MCM2012-A肖楠

ProblemA:TheLeavesofaTree?Howmuchdotheleavesonatreeweigh??Howmightoneestimatetheactualweightoftheleaves(orforthatmatteranyotherpartsofthetree)??Howmightoneclassifyleaves??Buildamathematicalmodeltodescribeandclassifyleaves.?Whydoleaveshavethevariousshapesthattheyhave??Dotheshapes“minimize”overlappingindividualshadowsthatarecast,soastomaximizeexposure?Doesthedistributionofleaveswithinthe“volume”ofthetreeanditsbrancheseffecttheshape??Speakingofprofiles,isleafshape(generalcharacteristics)relatedtotreeprofile/branchingstructure??Howwouldyouestimatetheleafmassofatree?Isthereacorrelationbetweentheleafmassandthesizecharacteristicsofthetree(height,mass,volumedefinedbytheprofile)?MCM2012問題-A:一棵樹的葉子

“一棵樹的葉子有多重？”怎么能估計(jì)樹的葉子（或者樹的任何其它部分）的實(shí)際重量？怎樣對葉子進(jìn)行分類？建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來對葉子進(jìn)行描述和分類。模型要考慮和回答下面的問題：

?為什么葉子具有各種形狀？

?葉子之間是要將相互重疊的部分最小化，以便可以最

大限度的接觸到陽光嗎？樹葉的分布及樹干和枝杈的

體積影響葉子的形狀嗎？?就輪廓來講，葉形(一般特征)是和樹的輪廓以及分枝

結(jié)構(gòu)有關(guān)嗎？ ?你將如何估計(jì)一棵樹的葉子質(zhì)量？葉子的質(zhì)量和樹的

尺寸特征（包括和外形輪廓有關(guān)的高度、質(zhì)量、體積

）有聯(lián)系嗎？ 除了你的一頁摘要以外，給科學(xué)雜志的編輯寫一封信，闡述你的主要發(fā)現(xiàn)。

四個(gè)問題：（1）樹葉形狀的分類（2）樹葉之間的遮擋和形狀的關(guān)系（3）樹的輪廓和樹葉形狀的關(guān)系（4）樹葉總質(zhì)量的估算

問題分析變量及假設(shè)（涉及變量、其單位、關(guān)系式）選擇建模方法（微分、優(yōu)化、概率等）推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式（適當(dāng)補(bǔ)充假設(shè)及變量）求解模型（計(jì)算機(jī)求解或仿真）回答問題（通俗語言表述）(靈敏性和穩(wěn)健性分析)建模問題的一般步驟1.樹葉形狀的分類分類方法：最小二乘，聚類，擬合，識(shí)別等關(guān)鍵：特征選取模型假設(shè)1、樹木都是單獨(dú)生長的樹木，不是密集生長。2、樹木都是健康，成熟和穩(wěn)定的狀態(tài)。相同的

樹木品種有相同的特性3、葉片的形狀并不反映樹的特殊屬性，如抵抗

多風(fēng)，寒冷，炎熱，潮濕或干燥的環(huán)境等。4、葉子為平置的且忽略葉脈的厚度和突起。重要參數(shù)(1)矩形度

樹葉的葉面積與將其邊界圍住的最小矩形面積的比(圖1)。(2)長寬比

將葉片包含在內(nèi)的最小長方形的長與寬之比(圖2)。(3)圓度

葉片的外接圓和內(nèi)切圓長度之比(圖3)。(4)外形系數(shù)

其中，A為葉面積，而P是其周長.(5)邊緣矩形面積指數(shù)

長寬比以及成矩形的程度相似的葉子，其輪廓可能不同。為此加入輪廓邊緣的凸點(diǎn)來將它化為多邊形邊界。這個(gè)多邊形區(qū)域的面積與葉片面積的比就是邊緣矩形面積指數(shù)。這個(gè)比例是越接近1，說明葉片的輪廓越光滑(圖3)。(6)邊緣矩形周長指數(shù)

定義邊界多邊形周長的與葉的邊緣的周長比為邊緣矩形周長指數(shù)。這個(gè)比率越小，葉片輪廓就越不規(guī)則且參差不齊(圖3)。(7)比例指數(shù)葉子沿其主軸的分布也有不同，為此把最小的邊界矩形在相同高度分成四個(gè)水平方向塊，接著計(jì)算在特定區(qū)域的葉片面積與總?cè)~面積的比例，將它稱作這一區(qū)域的比例指標(biāo)PI，它是一個(gè)長度為4的矢量(圖4)。數(shù)據(jù)庫的構(gòu)造選取了6種在北美最常見的葉型構(gòu)造數(shù)據(jù)庫（圖5），表1給出了每種葉形的7個(gè)參數(shù)值。葉子的分類對某類葉子，得到其7個(gè)相應(yīng)參數(shù)并與數(shù)據(jù)庫中的進(jìn)行比較。由于一些參數(shù)在某種程度上比其余的更為重要，為了使模型更準(zhǔn)確，引入一個(gè)方差加權(quán)指數(shù)

層次分析法（AnalyticHierarchyProcess，簡稱AHP）是美國匹茲堡大學(xué)教授A.L.Saaty于20世紀(jì)70年代提出的一種系統(tǒng)分析方法。他模仿人的決策思維過程，開發(fā)一種綜合定性與定量相結(jié)合的分析方法，主要解決多因素復(fù)雜系統(tǒng)，特別是難以定量描述的社會(huì)系統(tǒng)的分析方法。

權(quán)重選取：層次分析法(AHP)

如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關(guān)系不正確，都會(huì)降低AHP法的結(jié)果質(zhì)量，甚至導(dǎo)致AHP法決策失敗。為保證遞階層次結(jié)構(gòu)的合理性，需注意以下問題：1、要對問題的影響因素有充分的理解，必要的時(shí)候可以咨詢相關(guān)的專家；2、分解簡化問題時(shí)把握主要因素，不漏不多3、注意相比較元素之間的強(qiáng)度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。構(gòu)造成對比較矩陣

判斷矩陣表示針對上一層次某因素而言，本層次與之有關(guān)的各因素之間的相當(dāng)重要性。假定A層中因素Ak與下一層次中因素B1，B2，…，Bn有聯(lián)系，則我們構(gòu)造的判斷矩陣如下表。AkB1B2

……BnB1b11b12……b1nB2b21b22……b2n………………………………Bnbn1bn2……bnn

bij是對于Ak而言，Bi對Bj的相對重要性的數(shù)值表示。１３５７９尺度

第i個(gè)因素與第j個(gè)因素的影響相同

第i個(gè)因素比第j個(gè)因素的影響稍強(qiáng)

第i個(gè)因素比第j個(gè)因素的影響強(qiáng)第i個(gè)因素比第j個(gè)因素的影響明強(qiáng)第i個(gè)因素比第j個(gè)因素的影響絕對地強(qiáng)含義Bij通常取1、3、5、7、9及其他們的倒數(shù)，其含義為：2,4,6,8表示第i個(gè)因素相對于第j個(gè)因素的影響介于上述兩個(gè)相鄰等級之間。（1）心理學(xué)的實(shí)驗(yàn)表明，大多數(shù)人對不同事物在相同屬性上差別的分辨能力在5～9級之間，采用1～9的標(biāo)度反映了大多數(shù)人的判斷能力；（2）大量的社會(huì)調(diào)查表明，1～9的比例標(biāo)度早已為人們所熟悉和采用；（3）科學(xué)考察和實(shí)踐表明，1～9的比例標(biāo)度已完全能區(qū)分引起人們感覺差別的事物的各種屬性。層次單排序和一致性檢驗(yàn)

層次單排序就是指根據(jù)判斷矩陣計(jì)算對于上一層某因素而言本層次與之有聯(lián)系的因素的重要性次序的權(quán)值。可以歸結(jié)為，求解矩陣的最大特征根和對應(yīng)的特征的向量，即對判斷矩陣A，計(jì)算滿足:AW=

W

的特征根與特征向量。式中，λmax為A的最大特征根；W為對應(yīng)于λmax的正規(guī)化特征向量；W的分量Wi即是相應(yīng)因素單排序的權(quán)值。對判斷矩陣一致性檢驗(yàn)的步驟：（1）、計(jì)算一致性指標(biāo)(ConsisteneyIndex)：CI

顯然當(dāng)判斷矩陣具有完全一致性時(shí)，CI=0，λmax-n越大，CI越大，矩陣的一致性就越差。為了檢驗(yàn)判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均一致性指標(biāo)RI(RandomIndex)進(jìn)行比較。

平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI是多次（500次以上）重復(fù)進(jìn)行隨機(jī)判斷矩陣特征根的計(jì)算之后，取算術(shù)平均數(shù)得到的。為了檢驗(yàn)判斷矩陣是否具有滿意的一致性，需要將CI與平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI進(jìn)行比較。（3）計(jì)算一致性比例（率）：當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正.(0.1的選取是有一定主觀信度的)（2）、查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)：RI對n=1、2、3…9，Saaty給出了RI的數(shù)值，如下表所示：n123456789RI000.580.901.121.241.321.411.45層次分析法的基本步驟1）建立層次分析結(jié)構(gòu)模型（建立層次結(jié)構(gòu)圖）深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)—準(zhǔn)則或指標(biāo)—方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對獨(dú)立。2）構(gòu)造成對比較陣用成對比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對上一層每一因素的成對比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對每一成對比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)*）組合權(quán)向量可作為決策的定量依據(jù)。和積法:常常用近似算法求解判斷矩陣的最大特征根及其所對應(yīng)的特征向量。三種方法：冪法、和積法和方根法列向量歸一化精確計(jì)算，得求和歸一化權(quán)重選?。簩哟畏治龇?AHP)7x7比較矩陣數(shù)值的意義數(shù)值的選取方式為主觀選取。運(yùn)用Matlab可得到加權(quán)因子一致性分析：矩陣的最大特征值應(yīng)該與參數(shù)的個(gè)數(shù)n相近連續(xù)性指數(shù)應(yīng)接近于0一致性比率（其中RI是CI的平均值隨機(jī)矩陣）應(yīng)小于0.01權(quán)重選取合理模型驗(yàn)證選取一楓葉目測其接近第四類型葉子7個(gè)參數(shù)加權(quán)方差2.樹葉之間的遮擋和形狀的關(guān)系簡化模型：考慮一顆樹上葉子的分布如何影響葉子的形狀。

2、樹干垂直地表，在同側(cè)的樹葉相隔一定高度生

長，葉面向太陽。

3、樹的生長緯度為北緯L，討論其獲得在一年中

平均最大的太陽角照射時(shí)的情況，即春分的下午

時(shí)，此時(shí)太陽高度角為。模型假設(shè)1、葉分布的類型（葉片長度和節(jié)間距離關(guān)系）

反映樹對陽光的自然傾向。圖示重疊面積分析討論上面葉子的影子對下面葉子的影響（1）太陽高度接近90度

當(dāng)α接近90度

，因?yàn)殛幱安糠痔蠖鴽]有足夠的陽光來進(jìn)行光合作用，不能最大程度吸收能量來成為闊葉形狀。

這種情況通常發(fā)生在熱帶，其葉片的形狀一般很寬闊，樹冠通常只包含一層樹葉。（2）太陽高度接近0度

當(dāng)α接近0度，陰影部分將趨近于零，葉子的分布情況更加集中，最大化的吸收能量使其成為最好的針狀葉片。

這種情況通常發(fā)生在寒帶，其葉子是典型的針葉狀，樹冠包含了稠密生長的葉層。

（3）太陽高度在正常范圍內(nèi)

假設(shè)樹的葉分布試圖減少葉片之間的重疊區(qū)域，研究重疊面積和葉的形狀之間的關(guān)系。假設(shè)葉長L,兩葉片之間的距離h,遮擋率E。可得結(jié)論

對于固定的h和α，重疊的面積隨著葉長的增加而增加。當(dāng)長L趨近于h/tanα

時(shí)，重疊面積達(dá)到最小。最好的情況為h=Ltanα。模型驗(yàn)證3.樹的輪廓和樹葉形狀的關(guān)系2、葉子的形狀是樹的輪廓的二維近似原因：1.葉脈的結(jié)構(gòu)決定了葉片形狀2.分支的結(jié)構(gòu)決定了樹的輪廓3.葉脈一定程度的相似于分支

方法：將樹的三維輪廓抽出二維特征，與葉特征比較二維特征選為縱截面?？蓴M合、回歸分析等。模型假設(shè)1、樹的輪廓為地面以上的部分，包括樹干，樹

枝和樹葉。樹輪廓的分類類別1：心臟形的（德克薩斯紫荊）

類別2和類別5：橢圓形的（樟腦樹）類別3：尖錐狀的（松樹）

類別4：手掌狀的（橡樹）

類別6：倒卵形的（山核桃）

重要參數(shù)：矩形度、長寬比、圓度比較結(jié)論

葉形在一定程度上類似于樹形，長寬比和圓度的測試支持葉形是樹的輪廓的一個(gè)二維近似假設(shè)。

4.樹葉總質(zhì)量的估算常用方法：葉重量乘以葉數(shù)量、估算模型假設(shè)1、樹的光合作用和呼吸作用中起作用的部分主

要是葉子，其他部分忽略，樹的固碳率是其

每一片葉子封存率的總和。2、樹或葉的固碳量是其二氧化碳凈含量，就是

呼吸作用釋放的二氧化碳與光合作用吸收二

氧化碳之間的差值。估算方法基于三個(gè)要素：樹齡、生長率（與樹種有關(guān)）、樹的類型（硬木或針葉樹）

一棵樹的封存二氧化碳的能力是由AS來衡量，表示每克葉封存的CO2量。硬木樹封存性比針葉樹好。由于樹還在呼吸作用中釋放出CO2，有

二氧化碳封存量=二氧化碳吸收量-二氧化碳釋放量樹葉總重量EnergyInformationAdministration根據(jù)樹的生長率為快速、中度或慢速，給出了封存量、樹齡和樹的