第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

復(fù)習(xí)課件第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課件1網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)2知識辨析判斷下列說法是否正確（請在括號中填“√”或“×”）1.如果一條直線過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，那么這條直線與這個平面有且只有一個交點(diǎn)。（

）2.如果兩個平面有一個交點(diǎn)，則這兩個平面有一條過這個點(diǎn)的公共直線。（

）3.如果兩個平面平行，則這兩個平面沒有交點(diǎn)。（

）4.若一條直線上有兩個點(diǎn)在某一平面內(nèi)，則這條直線上有無數(shù)個點(diǎn)在這個平面內(nèi)。（

）5.平行于同一條直線的兩個平面平行。（

）6.一條直線垂直于一個平面內(nèi)的三條直線，則這條直線垂直于這個平面。（

）7.兩個相交平面組成的圖形叫做二面角。（

）8.垂直于同一條直線的兩個平面平行。（

）√√√√×××√知識辨析判斷下列說法是否正確（請在括號中填“√”或“×”）√3主題串講

方法提煉·總結(jié)升華

一、平面基本性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線，并說明理由。主題串講方法提煉·總結(jié)升華一、平面基本性質(zhì)4解：在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，因為D1F與DA不平行，所以D1F與DA必相交于一點(diǎn)，設(shè)為P，則P∈FD1，P∈DA。又因為D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD，所以P為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn)。又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)，所以連接PB（如圖），PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線。解：在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，5規(guī)律方法

證明三線共點(diǎn)常用的方法是先證明兩條直線共面且相交于一點(diǎn)；然后證明這個點(diǎn)在兩個平面內(nèi)，于是該點(diǎn)在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點(diǎn)。也可以證明直線a、b相交于一點(diǎn)A，直線b與c相交于一點(diǎn)B，再證明A、B是同一點(diǎn)，從而得到a、b、c三線共點(diǎn)。規(guī)律方法6即時訓(xùn)練1-1：如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。求證：（1）E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上。證明：（1）因為BG∶GC=DH∶HC，所以GH∥BD。因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面。（2）因為G，H不是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，所以M∈AC，即EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上。即時訓(xùn)練1-1：如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為7二、空間線面位置關(guān)系的證明【典例2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，點(diǎn)M，N分別為A1B和B1C1的中點(diǎn)。（1）證明：A1M⊥平面MAC；證明：（1）因為A1A⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥A1A，又因為∠BAC=90°，所以AC⊥AB，因為AA1?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，AA1∩AB=A，所以AC⊥平面AA1B1B，又A1M?平面AA1B1B，所以A1M⊥AC。又因為四邊形AA1B1B為正方形，M為A1B的中點(diǎn)，所以A1M⊥MA，因為AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，所以A1M⊥平面MAC。二、空間線面位置關(guān)系的證明證明：（1）因為A1A⊥平面ABC8（2）證明：MN∥平面A1ACC1。證明：（2）連接AB1，AC1，由題意知，點(diǎn)M，N分別為AB1和B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥AC1。又MN?平面A1ACC1，AC1?平面A1ACC1，所以MN∥平面A1ACC1。（2）證明：MN∥平面A1ACC1。證明：（2）連接AB1，9規(guī)律方法

空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化主要有：（1）平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化。（2）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。線線垂直線面垂直面面垂直規(guī)律方法（2）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。10（3）平行與垂直的轉(zhuǎn)化。（3）平行與垂直的轉(zhuǎn)化。11即時訓(xùn)練2-1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；證明：（1）由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，由側(cè)棱PD⊥底面ABCD，及AC?平面ABCD知AC⊥PD。又PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD。又AC?平面PAC，從而，由平面與平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD。即時訓(xùn)練2-1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是12（2）證明：PB⊥平面EFD。證明：（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，知DE⊥PC。由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，由側(cè)棱PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知BC⊥PD。又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD。而DE?平面PCD，所以DE⊥BC。由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC。又PB?平面PBC，故DE⊥PB。又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，因此PB⊥平面EFD。（2）證明：PB⊥平面EFD。證明：（2）在△PDC中，由P13三、空間位置關(guān)系的證明與空間角的計算【典例3】如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段AB，BC上。（1）證明：PE⊥FG；（1）證明：因為PD=PC，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，所以PE⊥DC。又因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，所以PE⊥平面ABCD。又FG?平面ABCD，所以PE⊥FG。三、空間位置關(guān)系的證明與空間角的計算（1）證明：因為PD=P14（2）求二面角P-AD-C的正切值。（2）求二面角P-AD-C的正切值。15規(guī)律方法

求角度問題時，無論哪種情況最終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成的角的問題上，求角度的解題步驟是：（1）找出這個角；（2）證該角符合題意；（3）構(gòu)造出含這個角的三角形，解這個三角形，求出角。空間角包括以下三類：①兩條異面直線所成的角，找兩條異面直線所成的角，關(guān)鍵是選取合適的點(diǎn)引兩條異面直線的平行線，這兩條相交直線所成的銳角或直角即為兩條異面直線所成的角。②求直線與平面所成的角關(guān)鍵是確定斜線在平面內(nèi)的射影。③求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角時，首先要確定二面角的棱，然后結(jié)合題設(shè)構(gòu)造二面角的平面角。規(guī)律方法16即時訓(xùn)練3-1：如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，菱形ABCD在平面β內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥平面α，垂足為O。（1）證明：AB⊥平面ODE；（1）證明：如圖，因為DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB。連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE。即時訓(xùn)練3-1：如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，17（2）求異面直線BC與OD所成角的余弦值。（2）求異面直線BC與OD所成角的余弦值。18四、空間幾何體中位置關(guān)系的證明與體積計算【典例4】如圖甲，☉O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=45°，∠DAB=60°。沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)。P為AC上的動點(diǎn)，根據(jù)圖乙解答下列各題：四、空間幾何體中位置關(guān)系的證明與體積計算19（1）求三棱錐D-ABC的體積；（2）求證：不論點(diǎn)P在何位置，都有DE⊥BP；（2）證明：因為P∈AC，所以P∈平面ABC，所以PB?平面ABC。又由（1）知，DE⊥平面ABC，所以不論點(diǎn)P在何位置，都有DE⊥BP。（1）求三棱錐D-ABC的體積；（2）證明：因為P∈AC，所20（3）在上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由。（3）在上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在21規(guī)律方法（1）求空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的高，若幾何體的高容易求出，可直接代入體積公式計算，否則可用下列方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：①等體積轉(zhuǎn)化法：對于三棱錐因為任何一個面都可作為底面，所以在求三棱錐的體積時，可將其轉(zhuǎn)化為底面積和高都易求的形式求解。②補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，再根據(jù)它們的體積關(guān)系求解。③分割法：將幾何體分割為易求體積的幾部分，分別求解再求和。（2）有關(guān)平面圖形翻折成空間圖形的問題，應(yīng)注意翻折前后各元素（直線、線段、角）的相對位置（平行、垂直）和數(shù)量的變化，搞清楚哪些發(fā)生了變化、哪些不變。規(guī)律方法22即時訓(xùn)練4-1：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)。（1）求證：DE∥平面ABC；（1）證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，因為E是B1C的中點(diǎn)，所以EG∥BB1，且EG=BB1。由直棱柱知AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中點(diǎn)，所以EG∥AD，EG=AD，所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以ED∥AG，又ED?平面ABC，AG?平面ABC，所以DE∥平面ABC。即時訓(xùn)練4-1：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB23（2）求三棱錐E-BCD的體積。（2）求三棱錐E-BCD的體積。24五、易錯題辨析【典例5】如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且AE=C1F。求證：四邊形EBFD1是平行四邊形。錯解：因為平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB。同理可得D1F∥EB。所以四邊形EBFD1是平行四邊形。糾錯：錯解中盲目地認(rèn)為E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，由已知條件并不能說明這四點(diǎn)共面，同時條件AE=C1F也沒有用到。五、易錯題辨析錯解：因為平面A1ADD1∥平面B1BCC1，25點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-復(fù)習(xí)課件26真題體驗

真題引領(lǐng)·感悟提升

1.（2016·全國Ⅰ卷，理11）平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（

）A真題體驗真題引領(lǐng)·感悟提升1.（2016272.（2017·全國Ⅰ卷，文6）如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（

）A2.（2017·全國Ⅰ卷，文6）如圖，在下列四個正方體中，A28解析：如圖O為正方形CDBE的兩條對角線的交點(diǎn)，從而O為BC的中點(diǎn)，在△ACB中，OQ為中位線，所以O(shè)Q∥AB，OQ∩平面MNQ=Q，所以，AB與平面MNQ相交，而不是平行，故選A。解析：如圖O為正方形CDBE的兩條對角線的交點(diǎn)，從而O為BC293.（2016·全國Ⅱ卷，理14）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n。③如果α∥β，m?α，那么m∥β。④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等。其中正確的命題有

。（填寫所有正確命題的編號）

解析：①可能有m⊥β，即α∥β，得①錯，②③④正確。答案：②③④3.（2016·全國Ⅱ卷，理14）α，β是兩個平面，m，n是304.（2017·全國Ⅰ卷，文18）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°。（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；（1）證明：由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD。又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD。4.（2017·全國Ⅰ卷，文18）如圖，在四棱錐P-ABCD31（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積。（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，且四棱錐P325.（2016·全國Ⅲ卷，文19）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn)。（1）證明MN∥平面PAB；5.（2016·全國Ⅲ卷，文19）如圖，四棱錐P-ABCD中33（2）求四面體N-BCM的體積。（2）求四面體N-BCM的體積。34謝謝謝謝35第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

復(fù)習(xí)課件第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系復(fù)習(xí)課件36網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)網(wǎng)絡(luò)建構(gòu)37知識辨析判斷下列說法是否正確（請在括號中填“√”或“×”）1.如果一條直線過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)，那么這條直線與這個平面有且只有一個交點(diǎn)。（

）2.如果兩個平面有一個交點(diǎn)，則這兩個平面有一條過這個點(diǎn)的公共直線。（

）3.如果兩個平面平行，則這兩個平面沒有交點(diǎn)。（

）4.若一條直線上有兩個點(diǎn)在某一平面內(nèi)，則這條直線上有無數(shù)個點(diǎn)在這個平面內(nèi)。（

）5.平行于同一條直線的兩個平面平行。（

）6.一條直線垂直于一個平面內(nèi)的三條直線，則這條直線垂直于這個平面。（

）7.兩個相交平面組成的圖形叫做二面角。（

）8.垂直于同一條直線的兩個平面平行。（

）√√√√×××√知識辨析判斷下列說法是否正確（請在括號中填“√”或“×”）√38主題串講

方法提煉·總結(jié)升華

一、平面基本性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是CC1和AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線，并說明理由。主題串講方法提煉·總結(jié)升華一、平面基本性質(zhì)39解：在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，因為D1F與DA不平行，所以D1F與DA必相交于一點(diǎn)，設(shè)為P，則P∈FD1，P∈DA。又因為D1F?平面BED1F，DA?平面ABCD，所以P∈平面BED1F，P∈平面ABCD，所以P為平面BED1F與平面ABCD的公共點(diǎn)。又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)，所以連接PB（如圖），PB即為平面BED1F與平面ABCD的交線。解：在平面AA1D1D內(nèi)，延長D1F，40規(guī)律方法

證明三線共點(diǎn)常用的方法是先證明兩條直線共面且相交于一點(diǎn)；然后證明這個點(diǎn)在兩個平面內(nèi)，于是該點(diǎn)在這兩個平面的交線上，從而得到三線共點(diǎn)。也可以證明直線a、b相交于一點(diǎn)A，直線b與c相交于一點(diǎn)B，再證明A、B是同一點(diǎn)，從而得到a、b、c三線共點(diǎn)。規(guī)律方法41即時訓(xùn)練1-1：如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。求證：（1）E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；（2）EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上。證明：（1）因為BG∶GC=DH∶HC，所以GH∥BD。因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面。（2）因為G，H不是BC，CD的中點(diǎn)，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以EG與FH必相交，設(shè)交點(diǎn)為M，而EG?平面ABC，HF?平面ACD，所以M∈平面ABC，且M∈平面ACD，所以M∈AC，即EG與HF的交點(diǎn)在直線AC上。即時訓(xùn)練1-1：如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為42二、空間線面位置關(guān)系的證明【典例2】在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱與底面垂直，∠BAC=90°，AB=AA1，點(diǎn)M，N分別為A1B和B1C1的中點(diǎn)。（1）證明：A1M⊥平面MAC；證明：（1）因為A1A⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AC⊥A1A，又因為∠BAC=90°，所以AC⊥AB，因為AA1?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，AA1∩AB=A，所以AC⊥平面AA1B1B，又A1M?平面AA1B1B，所以A1M⊥AC。又因為四邊形AA1B1B為正方形，M為A1B的中點(diǎn)，所以A1M⊥MA，因為AC∩MA=A，AC?平面MAC，MA?平面MAC，所以A1M⊥平面MAC。二、空間線面位置關(guān)系的證明證明：（1）因為A1A⊥平面ABC43（2）證明：MN∥平面A1ACC1。證明：（2）連接AB1，AC1，由題意知，點(diǎn)M，N分別為AB1和B1C1的中點(diǎn)，所以MN∥AC1。又MN?平面A1ACC1，AC1?平面A1ACC1，所以MN∥平面A1ACC1。（2）證明：MN∥平面A1ACC1。證明：（2）連接AB1，44規(guī)律方法

空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化主要有：（1）平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化。（2）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。線線垂直線面垂直面面垂直規(guī)律方法（2）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。45（3）平行與垂直的轉(zhuǎn)化。（3）平行與垂直的轉(zhuǎn)化。46即時訓(xùn)練2-1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。（1）證明：平面PAC⊥平面PBD；證明：（1）由底面ABCD是正方形，知AC⊥BD，由側(cè)棱PD⊥底面ABCD，及AC?平面ABCD知AC⊥PD。又PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD。又AC?平面PAC，從而，由平面與平面垂直的判定定理知，平面PAC⊥平面PBD。即時訓(xùn)練2-1：如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是47（2）證明：PB⊥平面EFD。證明：（2）在△PDC中，由PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，知DE⊥PC。由底面ABCD是正方形，知BC⊥DC，由側(cè)棱PD⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，知BC⊥PD。又DC∩PD=D，故BC⊥平面PCD。而DE?平面PCD，所以DE⊥BC。由DE⊥PC，DE⊥BC及PC∩BC=C，知DE⊥平面PBC。又PB?平面PBC，故DE⊥PB。又已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，因此PB⊥平面EFD。（2）證明：PB⊥平面EFD。證明：（2）在△PDC中，由P48三、空間位置關(guān)系的證明與空間角的計算【典例3】如圖，三角形PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F，G分別在線段AB，BC上。（1）證明：PE⊥FG；（1）證明：因為PD=PC，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，所以PE⊥DC。又因為平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，所以PE⊥平面ABCD。又FG?平面ABCD，所以PE⊥FG。三、空間位置關(guān)系的證明與空間角的計算（1）證明：因為PD=P49（2）求二面角P-AD-C的正切值。（2）求二面角P-AD-C的正切值。50規(guī)律方法

求角度問題時，無論哪種情況最終都?xì)w結(jié)到兩條相交直線所成的角的問題上，求角度的解題步驟是：（1）找出這個角；（2）證該角符合題意；（3）構(gòu)造出含這個角的三角形，解這個三角形，求出角。空間角包括以下三類：①兩條異面直線所成的角，找兩條異面直線所成的角，關(guān)鍵是選取合適的點(diǎn)引兩條異面直線的平行線，這兩條相交直線所成的銳角或直角即為兩條異面直線所成的角。②求直線與平面所成的角關(guān)鍵是確定斜線在平面內(nèi)的射影。③求二面角關(guān)鍵是作出二面角的平面角，而作二面角的平面角時，首先要確定二面角的棱，然后結(jié)合題設(shè)構(gòu)造二面角的平面角。規(guī)律方法51即時訓(xùn)練3-1：如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，菱形ABCD在平面β內(nèi)，A，B兩點(diǎn)在棱MN上，∠BAD=60°，E是AB的中點(diǎn)，DO⊥平面α，垂足為O。（1）證明：AB⊥平面ODE；（1）證明：如圖，因為DO⊥α，AB?α，所以DO⊥AB。連接BD，由題設(shè)知，△ABD是正三角形，又E是AB的中點(diǎn)，所以DE⊥AB，DO∩DE=D，故AB⊥平面ODE。即時訓(xùn)練3-1：如圖，已知二面角α-MN-β的大小為60°，52（2）求異面直線BC與OD所成角的余弦值。（2）求異面直線BC與OD所成角的余弦值。53四、空間幾何體中位置關(guān)系的證明與體積計算【典例4】如圖甲，☉O的直徑AB=2，圓上兩點(diǎn)C，D在直徑AB的兩側(cè)，使∠CAB=45°，∠DAB=60°。沿直徑AB折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，E為AO的中點(diǎn)。P為AC上的動點(diǎn)，根據(jù)圖乙解答下列各題：四、空間幾何體中位置關(guān)系的證明與體積計算54（1）求三棱錐D-ABC的體積；（2）求證：不論點(diǎn)P在何位置，都有DE⊥BP；（2）證明：因為P∈AC，所以P∈平面ABC，所以PB?平面ABC。又由（1）知，DE⊥平面ABC，所以不論點(diǎn)P在何位置，都有DE⊥BP。（1）求三棱錐D-ABC的體積；（2）證明：因為P∈AC，所55（3）在上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在，試確定點(diǎn)G的位置；若不存在，請說明理由。（3）在上是否存在一點(diǎn)G，使得FG∥平面ACD？若存在56規(guī)律方法（1）求空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的高，若幾何體的高容易求出，可直接代入體積公式計算，否則可用下列方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化：①等體積轉(zhuǎn)化法：對于三棱錐因為任何一個面都可作為底面，所以在求三棱錐的體積時，可將其轉(zhuǎn)化為底面積和高都易求的形式求解。②補(bǔ)體法：將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，再根據(jù)它們的體積關(guān)系求解。③分割法：將幾何體分割為易求體積的幾部分，分別求解再求和。（2）有關(guān)平面圖形翻折成空間圖形的問題，應(yīng)注意翻折前后各元素（直線、線段、角）的相對位置（平行、垂直）和數(shù)量的變化，搞清楚哪些發(fā)生了變化、哪些不變。規(guī)律方法57即時訓(xùn)練4-1：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分別是AA1和B1C的中點(diǎn)。（1）求證：DE∥平面ABC；（1）證明：取BC中點(diǎn)G，連接AG，EG，因為E是B1C的中點(diǎn)，所以EG∥BB1，且EG=BB1。由直棱柱知AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中點(diǎn)，所以EG∥AD，EG=AD，所以四邊形EGAD是平行四邊形，所以ED∥AG，又ED?平面ABC，AG?平面ABC，所以DE∥平面ABC。即時訓(xùn)練4-1：如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB58（2）求三棱錐E-BCD的體積。（2）求三棱錐E-BCD的體積。59五、易錯題辨析【典例5】如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且AE=C1F。求證：四邊形EBFD1是平行四邊形。錯解：因為平面A1ADD1∥平面B1BCC1，D1E=平面A1ADD1∩平面BFD1E，BF=平面B1BCC1∩平面BFD1E，所以D1E∥FB。同理可得D1F∥EB。所以四邊形EBFD1是平行四邊形。糾錯：錯解中盲目地認(rèn)為E，B，F(xiàn)，D1四點(diǎn)共面，由已知條件并不能說明這四點(diǎn)共面，同時條件AE=C1F也沒有用到。五、易錯題辨析錯解：因為平面A1ADD1∥平面B1BCC1，60點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-復(fù)習(xí)課件61真題體驗

真題