PAGEPAGE178證明：BA AB的充要條件是AB.證明：若BA AB，則ABA AB，故AB成立.反之，若AB，則BA ABA BB，又xB，若xA，則AA.故xBA xA，則xBABA A.總有xBAA.故BBA A，從而有BA AB。證畢Bc.ABBc.Bc.AB，從而xxB，故xxBc，從而AB，ABBc.另一方面，xA Bc，必有xxBc，故xxB，從而xAB，所以A BcAB.Bc.綜合上兩個(gè)包含式得ABBc.證明定理4中的（，定理（DeMorgan公式）中的第二式和定理9.證明：定理4中的：若A

B（

A

B. 證：若x成立

A

，則對(duì)任意的，有xA

A

B（）xA

B，故x

B

，這說明

A

B. 定理4中的

(A

B)(

A)

B).證：若x

(A

B，則有'，使x(AB)(B)('A)( B).反過來(lái)，若x(

A)

B則x

A

或者x

B. 不妨設(shè)x

A

，則有'使xA AB '(A B '(A B).故(

A)

B)

(A

B).綜上所述有

(A

B)

A)

B).6

A)c

A . c(

A)cx

A

故存在' A'

所以xAc'

A c從而有(

A)c A . c反過來(lái)，若x

A ，則'使xAc

c，故xA ，'x

A，從而x(

A)c(

)c A

. 證畢

c定理9A

, ,A,

單調(diào)上升，即AA

（相應(yīng)地1 2 n n n1A An

）對(duì)一切n都成立，則limn

n1

A（相應(yīng)地）limn n

A.nn1An

An1

對(duì)N

Aiim

A8mliminf

AAn

n im1im

mm1另一方面mn，令S

A，從A A

對(duì)mN成立知m im

m m1S

AA

( A)A

( A)

AS

.故定理8表明m iim

m iim1

m1

iim1

iim1

m1limsup

AS

S

liminfAn

n im1im

mm1

1 m1 m

n n故lim

limsupA

liminf

A.n

n

n n

n mm1證明AB BA BB的充要條件是B.證 ： 充 分 性 若 B ， 則BABAAAA A 必要性若AB BA BB，而B則存在xB.B,xB所以xAB BA BB即所B,xB所以xB.

這與xB矛盾，,4.SA,求FA.又如果S1,A1;為奇數(shù)

1,

, 1 ,

,問FA

,FA是什么. 0 n 1

3

1 0 1解:若S1,2,3,4,A1,2,3,4,則FAA1;為奇數(shù)A1;為奇數(shù)1,11,0n 3 512i1,,11,11,c21 1, ,41,2i,, , 35 ,1, ,1,1, 1 , ,1,1, 1, . 352i12 42iS,1,11,11,. 31 3,C1;i,C1;i1,2,2i.2i1KKKKCKA.1證明:因?yàn)?, , 1 , B的任何子集FA.3 2i1 1 所以有BFA,而BcC,故CFA,又FA.1 1 1任取B的一子集A,A AFA,且A CFA.1 1顯SAA的確是一個(gè)域.(1)cSScA,且A,若K,則AcA C(BA是B的子,故Ac CccCccCcAcB.CccBA.顯然是B的子集,所以A

A CF又若An為B的子集KnC或.則A

K

AK AK

A K.nn1

n

n n1 nA

AnK K Cn

B是BKn1

或.所以Ann1

KA.nA中除B的子集外,還有Sn

Ann1

KSA.nA中有An n1

B.A是域,且FAA.1證畢.對(duì)于SAA的示性函數(shù)為

x1 xA0 x0 x）liminfA

xliminfA

x（2）limsupA

n xlimsupA

xn n證明：xS，若xliminfAn

x則liminf

x1。且只有有限個(gè)n，使得xAnnn所以 n0

0 使得 nn0

時(shí)xAn從而有 An

x1故liminfA

x1liminfA

xn nxliminfA

x，則liminfA

x0 且有無(wú)限個(gè)nk

N.k故limk

n nx0Ak所以liminfA

x0liminfA

x.n n故（1）成立.（2）的證明： xS，若xlimsupAn

x則liminfAn

x1.且有無(wú)窮個(gè)nk

N.k

xA使得n使得

， 1nk所以limk

x1 注意到0Ak

x1Ak所以limsupAn

x1limsupAn

x.xlimsupAn

x，則

0limsupAxn且只有有限個(gè)n使得xAn所以 n0

0 使得 nn0

時(shí)xAn

， x0An所以limsupAn

x0limsupAn

x.所以（2）也成立.也可以這樣證：注意ARn Ac

x1A

x.limsupAn

xlimsup

xcAcliminfAc

x

n1nliminfAcn

xn1liminfAcn

x .x1limsupxAcn

1Acn

x

limsupAn

x設(shè)f(x)是定義于E1）E;fxa

1E x; 1n1

n2）E;fxa

E x;f x a 1n1

n0

E;fxa 我們有f

a，故存在nN 使0fx00

a1n（因?yàn)閚1n

fx0

a）所以x0

n1

E

;fxa1.n從而有E;fxa

E x;f x a 1n1

n反過來(lái)：若x0

n1

E

;fxa1，則nn1,使n,fx0

a

1an00xE;fxa0n1

Ex;

x

a1Ex; n

x

a所以（1）成立.下證（2） 0

E;fxa 我們有fx0

aa1Nn所以x

1 0 Ex;

x an

N 1故xE x; 10 n1

n從而有E;fxa

E x;f x a 1n1

n反過來(lái)，若x0

n1

E

;fxa1n若實(shí)函數(shù)序列在Efx，則對(duì)于任意常數(shù)a都有nEx;

xa

k

liminfEx;f

xa1k

k

liminfEx;f

xa1k證明：先證第一個(gè)等式8liminfEx;fliminfE xliminfE x;f x a1 ;f x k1nkE xkm1imi所以

xa1k

xa1 m1i m1imEx;f

a1k00xE;fxa 我們有f00

aa1 對(duì)N成立。k又條件xE,limn

fxfx，有n n

fxn

fx0故對(duì)N，mmk，使得 im 時(shí)，，這表明x

;f

xa10km1im

Ex i

k.E;fxa

km1im

iE;fi

xa1k反過來(lái) x0

km1im

iEx;fi

xa1k

， 我們知對(duì)

kN，mm，使得im 時(shí)， fi

xa1.0 k令 i， 得 fx0再令 k，得 fx0

a1ka ，所以x0

E;fxa ，從而故（1）成立。下證第二個(gè)等式，一樣有

liminfE x;f x aliminfE x;f x a1 knkE x;f x km1imik00xE;fxa 我們有 f00

a故對(duì)N， mmk， im 時(shí)，fxfx1,即fx

fx1a1.i 0 0 k i 0

0 k k因?yàn)閤0

km1im

iEx;fi

x

a1k.所以Ex;

xa

km1im

E;

xa1i k反過來(lái)x0

km1im

iEx;fi

xa1k

我們知對(duì)Nmmk，使得 im 時(shí)，fi

xa10 k

，令 i，，利用條件limfi

xfx0

，有fx0

a1k

，再令k，得fx0

a，所以x0

E;fxa ，所以 km1im

Ex;

x

a1Ex; k

x

a故（2）得證。注意：實(shí)際上有：對(duì)E撒謊能夠任何實(shí)函數(shù)列fn

x有x;limfn

x

x

km1im

Ex;

xf

x

1.k習(xí)題二（p18）用解析式給出和之間的一個(gè)11對(duì)應(yīng)。，令xtan2

x ，則x，且'x 21

x

0，故嚴(yán)格單調(diào)于lim，x12 2 所以xtan2

x 為和之間的一個(gè)11對(duì)應(yīng)。證明只需ab就有a,b~。a,b，令x應(yīng)。

xa，則x0,1，且顯然為11對(duì)xb2.面上的點(diǎn)所作成對(duì)等的，進(jìn)而證明平面上的任何非空的開集（集的定義見數(shù)學(xué)分析或本書第二章）平面上的點(diǎn)所作成的點(diǎn)集對(duì)等。平面上一個(gè)開圓第三章習(xí)題證明平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)構(gòu)成一可數(shù)集合。證明：將全體有理數(shù)排成一列r,r r ，則平面上的有理點(diǎn)1 2 n QQr,s;rQ,s

Aj

Aj

r,r;i1,2, ni j

為可列集，Aj

的并QQ

Aj

（第20頁(yè)定理。證明：設(shè)這里為某指標(biāo)集。則我們可在任意I

r

，與之對(duì)應(yīng)，從而給出一個(gè)對(duì)應(yīng)，AQI r 由于I的.

互不相交，當(dāng)，顯然r

r，故上述對(duì)應(yīng)是11AA的勢(shì)最多與Q會(huì)超過Q的勢(shì)，A證明：我們稱系數(shù)為有理的多項(xiàng)式為有理多項(xiàng)式任取非負(fù)整數(shù)n，全體n階有理多項(xiàng)式的集合的勢(shì)是.0事實(shí)上， n階有理數(shù)X x

axi,

Q令a

a11的，n i ii0即

1 2 nm,QQm

QQm的勢(shì)是0

，這是因?yàn)橛傻谝活}：已知Q2QQ是可數(shù)集，利用歸納法，設(shè)QkQQ Q是可數(shù)集，k待證QkQQk是可數(shù)集，.將Q中的點(diǎn)排成一列, ,1 2 m

，將Qk中的點(diǎn)排成一列l(wèi)l,l,l，m則Qk1

QQk

Aj

Aj

,li

i,j1,2,3,

顯然為可數(shù)集，故QkAn0,n階有理多項(xiàng)式全體是一可數(shù)集，jjn0fx是fx個(gè).證明：我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中知道,上的單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，只能是跳躍間斷點(diǎn)，其任取,上的單調(diào)函數(shù)fx，設(shè)其可能的間斷點(diǎn)為A

; 為某指標(biāo)集，在x

A ，令limfxy

,limfxy

,y

y

故AR1上的開區(qū)間xx xx y,y

與之對(duì)應(yīng). 不妨設(shè)x

x0使x

x

x

,x

,x

fxfy

lim

fxy

y

limfx，

xx

xx所以y

,y

y,y

..fxA與R1上的一族互不相交的開區(qū)間11對(duì)應(yīng)，而后者的勢(shì)為0

，故fx的間斷點(diǎn)至多為可數(shù)多個(gè).A是一無(wú)窮集合，證明必有A~AA證明：若A 為可數(shù)集，則不妨設(shè)A;in ，令in,n,.

;in ，則A~A，且AAa2i1

,i顯然仍為可數(shù)集，故此時(shí)結(jié)論成立.AP191A子集B，令A(yù)B，則由于AAB是無(wú)窮集.由P217BABA.證畢A為一可數(shù)集合，則A證明：由第一，第三題的證明已知mNQQQQm（Q為有理m數(shù)集）.由于A是可數(shù)集，故m個(gè)由全體A中的一個(gè)元素組成的集合AaN，

是可數(shù)集.1 1A

,

a,

N2A是可數(shù)集若A ,a, ,a

2A,i

1 2 1 2 2m 1 2 m iA中的m個(gè)元素組成的子集全體，則Am

mNN NNm故是可數(shù)集.A

Am1

A為可數(shù)集，故mm1

A作為可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并也是可數(shù)集.m注意：A的全體子集構(gòu)成的集合不是可數(shù)集.A是有非蛻化的（即左，右端點(diǎn)不相等的）數(shù)無(wú)窮集合，則有0A中無(wú)窮多個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度大于.證明：設(shè)A;I 記I 的長(zhǎng)度為I . NII1 2

I Imn

1,n記AI,In 1 2

IA中的區(qū)間都是非蛻化的，I

A,I

0，AAn1

I;I An

是有限集，故作為可數(shù)個(gè)可數(shù)集的并，A也是可數(shù)集，這與A是不可數(shù)無(wú)窮集矛盾.故0,A中有無(wú)窮多個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度大于0A中有不可數(shù)無(wú)窮多個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度大于.如果空間中的長(zhǎng)方形Iyz;a1

xa,b2 1

yb,c2 1

zc2

a,

,b,

,c,

aa,b

b,

c都是有理數(shù)，則稱I為有理長(zhǎng)方形，1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2證明全體有理長(zhǎng)方形構(gòu)成一可數(shù)集合.證明由前面題中已知QmQQ Q是可數(shù)（Q為有理數(shù)組m成的集合）設(shè) AI為有理長(zhǎng)方 ， 任 取Iy,za1

xa,b2 1

yb,c2 1

zc2

A

， 記 之 為I ,a,a,b,b

,c,

Q6.,a2,c2 1 2

2 1 2與之對(duì)應(yīng)，由于兩有理長(zhǎng)方形I ,I 相等,a2,c2 ,a2,c2aa,

a,b

b

b,

c,

c，故上述對(duì)應(yīng)是單射，1 1

2 1 1

2 1 1 2 2故A與Q6這一可數(shù)集的一個(gè)子集Q 11對(duì)應(yīng).

0r1111,

rQ與Q顯然11對(duì)應(yīng)，故Q6與I

0r1111,

rQ11對(duì)應(yīng)AQ6對(duì)等所以Q6AAQ6對(duì)等所以A是可數(shù)集.P25習(xí)題證明,r,n.證明：記上的全體有理數(shù)的集合為Q,r,n.1 2R.0,1全體無(wú)理數(shù)的集合為R，則0,1R.R由于Q是一可數(shù)集合，R顯然是無(wú)窮集合（否則0,1為可數(shù)集，QR是可數(shù)集，得矛盾）.RR.故從P217RR.所以RR證明全體代數(shù)數(shù)（即整系數(shù)多項(xiàng)式的零點(diǎn)）而證明必存在超越數(shù)（即非代數(shù)數(shù)證明：記全體整系數(shù)多項(xiàng)式的全體的集合為Pz

，全體有理多項(xiàng)式的集合為P.Q則上節(jié)習(xí)題3，已知

PP

至多是可數(shù)集，QP Pz Q

z Q z而P顯然為無(wú)窮集合，故Pz

Pz

Pz,Pz,m.任取一fP,m0,有fP .z z,mf的不同零點(diǎn)至多有mfPz,m

的零點(diǎn)的并至多為無(wú)數(shù).（fPz,m

;fzm0fPz,m

z;fz0也是至多可數(shù)集.又n是可數(shù)集，nx10x1.n帶市數(shù)顯然有無(wú)窮個(gè)，故全體代數(shù)數(shù)之集為一可數(shù)集.證明如果a是可數(shù)基數(shù)，則2ac.證明：一方面對(duì)于正整數(shù)NAA的示性函數(shù)n

n1 當(dāng)nAAA n 0 當(dāng)nAA2N 2NAN的子集所構(gòu)成的集JAxA

1,A

2JAx0,1JAJB，則A

nB

n,nAB（否則0

n0

BA

10

n0）0故2N與的一個(gè)子集對(duì)等（2N0,1）0,1Ax

r;rx,rR0（這里R0

為0,1中的全體有理數(shù)組成的集合）xyxy0,1AAx yA是Rx

這一與N故與R0

的全體子集組成的集合的一個(gè)子集對(duì)等（0,1R0

的全體子集組成集的勢(shì)，即0,2N也就與2N2N由Berrstein2N所以2ac.證明如果A Bc，則B中至少一個(gè)為c證明：EA Bc，故不妨認(rèn)為Ey;0xyB為E的子集.若存在x0x1AEx

x,y;0y1.則由于E c（顯然E 0,1）x xB知AcAE,AEc由BerrsreinAc.B知若x,0x1,Ex

A，則從Ex

EAB E B y;0yx所以x,yx

B，則顯然yx

x具有勢(shì)c故易知cBEc由Berrsrein定理Bc證畢設(shè)F是上全體實(shí)函數(shù)所構(gòu)成的集合，證明F2c證明：0,1的子集A，作A的示性函數(shù)0 x x0 xA 則映射A

x上全體實(shí)函數(shù)AA使得A成立

xB

x,x則必有AB所以與F反過來(lái)，任取fxF，A fA是f在R2中的圖象，f f是R2且若f,gF，使A Af g則fA Af g表明t1

使,f1

,gt1tt,fg,t1故fg.0,1所以F與R2的全體子集所組成的集合的一個(gè)子集對(duì)等，故從0,1知F2R220,1即F與所以由Berstein定理F20,12c.第二章習(xí)題p0

E'p0

的鄰域Np0

,

不一定以p為中心）p0

p1

屬于E（事實(shí)上這樣的p1

其實(shí)還是有無(wú)窮多個(gè)）而p為E的內(nèi)點(diǎn)的充要條件則上有含有 p的鄰域0 0Np0

,（同樣，不一定以p0

為中心）存在，使Np0

,E.證明：先設(shè)p0

E'，則0,Np0

, E中有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)。現(xiàn)在設(shè)pNp0

,，這表明0p,p0

，故yNp0

,，有y,py,p0

p0

,pNp0Np0

,Np,, Ep0

p1

Np0

,Np,p0Np,p的E中的點(diǎn).0

, EpE0E

是無(wú)窮集，p0則0，

的鄰域Np,中，恒有異于p0

p1

屬于E，Np,中，有異于p0

p1

屬于E，記p,

，則顯然1 0 1 1由條件Np,0 1

中有異于p0

p2

E，p,p2 0

2 1由歸納法易知，有np p,n1,2,n 0

,

n1 n

和pE1 n

，NpNp,0這表明Np0

,中有無(wú)窮個(gè)E中的點(diǎn).由0x0

E'p為E的內(nèi)點(diǎn)，則0,使Np0

,E，故必要性是顯然的.若存在鄰域Np,E，使p0

Np,，則從前面的證明知Np0

,p0

,pNp,E，故p0

為E設(shè)RnE是上的全部有理點(diǎn)，求EE.1 1 10,Nx,xx中有無(wú)窮個(gè)E中的點(diǎn)，故xE'，故0,1E'.1 1 1，必有0，使Nx0

,，故x0

E'1故E'，所以E'1 1表明E'1E0,1EE0,1E0,11 11 1故E'E

0,1.1 1設(shè)RnR2是普通的xy平面E2

yx2y2，求E2

',E.2E2

'yx2y2p0

x,y0

E2

'fxyx2y2是R2上的連續(xù)函數(shù)，必存在0，使x,yNp0

,fxyx2y21.Np0

, E2

p0

不是E2

'中的點(diǎn)矛盾.x2y0

21p0

x,y;x2y21p0

x,y0

x,y;x2y21txx2tyy20 0 0 0則txx2tyy20 0 0 00 0t2x2t2x2y20 0x2y20 0x2y20 0ft是x2y20 0

1，f0，01，f

現(xiàn)在任取0,0min，使Np0

,Np0

,.由上面的結(jié)論，存在0t

1f

1.故tp

滿足（1）tp 0

p2）t0

p t p t0 0

p t0

1.故tpE 0 2（3）

p,p0

，故t

pNp0

,所以t

pNp0

, E2

p01pEEE'2 2

E'，所以E2 2

'x,y;x2y21.而EE'2 2

yx2y2

sin1

x0設(shè)RnR2是普通的xyE3

是函數(shù)y x 0

x

的圖形上的點(diǎn)所作成的集合，求E'.3x,fx;xR',

x,sin1;xR1

0,0. 下證E'E

3 x 3 3px,yE'存在px,yEx,y，0 0 0 3 n n n 3 0 0px,yn n

p0

xx,yn 0

y，p,p0 n

0設(shè)px,y

E'，則存在x,y

,

使

x,y y0 0 0 3

n n 3 0 0

n 0 n 0x0，則x0

0（當(dāng)n充分大）則y sin1yn x n

sin1x0所以x,y0 0

E3x0，則x0

0，yn

sin1yx n

，1y10所以x,y0 0

故E'E30

x,y0

3E ，3x0y0

sin1，x0故存在x x，使x 0，x xn 0 n n 0從而sin1xn

sin1x0即存在x

,sin

1x,yn x 0 0n故pE'.0 3py0

則從y知存在x使sinx y，0 0 0 0令x k

1 0,k1,2,2kx.0.則sin1sin2k

sinx y，xk所以x

,sin

0 0 0 1E,x,sin10,y

，x,

0,yk x 3 k xk k

0 k 0 0x,yk

0,y0故pE'0 3故結(jié)論成立.證明當(dāng)E是RnE'證明：記B為E的孤立點(diǎn)集，則EBE'BE'B.所以EBE'B.若能證明B是至多可數(shù)集則若E'是有限集或可列集知E' BE為至多可數(shù)集，這將與E是Rn故只用證E的孤立點(diǎn)集B是至多可數(shù)集pB，NNp,

0使Np,

Epp故p p

Rn

BRn

中的一個(gè)互不相交的開球鄰域組成的集的11對(duì)應(yīng).而任一互不相交開球鄰域作成的集合A

,是可數(shù)的，因?yàn)槿稳。∮欣睃c(diǎn)pA

，則從A

A ,則

,與Q11對(duì)應(yīng)故證畢

,是至多可數(shù)集.第二章第二節(jié)習(xí)題證明點(diǎn)集F為閉集的充要條件是FF.證明：因?yàn)镕F F'，若F為閉集，則F'FF'FFF'FFFF故FF反過來(lái)，若FF F'F，則必有F'F從而F為閉集.fx是上的實(shí)值連續(xù)函數(shù)，證明對(duì)于任意常數(shù)a，x;fxa都是開集，x;fxa都是閉集.證明：任取常數(shù)a，若x0

x;fxa，則fx0

a，由于fx連續(xù)， 0，a,x0xN,0

a,

x;fxa.這表明x;fxa是開集.任取常數(shù)a，若xn

fxxn

xfx0

a和fx連續(xù)知fxlimfx

a0 n n故xx;fxa0這表明;fx';fx.故fx3.證明任何鄰域Np,Np,p';p',p（N通常稱為一閉鄰域）0

Np,，則0 p0

,pNp0

,，pp0

p0

,pNp0

,Np,.Np, p p'; p',p,pp';p',p且 n n則p0,ppn n p,pp,pp,pp,p. 令n得 p,p0.故p';p',p'p';p',p.表明p';p',p是閉集.又pp';p',p令x p11p， kpkp11 1p 1kkk則

,p

p,p11.k kxk

,p

1p0k故xNp,x pk k這表明p';p',pNp,'而Np,p';p',p

Np,故Np,p';p',pp';p',pNp,都是這表明Np,p';p',p.都是4.設(shè)是一有限閉區(qū)間，F(xiàn)n

的閉子集，證明如果Fn1

，則必有正整數(shù)N，使

NFn1

.證明：令Sn

nFi1

，則顯知

Fn1

Sn1

，且S S S nFin為閉集，故Si

也為閉集.NFSNFSnN

n1

.反證，設(shè)n,Sn

，則xSn n

，由于是有限閉區(qū)間，xn

是有界點(diǎn)列，若,n為無(wú)限集合，則由聚點(diǎn)原理n

的子列x x,xn n 0 0k kS n由于S S n1 2故任取mN,k充分大時(shí)x Sn n

S ，又m

為閉集，且xm

xS0 mk k k由mx0

Sm1

Fm1

得矛盾.若xn

,n為有限集合，則n，當(dāng)n0

maxn0

mxn

xS0

S ，m故xS0 m1

Fm1

得矛盾.所以 N，使得SN證畢.

NFn1

.設(shè)ERnE的開鄰域，則有中的(或有限)多個(gè)鄰域N,N, N , ，它們也完全覆蓋了E（Lindelof定理）1 2 m證明：設(shè)

;,為某指標(biāo)集，則E

I .xE, x

，使得xI .x由于I

是開集，x

0使Nx,

I .x 由有理點(diǎn)在Rn的稠密性易知，存在有理點(diǎn)ax

Qn和有理數(shù)rx

0，使xN,rx x

Nx,

Ix

，而Rn中全體以有理點(diǎn)為心，有理數(shù)為半徑的球作成集合與QnQ的一個(gè)子集對(duì)等，故這些Na,rx x一個(gè)可數(shù)集，從而相應(yīng)的

;xE至多是x而這些而這些xIx

;x

顯然為E的一個(gè)開覆蓋，因?yàn)镋

Na,rx x

Ix因?yàn)槊恳粋€(gè)上述Nrx x使

包含在某個(gè)I

中，故存在至多可數(shù)個(gè)Ii

M，I;i成為E的一個(gè)開覆蓋.ii1i,x ,cii1i,x ,cix di,j1,2,3,,nnjjj

In的形式，其中In p;px,x,i 1 2（注意這里并為要求

n互不相交）i設(shè)G為Rn中的任意開集，則x0

G，由開集的定義，一個(gè)球形鄰域Nx,

G

0，令I(lǐng)

xx,x,

,x;x

x

0nx x0n

2 n 0j

0j 0n則顯然x0nI，II，Ix x

Nx0

, G，且G I

G.故G

xG

顯然是開區(qū)間，也是開集，xG為Gx由本節(jié)習(xí)題5，中的至多可數(shù)個(gè)I,I,I, ,I, 完全覆蓋了G1 2 3 n所以G

Ii1

G.所以G

Ii1

Ii故本題結(jié)論得證.試根據(jù)Borel有限覆蓋定理證明Bolzano-Weierstrass證明：反證，設(shè)E為有限無(wú)窮點(diǎn)集而無(wú)聚點(diǎn)，則E'，從而E'E，故EpE，都是E的孤立點(diǎn).故p

0使Np,

E，所以Ep

pE

Np, pp, 形成E的一個(gè)開覆蓋，由于E為有界閉集，由Borelp蓋定理，有限個(gè)Np, mNmN, mEi pN p,mmi1.i ppiEE

,N,m

，使E mNmNp,iii1

i1ii

i i1前已知N

p,i pi

E p .i故E

mp為一有限集合，這與E為有界無(wú)窮集矛盾.ii1證明Rn中任意非空開集的基數(shù)都是c.證明：開集URn，顯從URn知URnc.

U,0,N

,U，N

,c，0 0 0故UNx,c.0所以BerrsteinUc證畢證明對(duì)任意ERnE都是Rn中包含E證明：任取ERn，設(shè)F是包含E的人一閉集，則EFE'F'所以EE E'F F'F，因?yàn)镕為閉集所以E'F'F，所以E是Rn中包含E對(duì)于 R1 定義的實(shí)函數(shù) fx ，Wf,xlim0

sup f x' limx'x'x x'

inf x'x

證明：對(duì)任意的fxfx的全體不連續(xù)點(diǎn)作成一F集.單調(diào)下降趨于

時(shí)，sup fx'x

x'也單調(diào)下降趨于某極限（有限或無(wú)限）而inf f

x'單調(diào)上升地趨于某極限.x'x故Wf,xlimsup f

x'lim inf f

x'是有確切定義的（可為無(wú)限值）0x'x

x'xfx在xx0

連續(xù)Wfx0

0.證：先設(shè)Wfx0

0，則0,0

0使0時(shí)0 sup x'x

x' inf f x' x'x所以y滿足yx0

時(shí)fyfx0

sup fx'inf fx'x'x x'xf在x處連續(xù).0fx在xx0

處連續(xù)，則0,0

,x0

0，yx0

0

fyfx0

又0

,x0

，y

',y

'',y

'x0

,y

''x 0且sup f

x'

y',f

y

inf f

x'x'x

x'x所以sup f

x' fx0

f

y' fx

x'x

inf f x'x

f x f x f y'' 0 0 不等式相加得 sup x'x

x' inf f x'x

220lim

sup

x'

inf

x' 0

x'x

x'x即0Wfx0

4,0任意.所以Wfx0

0為證fx0

為閉集，只用證fx0

為開集.f,x0

必有Wfx0所以存在0

x0

,0使0,0

時(shí)，supfinf f

W,

xNx0

Nx0

0 2N

x，由三角不等式，則N0

yN

x.02 2故W

f,N2

yWf,N

x0所以Wfy

W f,N

y02這說明N2

xf,x0故fx是開集，從而fxfx在x不連續(xù)的充要條件是Wfx0.所以使x不連續(xù)的點(diǎn)集為表為F

x;Wf,x1.k k.由于kx;Wfx

1是閉集，故F為一F集. kf連續(xù)的點(diǎn)集是Fc

x;Wf,x1這是一個(gè)G

集合.

k kx1）對(duì)f:RnR1Wf,xx理解為Rn中的距離x';x.,.立，（2）若f 是Rn中的開集，G到R1的函數(shù)，則同樣可定義Wf,G，因?yàn)楫?dāng)xG,Wf,xG;Wfxf

xG;Wf,x1k kf

x;Wf,x1.k k.x;x,x, ,xn 1 2 nERnx;x,x, ,xn 1 2 n1 2證明當(dāng)E為開集，0,p0E，則 0E，使p00E開集，0E，故0，使N0,E.則yN0

yyyy而 yy0

y001

.yN

,Ey

yE這表明N0

E，故E為開集.若E為閉集0則E為單點(diǎn)集.當(dāng)然是閉集若0，則pn

E,pn

pp0

,n

E,pn

,pn

p表明00np p0nn

，而

為閉集， p0n 0

E，從而0p p00

.這說明E

E.從而得知E為閉集.fp是定義于Rnfp在Rn上連續(xù)的充要R1Gf

p;fpG都是R1中的開集.fRnR1G為任一R1中開集.f1Gfp0

G，由G為開集知，0，使Nfp0

,G對(duì)上述0,,p0

0yNp0

,時(shí)fyfp0

fyNfp0

,GyfG.這說明Np0

,f1G故f1G為開集.R1G,f1G0,Nfp0

,是R1中的開集.故f1fp,pf1fp,0 0 0fp0

,Nfp0

,所以yNp0

,fyNfp0

,.fyfp0

fp連續(xù)0證畢limRnfP稱為是下半連續(xù)的，若對(duì)任意PlimfPliminffQ

fQ，證明fP下半連續(xù)等價(jià)于對(duì)任意的QP 0 P,Q實(shí)數(shù);fP都是RnfP是RnfR1，若P0

P;fP.則fPlimf0

0 020fP20fP02，,

0使f

inffQ0 0所以NP,，有fPinffQfy.

NP00 0 所以NP,P;fP.0

NP0故fP（從而fP為閉集）f在RnP0

Rn,0，,p0

0.當(dāng)PNP,fPfP.0 0反過來(lái)，若1,;fx為開集.則P0

Rn,0,P0

fxfP0

由于fPfP是開集.0所以P,0使PNP,fPfP0 0QNP,有fPfP

0在Rn上下連續(xù)，故一個(gè)等價(jià)性得0 0而f在Rn上下連續(xù)1,;fP是閉集;fP是開集.下證1,;fPP,y;PRn,fP為閉集.先設(shè)fP為閉集，任意.所以P,yn n

yPRn;fPn

yn

Pn

P,y0

y.0所以0,N當(dāng)nNyn

y .0故P;fPyn

而PPn

P;fPy0

所以fP0

y0

，0故fPy.0 0這表明P,y

yPRn;fP0 0若yPRnfP是閉集，而Pn

P;fP,PPn 0則P,yPRn;fPP,P,.n n 0因?yàn)閥PRn;fP為閉集，故P,yPRn;fP0fP.0這說明P0

P;fP故fP得證.設(shè)B 是Rn 中的有界閉集，01 ，證明x, xx, x有1 2 ny,y, ,

A,z,z, ,

B，使xyz,i為有界閉.1 2 n

1 2 n

i i iB,x x,xx2x21 2x2MnB,x x,xx2x21 2x2MnxA特別地 xi

M.AB，有AB使xyi

zi

，故xyz.故xyzyzMMM.所以01AB為證A1B為閉集，設(shè)xn

AB，xn

x，0則yn

A,zn

B使xn

yn

1z.nBxn

AB，yn

B，由聚點(diǎn)原理， ny的子列y 使ynn nk

y，z0

有子列znkl

使z z，xn 0 nkl kl

有子列xnklixnx

x0

izn n nkli kli kli所以x0

y0

z0

，而A,B為閉集，故y0

A,z0

B.從而有x AB0這說明ABB不全是有界閉集時(shí)，AB可不為閉集，在R2上考慮Ax,yyx0,,y1 xBn,0;n1,2,B是全由孤立點(diǎn)組成的集合，顯然為閉集，但無(wú)界.任取x,yn n

A，若xyn n

x,y0

R1，x,y0

yn

1y知x0x 0 0n所以x0

0,y 10 x0這說明x,y0 0

A，故A為閉集合，顯然x0

時(shí)，y1，故A無(wú)界.x1A1B2 2取n,0B,n,1A n n則p

1n,01n,1

11

A1B.n 2 2 n 2n 2 2 pn

，但12

A1B.2因?yàn)槿?

A1B，則n

,0B,

,1A使2 2 0 0 x0

1 1 1x,

,02 0 x 2 00故xn0

10得矛盾x0所以12

A1B不是閉集.2第二章第三章習(xí)題證明由x組成的實(shí)數(shù)序列的全體作成一基數(shù)為c是c.證明：設(shè)xn

10x，nx an n1n2表示法是唯一的（如舊書上P244）xaa1 111213xaa2 212223x0.aaa3 313233x a an n1n2n3對(duì)這樣的序列，取x0.aaaaaaa

0,1與之對(duì)應(yīng)，這種對(duì)于顯然是11對(duì)應(yīng)的.

11

2131

221314即若xyxn

x,yn

y則xn

yn

即xn

y.n反過來(lái)任取x0.aaa

0,1可用相應(yīng)的方式作出一序列x

0,1123 n故我們已證明0,1開區(qū)間中的實(shí)數(shù)x組成的實(shí)數(shù)序列的全體與0,1對(duì)等，從而具有勢(shì)c.而R1與為相應(yīng)的一個(gè)11R1與中所組成的序列在下實(shí)現(xiàn)11對(duì)應(yīng).故全體實(shí)數(shù)列所作成的集合的勢(shì)也是c證明區(qū)間c，同樣上的左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的全體所作成的集合的基數(shù)是c.證明：記a,b上的常數(shù)函數(shù)的集合為Ca,b，因?yàn)閍,b都是a,b上的連續(xù)函數(shù)，所以R1與Ca,b所以CR1c，其次對(duì)每個(gè)Ca,b，我們?nèi)∫粋€(gè)平面有理點(diǎn)集合QQQ2f如下：fQQ;sa,b,tf是從Ca,b到Q2ff，則必有.事實(shí)上從QQsa,b,tQQsa,b,t若，則存在x0

a,b,x0

x.0不妨設(shè)x0

x.0則由連續(xù)和有理數(shù)的稠密性知，0使x0

,x0

有xx.x0

,x0

Q有r.取定一個(gè)r0

x0

,x0

Q，任取一個(gè)tQ，且r0

tr0則,tf,tQ2t0 0 0但r0

,tfff故于a,bfCa,bN,2QN,2Q22N.

2Q2是單射由習(xí)題第一章第二節(jié)有2Nc知Cbc，故由Berstein 定理知Ca,bc.下證：a,b上全體單調(diào)函數(shù)所作成的集合的勢(shì)是c.a,b上的一個(gè)單調(diào)函數(shù)fai

ai可為0）故可令fi從而建立了a,b上單調(diào)函數(shù)到全體實(shí)數(shù)序列的一個(gè)對(duì)應(yīng).設(shè)b中全體有理數(shù)的集合為

,r,r,r,na,b上的單調(diào)函數(shù)，設(shè)其至多可列個(gè)間斷點(diǎn)為或n=1,2,nfx或n=1,2,nfnfx，當(dāng)n時(shí)，令f f fa,fx,fxfx,fxf1 1 1 2 22x,fx,frn n n當(dāng)n時(shí)，令f

f f,fb,x,fxfx,fxf1 1 1 2 2 2

x ,f xn nf

,f rnf若f,g為a,b上兩單調(diào)函數(shù)對(duì)應(yīng)之fgf與g的間斷點(diǎn)重合，在間斷點(diǎn)的值也重合，在ab下證a,b,fxgx由于faga,fbgb,frn

grn

且兩函數(shù)的間斷點(diǎn)重合，且在間斷點(diǎn)的值相等，故兩函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)也重合，又注意兩函數(shù)在有理點(diǎn)的值也重合，故f,g的共同連續(xù)點(diǎn)x0

a,b，必有a,b中的有理數(shù)rxn 0f

lim

fx

limg

gx0

n n n 0這說明fg于a,b.由此b上全體單調(diào)函數(shù)的集合的勢(shì)（全體實(shí)數(shù)列的集合的勢(shì)c另一方面，cR1fxc于bfb上全體單調(diào)函數(shù)的集合的勢(shì)R1c由Berstein 定理知，可知b上全體單調(diào)函數(shù)的集合的勢(shì)為c.當(dāng)然a,b上全體左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的集合的勢(shì)不大于a,b上全體單調(diào)函數(shù)所作成的集合的勢(shì).c1fxc于a,bfa,b上左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的集合的勢(shì)不小于R1c.從而由Berstein定理知a,b上左連續(xù)的單調(diào)函數(shù)的集合的勢(shì)為c.P25第四節(jié)習(xí)題G

集，即不能表成可數(shù)多個(gè)開集的交.證明：設(shè)R1上全體有理數(shù)為

r, r, Q.n1 2 3則一個(gè)Q

是FQ不是Gn集，則不容易.

i1 i Baire定理，設(shè)ERn是F

集，即E

F.F.k是閉集，若每個(gè)Fk

皆無(wú)內(nèi)點(diǎn)，則E也無(wú)內(nèi)點(diǎn)（最后再證之）為G反證設(shè)Q;i為Gi）

集，即Q

Gi1

（Gi

為開集，i1,2,R1上的單調(diào)函數(shù)的全體所組成的集合的勢(shì)為c.證明：任取R1f，則其間斷點(diǎn)至多可數(shù)個(gè)，設(shè)其無(wú)理數(shù)的間斷點(diǎn)，為x,x1 2

, ,xm

, （可為有限）r, n令設(shè)Rr, n令f,f

1 2,fx,f,fx,fR2.i i i i1 1 1 1則f為R2若f,g ，使fg，則x,f

f存在

,g

gxi j 使,fx,xi j i i j j所以xx,fxgi j i j從而x

Q,frgr.i i i的無(wú)理數(shù)間斷點(diǎn)xxi i

也是g的無(wú)理數(shù)間斷點(diǎn)，且gxi

fx.ixi

f，的無(wú)理數(shù)間斷點(diǎn)，且gxi

fx.i故fgfgfg于R1，所以是11的.利用下面結(jié)論：Claim ：任何其有連續(xù)勢(shì)的集合的全體可數(shù)子集所成的族的勢(shì)為連續(xù).知：c.另一方面cfxxc,c0,1c證畢.Y.Lemma X,Y:XYYXXAY.證明：因?yàn)閅,1yxX,xyzYyz時(shí)必有1y1z.令1y;yY，則由選擇公理存在一個(gè)集合X，它由中每一個(gè)集合1yXXaX，存在唯一一個(gè)yY，使a1y.X與Y是對(duì)等的，故YX證畢.選擇公理：若X證明上全體無(wú)理數(shù)所作成的集合不是F集.證明：設(shè)0,上全體無(wú)理數(shù)所作成的集合是，則0,Q（Q為R上全體有理數(shù)的集合）若為F

集，則存在閉集Fi1,2,使使F.i

i1所以cQ

Fc為G集.i1 i F F

FF i1 i

i1 i

kk k i k所以Fi

無(wú)內(nèi)點(diǎn).這說明無(wú)內(nèi)點(diǎn)（Baire定理）證畢.證明不可能有在連續(xù)的實(shí)函數(shù).證明：若存在這樣的0,1上的實(shí)函數(shù)，它在有理點(diǎn)都連續(xù)，在無(wú)理點(diǎn)都不連續(xù).fx的全體不連續(xù)點(diǎn)的集合為0,1上的全體無(wú)理數(shù)為，由本章第二節(jié)習(xí)題10結(jié)論知為F集，這于本節(jié)習(xí)題2的結(jié)論不是F

集矛盾.故不存在這樣的0,1上的函數(shù).證明R1中全體開集構(gòu)成一基數(shù)為cR1成一基數(shù)為c的集合.證明：對(duì)任意的R1上開集合，由開集的構(gòu)造定理，存在,,,

R1, ,.i1i i,0,.m, ,0,.m, ,.i1i i若GR1，則令I(lǐng)G

k,k

,,,1 1

,,2這里k ，若 ,k 0；若 k ；若 ,k 0； 若 則這個(gè)映射I是單.若G,G R1 GR1,G R2且I

IG., ,i1i iG','i ii1' ',2則 ', ',','. i i i i故GG.1 2又若IG0,0, 0, 則必有GR（否則IG至少有一個(gè)分量不等零）.故I是單射，所以R1上全體開集所作成的集合的勢(shì)c令一方面，a1,a,a是一開集，令I(lǐng):R1 R1上全體開集之集合，則cR1上全體開集之集的勢(shì)”c，由BerstreinR1上全體開集之集合的勢(shì)為c.證：記可數(shù)集Bx,r;xQn,rQ1Bx,r, ,Bxm,r, .1 m顯:u0,a,a, a, ;a UBx,r

1 2 m mBx,r ,a, a, 1 2 m1 Bxm,rUUca Ucam 0 B xm,rmUVBx,rU,x,rQnQ

Bx,rV所以UV.所以c

x,rrRc. 由Berstein 定理 FFRn為閉集 FcFRn為閉集c.故I是單射，所以R1上全體開集所作成的集合的勢(shì)c另一方面，a1,a,a是一開集令I(lǐng):R1 R1上全體開集的集合則cR1上全體開集的集合的勢(shì)”c，由BersteinR1上全體開集的集合的勢(shì)為c第二章第五節(jié)習(xí)題：設(shè)E0,U是所有到E的距離小于dp作成的點(diǎn)集，即UpE，則U是一開集，且UE.pE，顯然pE0dpU，從而UE.下證U為開集.pU，令dpE，則0，且NP,Einfyy取y E，使得p,y

p,E.2則qEqy

q,pp,y

p,E2 2pEdpEpEd.故qU，從而NP,U.這就證明了U為開集.證明：設(shè)F為任一閉集.n,N由本節(jié)第一題知U

p;dp,F1為開集，且F為

,，從而有Fn

U.n1 n

n n下證F

Un

U F，n

U.nn1 n1 n1pFpFc，故從F為閉集知Fc故0使NP,Fc.從 而 有 F,dp,q （ 否 則dpqqNP,FcqFc F矛盾）這說明dpFinfdpq.qFp

Un1

表明n,pUn

，從而有p,F1.n令n知pF0.這與dpF0pFp

Un1

得證.1B解：令A(yù)x,y;x0,yex,Bx,0;x1.則BAn

,e

A，若p pn

x,y，0 0則x x,exny.n 0 0n 故從ex是x的連續(xù)函數(shù)知，ex exn y

ex,p x,y,ex A 0 0 0 0 0AB 取p n,en n

n,0B，則dA,B inf p,qp,Q

en0.pA,qB n n故dAB0.nn02en020

Q0

B使0dABdp,Q.0 0則p Q，設(shè)p0 0

x0

,e

Q0

'0

p0

Q知0x xx'0.注意e00 0 01B3F

有界的限制.1 2F

Rn

開集GG1 2 1 2 1 2（不妨非空，F(xiàn)G,F

G,G

，在原定理3中假設(shè)F

有界主要用在1 1 2 2 1 2 1 2rF,F0.1 2其實(shí)只需F,F

有一個(gè)有界就行了.1 2為此先不妨設(shè)F1

1p1

F,p1

F，使2rF,Fp,p1 2 1 2若r0，則p,p0pp.1 2 1 2pp1

pF2 1

2令GppF

r,G p;p,

r 1

2 2

2 22

G,

G,GG G 2r （否則pG G,pF,pF使p,

, p,

r

1 2 2 2于是rp,Qp,p p,

r

rr，矛盾）1

2 2 2一般情形：F F

B0,i

FFF

B0,i1 i1

i1 i i 1由已證前面的結(jié)論， 開集GRn,

F，使G .i 2

i i i 2 1所以

G

G

G.ii1 i i

2 i 2G 2G 2令G

G，則顯F

F

，且G

為開集，G1證畢.

i1 i1 i 1 1 1設(shè)ERnE，證明pEp的在RnqRnpEpqE.p'Epp'pqp'p,Einfp,p'infp,qp' p'E p'E p,

infq,p' p,q q,Ep'EpEp的在Rn0，令，則當(dāng)pq時(shí)p,Ep,qEEp,qp,E從而有p,EEp,qq,p.這就證明結(jié)論（事實(shí)上Lipschitz 連續(xù)的）若Ep,無(wú)定.證明對(duì)于Rn中任意兩個(gè)不相交的非空閉集F

，都有Rn上的連續(xù)1 2函數(shù)fp，使0fp1，且在F1

上，fp0，在F2

fp1.證明：令

p,Ff p

p,

F1F

p,F2則從上一題知pF為Rni又從F F ，可知p,Fp,F0Rn.i j 1 2F,F

Rn11 2pp,QFi1,2i i i使得pFp,QpFp,Q1 1 1 2 2 2ppp,QpF.i i 2若pFpF01 2則從0,知pF0,pF01 2p,Qp,F0ipQ1QQFQQF1 2 1F得矛盾.2

2Q.2故恒有pFpF0.1 2fp是Rn又

p,

p,F .F,1

p

p,F1

p,F2

0

2p,F2

1pF2

,fp

0p,F1

0

0.第三章第一節(jié)習(xí)題證明：若E有界，則.證明：若ERn 有界，則存在一