1.5測(cè)量誤差的基本知識(shí)建筑工程技術(shù)教研室1.5測(cè)量誤差的基本知識(shí)建筑工程技術(shù)教研室1教學(xué)目標(biāo)了解測(cè)量誤差的來源、分類、偶然誤差的特點(diǎn)熟練掌握衡量觀測(cè)精度的標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳播定律建筑工程技術(shù)教研室教學(xué)目標(biāo)了解測(cè)量誤差的來源、分類、偶然誤差的特點(diǎn)建筑工程技術(shù)2重點(diǎn)：衡量觀測(cè)精度的標(biāo)準(zhǔn)難點(diǎn)：誤差的傳播定律建筑工程技術(shù)教研室重點(diǎn)：衡量觀測(cè)精度的標(biāo)準(zhǔn)建筑工程技術(shù)教研室3一、測(cè)量誤差的來源1．測(cè)量?jī)x器和工具2．觀測(cè)誤差3．外界條件的影響由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。由于觀測(cè)者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。外界條件（風(fēng)力、溫度、濕度、陽光照射）的變化所引起的誤差。建筑工程技術(shù)教研室一、測(cè)量誤差的來源1．測(cè)量?jī)x器和工具2．觀測(cè)誤差3．外界條件4觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；人、儀器和外界條件，通常稱為觀測(cè)條件。在觀測(cè)結(jié)果中，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，稱之為粗差。粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。建筑工程技術(shù)教研室觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。5二、測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差建筑工程技術(shù)教研室二、測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差建筑工程技術(shù)教研室61．系統(tǒng)誤差

在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測(cè)量成果中具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大，但它的符號(hào)和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。（1）進(jìn)行計(jì)算改正（2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法

建筑工程技術(shù)教研室1．系統(tǒng)誤差在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系72．偶然誤差

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的符號(hào)和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。建筑工程技術(shù)教研室2．偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一8三、偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對(duì)同一量觀測(cè)次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測(cè)次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。建筑工程技術(shù)教研室三、偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何9例如，對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了217個(gè)三角形，計(jì)算出217個(gè)內(nèi)角和觀測(cè)值的真誤差。再按絕對(duì)值大小，分區(qū)間統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的誤差個(gè)數(shù)，列入表中。建筑工程技術(shù)教研室例如，對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值10

偶然誤差的統(tǒng)計(jì)誤差區(qū)間正誤差個(gè)數(shù)負(fù)誤差個(gè)數(shù)總計(jì)0″～3″3029593″～6″2120416″～9″1518339″～12″14163012″～15″12102215″～18″881618″～21″561121″～24″22424″～27″10127″以上000合計(jì)107110217**建筑工程技術(shù)教研室偶然誤差的統(tǒng)計(jì)誤差區(qū)間正誤差個(gè)數(shù)負(fù)誤差個(gè)數(shù)總計(jì)0″～3″311（1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多；（2）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)大致相等；（3）最大誤差不超過27″。**建筑工程技術(shù)教研室（1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多；12偶然誤差的四個(gè)特性：（1）在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；（2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；（3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)n的無限增大而趨于零，即式中

[Δ]——偶然誤差的代數(shù)和，***下一節(jié)返回建筑工程技術(shù)教研室偶然誤差的四個(gè)特性：（1）在一定觀測(cè)條件下，13在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成果的精度。中誤差相對(duì)誤差容許誤差*四、衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)建筑工程技術(shù)教研室在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成141、中誤差設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)觀測(cè)，其觀測(cè)值為l1，l2，…，ln，相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測(cè)值的中誤差m為：式中

[??]——真誤差的平方和，建筑工程技術(shù)教研室1、中誤差設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n15

例5-1

設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：甲組：乙組：試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測(cè)精度。解:建筑工程技術(shù)教研室例5-1設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等16

比較m甲和m乙可知，甲組的觀測(cè)精度比乙組高。中誤差所代表的是某一組觀測(cè)值的精度。建筑工程技術(shù)教研室比較m甲和m乙可知，甲組的觀測(cè)精度比乙組高。172、容許誤差在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超過的限值，稱為容許誤差，也稱限差或極限誤差。或如果某個(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測(cè)。下一節(jié)返回建筑工程技術(shù)教研室2、容許誤差在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)183、相對(duì)誤差相對(duì)誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)結(jié)果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即

例丈量?jī)啥尉嚯x，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m，m2=±1cm，試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。解建筑工程技術(shù)教研室3、相對(duì)誤差相對(duì)誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀19建筑工程技術(shù)教研室建筑工程技術(shù)教研室201、算術(shù)平均值在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次重復(fù)觀測(cè)，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術(shù)平均值作為最終觀測(cè)結(jié)果。設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值分別為，l1,l2,…,ln，其算術(shù)平均值為：五、等精度直接觀測(cè)平差建筑工程技術(shù)教研室1、算術(shù)平均值在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行21設(shè)觀測(cè)量的真值為X，觀測(cè)值為li，則觀測(cè)值的真誤差為：

將上式內(nèi)各式兩邊相加，并除以n，得根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無限增大時(shí)，則有→

算術(shù)平均值較觀測(cè)值更接近于真值。將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或是值或最可靠值。建筑工程技術(shù)教研室設(shè)觀測(cè)量的真值為X，觀測(cè)值為li，則觀測(cè)值的真誤差為：將上222、觀測(cè)值改正數(shù)

觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)，用v表示。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為n時(shí)，有將上式內(nèi)各式兩邊相加，得將代入上式，得

對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。建筑工程技術(shù)教研室2、觀測(cè)值改正數(shù)觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之23

3、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差4、誤差傳播定律有些量不能直接觀測(cè)，而是與直接觀測(cè)量構(gòu)成一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來。那么如何根據(jù)觀測(cè)值的中誤差去求觀測(cè)函數(shù)的中誤差？h=a-b注意兩者的區(qū)別建筑工程技術(shù)教研室3、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差4、誤差傳播定律24誤差傳播公式：運(yùn)用誤差傳播定律的步驟：1.首先根據(jù)題意列出函數(shù)式2.對(duì)函數(shù)進(jìn)行全微分3.帶入誤差傳播公式，并計(jì)算觀測(cè)函數(shù)的中誤差建筑工程技術(shù)教研室建筑工程技術(shù)教研室25線性函數(shù)的誤差傳播定律建筑工程技術(shù)教研室線性函數(shù)的誤差傳播定律建筑工程技術(shù)教研室26算術(shù)平均值的中誤差建筑工程技術(shù)教研室算術(shù)平均值的中誤差建筑工程技術(shù)教研室27

例題：某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。測(cè)次

觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv

計(jì)算123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-192251444324166763613046返回建筑工程技術(shù)教研室例題：某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表281.5測(cè)量誤差的基本知識(shí)建筑工程技術(shù)教研室1.5測(cè)量誤差的基本知識(shí)建筑工程技術(shù)教研室29教學(xué)目標(biāo)了解測(cè)量誤差的來源、分類、偶然誤差的特點(diǎn)熟練掌握衡量觀測(cè)精度的標(biāo)準(zhǔn)誤差的傳播定律建筑工程技術(shù)教研室教學(xué)目標(biāo)了解測(cè)量誤差的來源、分類、偶然誤差的特點(diǎn)建筑工程技術(shù)30重點(diǎn)：衡量觀測(cè)精度的標(biāo)準(zhǔn)難點(diǎn)：誤差的傳播定律建筑工程技術(shù)教研室重點(diǎn)：衡量觀測(cè)精度的標(biāo)準(zhǔn)建筑工程技術(shù)教研室31一、測(cè)量誤差的來源1．測(cè)量?jī)x器和工具2．觀測(cè)誤差3．外界條件的影響由于儀器和工具加工制造不完善或校正之后殘余誤差存在所引起的誤差。由于觀測(cè)者感覺器官鑒別能力的局限性所引起的誤差。外界條件（風(fēng)力、溫度、濕度、陽光照射）的變化所引起的誤差。建筑工程技術(shù)教研室一、測(cè)量誤差的來源1．測(cè)量?jī)x器和工具2．觀測(cè)誤差3．外界條件32觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；人、儀器和外界條件，通常稱為觀測(cè)條件。在觀測(cè)結(jié)果中，有時(shí)還會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，稱之為粗差。粗差在觀測(cè)結(jié)果中是不允許出現(xiàn)的，為了杜絕粗差，除認(rèn)真仔細(xì)作業(yè)外，還必須采取必要的檢核措施。建筑工程技術(shù)教研室觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。33二、測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差建筑工程技術(shù)教研室二、測(cè)量誤差的分類系統(tǒng)誤差偶然誤差建筑工程技術(shù)教研室341．系統(tǒng)誤差

在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。

系統(tǒng)誤差在測(cè)量成果中具有累積性，對(duì)測(cè)量成果影響較大，但它的符號(hào)和大小又具有一定的規(guī)律性，一般可采用下列方法消除或減弱其影響。（1）進(jìn)行計(jì)算改正（2）選擇適當(dāng)?shù)挠^測(cè)方法

建筑工程技術(shù)教研室1．系統(tǒng)誤差在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系352．偶然誤差

在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列的觀測(cè)，如果觀測(cè)誤差的符號(hào)和大小都不一致，表面上沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤差。建筑工程技術(shù)教研室2．偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一36三、偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何規(guī)律性，但是隨著對(duì)同一量觀測(cè)次數(shù)的增加，大量的偶然誤差就表現(xiàn)出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，觀測(cè)次數(shù)越多，這種規(guī)律性越明顯。建筑工程技術(shù)教研室三、偶然誤差的特性偶然誤差從表面上看沒有任何37例如，對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值含有偶然誤差，三角形各內(nèi)角之和l不等于其真值180?。用X表示真值，則l與X的差值Δ稱為真誤差（即偶然誤差），即現(xiàn)在相同的觀測(cè)條件下觀測(cè)了217個(gè)三角形，計(jì)算出217個(gè)內(nèi)角和觀測(cè)值的真誤差。再按絕對(duì)值大小，分區(qū)間統(tǒng)計(jì)相應(yīng)的誤差個(gè)數(shù)，列入表中。建筑工程技術(shù)教研室例如，對(duì)三角形的三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行測(cè)量，由于觀測(cè)值38

偶然誤差的統(tǒng)計(jì)誤差區(qū)間正誤差個(gè)數(shù)負(fù)誤差個(gè)數(shù)總計(jì)0″～3″3029593″～6″2120416″～9″1518339″～12″14163012″～15″12102215″～18″881618″～21″561121″～24″22424″～27″10127″以上000合計(jì)107110217**建筑工程技術(shù)教研室偶然誤差的統(tǒng)計(jì)誤差區(qū)間正誤差個(gè)數(shù)負(fù)誤差個(gè)數(shù)總計(jì)0″～3″339（1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多；（2）絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差的個(gè)數(shù)大致相等；（3）最大誤差不超過27″。**建筑工程技術(shù)教研室（1）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差個(gè)數(shù)多；40偶然誤差的四個(gè)特性：（1）在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值有一定的限值，或者說，超出該限值的誤差出現(xiàn)的概率為零；（2）絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；（3）絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；（4）同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)n的無限增大而趨于零，即式中

[Δ]——偶然誤差的代數(shù)和，***下一節(jié)返回建筑工程技術(shù)教研室偶然誤差的四個(gè)特性：（1）在一定觀測(cè)條件下，41在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成果的精度。中誤差相對(duì)誤差容許誤差*四、衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)建筑工程技術(shù)教研室在測(cè)量工作中，常采用以下幾種標(biāo)準(zhǔn)評(píng)定測(cè)量成421、中誤差設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)觀測(cè)，其觀測(cè)值為l1，l2，…，ln，相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測(cè)值的中誤差m為：式中

[??]——真誤差的平方和，建筑工程技術(shù)教研室1、中誤差設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n43

例5-1

設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：甲組：乙組：試計(jì)算甲、乙兩組各自的觀測(cè)精度。解:建筑工程技術(shù)教研室例5-1設(shè)有甲、乙兩組觀測(cè)值，各組均為等44

比較m甲和m乙可知，甲組的觀測(cè)精度比乙組高。中誤差所代表的是某一組觀測(cè)值的精度。建筑工程技術(shù)教研室比較m甲和m乙可知，甲組的觀測(cè)精度比乙組高。452、容許誤差在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不應(yīng)超過的限值，稱為容許誤差，也稱限差或極限誤差?；蛉绻硞€(gè)觀測(cè)值的偶然誤差超過了容許誤差，就可以認(rèn)為該觀測(cè)值含有粗差，應(yīng)舍去不用或返工重測(cè)。下一節(jié)返回建筑工程技術(shù)教研室2、容許誤差在一定觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)463、相對(duì)誤差相對(duì)誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)結(jié)果之比，并化為分子為1的分?jǐn)?shù)，即

例丈量?jī)啥尉嚯x，D1=100m，m1=±1cm和D2=30m，m2=±1cm，試計(jì)算兩段距離的相對(duì)中誤差。解建筑工程技術(shù)教研室3、相對(duì)誤差相對(duì)誤差是中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀47建筑工程技術(shù)教研室建筑工程技術(shù)教研室481、算術(shù)平均值在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次重復(fù)觀測(cè)，根據(jù)偶然誤差特性，可取其算術(shù)平均值作為最終觀測(cè)結(jié)果。設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，觀測(cè)值分別為，l1,l2,…,ln，其算術(shù)平均值為：五、等精度直接觀測(cè)平差建筑工程技術(shù)教研室1、算術(shù)平均值在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行49設(shè)觀測(cè)量的真值為X，觀測(cè)值為li，則觀測(cè)值的真誤差為：

將上式內(nèi)各式兩邊相加，并除以n，得根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無限增大時(shí)，則有→

算術(shù)平均值較觀測(cè)值更接近于真值。將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或是值或最可靠值