復(fù)變函數(shù)積分的概念第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日1一、積分的定義1.有向曲線:

設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線,如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),那么我們就把C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線.如果A到B作為曲線C的正向,那么B到A就是曲線C的負(fù)向,第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日2簡(jiǎn)單閉曲線正向的定義:

簡(jiǎn)單閉曲線C的正向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線的負(fù)方向.關(guān)于曲線方向的說明:在今后的討論中,常把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日32.積分的定義:第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日4(第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日5關(guān)于定義的說明:第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日6二、積分的性質(zhì)復(fù)積分與實(shí)變函數(shù)的定積分有類似的性質(zhì).估值不等式第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日7性質(zhì)(4)的證明兩端取極限得[證畢]第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日8三、積分存在的條件及其計(jì)算法1.存在的條件證正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日9第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日10根據(jù)線積分的存在定理,第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日11當(dāng)n

無限增大而弧段長度的最大值趨于零時(shí),第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日12在形式上可以看成是公式第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日132.積分的計(jì)算法第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日14在今后討論的積分中,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的.第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日15例1解直線方程為第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日16這兩個(gè)積分都與路線C無關(guān)第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日17例2解(1)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日18(2)積分路徑的參數(shù)方程為y=x第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日19y=x(3)積分路徑由兩段直線段構(gòu)成x軸上直線段的參數(shù)方程為1到1+i直線段的參數(shù)方程為第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日20例3解積分路徑的參數(shù)方程為第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日21例4解積分路徑的參數(shù)方程為第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日22重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心和半徑無關(guān).第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日23例5解根據(jù)估值不等式知第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日24第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日25四、小結(jié)與思考本課我們學(xué)習(xí)了積分的定義、存在條件以及計(jì)算和性質(zhì).應(yīng)注意復(fù)變函數(shù)的積分有跟微積分學(xué)中的線積分完全相似的性質(zhì).本課中重點(diǎn)掌握復(fù)積分的一般方法.第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日26思考題第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日27思考題答案即為一元實(shí)函數(shù)的定積分.