第2講數列求和及綜合應用第2講數列求和及綜合應用高考定位1.高考對數列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉化、錯位相減、裂項相消等方法求數列的和，難度中檔偏下；2.在考查數列運算的同時，將數列與不等式、函數交匯滲透.高考定位1.高考對數列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通1.(2018·全國Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.真

題

感

悟解析法一因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數列，所以an＝－2n－1.1.(2018·全國Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和.若法二由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，當n≥2時，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首項為－2，公比為2的等比數列，所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案－63法二由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－12.(2017·全國Ⅲ卷)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.解(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②2.(2017·全國Ⅲ卷)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件3.(2019·天津卷)設{an}是等差數列，{bn}是等比數列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通項公式；3.(2019·天津卷)設{an}是等差數列，{bn}是等比解(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q(q>0).故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通項公式為an＝3n，{bn}的通項公式為bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)解(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①所以a1c1＋a(2)應用an與Sn的關系式f(an，Sn)＝0時，應特別注意n＝1時的情況，防止產生錯誤.考

點

整

合2.數列求和 (1)分組轉化法：一個數列既不是等差數列，也不是等比數列，若將這個數列適當拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并. (2)錯位相減法：主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列.(2)應用an與Sn的關系式f(an，Sn)＝0時，應特別注2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件3.數列與函數、不等式的交匯數列與函數的綜合問題一般是利用函數作為背景，給出數列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系，將條件進行準確的轉化.數列與不等式的綜合問題一般以數列為載體，考查不等關系或恒成立問題.3.數列與函數、不等式的交匯數列與函數的綜合問題一般是利用函熱點一an與Sn的關系問題熱點一an與Sn的關系問題解

(1)因為an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，解(1)因為an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5S(2)由(1)知bn＝－1－log2|an|＝2n－1，數列{bn}的前n項和Tn＝n2，因此{An}是單調遞增數列，(2)由(1)知bn＝－1－log2|an|＝2n－1，數列探究提高給出Sn與an的遞推關系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.探究提高給出Sn與an的遞推關系求an，常用思路是：一是利【訓練1】

(2019·濟南調研)已知數列{an}的前n項和是Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式；又當n＝1得a1＝1，于是{an}是首項為1，公比為2的等比數列.所以an＝2n－1.【訓練1】(2019·濟南調研)已知數列{an}的前n項和(2)由(1)知，bn＝log2an＝log22n－1＝n－1，于是數列{bn}是首項為0，公差為1的等差數列.(2)由(1)知，bn＝log2an＝log22n－1＝n－熱點二數列的求和角度1分組轉化法求和【例2－1】

(2019·石家莊調研)已知數列{an}是等差數列，且a8＝1，S16＝24. (1)求數列{an}的通項公式an； (2)若數列{bn}是遞增的等比數列且b1＋b4＝9，b2b3＝8，求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1).∴an＝－6＋(n－1)×1＝n－7.熱點二數列的求和∴an＝－6＋(n－1)×1＝n－7.(2)∵數列{bn}是遞增的等比數列，由b2b3＝8，得b1b4＝8，①又b1＋b4＝9，②聯(lián)立①，②得b1＝1，b4＝8.因此公比q＝2，則bn＝2n－1，∴(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b1＋b3＋…＋b2n－1)＝(－6－4－2＋…＋2n－8)＋(1＋4＋16＋…＋4n－1)(2)∵數列{bn}是遞增的等比數列，探究提高1.在處理一般數列求和時，一定要注意運用轉化思想.把一般的數列求和轉化為等差數列或等比數列進行求和.在利用分組求和法求和時，常常根據需要對項數n的奇偶進行討論.最后再驗證是否可以合并為一個表達式.2.分組求和的策略：(1)根據等差、等比數列分組；(2)根據正號、負號分組.探究提高1.在處理一般數列求和時，一定要注意運用轉化思想.【訓練2】

(2019·貴陽診斷)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2＝8，S4＝40.數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*. (1)求數列{an}，{bn}的通項公式；【訓練2】(2019·貴陽診斷)設等差數列{an}的前n項解

(1)設等差數列{an}的公差為d，因為Tn－2bn＋3＝0，所以當n＝1時，b1＝3，當n≥2時，Tn－1－2bn－1＋3＝0，兩式相減，得bn＝2bn－1(n≥2)，則數列{bn}為首項為3，公比為2的等比數列，所以bn＝3·2n－1.解(1)設等差數列{an}的公差為d，因為Tn－2bn＋3當n為偶數時，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)當n為奇數時，當n為偶數時，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b法一

n－1(n≥3)為偶數，Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－1)＋1＋(n－1)2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－1，n＝1時符合上式.法二

Pn＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)法一n－1(n≥3)為偶數，Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－角度2裂項相消法求和角度2裂項相消法求和解

(1)設數列{an}的公差為d，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋10d)，②∵d≠0，由①②解得a1＝2，d＝3.∴數列{an}的通項公式為an＝3n－1(n∈N*).解(1)設數列{an}的公差為d，即(a1＋2d)2＝a1(2)由題意知，(2)由題意知，探究提高

1.裂項相消求和就是將數列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項.2.消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.探究提高1.裂項相消求和就是將數列中的每一項裂成兩項或多項2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件解

(1)設等比數列{an}的公比為q(q>0)，解得a1＝q＝3.所以an＝a1qn－1＝3n.(2)由(1)得bn＝log332n－1＝2n－1，解(1)設等比數列{an}的公比為q(q>0)，解得a1＝角度3錯位相減法求和角度3錯位相減法求和2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件探究提高1.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解.2.在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.探究提高1.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是【訓練4】

(2019·武漢調研)已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.【訓練4】(2019·武漢調研)已知{an}是各項均為正數又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋1.又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以bn＝2n＋12021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件熱點三與數列相關的綜合問題(1)求數列{an}的通項公式；(2)數列{an}的前n項和為Sn，等比數列{bn}中，b1＝a1，b2＝a2，數列{bn}的前n項和為Tn，請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值.熱點三與數列相關的綜合問題(1)求數列{an}的通項公式；∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1.∴an＋1＝an＋2，則an＋1－an＝2，因此數列{an}是公差為2，首項為1的等差數列.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.∵an＋1＝f′(an)，且a1＝1.等比數列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3.∴bn＝3n－1.又n∈N*，∴n＝1，或n＝2.故適合條件Tn≤Sn的所有n的值為1和2.等比數列{bn}中，b1＝a1＝1，b2＝a2＝3，∴q＝3探究提高

1.求解數列與函數交匯問題要注意兩點：(1)數列是一類特殊的函數，其定義域是正整數集(或它的有限子集)，在求數列最值或不等關系時要特別注意；(2)解題時準確構造函數，利用函數性質時注意限制條件.2.數列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與數列的求和相聯(lián)系，最后利用數列或數列對應函數的單調性處理.探究提高1.求解數列與函數交匯問題要注意兩點：(1)數列是【訓練5】

已知數列{an}是等差數列，a1＝1，a2＋a3＋…＋a10＝144. (1)求數列{an}的通項公式；【訓練5】已知數列{an}是等差數列，a1＝1，a2＋a3解

(1)因為等差數列{an}中，a2＋a3＋…＋a10＝144，a1＝1，所以9＋45d＝144，所以d＝3.所以數列{an}的通項公式為an＝3n－2(n∈N*).解(1)因為等差數列{an}中，a2＋a3＋…＋a10＝11.錯位相減法的關注點(1)適用題型：等差數列{an}乘以等比數列{bn}對應項得到的數列{an·bn}求和.(2)步驟：①求和時先乘以數列{bn}的公比；②把兩個和的形式錯位相減；③整理結果形式.1.錯位相減法的關注點(1)適用題型：等差數列{an}乘以等2.裂項求和的常見技巧2.裂項求和的常見技巧3.數列與不等式綜合問題3.數列與不等式綜合問題2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件第2講數列求和及綜合應用第2講數列求和及綜合應用高考定位1.高考對數列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通過分組轉化、錯位相減、裂項相消等方法求數列的和，難度中檔偏下；2.在考查數列運算的同時，將數列與不等式、函數交匯滲透.高考定位1.高考對數列求和的考查主要以解答題的形式出現(xiàn)，通1.(2018·全國Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________.真

題

感

悟解析法一因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數列，所以an＝－2n－1.1.(2018·全國Ⅰ卷)記Sn為數列{an}的前n項和.若法二由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－1，當n≥2時，由Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即Sn＝2Sn－1－1，∴Sn－1＝2(Sn－1－1)，又S1－1＝－2，∴{Sn－1}是首項為－2，公比為2的等比數列，所以Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，所以Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.答案－63法二由Sn＝2an＋1，得S1＝2S1＋1，所以S1＝－12.(2017·全國Ⅲ卷)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.解(1)因為a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故當n≥2時，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②2.(2017·全國Ⅲ卷)設數列{an}滿足a1＋3a2＋…2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件3.(2019·天津卷)設{an}是等差數列，{bn}是等比數列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通項公式；3.(2019·天津卷)設{an}是等差數列，{bn}是等比解(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q(q>0).故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.所以{an}的通項公式為an＝3n，{bn}的通項公式為bn＝3n.(2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn)解(1)設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，②②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，①所以a1c1＋a(2)應用an與Sn的關系式f(an，Sn)＝0時，應特別注意n＝1時的情況，防止產生錯誤.考

點

整

合2.數列求和 (1)分組轉化法：一個數列既不是等差數列，也不是等比數列，若將這個數列適當拆開，重新組合，就會變成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并. (2)錯位相減法：主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列.(2)應用an與Sn的關系式f(an，Sn)＝0時，應特別注2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件3.數列與函數、不等式的交匯數列與函數的綜合問題一般是利用函數作為背景，給出數列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出Sn的表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類問題的關鍵在于利用數列與函數的對應關系，將條件進行準確的轉化.數列與不等式的綜合問題一般以數列為載體，考查不等關系或恒成立問題.3.數列與函數、不等式的交匯數列與函數的綜合問題一般是利用函熱點一an與Sn的關系問題熱點一an與Sn的關系問題解

(1)因為an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5Sn＋1＋1，解(1)因為an＝5Sn＋1，n∈N*，所以an＋1＝5S(2)由(1)知bn＝－1－log2|an|＝2n－1，數列{bn}的前n項和Tn＝n2，因此{An}是單調遞增數列，(2)由(1)知bn＝－1－log2|an|＝2n－1，數列探究提高給出Sn與an的遞推關系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an.探究提高給出Sn與an的遞推關系求an，常用思路是：一是利【訓練1】

(2019·濟南調研)已知數列{an}的前n項和是Sn，且Sn＝2an－1(n∈N*).(1)求數列{an}的通項公式；又當n＝1得a1＝1，于是{an}是首項為1，公比為2的等比數列.所以an＝2n－1.【訓練1】(2019·濟南調研)已知數列{an}的前n項和(2)由(1)知，bn＝log2an＝log22n－1＝n－1，于是數列{bn}是首項為0，公差為1的等差數列.(2)由(1)知，bn＝log2an＝log22n－1＝n－熱點二數列的求和角度1分組轉化法求和【例2－1】

(2019·石家莊調研)已知數列{an}是等差數列，且a8＝1，S16＝24. (1)求數列{an}的通項公式an； (2)若數列{bn}是遞增的等比數列且b1＋b4＝9，b2b3＝8，求(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1).∴an＝－6＋(n－1)×1＝n－7.熱點二數列的求和∴an＝－6＋(n－1)×1＝n－7.(2)∵數列{bn}是遞增的等比數列，由b2b3＝8，得b1b4＝8，①又b1＋b4＝9，②聯(lián)立①，②得b1＝1，b4＝8.因此公比q＝2，則bn＝2n－1，∴(a1＋b1)＋(a3＋b3)＋(a5＋b5)＋…＋(a2n－1＋b2n－1)＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(b1＋b3＋…＋b2n－1)＝(－6－4－2＋…＋2n－8)＋(1＋4＋16＋…＋4n－1)(2)∵數列{bn}是遞增的等比數列，探究提高1.在處理一般數列求和時，一定要注意運用轉化思想.把一般的數列求和轉化為等差數列或等比數列進行求和.在利用分組求和法求和時，常常根據需要對項數n的奇偶進行討論.最后再驗證是否可以合并為一個表達式.2.分組求和的策略：(1)根據等差、等比數列分組；(2)根據正號、負號分組.探究提高1.在處理一般數列求和時，一定要注意運用轉化思想.【訓練2】

(2019·貴陽診斷)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且a2＝8，S4＝40.數列{bn}的前n項和為Tn，且Tn－2bn＋3＝0，n∈N*. (1)求數列{an}，{bn}的通項公式；【訓練2】(2019·貴陽診斷)設等差數列{an}的前n項解

(1)設等差數列{an}的公差為d，因為Tn－2bn＋3＝0，所以當n＝1時，b1＝3，當n≥2時，Tn－1－2bn－1＋3＝0，兩式相減，得bn＝2bn－1(n≥2)，則數列{bn}為首項為3，公比為2的等比數列，所以bn＝3·2n－1.解(1)設等差數列{an}的公差為d，因為Tn－2bn＋3當n為偶數時，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)當n為奇數時，當n為偶數時，Pn＝(a1＋a3＋…＋an－1)＋(b2＋b法一

n－1(n≥3)為偶數，Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－1)＋1＋(n－1)2－2＋4n＝2n＋n2＋2n－1，n＝1時符合上式.法二

Pn＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(b2＋b4＋…＋bn－1)法一n－1(n≥3)為偶數，Pn＝Pn－1＋cn＝2(n－角度2裂項相消法求和角度2裂項相消法求和解

(1)設數列{an}的公差為d，即(a1＋2d)2＝a1·(a1＋10d)，②∵d≠0，由①②解得a1＝2，d＝3.∴數列{an}的通項公式為an＝3n－1(n∈N*).解(1)設數列{an}的公差為d，即(a1＋2d)2＝a1(2)由題意知，(2)由題意知，探究提高

1.裂項相消求和就是將數列中的每一項裂成兩項或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注意消去了哪些項，保留了哪些項.2.消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項.探究提高1.裂項相消求和就是將數列中的每一項裂成兩項或多項2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件解

(1)設等比數列{an}的公比為q(q>0)，解得a1＝q＝3.所以an＝a1qn－1＝3n.(2)由(1)得bn＝log332n－1＝2n－1，解(1)設等比數列{an}的公比為q(q>0)，解得a1＝角度3錯位相減法求和角度3錯位相減法求和2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件2021年高考理數第二輪第2講-數列求和及綜合應用課件探究提高1.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解.2.在寫“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.探究提高1.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是【訓練4】

(2019·武漢調研)已知{an}是各項均為正數的等比數列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a