"請輸入投放次數(shù)n"ExitSubEndIfm=0ForI=1Tonx=Rnd()y=Rnd()Ifx^2+y^2<=1Thenm=m+1'判斷是否在扇形內(nèi)NextIPi=4*m/n'計算出π的近似值Text2.Text=Str(Pi)EndSub1）參考程序代碼：

PrivateSubComman151.用迭代法求π的近似值。

算法流程圖

程序代碼設(shè)計

示例程序

1.用迭代法求π的近似值162.用蒙特卡洛法求π的近似值。

算法流程圖

程序代碼設(shè)計

示例程序

2.用蒙特卡洛法求π的近似值。173.設(shè)計一個算法計算1900年1月1日之后的任何一天是星期幾？用VB程序?qū)崿F(xiàn)這一算法。

算法流程圖

界面設(shè)計

程序代碼

示例程序3.設(shè)計一個算法計算1900年1月1日之后的任何一天是星期幾18星期計算問題平時在日常生活中遇到這樣的問題，忘記了幾月幾日是星期幾，一般會采用這樣的方法，從一個已知的某天開始推算，先計算已知星期幾的這一天距要推算的那天共相差幾天，然后將天數(shù)除以7取余數(shù)，最后就可以推算出星期幾了。已知公元元年1月1日是星期一，再計算需推算的日子離元年1月1日相距多少天（W），再用天數(shù)W除以7的余數(shù)加上1就是星期幾了，余0就是星期一，余1就是星期二.……，但是在計算天數(shù)時會發(fā)現(xiàn)由于中間會經(jīng)歷平年（365天）、閏年（366天），每年的不同月份天數(shù)也不相同，這樣計算量是很大的，計算也十分困難。德國數(shù)學(xué)家克里斯蒂安?蔡勒（ChristianZeller，1822-1899）在1886年推導(dǎo)出了一個解決此問題的著名的蔡勒公式，

w=[c/4]-2*c+y+[y/4]+[13*(m+1)/5]+d-1

其中，c是年份的前2位，y是年份的后兩位，m是月份，d是日數(shù)。1月和2月要按上一年的13月和14月來算，這時c和y均按上一年取值，［］表示取整。

星期計算問題平時在日常生活中遇到這樣19如：推算2009年1月1日是星期幾？C=20，y=08（１月按上一年13月來算，同時y取上一年的年份），M=13（１月按上一年13月來算），d=1，w=[20/4]-2*20+8+[8/4]+[13*(13+1)/5]+1-1=11，除以7的余數(shù)為4，所以推算是星期四，與事實一致。為方便口算，上式中的[13*(M+1)/5]也往往寫成[26*(M+1)/10]。如：推算2009年1月1日是星期幾？20算法流程框圖下圖所示：計算c，y，m，d。C是世紀(jì)數(shù)減一，y是年份后兩位，M是月份，d是日數(shù)，1月和2月要按上一年的13月和14月來算，這時C和y均按上一年取值W←[C/4]–2*C+y+[y/4]+[13*(M+1)/5]+d-1w←wmod7輸出結(jié)果星期幾N開始輸出“輸入有誤”結(jié)束輸入年月日判斷日期是否有效？Y算法流程框圖下圖所示：計算c，y，m，d。C是世紀(jì)數(shù)減一，21參考程序界面如下：星期幾計算問題界面程序需要使用到四個文本框，其中三個分別用于輸入年、月、日，另一個用于輸出計算結(jié)果，一個命令按鈕，當(dāng)按下按鈕時開始計算，五個標(biāo)簽，分別說明文本框的作用。參考程序界面如下：星期幾計算問題界面程序需要使用到四個文本22各控件屬性設(shè)置參考如下：控件屬性屬性值說明Form1Caption星期幾問題顯示程序的功能Command1Caption計算說明命令按鈕的作用Lable1Caption年說明文本框text1的作用Lable2Caption月說明文本框text2的作用Lable3Caption日說明文本框text3的作用Lable4Caption輸入日期提示文本框的作用Lable5Caption結(jié)果說明文本框text4的作用Text1text空串輸入“年”Text2text空串輸入“月”Text3text空串輸入“日”Text4text空串輸出結(jié)果各控件屬性設(shè)置參考如下：控件屬性屬性值說明Form1Cap23參考程序代碼如下：PublicFunctionleap(yAsInteger)AsInteger

‘判斷是否為閏年函數(shù)IfyMod100=0Then‘是返回1，不是返回0IfyMod400=0Thenleap=1Elseleap=0

‘函數(shù)說明見書4.4.2節(jié)ElseIfyMod4=0Thenleap=1Elseleap=0EndIfEndFunction參考程序代碼如下：PublicFunctionleap(24PrivateSubCommand1_Click()Dimyearasinteger,month,day,w,c,y,m,d,okAsIntegeryear=Val(Text1.Text)month=Val(Text2.Text)day=Val(Text3.Text)ok=0‘判斷輸入的日期是否是有效的日期，根據(jù)平年、閏年，不同月份的不同情況來判斷If(month=1Ormonth=3Ormonth=5Ormonth=7Ormonth=8Ormonth=10Ormonth=12)And(day>=1Andday<=31)Thenok=1If(month=4Ormonth=6Ormonth=9Ormonth=11)And(day>=1Orday<=30)Thenok=1Ifleap(year)=1Andmonth=2And(day>=1Andday<=29)Thenok=1Ifleap(year)=0Andmonth=2And(day>=1Andday<=28)Thenok=1Ifok=0ThenText4.Text="輸入日期有錯誤"PrivateSubCommand1_Click()25ElseIfmonth=1Ormonth=2Thenyear=year-1month=month+12EndIfc=year\100y=yearMod100m=monthd=dayw=Int(c/4)-2*c+y+Int(y/4)+Int(13*(m+1)/5)+d–1‘蔡勒公式Text4.Text=Str(c)+Str(y)+Str(m)+Str(d)+Str(w)w=(w+700)Mod7+1'求除以7的余數(shù),w加上700保證余數(shù)一定是整數(shù)Text4.Text=WeekdayName(w)'轉(zhuǎn)換為星期形式EndIfEndSubElse26PrivateSubText1_Click()Text1.Text=""Text2.Text=""Text3.Text="“利用WeekdayName函數(shù)可將值轉(zhuǎn)換成星期形式：值1234567返回值星期日星期一星期二星期三星期四星期五星期六PrivateSubText1_Click()值123427程序運(yùn)行結(jié)果參考如下：星期計算問題測試數(shù)據(jù)表測試數(shù)據(jù)運(yùn)行結(jié)果第一組1905年１月1日星期日第二組1988年8月8日星期一第三組2005年5月１日星期日第四組2005年1月54日輸入有誤第五組2005年13月4日輸入有誤第六組2005年2月29日輸入有誤程序運(yùn)行結(jié)果參考如下：星期計算問題測試數(shù)據(jù)表測試數(shù)28第24課計算圓周率π的近似值第24課計算圓周率π的近似值291.用迭代法求π的近似值。2.用蒙特卡洛法求π的值。3.設(shè)計一個算法計算1900年1月1日之后的任何一天是星期幾？用VB程序?qū)崿F(xiàn)這一算法。1.用迭代法30復(fù)習(xí)引入解析算法基本思想：用解析的方法找出表示問題的前提條件與所求結(jié)果之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并通過表達(dá)式的計算來實現(xiàn)問題求解。

在設(shè)計解析算法時，必須注意保證計算過程描述的正確性。復(fù)習(xí)引入解析算法基本思想：31問題提出

圓周率π=3.1415926……有無窮多位，歷史上有很多科學(xué)家計算過這個數(shù)，古希臘學(xué)者阿基米德、我國杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之等，都提出許多求解的方法。

公元前3世紀(jì)，古希臘學(xué)者阿基米德用圓內(nèi)接或外切正多邊形來近似代替圓，得到近似圓周率。到了公元5世紀(jì)，我國杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之在劉徽“割圓術(shù)”的基礎(chǔ)上，使用更加精密的方法，精確到小數(shù)點后七位，求出結(jié)果在3.1415926～3.1415927間，這個的圓周率，在當(dāng)時是非常了不起的成就。直到16世紀(jì)，才由中亞人計算出精確度為小數(shù)16位。隨著計算機(jī)的出現(xiàn)，π的計算取得了新的突破。利用計算機(jī)技術(shù)將π值計算到小數(shù)點后20多億位，甚至到上千億位。問題提出圓周率π=3.1415926……有無窮多32古今中外的數(shù)學(xué)家們計算π的近似值主要有三類方法：

1.利用“正多邊形逼近”的方法。

2.使用迭代法?？衫孟铝惺阶佑嬎悝?。

3.使用蒙特卡洛法（Monte-Carlomethod）。蒙特卡洛法是使用隨機(jī)模擬實驗結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計來求得π的近似值的方法。古今中外的數(shù)學(xué)家們計算π的近似值主要有三類方法：

133實踐活動用級數(shù)公式，計算圓周率π的近似值。實踐活動用級數(shù)公式，341.算法分析

按照級數(shù)公式，由若干項求和得到，第1項為，第2項為，第3項為，第4項為分析可得第n項為an與前一項an-1的關(guān)系是。

1.算法分析

按照級數(shù)公式，352.算法流程圖：變量n:輸入計算的項數(shù)變量pi:計算的結(jié)果變量an:第n項的值

2.算法流程圖：變量n:輸入計算的項數(shù)363.程序界面設(shè)計：3.程序界面設(shè)計：37控件屬性值的設(shè)置參考如下表：對象名屬性名屬性值說明Form1Caption計算π的近似值說明程序的功能Text2Text空串輸出計算的結(jié)果（π的近似值）BackColor藍(lán)色Text1Text空串輸入各個電阻的阻值（每次輸入一個）BackColor黃色Command1Caption計算說明命令按鈕的作用Label1Caption輸入項數(shù)n：說明文本框Text1的作用Label2Caption計算π的近似值說明文本框Text2的作用Image1Picturepi.jpg顯示圖片pi.jpg（級數(shù)公式）控件屬性值的設(shè)置參考如下表：對象名屬性名屬性值說明Form384.分析算法流程，編寫代碼PrivateSubCommand1_Click()

DimPiAsDouble,anAsDouble

Dimm,nAsInteger

n=Val(Text1.Text)

Pi=1

an=1

Form=2Ton

an=an*(m-1)/(2*m-1)

'計算第n項的值

Pi=Pi+an

'進(jìn)行累加

Next

Text2.Text=Str(Pi*2)

EndSub4.分析算法流程，編寫代碼PrivateSubComm395.運(yùn)行調(diào)試程序;5.運(yùn)行調(diào)試程序;40課堂練習(xí)1.使用蒙特卡洛法求π的近似值。

利用求單位正方形與內(nèi)接圓面積的比例關(guān)系來求得π的近似值。單位圓的1/4面積是一個扇形，它是邊長為1單位正方形的一部分。如果能求出扇形面積s1在正方形面積s中占的比例k=s1/s，它的值也等于π/4，從而就計算得到π的值。

怎樣求出扇形面積在正方形面積中占的比例k呢？蒙特卡洛法是在正方形中隨機(jī)投入很多點，使所投的點落在正方形中每一個位置的機(jī)會相等。有些點將落在扇形內(nèi)，而另一些點將會落在扇形外，落在扇形內(nèi)的點數(shù)m與所投點的總數(shù)n之間比m/n即為k的近似值。

蒙特卡洛(MonteCarlo)方法，或稱計算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計算方法。這一方法源于美國在第二次世界大戰(zhàn)時研制原子彈的“曼哈頓計劃”。該計劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。課堂練習(xí)1.使用蒙特卡洛法求π的近似值。

41

使用隨機(jī)函數(shù)Rnd隨機(jī)產(chǎn)生兩個小數(shù)x、y,可構(gòu)成一個坐標(biāo)點(x,y），判斷是否落在扇形內(nèi)的充要條件是x2+y2<=1，總計投放n次，根據(jù)條件判斷統(tǒng)計得到落在扇形內(nèi)的次數(shù)m，再根據(jù)兩者的比例m/n，求得π=4*m/n的近似值。

使用隨機(jī)函數(shù)Rnd隨機(jī)產(chǎn)生兩個小數(shù)x、y,可構(gòu)421）參考程序代碼：

PrivateSubCommand1_Click()DimPiAsDouble,xAsDouble,yAsDoubleDimmAsLong,nAsLongRandomizeTimer'隨機(jī)數(shù)初始化n=Val(Text1.Text)'讀入投放次數(shù)nIfn=0ThenMsgBox"請輸入投放次數(shù)n"ExitSubEndIfm=0ForI=1Tonx=Rnd()y=Rnd()Ifx^2+y^2<=1Thenm=m+1'判斷是否在扇形內(nèi)NextIPi=4*m/n'計算出π的近似值Text2.Text=Str(Pi)EndSub1）參考程序代碼：

PrivateSubComman431.用迭代法求π的近似值。

算法流程圖

程序代碼設(shè)計

示例程序

1.用迭代法求π的近似值442.用蒙特卡洛法求π的近似值。

算法流程圖

程序代碼設(shè)計

示例程序

2.用蒙特卡洛法求π的近似值。453.設(shè)計一個算法計算1900年1月1日之后的任何一天是星期幾？用VB程序?qū)崿F(xiàn)這一算法。

算法流程圖

界面設(shè)計

程序代碼

示例程序3.設(shè)計一個算法計算1900年1月1日之后的任何一天是星期幾46星期計算問題平時在日常生活中遇到這樣的問題，忘記了幾月幾日是星期幾，一般會采用這樣的方法，從一個已知的某天開始推算，先計算已知星期幾的這一天距要推算的那天共相差幾天，然后將天數(shù)除以7取余數(shù)，最后就可以推算出星期幾了。已知公元元年1月1日是星期一，再計算需推算的日子離元年1月1日相距多少天（W），再用天數(shù)W除以7的余數(shù)加上1就是星期幾了，余0就是星期一，余1就是星期二.……，但是在計算天數(shù)時會發(fā)現(xiàn)由于中間會經(jīng)歷平年（365天）、閏年（366天），每年的不同月份天數(shù)也不相同，這樣計算量是很大的，計算也十分困難。德國數(shù)學(xué)家克里斯蒂安?蔡勒（ChristianZeller，1822-1899）在1886年推導(dǎo)出了一個解決此問題的著名的蔡勒公式，

w=[c/4]-2*c+y+[y/4]+[13*(m+1)/5]+d-1

其中，c是年份的前2位，y是年份的后兩位，m是月份，d是日數(shù)。1月和2月要按上一年的13月和14月來算，這時c和y均按上一年取值，［］表示取整。

星期計算問題平時在日常生活中遇到這樣47如：推算2009年1月1日是星期幾？C=20，y=08（１月按上一年13月來算，同時y取上一年的年份），M=13（１月按上一年13月來算），d=1，w=[20/4]-2*20+8+[8/4]+[13*(13+1)/5]+1-1=11，除以7的余數(shù)為4，所以推算是星期四，與事實一致。為方便口算，上式中的[13*(M+1)/5]也往往寫成[26*(M+1)/10]。如：推算2009年1月1日是星期幾？48算法流程框圖下圖所示：計算c，y，m，d。C是世紀(jì)數(shù)減一，y是年份后兩位，M是月份，d是日數(shù)，1月和2月要按上一年的13月和14月來算，這時C和y均按上一年取值W←[C/4]–2*C+y+[y/4]+[13*(M+1)/5]+d-1w←wmod7輸出結(jié)果星期幾N開始輸出“輸入有誤”結(jié)束輸入年月日判斷日期是否有效？Y算法流程框圖下圖所示：計算c，y，m，d。C是世紀(jì)數(shù)減一，49參考程序界面如下：星期幾計算問題界面程序需要使用到四個文本框，其中三個分別用于輸入年、月、日，另一個用于輸出計算結(jié)果，一個命令按鈕，當(dāng)按下按鈕時開始計算，五個標(biāo)簽，分別說明文本框的作用。參考程序界面如下：星期幾計算問題界面程序需要使用到四個文本50各控件屬性設(shè)置參考如下：控件屬性屬性值說明Form1Caption星期幾問題顯示程序的功能Command1Caption計算說明命令按鈕的作用Lable1Caption年說明文本框text1的作用Lable2Caption月說明文本框text2的作用Lable3Caption日說明文本框text3的作用Lable4Caption輸入日期提示文本框的作用Lable5Caption結(jié)果說明文本框text4的作用Text1text空串輸入“年”Text2text空串輸入“月”Text3text空串輸入“日”Text4text空串輸出結(jié)果各控件屬性設(shè)置參考如下：控件屬性屬性值說明Form1Cap51參考程序代碼如下：PublicFunctionleap(yAsInteger)AsInteger

‘判斷是否為閏年函數(shù)IfyMod100=0Then‘是返回1，不是返回0IfyMod400=0Thenleap=1Elseleap=0

‘函數(shù)說明見書4.4.2節(jié)ElseIfyMod4=0Thenleap=1Elseleap=0EndIfEndFunction參考程序代碼如下：PublicFunctionleap(52PrivateSubCommand1_Click()Dimyearasinteger,month,day,w,c,y,m,d,okAsIntegeryear=Val(Text1.Text)month=Val(Text2.Text)day=Val(Text3.Text)ok=0‘判斷輸入的日期是否是有效的日期，根