復(fù)變函數(shù)的級數(shù)第一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1復(fù)數(shù)列的極限2復(fù)數(shù)項級數(shù)概念§4.1

復(fù)數(shù)項級數(shù)第二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1復(fù)數(shù)列的極限稱為復(fù)數(shù)列,簡稱為數(shù)列,記為定義4.1設(shè)是數(shù)列，是常數(shù).如果e>0,

存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,不等式成立,則稱當(dāng)n時,收斂于或稱是的極限,記作第三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系定理一

的充分必要條件是此定理說明:

判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.第四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日即同理證明如果則存在正整數(shù)N,從而有使得當(dāng)n>N時,第五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日從而有反之,

如果那么存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時,所以第六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2復(fù)數(shù)項級數(shù)的概念為無窮級數(shù).稱為該級數(shù)的部分和.設(shè)是復(fù)數(shù)列,則稱第七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級數(shù)的部分和數(shù)列收斂于復(fù)數(shù)S,則稱級數(shù)收斂,這時稱S為級數(shù)的和,并記做如果不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散.第八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系定理二級數(shù)收斂的充要條件是都收斂,并且說明復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題

推論如果級數(shù)收斂,則第九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明由記于是由定理一知收斂的充要條件是與皆收斂,此時顯然有第十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解因為級數(shù)收斂,所以原復(fù)數(shù)項級數(shù)發(fā)散.練習(xí)級數(shù)是否收斂?發(fā)散,而級數(shù)第十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明由定理二知，再由實數(shù)項級數(shù)收斂的級數(shù)收斂的充要條件是

都收斂必要條件知第十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).

定義4.3設(shè)是復(fù)數(shù)項級數(shù),如果正項級數(shù)收斂,則稱級數(shù)絕對收斂.

絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)并且

定理三若級數(shù)絕對收斂,則也收斂,

收斂第十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明由于而級數(shù)收斂,由正項級數(shù)收斂的比較判別法,知和收斂.從而和絕對收斂,故收斂.因此級數(shù)收斂.因為所以第十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日補充因為所以綜上可得:因此,如果和都絕對收斂時,也絕對收斂.絕對收斂和都絕對收斂.第十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例1

下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.第十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例2

下列級數(shù)是否收斂?是否絕對收斂.第十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理4.4設(shè)是收斂數(shù)列，則其有界,即存在M>0,使得第十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1冪級數(shù)的概念2收斂圓與收斂半徑3收斂半徑的求法§4.2冪級數(shù)4冪級數(shù)的運算和性質(zhì)第十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日為復(fù)變函數(shù)項級數(shù).

為該級數(shù)的部分和.設(shè)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列,稱1冪級數(shù)的概念第二十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果對下述極限存在則稱級數(shù)在點收斂,且是級數(shù)和.如果級數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則稱其在區(qū)域D內(nèi)收斂.此時級數(shù)的和是函數(shù)第二十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日這類函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).當(dāng)或時,或的特殊情形函數(shù)項級數(shù)的形式為第二十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理一(Abel定理)若級數(shù)在處收斂，則當(dāng)時,級數(shù)絕對收斂;若級數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時,級數(shù)發(fā)散.第二十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日因而存在正數(shù)M,

使得當(dāng)時,記于是,由正項級數(shù)的比較判別法知,收斂,因此證明若級數(shù)收斂,則級數(shù)絕對收斂.其余的結(jié)論用反證法易得.第二十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2收斂圓與收斂半徑

(1)對所有的正實數(shù)都收斂.級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對收斂.(2)對所有的正實數(shù)都發(fā)散.級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點外處處發(fā)散.(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).設(shè)時,級數(shù)收斂;時,級數(shù)發(fā)散.如圖:由,冪級數(shù)收斂情況有三種:第二十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域...第二十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

冪級數(shù)的收斂范圍是因此，事實上,冪級數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形,分別規(guī)定為論比較復(fù)雜,沒有一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析.第二十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日解級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.絕對收斂,且有在內(nèi),級數(shù)

例1

求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).所以收斂半徑第二十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3收斂半徑的求法

(3)當(dāng)時,收斂半徑(1)當(dāng)時,收斂半徑(2)當(dāng)時,收斂半徑定理二(比值法)設(shè)級數(shù)如果則形式上可以記為第二十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明：由于故知當(dāng)時，收斂。根據(jù)上節(jié)的定理三，級數(shù)在圓內(nèi)收斂。正項級數(shù)達(dá)朗貝爾判別法第三十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日當(dāng)時。假設(shè)在圓外有一點z0,使級數(shù)收斂。反證法在圓外再取一點z1，使，那么根據(jù)Abel定理，級數(shù)必收斂。然而所以這與收斂相矛盾。在圓外發(fā)散。由z0的任意性知級數(shù)第三十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日(3)當(dāng)時,收斂半徑(1)當(dāng)時,收斂半徑(2)當(dāng)時,收斂半徑定理三

(根值法)設(shè)級數(shù)如果則形式上可以記為第三十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例2

求下列冪級數(shù)的收斂半徑（并且討論在收斂圓周上的情形）；(并討論z=0,2時的情形)第三十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日由于冪級數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對收斂，因此可得出下面幾個定理.

定理

(1)設(shè)級數(shù)和的收斂半徑分別為和則在內(nèi),4冪級數(shù)的運算和性質(zhì)第三十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

例3

設(shè)有冪級數(shù)與求的收斂半徑第三十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日(2)設(shè)級數(shù)的收斂半徑為r.如果在內(nèi),函數(shù)解析,并且則當(dāng)時,前面關(guān)于級數(shù)的性質(zhì),如果將換成之后,對于級數(shù)當(dāng)然也成立.說明:

上述運算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).第三十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例4

把函數(shù)表示成形如的冪級數(shù),其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù).代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出

把函數(shù)寫成如下的形式:第三十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日當(dāng)即時,所以第三十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日補例

把函數(shù)在的范圍表示成形如的冪級數(shù)。第三十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為R，那么是收斂圓：內(nèi)的解析函數(shù)。在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到，即1）它的和函數(shù)f(z),即第四十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日補例

把函數(shù)在的范圍表示成形如的冪級數(shù)。第四十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日3）f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項積分，即或第四十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日§4.3泰勒級數(shù)第四十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)。

函數(shù)是否能夠展開成冪級數(shù)。解析能第四十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日R為到D邊界的最短距離

定理

(Taylor展開定理)

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點,.R(D是全平面時,R=+),

則在內(nèi)可展開為冪級數(shù)其中系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為在點的Taylor級數(shù).

第四十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日..C.R證明對內(nèi)任意一點z,存在r>0,使得并且以z0為圓心,r為半徑作正向圓周由第四十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日因為當(dāng)時,..C.R第四十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日從而實際上積分號下的級數(shù)可在C上逐項積分.第四十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日49第四十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日R為到D邊界的最短距離

定理

(Taylor展開定理)

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點,.R(D是全平面時,R=+),

則在內(nèi)可展開為冪級數(shù)其中系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為在點的Taylor級數(shù).

第五十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日此定理給出了函數(shù)在z0點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)的公式,同時給出了展開式的收斂半徑R=|z0-a|,其中a

是離z0最近的f(z)的奇點.第五十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日Taylor展開式的唯一性定理

定理設(shè)是D上的解析函數(shù),是D內(nèi)的點，且在內(nèi)可展成冪級數(shù)則這個冪級數(shù)是在點的Taylor級數(shù)，即注任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù)。第五十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明因為在內(nèi)，絕對收斂.取則由收斂，得于是有界,即存在

使得則其中所以是收斂的正項級數(shù).第五十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日則由,級數(shù)在上可以逐項積分.又因為將上式在上逐項積分，利用

以及因此,解析函數(shù)在一點展開成冪級數(shù)的結(jié)果唯一.第五十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日考慮f(z)的任意展開式顯然又所以第五十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日顯然又所以又第五十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日即第五十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日將函數(shù)展開為Taylor級數(shù)的方法:

1.直接方法;2.間接方法.1.直接方法由Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)f(z)在z0展開成冪級數(shù).第五十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

例求在的Taylor展開式.所以它在處的Taylor級數(shù)為并且收斂半徑

因為在復(fù)平面上解析，且第五十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2.間接方法

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運算性質(zhì)(逐項求導(dǎo),逐項積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點:

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.第六十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日例利用并且收斂半徑同理本例利用直接方法也很簡單以及上節(jié)可得第六十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

例1

求在點鄰域內(nèi)的Taylor級數(shù).解

是的唯一奇點,且

故收斂半徑在中，用z替換-z,則逐項求導(dǎo)，得第六十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

例2

求對數(shù)函數(shù)的主值在z=0點的Taylor級數(shù).負(fù)實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因為

并且由有

函數(shù)在復(fù)平面中割去從點-1沿第六十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日所以根據(jù)，把上式逐項積分，得第六十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

例3求冪函數(shù)(a為復(fù)數(shù))的主值支在z=0點的Taylor展開式.第六十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

解法一

待定系數(shù)法由于可知f(z)滿足微分方程設(shè)

（※）

（※※

）第六十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日將（※※

）帶入（※

）得即比較上式的系數(shù)第六十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第六十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日所以所求得展開式為第六十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因此在內(nèi),可展開為z的冪級數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,按照直接方法展開如下:

顯然,在復(fù)平面中割去從點-1沿負(fù)

解法二

第七十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日令z=0,有第七十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日于是第七十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日附:常見函數(shù)的Taylor展開式第七十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日第七十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1Laurent級數(shù)的概念2函數(shù)的Laurent級數(shù)展開3典型例題§3.4Laurent級數(shù)第七十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日1Laurent級數(shù)的概念本節(jié)將引進(jìn)一種在圓環(huán)域收斂的雙邊冪級數(shù),即Laurent級數(shù).它將在后面討論孤立奇點與留數(shù)中起重要作用.問題：解析函數(shù)能否在奇點處展開成冪級數(shù)？如果能應(yīng)為何種形式？第七十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日負(fù)冪項部分正冪項部分這種雙邊冪級數(shù)的形式為同時收斂Laurent級數(shù)收斂主要部分解析部分第七十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分第七十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...第七十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日(1)

冪級數(shù)的收斂域是圓域,且和函數(shù)在收斂域內(nèi)解析.(2)在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級數(shù).對于Laurent級數(shù)，已經(jīng)知道：

Laurent級數(shù)的收斂域是圓環(huán)域，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析.

問題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成Laurent級數(shù)?對于通常的冪級數(shù)，討論了下面兩個問題:第八十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2函數(shù)的Laurent級數(shù)展開定理3.15(Laurent展開定理)設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,則函數(shù)f(z)在此環(huán)域內(nèi)可展開為Laurent級數(shù)其中C是圓周的正向.第八十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日證明設(shè)z在圓環(huán)域內(nèi),取正數(shù)r和R,使得作圓周和當(dāng)z在K2上變化時，根據(jù)和Rr.z..第八十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日于是所以與的證明方法相同,可以逐項積分.Rr.z..第八十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日當(dāng)z在K1上變化時，類似有因為f(z)在K1上有界,即存在使得z

K1時,Rr.z..第八十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日所以其中由于是收斂的正項級數(shù)，根據(jù),可以逐項積分.根據(jù),Rr.z..第八十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日因此，第八十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日注函數(shù)f(z)展開成Laurent級數(shù)的系數(shù)與展開成Taylor級數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同。當(dāng)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,如果函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，則根據(jù)所以Laurent級數(shù)包含了Taylor級數(shù).cn不能寫為第八十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日Laurent展開式的唯一性定理定理3.16設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,并且可以展開成雙邊冪級數(shù)則其中C的正向.是圓周注函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)Laurent展開式是唯一的.因此為函數(shù)展開成Laurent級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ).第八十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日方法,可以證明雙邊冪級數(shù)也可以在C上逐項積分.設(shè)是函數(shù)f(z)在內(nèi)的雙邊冪級數(shù)展開式，則在上,證明利用證明的第八十九頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日于是在C上取積分得根據(jù)所以第九十頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日(1)直接方法直接計算展開式系數(shù)然后寫出Laurent展開式這種方法只有理論意義,而沒有實用價值.就是

說,只有在進(jìn)行理論推導(dǎo)時,才使用這種表示方法.將函數(shù)展開為Laurent級數(shù)的方法:

1.直接方法;2.間接方法.第九十一頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

根據(jù)解析函數(shù)Laurent級數(shù)展開式的唯一性,可運用代數(shù)運算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去將函數(shù)展開成Laurent級數(shù).(2)

間接方法這是將函數(shù)展開成Laurent級數(shù)的常用方法.

給定函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式(包括Taylor展開式作為特例).這與Laurent展開式的唯一性并不矛盾,在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式唯一.第九十二頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日內(nèi)展開成Laurent級數(shù).

例1

將函數(shù)在圓環(huán)域處都解析,并且可分解為3.4.3典型例題函數(shù)f(z)在z=1和z=2處不解析,在其它點第九十三頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日oxy1(1)在內(nèi),有則于是在內(nèi)，第九十四頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日12oxy(2)在內(nèi),有第九十五頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2oxy于是在內(nèi),(3)在內(nèi),有第九十六頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日于是在內(nèi),第九十七頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日2oxy.1(4)由知,展開的級數(shù)形式應(yīng)為所以在內(nèi),第九十八頁，共一百一十二頁，2022年，8月28日

例2

將在內(nèi)展開為Laurent級數(shù).解除z=0點之外,f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析,對任何復(fù)數(shù)z,于是在