=4，即|a+b|=4.必為平行向量，平行向量不一定是相反向量.如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則(1)由題意作出相對應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，則在△ABC中，若=a，=b，則等于 ()平行四邊形ABCD中，||與||分別是指(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，向量與向量長度相等，方向相反.角度1利用已知向量表示未知向量①=0；(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.為所求作的向量a-b-c.已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？(1)作兩向量的差的步驟(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則作向量減法時若所給向量不共起點，應(yīng)如何解決？角度1利用已知向量表示未知向量定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.【解析】因為∠DAB=60°，6.2平面向量的運算6.2.2向量的減法運算第一頁，共71頁。=4，即|a+b|=4.6.2平面向量的運算第一頁，共711.相反向量定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.第二頁，共71頁。1.相反向量第二頁，共71頁。性質(zhì)：(1)對于相反向量有：a+(-a)=0.(2)若a，b互為相反向量，則a=-b，a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.第三頁，共71頁。性質(zhì)：第三頁，共71頁?！舅伎肌坑腥苏f：相反向量即方向相反的向量，定義中“長度相等”是多余的，對嗎？提示：不對，相反向量要從“模長”與“方向”兩個方面去理解，不僅是方向相反，還必須長度相等.第四頁，共71頁?！舅伎肌康谒捻摚?1頁。2.向量的減法(1)定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則

=a-b，如圖所示.第五頁，共71頁。2.向量的減法第五頁，共71頁。(3)幾何意義：a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.第六頁，共71頁。(3)幾何意義：a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終【思考】(1)由向量減法的定義，你認(rèn)為向量的減法與加法有何聯(lián)系？提示：向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.第七頁，共71頁?！舅伎肌康谄唔?，共71頁。(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向量的方向如何？提示：求差的兩個向量是共起點的，差向量連接兩向量終點，方向指向被減向量.第八頁，共71頁。(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)向量a-b當(dāng)它們起點重合時可以看作從向量b的終點指向向量a的終點的向量. (

)第九頁，共71頁?！舅仞B(yǎng)小測】第九頁，共71頁。(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量. (

)(3)向量與向量是相反向量. (

)第十頁，共71頁。(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反第十頁，共以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，①=0；①=0；以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，(3)零向量的相反向量仍是零向量.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法如圖(2)所示，此時|a+b|=|a|+|b|.為所求作的向量a-b-c.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法如圖(2)所示，此時|a+b|=|a|+|b|.在直線BC外，則||=所以=c，=b-a，如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.提示：求差的兩個向量是共起點的，差向量連接兩向量終點，方向指向被減向量.平行四邊形ABCD中，||與||分別是指又因為||=2，所以O(shè)B=1.②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所示，此時|a+b|=|a|-|b|.【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b|.在△ABC中，若=a，=b，則等于 ()如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出平行四邊形ABCD中，||與||分別是指先作a-b，再作(a-b)-c即可.△ABC為直角三角形，||即斜邊BC的中線，所以提示：(1)√.由向量減法法則知正確.(2)×.由平行向量與相反向量的定義可知，相反向量必為平行向量，平行向量不一定是相反向量.(3)√.向量與向量長度相等，方向相反.第十一頁，共71頁。以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，提示：(1)√.由向2.在△ABC中，若=a，=b，則等于 (

)

A.a B.a+b

C.b-a D.a-b第十二頁，共71頁。2.在△ABC中，若=a，=b，則等于【解析】選D.=a-b.第十三頁，共71頁?！窘馕觥窟xD.=a-b.第十三頁，共73.設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的有________.(填序號)

①a與b的長度必相等；②a∥b；③a與b一定不相等；④a是b的相反向量.第十四頁，共71頁。3.設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的有________.【解析】因為0的相反向量是0，故③不正確.其他均正確.答案：①②④第十五頁，共71頁?！窘馕觥恳驗?的相反向量是0，故③不正確.其他均正確.第十五類型一向量的減法【典例】1.(2019·汕頭高一檢測)在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，則等于 (

)

第十六頁，共71頁。類型一向量的減法第十六頁，共71頁。2.如圖，已知向量a，b，c，求作a-b-c.第十七頁，共71頁。2.如圖，已知向量a，b，c，求作a-b-c.第十七頁，共7【思維·引】1.結(jié)合圖形，利用向量減法的三角形法則求解.2.先作a-b，再作(a-b)-c即可.第十八頁，共71頁?！舅季S·引】1.結(jié)合圖形，利用向量減法的三角形法則求解.第十【解析】1.選D.如圖所示，第十九頁，共71頁。【解析】1.選D.如圖所示，第十九頁，共71頁。2.如圖，以A為起點分別作向量，使=a，

=b.連接CB，得向量，再以C為起點作向量，使=c.連接DB，得向量.則向量即為所求作的向量a-b-c.第二十頁，共71頁。2.如圖，以A為起點分別作向量，使=【內(nèi)化·悟】1.作向量減法時若所給向量不共起點，應(yīng)如何解決？提示：平移向量使它們共起點.2.在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？提示：可以.第二十一頁，共71頁?！緝?nèi)化·悟】第二十一頁，共71頁?！绢愵}·通】關(guān)于向量的減法(1)作兩向量的差的步驟第二十二頁，共71頁?！绢愵}·通】第二十二頁，共71頁。(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(3)向量減法的三角形法則對共線向量也適用.第二十三頁，共71頁。(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，【習(xí)練·破】如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a，b，c，d的方向(用箭頭表示)，使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.第二十四頁，共71頁?！玖?xí)練·破】第二十四頁，共71頁。【解析】因為a+b=，c-d=，所以a=，b=，c=，d=.如圖所示，第二十五頁，共71頁?！窘馕觥恳驗閍+b=，c-d=，第二十五頁，作平行四邊形OBEC，平行四邊形ODFA.根據(jù)平行四邊形法則可得b-c=，a+d=.第二十六頁，共71頁。作平行四邊形OBEC，平行四邊形ODFA.根據(jù)平行四邊形第二類型二向量加減法運算【典例】1.(2019·衡水高一檢測)下列各式：第二十七頁，共71頁。類型二向量加減法運算第二十七頁，共71頁。其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 (

)A.1個B.2個C.3個D.4個第二十八頁，共71頁。其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 ()第二十八頁，共71頁。2.(2019·臨沂高一檢測)設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，則||=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(

)A.8 B.4 C.2 D.1第二十九頁，共71頁。2.(2019·臨沂高一檢測)設(shè)點M是線段BC的中點，點A第【思維·引】利用三角形法則或平行四邊形法則求解.第三十頁，共71頁?！舅季S·引】利用三角形法則或平行四邊形法則求解.第三十頁，共【解析】1.選D.①=0；②

=0；③

=0；④=0.第三十一頁，共71頁?！窘馕觥?.選D.①=0；②第三因為四邊形ACDE是平行四邊形，思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(1)由題意作出相對應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.在△ABO中，=e-c-a，當(dāng)與同向時，|BC|max=13，(1)對于相反向量有：a+(-a)=0.由于(+1)2+(-1)2=42.其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 ()=e，用a，b，c，e表示向量.③(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向量的方向如何？作向量減法時若所給向量不共起點，應(yīng)如何解決？(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？當(dāng)與反向時，|BC|min=3，向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.所以?OACB是矩形.值為________.則||=|a+b|.a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.(3)零向量的相反向量仍是零向量.設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的有________.2.選C.由可知，垂直，故△ABC為直角三角形，||即斜邊BC的中線，所以||=2.第三十二頁，共71頁。因為四邊形ACDE是平行四邊形，2.選C.由【內(nèi)化·悟】平行四邊形ABCD中，||與||分別是指什么？若||=||，說明該平行四邊形是什么圖形？第三十三頁，共71頁。【內(nèi)化·悟】第三十三頁，共71頁。提示：||與||分別是指兩條對角線的長，若||=||，說明該平行四邊形是矩形.第三十四頁，共71頁。提示：||與||分別是指兩條對角【類題·通】1.向量減法運算的常用方法第三十五頁，共71頁?！绢愵}·通】第三十五頁，共71頁。2.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則

=a+b，=a-b.第三十六頁，共71頁。2.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系第三十六頁，共71頁。【發(fā)散·拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？第三十七頁，共71頁?！景l(fā)散·拓】第三十七頁，共71頁。提示：它們之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)當(dāng)a，b有一個為零向量時，不等式顯然成立.(2)當(dāng)a，b不共線時，作=a，=b，則a+b=，第三十八頁，共71頁。提示：它們之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法如圖(2)所示，此時|a+b|=|a|+|b|.第三十九頁，共71頁。如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|-|b||<第三②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所示，此時|a+b|=|a|-|b|.第四十頁，共71頁。②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所綜上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.第四十一頁，共71頁。綜上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|【延伸·練】若||=8，||=5，則||的取值范圍是________.

第四十二頁，共71頁?！狙由臁ぞ殹咳魘|=8，||=5，則||的【解析】由及||=||=8，當(dāng)與同向時，|BC|max=13，當(dāng)與反向時，|BC|min=3，所以3≤||=|+|≤13，即||∈[3，13].答案：[3，13]第四十三頁，共71頁。【解析】由及||=||=【習(xí)練·破】化簡下列各式：第四十四頁，共71頁?！玖?xí)練·破】第四十四頁，共71頁?！窘馕觥?1)方法一：原式=方法二：原式=第四十五頁，共71頁。【解析】(1)方法一：原式=第四十五頁，共71(2)方法一：原式=方法二：原式=第四十六頁，共71頁。(2)方法一：原式=第四十六頁，共71頁?！炯泳殹す獭肯铝懈魇街胁荒芑啚榈氖?(

)第四十七頁，共71頁?！炯泳殹す獭康谒氖唔?，共71頁?！窘馕觥窟xD.選項A中，選項B中，選項C中，第四十八頁，共71頁?！窘馕觥窟xD.選項A中，第四十八頁，共71頁。類型三向量加減運算幾何意義的應(yīng)用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且=a，=b，=c，試用向量a，b，c表示向量世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號第四十九頁，共71頁。類型三向量加減運算幾何意義的應(yīng)用第四十九頁，共71頁。第五十頁，共71頁。第五十頁，共71頁?！舅季S·引】注意相等向量，利用向量加減運算的三角形法則求解.第五十一頁，共71頁?！舅季S·引】第五十一頁，共71頁?！窘馕觥坑善叫兴倪呅蔚男再|(zhì)可知=c，由向量的減法可知：=b-a，由向量的加法可知

=b-a+c.第五十二頁，共71頁?！窘馕觥坑善叫兴倪呅蔚男再|(zhì)可知=c，由向第五【習(xí)練·破】本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內(nèi)一點”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？第五十三頁，共71頁?！玖?xí)練·破】第五十三頁，共71頁?！窘馕觥咳鐖D，第五十四頁，共71頁?！窘馕觥咳鐖D，第五十四頁，共71頁。因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以=c，=b-a，

=b-a+c.第五十五頁，共71頁。因為四邊形ACDE是平行四邊形，第五十五頁，共71頁。角度2求解或證明幾何問題【典例】(2019·臨沂高一檢測)已知非零向量a，b滿足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，則|a+b|的值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

第五十六頁，共71頁。角度2求解或證明幾何問題第五十六頁，共71頁。【思維·引】作出圖形，利用向量加減法的幾何意義求解.第五十七頁，共71頁。【思維·引】作出圖形，利用向量加減法的幾何意義求解.第五十七【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b|.以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則||=|a+b|.第五十八頁，共71頁。【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b由于(+1)2+(-1)2=42.故，所以△OAB是∠AOB為90°的直角三角形，從而OA⊥OB，所以?OACB是矩形.根據(jù)矩形的對角線相等有=4，即|a+b|=4.第五十九頁，共71頁。由于(+1)2+(-1)2=42.第五十九頁答案：4第六十頁，共71頁。答案：4第六十頁，共71頁。【內(nèi)化·悟】已知△ABC中，||=+1，||=-1，=4，我們能否判斷該幾何圖形的形狀？提示：能.是直角三角形.第六十一頁，共71頁?！緝?nèi)化·悟】第六十一頁，共71頁。【類題·通】利用向量加、減法求解或證明問題的一般步驟(1)由題意作出相對應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.(2)利用三角形法則和平行四邊形法則，對向量的加、減法進(jìn)行運算.(3)構(gòu)造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形的邊、角關(guān)系解題.第六十二頁，共71頁?！绢愵}·通】(3)構(gòu)造三角形(一般是直角三角形)，利用三角形【習(xí)練·破】1.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，則=________.

第六十三頁，共71頁?！玖?xí)練·破】第六十三頁，共71頁?！窘馕觥恳驗椤螪AB=60°，AB=AD，所以△ABD為等邊三角形.又因為||=2，所以O(shè)B=1.在Rt△AOB中，第六十四頁，共71頁?！窘馕觥恳驗椤螪AB所以答案：2第六十五頁，共71頁。所以第六十五頁，共71頁。思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)法則可得b-c=，a+d=.向量與向量長度相等，方向相反.所以=c，=b-a，=b-a+c.世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()有人說：相反向量即方向相反的向量，定義中“長度相等”是多余的，對嗎？以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，值為________.角度2求解或證明幾何問題則||=|a+b|.如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|-|b||<【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b|.其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 ()①=0；=e，用a，b，c，e表示向量.定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.(3)向量減法的三角形法則對共線向量也適用.【解析】(1)因為=b，=d，所以如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則點，O為AE，BD的交點，已知=a，=b，=c，根據(jù)矩形的對角線相等有(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.2.如圖，在△ABC中，D，E分別為邊AC，BC上的任意一點，O為AE，BD的交點，已知=a，=b，=c，

=e，用a，b，c，e表示向量.第六十六頁，共71頁。思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)2.如圖，在△ABC中【解析】在△OBE中，有=e-c，在△ABO中，

=e-c-a，在△ABD中，

=a+b，所以在△OAD中，

=e-c-a+a+b=e-c+b.第六十七頁，共71頁。【解析】在△OBE中，有=e-c，第六【加練·固】如圖所示，已知=a，=b，=c，=d，=e，=f，試用a，b，c，d，e，f表示：第六十八頁，共71頁?！炯泳殹す獭康诹隧?，共71頁。第六十九頁，共71頁。第六十九頁，共71頁。【解析】(1)因為=b，=d，所以

=d-b.(2)因為=a，=b，=c，=f，所以=b+f-a-c.第七十頁，共71頁?！窘馕觥?1)因為=b，=d，所以第七十(3)因為=d，=f，所以=f-d.第七十一頁，共71頁。(3)因為=d，=f，第七十一頁，共71頁。=4，即|a+b|=4.必為平行向量，平行向量不一定是相反向量.如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則(1)由題意作出相對應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，則在△ABC中，若=a，=b，則等于 ()平行四邊形ABCD中，||與||分別是指(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，向量與向量長度相等，方向相反.角度1利用已知向量表示未知向量①=0；(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.為所求作的向量a-b-c.已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？(1)作兩向量的差的步驟(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則作向量減法時若所給向量不共起點，應(yīng)如何解決？角度1利用已知向量表示未知向量定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.【解析】因為∠DAB=60°，6.2平面向量的運算6.2.2向量的減法運算第一頁，共71頁。=4，即|a+b|=4.6.2平面向量的運算第一頁，共711.相反向量定義：我們規(guī)定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量.第二頁，共71頁。1.相反向量第二頁，共71頁。性質(zhì)：(1)對于相反向量有：a+(-a)=0.(2)若a，b互為相反向量，則a=-b，a+b=0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.第三頁，共71頁。性質(zhì)：第三頁，共71頁?！舅伎肌坑腥苏f：相反向量即方向相反的向量，定義中“長度相等”是多余的，對嗎？提示：不對，相反向量要從“模長”與“方向”兩個方面去理解，不僅是方向相反，還必須長度相等.第四頁，共71頁?！舅伎肌康谒捻?，共71頁。2.向量的減法(1)定義：a-b=a+(-b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則

=a-b，如圖所示.第五頁，共71頁。2.向量的減法第五頁，共71頁。(3)幾何意義：a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.第六頁，共71頁。(3)幾何意義：a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終【思考】(1)由向量減法的定義，你認(rèn)為向量的減法與加法有何聯(lián)系？提示：向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算.利用相反向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.第七頁，共71頁?！舅伎肌康谄唔?，共71頁。(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向量的方向如何？提示：求差的兩個向量是共起點的，差向量連接兩向量終點，方向指向被減向量.第八頁，共71頁。(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)向量a-b當(dāng)它們起點重合時可以看作從向量b的終點指向向量a的終點的向量. (

)第九頁，共71頁?！舅仞B(yǎng)小測】第九頁，共71頁。(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反向量. (

)(3)向量與向量是相反向量. (

)第十頁，共71頁。(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反第十頁，共以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，①=0；①=0；以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，(3)零向量的相反向量仍是零向量.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法如圖(2)所示，此時|a+b|=|a|+|b|.為所求作的向量a-b-c.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法如圖(2)所示，此時|a+b|=|a|+|b|.在直線BC外，則||=所以=c，=b-a，如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.提示：求差的兩個向量是共起點的，差向量連接兩向量終點，方向指向被減向量.平行四邊形ABCD中，||與||分別是指又因為||=2，所以O(shè)B=1.②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所示，此時|a+b|=|a|-|b|.【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b|.在△ABC中，若=a，=b，則等于 ()如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出平行四邊形ABCD中，||與||分別是指先作a-b，再作(a-b)-c即可.△ABC為直角三角形，||即斜邊BC的中線，所以提示：(1)√.由向量減法法則知正確.(2)×.由平行向量與相反向量的定義可知，相反向量必為平行向量，平行向量不一定是相反向量.(3)√.向量與向量長度相等，方向相反.第十一頁，共71頁。以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，提示：(1)√.由向2.在△ABC中，若=a，=b，則等于 (

)

A.a B.a+b

C.b-a D.a-b第十二頁，共71頁。2.在△ABC中，若=a，=b，則等于【解析】選D.=a-b.第十三頁，共71頁。【解析】選D.=a-b.第十三頁，共73.設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的有________.(填序號)

①a與b的長度必相等；②a∥b；③a與b一定不相等；④a是b的相反向量.第十四頁，共71頁。3.設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的有________.【解析】因為0的相反向量是0，故③不正確.其他均正確.答案：①②④第十五頁，共71頁。【解析】因為0的相反向量是0，故③不正確.其他均正確.第十五類型一向量的減法【典例】1.(2019·汕頭高一檢測)在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，CA的中點，則等于 (

)

第十六頁，共71頁。類型一向量的減法第十六頁，共71頁。2.如圖，已知向量a，b，c，求作a-b-c.第十七頁，共71頁。2.如圖，已知向量a，b，c，求作a-b-c.第十七頁，共7【思維·引】1.結(jié)合圖形，利用向量減法的三角形法則求解.2.先作a-b，再作(a-b)-c即可.第十八頁，共71頁?！舅季S·引】1.結(jié)合圖形，利用向量減法的三角形法則求解.第十【解析】1.選D.如圖所示，第十九頁，共71頁?！窘馕觥?.選D.如圖所示，第十九頁，共71頁。2.如圖，以A為起點分別作向量，使=a，

=b.連接CB，得向量，再以C為起點作向量，使=c.連接DB，得向量.則向量即為所求作的向量a-b-c.第二十頁，共71頁。2.如圖，以A為起點分別作向量，使=【內(nèi)化·悟】1.作向量減法時若所給向量不共起點，應(yīng)如何解決？提示：平移向量使它們共起點.2.在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？提示：可以.第二十一頁，共71頁?！緝?nèi)化·悟】第二十一頁，共71頁?！绢愵}·通】關(guān)于向量的減法(1)作兩向量的差的步驟第二十二頁，共71頁?！绢愵}·通】第二十二頁，共71頁。(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(3)向量減法的三角形法則對共線向量也適用.第二十三頁，共71頁。(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，【習(xí)練·破】如圖所示，O是四邊形ABCD內(nèi)任一點，試根據(jù)圖中給出的向量，確定a，b，c，d的方向(用箭頭表示)，使a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.第二十四頁，共71頁。【習(xí)練·破】第二十四頁，共71頁?！窘馕觥恳驗閍+b=，c-d=，所以a=，b=，c=，d=.如圖所示，第二十五頁，共71頁?！窘馕觥恳驗閍+b=，c-d=，第二十五頁，作平行四邊形OBEC，平行四邊形ODFA.根據(jù)平行四邊形法則可得b-c=，a+d=.第二十六頁，共71頁。作平行四邊形OBEC，平行四邊形ODFA.根據(jù)平行四邊形第二類型二向量加減法運算【典例】1.(2019·衡水高一檢測)下列各式：第二十七頁，共71頁。類型二向量加減法運算第二十七頁，共71頁。其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 (

)A.1個B.2個C.3個D.4個第二十八頁，共71頁。其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 ()第二十八頁，共71頁。2.(2019·臨沂高一檢測)設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，則||=世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(

)A.8 B.4 C.2 D.1第二十九頁，共71頁。2.(2019·臨沂高一檢測)設(shè)點M是線段BC的中點，點A第【思維·引】利用三角形法則或平行四邊形法則求解.第三十頁，共71頁?！舅季S·引】利用三角形法則或平行四邊形法則求解.第三十頁，共【解析】1.選D.①=0；②

=0；③

=0；④=0.第三十一頁，共71頁?！窘馕觥?.選D.①=0；②第三因為四邊形ACDE是平行四邊形，思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(2)相反向量不一定是平行向量，平行向量一定是相反(2)求兩個向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a-b，可以先作-b，然后用加法a+(-b)即可.(1)由題意作出相對應(yīng)的幾何圖形，構(gòu)造有關(guān)向量.在△ABO中，=e-c-a，當(dāng)與同向時，|BC|max=13，(1)對于相反向量有：a+(-a)=0.由于(+1)2+(-1)2=42.其中結(jié)果為零向量的個數(shù)是 ()=e，用a，b，c，e表示向量.③(2)由向量減法作圖方法，求差的兩個向量的起點是怎樣的？差向量的方向如何？作向量減法時若所給向量不共起點，應(yīng)如何解決？(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作=a，=b，則在本例2中能否先作向量b+c，再作a-(b+c)呢？已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？當(dāng)與反向時，|BC|min=3，向量的定義，，就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法.所以?OACB是矩形.值為________.則||=|a+b|.a+b=，c-d=，并畫出b-c和a+d.(3)零向量的相反向量仍是零向量.設(shè)b是a的相反向量，則下列說法正確的有________.2.選C.由可知，垂直，故△ABC為直角三角形，||即斜邊BC的中線，所以||=2.第三十二頁，共71頁。因為四邊形ACDE是平行四邊形，2.選C.由【內(nèi)化·悟】平行四邊形ABCD中，||與||分別是指什么？若||=||，說明該平行四邊形是什么圖形？第三十三頁，共71頁?！緝?nèi)化·悟】第三十三頁，共71頁。提示：||與||分別是指兩條對角線的長，若||=||，說明該平行四邊形是矩形.第三十四頁，共71頁。提示：||與||分別是指兩條對角【類題·通】1.向量減法運算的常用方法第三十五頁，共71頁?！绢愵}·通】第三十五頁，共71頁。2.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系如圖所示，平行四邊形ABCD中，若=a，=b，則

=a+b，=a-b.第三十六頁，共71頁。2.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系第三十六頁，共71頁?！景l(fā)散·拓】已知向量a，b，那么|a|-|b|與|a±b|及|a|+|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？第三十七頁，共71頁。【發(fā)散·拓】第三十七頁，共71頁。提示：它們之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.(1)當(dāng)a，b有一個為零向量時，不等式顯然成立.(2)當(dāng)a，b不共線時，作=a，=b，則a+b=，第三十八頁，共71頁。提示：它們之間的關(guān)系為||a|-|b||≤|a±b|≤|a|如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.同理可證||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法如圖(2)所示，此時|a+b|=|a|+|b|.第三十九頁，共71頁。如圖(1)所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|-|b||<第三②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所示，此時|a+b|=|a|-|b|.第四十頁，共71頁。②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法如圖(3)所綜上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.第四十一頁，共71頁。綜上所述，得不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|【延伸·練】若||=8，||=5，則||的取值范圍是________.

第四十二頁，共71頁?！狙由臁ぞ殹咳魘|=8，||=5，則||的【解析】由及||=||=8，當(dāng)與同向時，|BC|max=13，當(dāng)與反向時，|BC|min=3，所以3≤||=|+|≤13，即||∈[3，13].答案：[3，13]第四十三頁，共71頁?！窘馕觥坑杉皘|=||=【習(xí)練·破】化簡下列各式：第四十四頁，共71頁。【習(xí)練·破】第四十四頁，共71頁?！窘馕觥?1)方法一：原式=方法二：原式=第四十五頁，共71頁?！窘馕觥?1)方法一：原式=第四十五頁，共71(2)方法一：原式=方法二：原式=第四十六頁，共71頁。(2)方法一：原式=第四十六頁，共71頁?！炯泳殹す獭肯铝懈魇街胁荒芑啚榈氖?(

)第四十七頁，共71頁?！炯泳殹す獭康谒氖唔摚?1頁?！窘馕觥窟xD.選項A中，選項B中，選項C中，第四十八頁，共71頁?！窘馕觥窟xD.選項A中，第四十八頁，共71頁。類型三向量加減運算幾何意義的應(yīng)用角度1利用已知向量表示未知向量【典例】如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，B是該平行四邊形外一點，且=a，=b，=c，試用向量a，b，c表示向量世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號第四十九頁，共71頁。類型三向量加減運算幾何意義的應(yīng)用第四十九頁，共71頁。第五十頁，共71頁。第五十頁，共71頁?！舅季S·引】注意相等向量，利用向量加減運算的三角形法則求解.第五十一頁，共71頁?！舅季S·引】第五十一頁，共71頁?！窘馕觥坑善叫兴倪呅蔚男再|(zhì)可知=c，由向量的減法可知：=b-a，由向量的加法可知

=b-a+c.第五十二頁，共71頁。【解析】由平行四邊形的性質(zhì)可知=c，由向第五【習(xí)練·破】本例中的條件“點B是該平行四邊形外一點”若換為“點B是該平行四邊形內(nèi)一點”，其他條件不變，其結(jié)論又如何呢？第五十三頁，共71頁?！玖?xí)練·破】第五十三頁，共71頁?！窘馕觥咳鐖D，第五十四頁，共71頁。【解析】如圖，第五十四頁，共71頁。因為四邊形ACDE是平行四邊形，所以=c，=b-a，

=b-a+c.第五十五頁，共71頁。因為四邊形ACDE是平行四邊形，第五十五頁，共71頁。角度2求解或證明幾何問題【典例】(2019·臨沂高一檢測)已知非零向量a，b滿足|a|=+1，|b|=-1，且|a-b|=4，則|a+b|的值為________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

第五十六頁，共71頁。角度2求解或證明幾何問題第五十六頁，共71頁?！舅季S·引】作出圖形，利用向量加減法的幾何意義求解.第五十七頁，共71頁?！舅季S·引】作出圖形，利用向量加減法的幾何意義求解.第五十七【解析】如圖，=a，=b，則||=|a-b|.以O(shè)A與OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則||=|a+b|.第五十八頁，共71頁?！窘馕觥咳鐖D，=a，=b，則||=|a-b由于(+1)2+(-1)2=42.故