第三講定義新運算我們學過的常用運算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，為什么運算結(jié)果不同呢？主要是運算方式不同，實際是對應法則不同.可見一種運算實際就是兩個數(shù)與一個數(shù)的一種對應方法，對應法則不同就是不同的運算.當然，這個對應法則應該是對任意兩個數(shù)，通過這個法則都有一個唯一確定用的“＋”，“－”，“×”，“÷”運算不相同.我們先通過具體的運算來了解和熟悉“定義新運算”.例1設a、b都表示數(shù)，規(guī)定a△b＝3×a—2×b，①求3△2，2△3；②這個運算“△”有交換律嗎？③求（17△6）△2，17△（6△2；④這個運算“△”有結(jié)合律嗎？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定義新運算這類題的關(guān)鍵是抓住定義的本質(zhì)，本題規(guī)定的運算的本質(zhì)是：用運算符號前面的數(shù)的3倍減去符號后面的數(shù)的2倍.解：①3△2＝3×3-2×2＝9-4＝52△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”沒有交換律.③要計算（17△6）△2，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再計算第二步39△2＝3×39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.對于17△（6△2，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，6△2＝3×62×2＝14，17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也沒有結(jié)合律.⑤因為4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定義運算※為a※b＝a×b－a＋b，①求5※7，7※5；②求12※（3※4（12※3）※4；③這個運算“※”有交換律、結(jié)合律嗎？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：①5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※5＝7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要計算12※（3※4，先計算括號內(nèi)的數(shù)，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再計算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以12※（3※4）＝43.對于（12※3）※4，同樣先計算括號內(nèi)的數(shù)，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）59，所以（12※3）※4＝59.③（abb※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（ab（普通加法、乘法交換律a※b＝b※a，因此“※”有交換律.由②的例子可知，運算“※”沒有結(jié)合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝8x－13那么8x－13＝3解出x＝2.③這個運算有交換律和結(jié)合律嗎？1的觀察，找到規(guī)律：例5xy“*”x*y=mx+ny，x△y=kxy，mnk1*2=5（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我們采用分析法，從要求的問題入手，題目要求1△2） *3的值，首先我們要計算1△2，根據(jù)“△”的定義：21△2=k×1×2=2k，kk.k，l△2的值也就計算出來了，我們設1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”a*3=ma+3n，在只有求出mna*3的值.因此要計算3我們就要先求出k、mn1*2=5可以求出mn（2*3）△4=64km+2n=5.又因為m、n均為自然數(shù)，所以解出：①當m=1，n=2時：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②當m=3，n=1時：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面這一類定義新運算的問題中，關(guān)鍵的一條是：抓住定義這一點不放，在計算時，嚴格遵照規(guī)定的法則代入數(shù)值.還有一個值得注意的問題是：定義一個新運算，這個新運算常常不滿足加法、乘法所滿足的運算定律，因此在沒有確定新運算是否具有這些性質(zhì)之前，不能運用這些運算律來解題.習題三計算：①10*6②7*（2*1）.3.有一個數(shù)學運算符號°，使下列算式成立5.對于任意的整數(shù)x、y，定義新運算“△”，3如果1△2=2，則2△9=？7.“*”表示一種運算符號，它的含義是：9.規(guī)定a△b=a+（a+1+（a+）+?+（a+b-1（abb＞a）如果x△10=65，x=？10.我們規(guī)定：符號。表示選擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算，例如：5°3=3°5=5，符號△表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)的運算，例如：5△3=3△5=3，計算：習題三解答②按照規(guī)定的運算：4所以有5x-2=3O，解出