第四十課平穩(wěn)時(shí)間序列分析對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)的分析，首先要對(duì)它的平穩(wěn)性和純隨機(jī)性進(jìn)行檢驗(yàn)。根據(jù)檢驗(yàn)的結(jié)果可以將序列分為不同的類(lèi)型，對(duì)不同類(lèi)型的序列將會(huì)采用不同的分析方法。如果一個(gè)時(shí)間序列被識(shí)別為平穩(wěn)非白噪聲序列，那就說(shuō)明該序列是一個(gè)蘊(yùn)涵著相關(guān)信息的平穩(wěn)序列。在統(tǒng)計(jì)上，我們通常是建立一個(gè)線(xiàn)性模型來(lái)擬合該序列的發(fā)展，借此提取該序列中被蘊(yùn)涵著有用信息。目前，最常用的擬合平穩(wěn)序列的模型是ARMA(AutoRegressionMovingAverage)模型。一、 平穩(wěn)性檢驗(yàn)1. 嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)平穩(wěn)時(shí)間序列有兩種定義，根據(jù)限制條件的嚴(yán)格程度，分為 ：嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列(strictlystationary )—指序列所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。寬平穩(wěn)時(shí)間序列(weekstationary )—指序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)只要保證序列的二階矩平穩(wěn)就能保證序列的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。如果在任取時(shí)間t、s和k時(shí)，時(shí)間序列Xt滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：2EXtEXt EXtE(Xt t)(Xss)E(Xkk)(Xkstkst) (40.3)則稱(chēng)為寬平穩(wěn)時(shí)間序列。也稱(chēng)為弱平穩(wěn)或二階平穩(wěn)。對(duì)于正態(tài)隨機(jī)序列而言，由于聯(lián)合概率分布僅由均值向量和協(xié)方差陣決定，即只要二階矩平穩(wěn)，就等于分布平穩(wěn)了。2.平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列的定義，可以推斷出兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)：常數(shù)均值。即式(40.2)的條件。自協(xié)方差只依賴(lài)于時(shí)間的平均長(zhǎng)度。即式 (40.3)的條件。如果定義自協(xié)方方差函數(shù)( autocovarianeefunction)為：(t,s)E(Xt t)(Xs s)(40.4)那么它可由二維函數(shù)簡(jiǎn)化為一維函數(shù)(st)，由此引出延遲k自協(xié)方差函數(shù)：(k)(t,tk)(40.5)容易推斷出平穩(wěn)時(shí)間序列一定具有常數(shù)方差：DxtE(Xtt)2(t,t)(40.6)(0)如果定義時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)(autoeorrelationfunction )，簡(jiǎn)記為ACF(t,s)E(Xtt)(Xss)DXtDXs(40.7)由延遲k自協(xié)方差函數(shù)的概念可以等價(jià)得到延遲 k自相關(guān)函數(shù)的概念:(k)E(Xt t)(Xtktk(t,s)E(Xtt)(Xss)DXtDXs(40.7)由延遲k自協(xié)方差函數(shù)的概念可以等價(jià)得到延遲 k自相關(guān)函數(shù)的概念:(k)E(Xt t)(Xtktk)jDXtDXtk_(k)_四-(0)(0) r(0)(40.8)容易驗(yàn)證自相關(guān)函數(shù)具有幾個(gè)基本性質(zhì):(0)1；(k)(k)；自相關(guān)陣為對(duì)稱(chēng)非負(fù)定陣；非惟一性。注意區(qū)分：協(xié)方差函數(shù)和相關(guān)函數(shù)一一度量?jī)蓚€(gè)不同事件彼此之間的相互影響的程度。自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)一一度量用一事件在兩個(gè)不同時(shí)期之間的相互影響的程度。3.樣本的估計(jì)值在平穩(wěn)序列場(chǎng)合，序列的均值等于常數(shù)意味著原本含有可列多個(gè)隨機(jī)變量的均值序列變成了只含有一個(gè)變量的常數(shù)序列，所以常數(shù)均值 的估計(jì)值為ntiXt(40.9)同樣可以根據(jù)平穩(wěn)序列二階矩平穩(wěn)的性質(zhì)，得到基于樣本計(jì)算出來(lái)的各種估計(jì)值。延遲 k自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)值:?(k)(Xtt1X)(xtkX)(40.10)總體方差的估計(jì)值:?(0)(Xtt1?(0)(Xtt1X)(40.11)延遲k自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值:?(k)?(k)?(0)nk?(k)?(k)?(0)nk(XtX)(XtkX)t1n(XtX)2t1(40.12)4.平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方法對(duì)序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)有兩種方法：一種是根據(jù)時(shí)序圖和自相關(guān)圖顯示的特征做出判斷的圖檢驗(yàn)方法；一是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的單位根檢驗(yàn)(unitroottest)方法。時(shí)序圖和自相關(guān)圖檢驗(yàn)單位根檢驗(yàn)(unitroottest)所謂單位根檢驗(yàn)就是通過(guò)檢驗(yàn)時(shí)間序列自回歸特征方程的特征根是在單位圓內(nèi)還是在單位圓外(包括在單元圓上)，來(lái)檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性。單位根檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中最常用的是 ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，又稱(chēng)增廣DF檢驗(yàn)(augmentedDickey-Fuller)。對(duì)任一p階自回歸ARp)過(guò)程Xt 1Xt1pxtp t它的特征方程為p p11p 0如果該方程所有的特征根都在單位圓內(nèi)，即(40.13)(40.14)i1,i 1,2, ,pXt 1Xt1pxtp t它的特征方程為p p11p 0如果該方程所有的特征根都在單位圓內(nèi)，即(40.13)(40.14)i1,i 1,2, ,p則序列Xt平穩(wěn)。如果至少存在一個(gè)特征根不在單位圓內(nèi)，不妨設(shè) ,1，則序列Xt非平穩(wěn)，且自回歸系數(shù)之和恰好等于 1。即(40.15)因而，對(duì)于A(yíng)Rp)過(guò)程可以通過(guò)檢驗(yàn)自回歸系數(shù)之和是否大于等于1來(lái)考察該序列的平穩(wěn)性。設(shè)p1，那么原假設(shè)H。： 0(序列Xt非平穩(wěn))，ADF檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量:S(?)(40.16)式中，S(?)為參數(shù) 的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。1979年，Dickey和Fuller使用蒙特卡洛模擬方法算出了 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的臨界值表。純隨機(jī)性檢驗(yàn)如果序列值彼此之間沒(méi)有任何相關(guān)性，那就意味著該序列是一個(gè)沒(méi)有記憶的數(shù)據(jù)序列，即過(guò)去的行為對(duì)未來(lái)的發(fā)展沒(méi)有絲毫影響，這種序列我們稱(chēng)之為純隨機(jī)序列。從統(tǒng)計(jì)分析的角度而言，純隨機(jī)序列是沒(méi)有任何分析價(jià)值的序列。因此，為了確保平穩(wěn)序列還值不值得分析下去，需要對(duì)平穩(wěn)序列進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)。1.純隨機(jī)序列如果在任取時(shí)間t和s時(shí)，時(shí)間序列Xt滿(mǎn)足如下三個(gè)條件：EXt(40.17)r(t,s)2當(dāng)t s時(shí)(40.18)(40.19)r(t,s)0當(dāng)ts時(shí)(40.19)稱(chēng)此序列為純隨機(jī)序列，也稱(chēng)為白噪聲( whitenoise)序列，簡(jiǎn)記為Xt~WN(,2)。之所以稱(chēng)之為白噪聲序列是因?yàn)槿藗冏畛醢l(fā)現(xiàn)白光具有這種特性。比較平穩(wěn)時(shí)間序列的定義，可看出白噪聲序列一定是平穩(wěn)序列，且是一種最簡(jiǎn)單的平穩(wěn)序列。見(jiàn)圖 40—1所示是隨機(jī)生成的1000個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的白噪聲序列觀(guān)察值。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布白噪聲序列Xt圖40—1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖根據(jù)白噪聲序列的定義，白噪聲序列具有三個(gè)重要的性質(zhì)：常數(shù)均值(EXt );純隨機(jī)性(r(t,s)0);方差齊性(r(t,s) 2)。2. 純隨機(jī)性檢驗(yàn)Barlett證明，如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀(guān)察期數(shù)為 n的觀(guān)察序列Xt，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零、方差為序列觀(guān)察數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布，即1(k)~N(0,—) (40.20)n式中k為延遲期數(shù)，n為樣本觀(guān)察期數(shù)。根據(jù)Barlett定理，可以構(gòu)造QBP檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和QLB檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性 。原假設(shè)：H1:至少存在某個(gè)(k) 0。延遲期數(shù)小于或等于mH1:至少存在某個(gè)(k) 0。遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性，即

Qbp檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由Box和Pierce推導(dǎo)出的Qbp檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：m2 2Qbpn?(k)~ (m) (40.21)k1式中，n為序列觀(guān)察期數(shù)， m為指定延遲期數(shù)。Qlb檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量因?yàn)镼bp檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在小樣本場(chǎng)合時(shí)不太精確，所以 Ljung和Box又推導(dǎo)出Qlb檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：m ?2(k) 2Qlb n(n2) ~ (m) (40.22)k1nk式中，n為序列觀(guān)察期數(shù)， m為指定延遲期數(shù)。 m—般取值為6、12。為什么只需要檢驗(yàn)前6期和前12期延遲的Qlb檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量就可以直接判斷序列是否為白噪聲序列呢？這是因?yàn)槠椒€(wěn)序列通常具有短期相關(guān)性，只要序列時(shí)期足夠長(zhǎng)，自相關(guān)系數(shù)都會(huì)收斂于零。所以，如果序列值之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系，通常只存在在延遲時(shí)期比較短的序列值之間，而如果短期延遲的序列之間都不存在顯著的相關(guān)關(guān)系，那么長(zhǎng)期延遲之間就更不會(huì)存在顯著的相關(guān)關(guān)系。三、方法性工具差分運(yùn)算差分運(yùn)算分為兩種：k步差分和p階差分。k步差分相距k期的兩個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算稱(chēng)為 k步差分運(yùn)算，記為 k，表示xt與xtk之間的減法運(yùn)算，即：k Xt Xtk (40.23)p階差分相距一期的兩個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算稱(chēng)為 1階差分運(yùn)算，記為 xt，表示xt與xt1之間的減法運(yùn)算，即：Xt XtXt1 (40.24)對(duì)1階差分運(yùn)算后序列 Xt再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱(chēng)為2階差分，記為2Xt，表示Xt與Xt1之間的減法運(yùn)算，即：2Xt Xt Xt1 (40.25)

依此類(lèi)推，對(duì)p1階差分后序列 p1Xt再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱(chēng)為p階差分，記為 PXt,表示p1Xt與p1Xti之間的減法運(yùn)算，即：p p1 p1Xt Xt Xt1 (40.26)延遲算子延遲算子類(lèi)似于一個(gè)時(shí)間指針，一個(gè)延遲算子乘以當(dāng)前序列值，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過(guò)去撥了一個(gè)時(shí)間刻度，記B為延遲算子，有BXtXt1過(guò)去撥了一個(gè)時(shí)間刻度，記B為延遲算子，有BXtXt1B2XtXt2BpXtXtpB0B01B(cXt)cXt1, c為常數(shù)n!i!(ni)!n!i!(ni)!(1B)n(1)ncnBi,其中cni0用延遲算子表示的k步差分為：(40.28)(40.29)k(40.28)(40.29)k XtXtk(1B)Xt用延遲算子表示的p階差分為：ppXt(1B)pXt (1)pC；Xtii0四、ARMA模型ARMA模型的全稱(chēng)是自回歸移動(dòng)平均(autoregressionmovingaverage)模型，它是目前最常用的擬合平穩(wěn)時(shí)間序列的模型。 ARMA模型又可細(xì)分為AR模型、MA模型和ARMA模型三大類(lèi)。1.AR(p)模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱(chēng)為 p階自回歸模型，簡(jiǎn)記為AR(p):Xt 0 1Xt1 2Xt2 pXtp t (40.30)其中包含三個(gè)限制條件：模型的最高階數(shù)為 p，即p0；隨機(jī)干擾序列t為零均值的白噪聲序列，即t~WN(0,2);當(dāng)期的隨機(jī)干擾與過(guò)去的序列值無(wú)關(guān)，即 Exst0,sto1)中心化的AR(p)模型當(dāng)°0時(shí)，式(40.30)又稱(chēng)為中心化的AR(p)模型。非中心化的AR(p)序列都可以通過(guò)假設(shè)滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，在式(40.30)兩邊取期望E,根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值為常數(shù)的性質(zhì)，有EXt ,EXt1iExtp，且因?yàn)閠為零均值的白噪聲，有Et0,所以:ExtE(0 1Xt12Xt2pXtpt)(40.31)如果把非中心化的AR(p)序列減去上式(40.31)中的，則轉(zhuǎn)化為中心化AR(p)序列。特別地，對(duì)于中心化AR(p)序列，有Ext引進(jìn)延遲算子，設(shè) (B)1 1B2B2PpB，又稱(chēng)為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，則中心化AR(p)模型可以簡(jiǎn)記為:(B)Xt(40.32)2)AR(p)模型的方差要得到平穩(wěn)AR(p)模型的方差，需要借助于Green函數(shù)的幫助。下面以求AR(1)模型的方差為例來(lái)說(shuō)明:Xt1Xt1將第二式代入第一式，有Xt當(dāng)我們繼續(xù)將Xt2 1XtXttt1i1ti0Xt11Xt221Xt2代入上式,一直到X11X0 1，可得到tX0tX0如杲t，設(shè)Green函數(shù)為Gj,j0,1,，上式可改為XtGjt0(40.33)對(duì)Xt求方差為Var(xt)GfVar(joj)3)AR(p)模型的協(xié)方差2(12j1(40.34)對(duì)中心化的平穩(wěn)模型在等號(hào)兩邊同乘Xtk，再求期望得到E(XtXtk) 1E(Xt1Xtk) 2E(Xt2Xtk)pE(XtpXtk)E(tXtk) (40.35)由AR(p)模型的限制條件，有E(txtk) 0依賴(lài)于時(shí)間的平均長(zhǎng)度而與時(shí)間的起止點(diǎn)無(wú)關(guān)，于是可由，再根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，有自協(xié)方差函數(shù)只(k) 1(k1)2(k2)例如，對(duì)于A(yíng)R(1)模型的自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式為：(k)1(k1)11(k2)k1(0)2k11214)AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)由于平穩(wěn)時(shí)間序列有自相關(guān)函數(shù)(k) (k)/(40.35)式得到自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式:p(kp) (40.36)(40.37)(0)，在自協(xié)方差函數(shù)的遞推公式 (40.36)等號(hào)兩邊同除以方差函數(shù) (0)，就得到自相關(guān)函數(shù)的遞推公式:(k) 1(k1) 2(k2)p(kp)(40.38)例如，對(duì)于A(yíng)R(1)模型的自相關(guān)函數(shù)的遞推公式為:(k) 1(k1)11(k2)1k(0)k(40.39)根據(jù)式(40.38)可以推出，平穩(wěn)AR(p)模型的自相關(guān)函數(shù)有兩個(gè)顯著的性質(zhì):拖尾性一一指自相關(guān)函數(shù) (k)始終有非零取值，不會(huì)在k大于某個(gè)常數(shù)之后就恒等于零。負(fù)指數(shù)衰減一一隨著時(shí)間的推移， 自相關(guān)函數(shù)(k)會(huì)迅速衰減，且以負(fù)指數(shù)k(其中i為自相關(guān)函數(shù)的差分方程的特征根)的速度在減小。見(jiàn)圖40-2和圖40-3所示是兩個(gè)平穩(wěn)AR(1)模型的理論自相關(guān)圖。AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)ACF(k)T—T—ILX8OIL808080960s40320船閔黑器需1OOOOOOOOOO000000000----------數(shù)系關(guān)相自kk圖40—2ACF按負(fù)指數(shù)單調(diào)收斂到零AR(1)模型的自相關(guān)函數(shù)ACF(k)xt0.8xtit88a.80.70.60.50.40.30.20108102030405066778099001OOOOOOOOOO0000000001.----------數(shù)系關(guān)相自kk圖40-3ACF按正負(fù)相間地衰減到零5)AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)

對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)AR(p)模型，求出滯后k自相關(guān)系數(shù)(k)時(shí)，實(shí)際上得到的并不是xt與xtk之間單純的相關(guān)關(guān)系。因?yàn)檫@個(gè) (k)還會(huì)受到中間k1個(gè)隨機(jī)變量xti,xt2, ,xtk!的影響，即這k1個(gè)隨機(jī)變量既與xt又與xtk具有相關(guān)關(guān)系。為了能單純測(cè)度xt與xtk之間的相關(guān)關(guān)系，引進(jìn)了時(shí)間序列偏自相關(guān)函數(shù)(partialautocorrelationfunction )，簡(jiǎn)記為PACF它是在剔除了中間 k1個(gè)隨機(jī)變量的干擾之后的滯后 k自相關(guān)系數(shù)，計(jì)算公式為：E[(XtE?(t)(XtkE?(tk)](xt>xtk1xti> >xtk1) ? 2 (40.40)E[(XtkExtk)2]式中Ext E[xt |xt 1,Xtk1]， Ext k E[Xt k |Xt 1 ,Xt k1]。如果我們用過(guò)去的 k期序列值人1,人2,,Xtk1,Xtk對(duì)Xt作k階自回歸擬合，即Xt k1Xt1 k2Xt2 kkXtkt (40.41)那么有kk (xt,Xtk|xt1,,Xtk1)。這說(shuō)明滯后k偏自相關(guān)系數(shù)實(shí)際上等于k階自回歸模型第k個(gè)回歸系數(shù)的值。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)很容易計(jì)算PACF的值。在公式(8.1.41)中等號(hào)兩邊同乘xtk，求期個(gè)回歸系數(shù)的值。根據(jù)這個(gè)性質(zhì)很容易計(jì)算望并除以(0)，得到t k1t1k2t2kk1,2,,k,nt k1t1k2t2kk1,2,,k,n(40.42)取前k個(gè)方程構(gòu)成的方程組:kkk2kkk2kk(40.43)該方程組被稱(chēng)為Yule-Walkerk1方程。kkk2根據(jù)線(xiàn)性方程組求解的Gramer法則，有k2kk(40.43)該方程組被稱(chēng)為Yule-Walkerk1方程。kkk2根據(jù)線(xiàn)性方程組求解的Gramer法則，有kkDkD(40.44)式中:可以證明對(duì)于平穩(wěn)AR(p)模型,p可以證明對(duì)于平穩(wěn)AR(p)模型,p時(shí)，有Dk這樣kk0。也就是說(shuō)平穩(wěn)AR(p)模型的偏自相關(guān)系數(shù)具有p的偏自相關(guān)系數(shù)具有p步截尾性。見(jiàn)圖40-4和圖40—5所示是兩個(gè)平穩(wěn)AR(1)模型的樣本偏自相關(guān)11k1111111k2,Dk1112k1k21k1k2k圖。圖。AR(1)模型的偏自相關(guān)函數(shù)PACF(k)T—1LX8

O1L

XT—1LX8

O1L

X數(shù)系關(guān)相自偏987654321000000000123456789k圖40-4一個(gè)AR(1)模型n=101樣本偏自相關(guān)函數(shù)PACF(k)圖AR(1)模型的偏自相關(guān)函數(shù)PACF(k)xt0.8xtit數(shù)系關(guān)相自偏「0123456789-1oooOOOOOO000000000數(shù)系關(guān)相自偏「0123456789-1oooOOOOOO000000000k圖40-5一個(gè)AR(1)模型n=101樣本偏自相關(guān)函數(shù)PACF(k)圖由于樣本的隨機(jī)性，樣本偏自相關(guān)系數(shù)不會(huì)和理論偏自相關(guān)系數(shù)一樣嚴(yán)格截尾，但可以從圖 40-4和圖40-5中看出，兩個(gè)平穩(wěn)AR(1)模型的樣本偏自相關(guān)系數(shù) 1階顯著不為零，1階之后都近似為零。樣本偏自相關(guān)圖可以直觀(guān)地驗(yàn)證平穩(wěn) AR(p)模型偏自相關(guān)系數(shù)具有 p步截尾性。2.MA(q)模型

具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱(chēng)為q階移動(dòng)平均，簡(jiǎn)記為MA(q):Xt t1t1 2t2 qtq (40.45)其中包含兩個(gè)限制條件：模型的最高階數(shù)為 q，即q0；隨機(jī)干擾序列 t為零均值的白噪聲序列，即t~WN(0,2)。1)中心化的MA(q)模型當(dāng) 0時(shí)，式(40.45)又稱(chēng)為中心化的MA(q)模型。非中心化的MA(q)序列都可以通過(guò)假設(shè)滿(mǎn)足平穩(wěn)性條件，在式(8.1.45)兩邊取期望E,根據(jù)平穩(wěn)時(shí)間序列均值為常數(shù)的性質(zhì)，有 Ext，且因?yàn)閠為零均值的白噪聲，有Et0,Et10,Et2 0, ,Etq0，所以：Ext E( t1t12t2qtq) (40.46)如果把非中心化的MA(q)序列減去上式(40.46)中的，則轉(zhuǎn)化為中心化MA(q)序列。特別地，對(duì)于中心化MA(q)序列，有Ext0。引進(jìn)延遲算子，設(shè) (B)11B 2B2qBq，又稱(chēng)為q階自移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式，則中心化MA(q)模型可以簡(jiǎn)記為：Xt(B)t(40.47)2) MA(q)模型的方差平穩(wěn)MA(q)模型的方差為:Var(xt)Var(t1t1 2t2qtq)一222、2(40.48)(112q)3)MA(q)模型的自協(xié)方差平穩(wěn)MA(q)模型的自協(xié)方差只與滯后階數(shù)k相關(guān)，且q階截尾。當(dāng)k0時(shí)，2 2 22(0)Var(Xt)(1 1 2 q);當(dāng)kq時(shí)，(k)0；當(dāng)1kq時(shí)，有(k)E(XtXtk)E[(qtq)(qtkqE[(qtq)(qtkq)](40.49)ik1) 214) MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)平穩(wěn)MA(q)模型的自相關(guān)系數(shù)為1,k1,k0qk(k)kik1i1,1qkk 一、4 22(0)11q0,kq(40.50)5)MA(q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)在中心化的平穩(wěn)MA(q在中心化的平穩(wěn)MA(q)模型場(chǎng)合，滯后k階偏自相關(guān)系數(shù)為:數(shù)系關(guān)相自數(shù)系關(guān)相自(40.51)E(XtXtk|人1,,人k1)(40.51)Var(Xtk|Xt1,,人k1)容易證明平穩(wěn)MA(q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)拖尾性。見(jiàn)圖 40—6和圖40—7所示是一個(gè)平穩(wěn)MA(1)模型的樣本自相關(guān)圖和樣本偏自相關(guān)圖。MA(1濮型的自相關(guān)函數(shù)ACF(k)xt t0.8t11.0000.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.1000.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000延遲k圖40—6一個(gè)MA(1)模型n=101樣本自相關(guān)函數(shù)截尾圖MA(1濮型的偏自相關(guān)函數(shù)PACF(k)數(shù)系關(guān)相自偏1.0000.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.1000.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000xt t0.8t1延遲k圖40-7數(shù)系關(guān)相自偏1.0000.9000.8000.7000.6000.5000.4000.3000.2000.1000.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.7000.8000.9001.000xt t0.8t1延遲k圖40-7一個(gè)MA(1)模型n=101樣本偏自相關(guān)函數(shù)拖尾圖6)MA(q)模型的可逆性容易驗(yàn)證當(dāng)兩個(gè)MA(1)模型具有如下結(jié)構(gòu)時(shí):模型1:xtt1t1

模型2:xtt—t1(40.52)根據(jù)公式(40.50)計(jì)算，121/(1 1)，它們的自相關(guān)系數(shù)正好相等。即不同的模型卻擁有完全相同的自相關(guān)系數(shù)。這種自相關(guān)系數(shù)的不惟一性將會(huì)導(dǎo)致擬合模型和隨機(jī)時(shí)間序列之間不會(huì)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了保證一個(gè)給定的自相關(guān)函數(shù)能夠?qū)?yīng)惟一的MA(q)模型，我們需要給模型增加約束條件。這個(gè)約束條件稱(chēng)為MA(q)的可逆性條件。把上式(40.52)中兩個(gè)MA(1)模型表示成兩個(gè)自相關(guān)(40.53)，其中(40.53)，其中a￡或aB/1。AR模型形式:模型1:-^1 1B模型211B1注意表示成自相關(guān)AR模型時(shí)運(yùn)用公式(1a)1 1aa2 a3顯然，當(dāng)1時(shí)，模型1收斂，而模型2不收斂；當(dāng)1 1時(shí)，則模型2收斂，而模型1不收斂。若一個(gè)MA(q)模型能夠表示成收斂的AR模型形式，那么該MA(q)模型稱(chēng)為可逆模型。一個(gè)自相關(guān)系數(shù)惟一對(duì)應(yīng)一個(gè)可逆MA(q)模型。3.ARMA(p,q)模型具有如下結(jié)構(gòu)的模型稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均模型，簡(jiǎn)記為 ARMA(p,q):Xt 01Xt1t2Xt2 pXtpt1t1 2t2 qtq (40.54)若o0，該模型稱(chēng)為中心化ARMA(p,q)模型。模型的限制條件與AR(p)模型、MA(q)模型相同。引進(jìn)延遲算子，中心化ARMA(p,q)模型簡(jiǎn)記為：(B)Xt t (40.55)式中：(B)11B2B2 pBP，稱(chēng)為p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式，(B)1 1B2B2 qBq，稱(chēng)為q階自移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。顯然，當(dāng)q0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成AR(p)模型；當(dāng)p0時(shí)，ARMA(p,q)模型就退化成MA(q)模型。所以，AR(p)模型和MA(q)模型實(shí)際上是ARMA(p,q)的特例，它們統(tǒng)稱(chēng)為ARMA模型。而ARMA(p,q)模型的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)也正是AR(p)模型和MA(q)模型統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的有機(jī)組合。由于A(yíng)RMA(p,q)模型可以轉(zhuǎn)化為無(wú)窮階移動(dòng)平均模型，所以 ARMA(p,q)模型的自相關(guān)系數(shù)不截尾。同理，由于A(yíng)RMA(p,q)模型也可以轉(zhuǎn)化為無(wú)窮階自回歸模型，所以 ARMA(p,q)模型的偏自相關(guān)系數(shù)也不截尾。總結(jié)AR(p)模型、MA(q)模型和ARMA(p,q)模型的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的規(guī)律，見(jiàn)表40.1所示。表40.1 拖尾性和截尾性模型自相關(guān)系數(shù)k偏自相關(guān)系數(shù)kkAR(p)拖尾p階截尾MA(q)q階截尾拖尾ARMA(p,q)拖尾拖尾假如某個(gè)時(shí)間序列觀(guān)察值可以判定為平穩(wěn)非白噪聲序列，計(jì)算出樣本自相關(guān)系數(shù)( ACF和樣本偏自相關(guān)系數(shù)(PACF之后，就要根據(jù)它們表現(xiàn)出來(lái)的性質(zhì)，選擇階數(shù)適當(dāng)?shù)?ARMA模型擬合觀(guān)察

值序列。即根據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)性質(zhì)估計(jì)自相關(guān)階數(shù) ?和移動(dòng)平均階數(shù)(？。因此，這個(gè)過(guò)程也稱(chēng)為模型定階過(guò)程或模型識(shí)別過(guò)程。由于樣本的隨機(jī)性，樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)不會(huì)呈現(xiàn)出理論截尾的完美情況，本應(yīng)截尾處仍會(huì)呈現(xiàn)出小值震蕩的情況。同時(shí)，由于平穩(wěn)時(shí)間序列通常都具有短期相關(guān)性，隨著延遲階數(shù)變大，自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)都會(huì)衰減至零值附近作小值波動(dòng)。那么，如何判斷自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)是截尾還是拖尾呢？以及如果為截尾那么相應(yīng)的階數(shù)為多少？通常分析人員是依據(jù)樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似分布來(lái)作出盡可能合理的判斷。Jankins和Watts已經(jīng)證明樣本自相關(guān)系數(shù)是總體自相關(guān)系數(shù)的有偏估計(jì)：E(?Q式中k為延遲階數(shù),n為樣本容量。根據(jù) Bartlett公式計(jì)算樣本自相關(guān)系數(shù)的方差近似等于:Var(?k) -J?m-(1J?m)E(?Q式中k為延遲階數(shù),n為樣本容量。根據(jù) Bartlett公式計(jì)算樣本自相關(guān)系數(shù)的方差近似等于:Var(?k) -J?m-(1J?m),nmj n m1(40.57)當(dāng)延遲階數(shù)k足夠大時(shí)，E(?k)0;當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，Var(?k) 1/n。所以樣本自相關(guān)系數(shù)近似服從正態(tài)分布：1?k~N(0,—) (40.58)nQuenouille證明，樣本偏自相關(guān)系數(shù)也同樣近似服從這個(gè)正態(tài)分布：?1?k~N(O,—) (40.59)n設(shè)顯著水平取5%。如果樣本自相關(guān)系數(shù)和樣本偏自相關(guān)系數(shù)在最初的 k階明顯大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，而后幾乎95%勺系數(shù)都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差的范圍內(nèi)，且非零系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過(guò)程非常突然，通常視為k階截尾；如果有超過(guò) 5%勺樣本相關(guān)系數(shù)大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差，或者非零系數(shù)衰減為小值波動(dòng)的過(guò)程比較緩慢或連續(xù)，通常視為拖尾。五、參數(shù)估計(jì)和檢驗(yàn)對(duì)于一個(gè)非中心化ARMA(p,q)，有Xtq(B)p(B)(40.60)通過(guò)樣本的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，估計(jì)出自相關(guān)階數(shù)?和移動(dòng)平均階數(shù)(？。為模型定階后，該模型共含有pq2個(gè)未知參數(shù):2。參數(shù)用樣本均值來(lái)估計(jì)pq1pq1個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)方法參數(shù)的矩估計(jì)

(40.61)用時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出延遲 1階到pq階的樣本自相關(guān)系數(shù) ？k,延遲k階的總體自相關(guān)系(40.61)q(q)從中解出pq個(gè)未知參數(shù)變量的值作為模型的參數(shù)估計(jì)值矩估計(jì)。?, ?),?,?。這種方法稱(chēng)為參數(shù)的白噪聲序列的方差 2的矩估計(jì)，是用時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本方差?x2來(lái)估計(jì)總體方差q(q)從中解出pq個(gè)未知參數(shù)變量的值作為模型的參數(shù)估計(jì)值矩估計(jì)。?, ?),?,?。這種方法稱(chēng)為參數(shù)的白噪聲序列的方差 2的矩估計(jì)，是用時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本方差?x2來(lái)估計(jì)總體方差求得。ARMA(p,q)模型的兩邊同時(shí)求方差，并把相應(yīng)參數(shù)變量的估計(jì)值代入，可得白噪聲序列的方差估計(jì)為:?—?2

?'xq(40.62)2.參數(shù)的極大似然估計(jì)當(dāng)總體分布類(lèi)型已知時(shí)，極大似然估計(jì)ML(maximum-likelihood)是常用的估計(jì)方法。極大似然估計(jì)的基本思想，是認(rèn)為樣本來(lái)自使該樣本出現(xiàn)概率最大的總體。因此，未知參數(shù)的極大似然估計(jì)，就是使得似然函數(shù)(即聯(lián)合密度函數(shù))達(dá)到最大值的參數(shù)值。即：L(?,?p,?,Xn) maxp(X1,Xn；1,q)(40.63)數(shù)為k(1, k,1, q)，公式中包含pq個(gè)未知參數(shù)變量 1,p, 1,q。如果用計(jì)算出的樣本自相關(guān)系數(shù)來(lái)估計(jì)總體自相系數(shù)，那么有pq個(gè)聯(lián)立方程組：1( 1, p, 1,q) ?1k(1，在時(shí)間序列分析中，序列的總體分布通常是未知的。為了便于分析和計(jì)算，通常假設(shè)序列服從多元正態(tài)分布，它的聯(lián)合密度函數(shù)是可導(dǎo)的。當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于參數(shù)可導(dǎo)時(shí)，常?？梢酝ㄟ^(guò)求導(dǎo)方法來(lái)獲得似然函數(shù)極大值對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。在求極大似然估計(jì)時(shí)，為了求導(dǎo)方便，常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，然后對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)中的未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，得到似然方程組。理論上，只要求解似然方程組即可得到未知參數(shù)的極大似然估計(jì)。但是在實(shí)際上是使用計(jì)算機(jī)經(jīng)過(guò)復(fù)雜的迭代算法求出未知參數(shù)的極大似然估計(jì)。極大似然估計(jì)與矩估計(jì)的比較：矩估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是不要求知道總體的分布，計(jì)算量小，估計(jì)思想簡(jiǎn)單直觀(guān)。但缺點(diǎn)是只用到了樣本自相關(guān)系數(shù)的信息，序列中的其他信息被忽略了，這導(dǎo)致矩估計(jì)方法是一種比較粗糙的估計(jì)方法，它的估計(jì)精度一般較差。因此，它常被作為極大似然估計(jì)和最小二乘估計(jì)的迭代計(jì)算的初始值。極大似然估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是充分應(yīng)用了每一個(gè)觀(guān)察值所提供的信息，因而它的估計(jì)精度高，同時(shí)，還具有估計(jì)的一致性、漸近正態(tài)性和漸近有效性等優(yōu)良統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，是一種非常優(yōu)良的參數(shù)估計(jì)方法。3. 參數(shù)的最小二乘估計(jì)參數(shù)的最小二乘估計(jì)ULS(unconditional leastsquares)是使ARMA(p,q)模型的殘差平方和達(dá)到最小的那組參數(shù)值。即:nQ(?,nQ(?,?>,?,彳)min (人必!t12pXtp1t1 qtq) (40.64)同極大似然估計(jì)一樣，未知參數(shù)的最小二乘估計(jì)通常也是使用計(jì)算機(jī)借助迭代方法求出的。由于充分利用了序列的信息，因此最小二乘估計(jì)的精度最高。在實(shí)際運(yùn)用中，最常用的是條件最小二乘估計(jì)CLS(conditional leastsquares)方法。它假定時(shí)間序列過(guò)去未觀(guān)察到序列值等于序列均值，如果是中心化后的序列，則序列過(guò)去未觀(guān)察到序列值等于零( xt 0,t 0)。根據(jù)這個(gè)假定可以的得到殘差的有限項(xiàng)表達(dá)式:回治Xt回治Xt(B)(40.65)ixtii1于是殘差平方和達(dá)到最小的那組參數(shù)值為:nQ(?,L?, ?)nQ(?,L?, ?)minXtt1ixtii1(40.66)在實(shí)際運(yùn)用中，條件最小二乘估計(jì) CLS也是通過(guò)迭代法求出參數(shù)的估計(jì)值。4.模型檢驗(yàn)和參數(shù)檢驗(yàn)在擬合好模型的參數(shù)之后，一般來(lái)說(shuō)，都要對(duì)該擬合模型進(jìn)行必要的顯著性檢驗(yàn)。包括：模型的顯著性檢驗(yàn)和參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。在A(yíng)RMA模型場(chǎng)合，我們都使用Qlb統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)殘差序列的自相關(guān)性 。為了克服DW僉驗(yàn)的有偏性，Durbin在1970年提出了。瞅計(jì)量的兩個(gè)修正統(tǒng)計(jì)量： Durbint和Durbinh統(tǒng)計(jì)量，這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量DW-1漸近等價(jià)。DurbinhDW-1(40.67)式中，n為觀(guān)察值序列的長(zhǎng)度； 2為延遲因變量系數(shù)的最小二乘估計(jì)的方差。修正后的 Dh有效地提高了檢驗(yàn)精度，成為延遲因變量場(chǎng)合常用的自相關(guān)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是要檢驗(yàn)每一個(gè)模型參數(shù)是否顯著非零。因?yàn)槿绻硞€(gè)參數(shù)為零，模型中包含這個(gè)參數(shù)的乘積項(xiàng)就為零，可以簡(jiǎn)化模型。因此，這個(gè)檢驗(yàn)的目的就是為了使模型最精簡(jiǎn)。原假設(shè)為：某個(gè)未知參數(shù)j0；備選假設(shè)為：j0?？梢詷?gòu)造出檢驗(yàn)未知參數(shù)顯著性的t(nm)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中m為參數(shù)的個(gè)數(shù)。如果某個(gè)參數(shù)j不顯著，即表示j所對(duì)應(yīng)的那個(gè)自變量對(duì)因變量的影響不明顯，該自變量就可以從擬合模型中剔除。剔除不顯著參數(shù)對(duì)應(yīng)的自變量后應(yīng)重新擬合模型，最終模型將由一系列參數(shù)顯著非零的自變量表示。六、模型優(yōu)化當(dāng)一個(gè)擬合模型在指定的置信水平下通過(guò)了檢驗(yàn)，說(shuō)明了在這個(gè)置信水平 下該擬合模型能有六、模型優(yōu)化當(dāng)一個(gè)擬合模型在指定的置信水平下通過(guò)了檢驗(yàn)，說(shuō)明了在這個(gè)置信水平 下該擬合模型能有效地?cái)M合時(shí)間序列觀(guān)察值的波動(dòng)。但是這種有效的擬合模型并不是惟一的。如果同一個(gè)時(shí)間序列可以構(gòu)造兩個(gè)擬合模型，且兩個(gè)模型都顯著有效，那么應(yīng)該選擇哪個(gè)擬合模型用于統(tǒng)計(jì)推斷呢？通常采用AIC和SBC信息準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行模型優(yōu)化。AIC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則是由日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家赤池弘次( Akaike)于1973年提出，AIC全稱(chēng)是最小信息量準(zhǔn)則(aninformationcriterion )。AIC準(zhǔn)則是一種考評(píng)綜合最優(yōu)配置的指標(biāo)，它是擬合精度和參數(shù)未知個(gè)數(shù)的加權(quán)函數(shù)：AIC=—2ln(模型中極大似然函數(shù)值)+2(模型中未知參數(shù)個(gè)數(shù)) (40.68)使AIC函數(shù)達(dá)到最小值的模型被認(rèn)為是最優(yōu)模型。BIC準(zhǔn)則AIC準(zhǔn)則也有不足之處：如果時(shí)間序列很長(zhǎng)，相關(guān)信息就越分散，需要多自變量復(fù)雜擬合模型才能使擬合精度比較高。在 AIC準(zhǔn)則中擬合誤差等于nln(?2)，即擬合誤差隨樣本容量 n放大。但是模型參數(shù)個(gè)數(shù)的懲罰因子卻與 n無(wú)關(guān)，權(quán)重始終為常數(shù) 2。因此在樣本容量n趨于無(wú)窮大時(shí)，由AIC準(zhǔn)則選擇的擬合模型不收斂于真實(shí)模型，它通常比真實(shí)模型所含的未知參數(shù)個(gè)數(shù)要多。為了彌補(bǔ)AIC準(zhǔn)則的不足，Akaike于1976年提出BIC準(zhǔn)則。而Schwartz在1978年根據(jù)Bays理論也得出同樣的判別準(zhǔn)則，稱(chēng)為 SBC準(zhǔn)則。SBC準(zhǔn)則定義為：SBC=-2ln(模型中極大似然函數(shù)值)+ln(n)(模型中未知參數(shù)個(gè)數(shù)) (40.69)它對(duì)AIC的改進(jìn)就是將未知參數(shù)個(gè)數(shù)的懲罰權(quán)重由常數(shù) 2變成了樣本容量n的對(duì)數(shù)ln(n)。在所有通過(guò)檢驗(yàn)的模型中使得AIC或SBC函數(shù)達(dá)到最小的模型為相對(duì)最優(yōu)模型。之所以稱(chēng)為相對(duì)最優(yōu)模型是因?yàn)椴豢赡鼙容^所有模型。七、序列預(yù)測(cè)所謂預(yù)測(cè)就是利用時(shí)間序列已觀(guān)察到的樣本值對(duì)時(shí)間序列在未來(lái)某個(gè)時(shí)刻的取值進(jìn)行估計(jì)。常用的預(yù)測(cè)方法是線(xiàn)性最小方差預(yù)測(cè)。線(xiàn)性是指預(yù)測(cè)值為觀(guān)察值序列的線(xiàn)性函數(shù)，最小方差是指預(yù)測(cè)方差達(dá)到最小。根據(jù)ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性和可逆性，可以用 Green函數(shù)的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)函數(shù)的逆轉(zhuǎn)形式等價(jià)描述該序列：XtGitii0(40.70)tIjXtjj0(40.71)(8.1.70)式中，(Gi為Green函數(shù):1,i0Gi ik1kGik $,i1(40.72)

' k,1kP'k,1kqk， k(40.73)0,kP0,kq(8.1.71)式中，Ii為逆轉(zhuǎn)函數(shù):1,j0Ijj1i(40.74)k1jk 廿k,j1k1式中的k和k定義見(jiàn)(40.73)式。把式(40.71)代入式(40.70)中,可得到：XtG'i 1jXtiij式中:i0 j0GjIjXtij(40.75)i0j0(40.75)XtCixt1ii0(40.76)顯然Xt是歷史數(shù)據(jù)XXtCixt1ii0(40.76)那么，對(duì)于任意一個(gè)將來(lái)時(shí)刻tl而言，也可以表示成(40.76)式。但問(wèn)題是xt,Xt1,Xt2，已知,那么，對(duì)于任意一個(gè)將來(lái)時(shí)刻而Xt,i,XtI2, ,Xt1未知。根據(jù)線(xiàn)性函數(shù)的可加性，所有未知信息都可以用已知信息的線(xiàn)性函數(shù)表示出來(lái)，并用該函數(shù)進(jìn)行估計(jì)：X?I D?iXti (40.77)i0用et(l)衡量預(yù)測(cè)誤差：et(l)XtIXtI (40.78)顯然，預(yù)測(cè)的誤差越小預(yù)測(cè)的精度就越高，目前最常用的預(yù)測(cè)原則是預(yù)測(cè)誤差的方差最小法：VminVaret(l) (40.79)因?yàn)?？l為Xt,Xt1,Xt2,的線(xiàn)性函數(shù)，所以也稱(chēng)為線(xiàn)性預(yù)測(cè)方差最小法。在線(xiàn)性預(yù)測(cè)方差最小法下得到的估計(jì)值 5?丨是在序列xt,xt1,xt2,已知的情況下得到的條件無(wú)偏最小方差估計(jì)值。且預(yù)測(cè)方差只與預(yù)測(cè)步長(zhǎng) I有關(guān)，而與預(yù)測(cè)起始點(diǎn)t無(wú)關(guān)。但預(yù)測(cè)步長(zhǎng)I越大預(yù)測(cè)值的方差越大，因此只適合于短期預(yù)測(cè)。在正態(tài)假定下，估計(jì)值 ?I的1 的置信區(qū)間為：

2X2Xi Zi /2(1GiGi2i)1/2(40.80)八、 procautoreg過(guò)程自回歸過(guò)程autoreg用于估計(jì)和預(yù)測(cè)誤差項(xiàng)自相關(guān)或異方差的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的線(xiàn)性回歸模型。自回歸誤差模型被用來(lái)校正自相關(guān)系數(shù)和廣義自回歸條件異方差模型GARCH(generalizedautoregressiveconditionalheteroskedastic )，并且其變體如廣義的 ARCH(GARCH、方差無(wú)窮的GARCHIGARCH、指數(shù)的GARCHEGARCH和依均值的GARCHGARCH-M被用于異方差的建模和校正。自回歸過(guò)程autoreg可以擬合任意階的自回歸誤差模型，并且可以擬合子集自回歸模型。為了診斷自相關(guān)性，過(guò)程產(chǎn)生廣義 Durbin-Watson(DV、統(tǒng)計(jì)量和其邊緣概率。普通回歸分析假定誤差方差對(duì)于所有觀(guān)察是相同的，但當(dāng)誤差方差不相同時(shí)，數(shù)據(jù)被稱(chēng)為異方差，此時(shí)普通最小二乘法估計(jì)不是有效的，同時(shí)也影響預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的精確性。 Autoreg過(guò)程能檢驗(yàn)異方差，并且提供 GARCH模型族來(lái)估計(jì)和校正數(shù)據(jù)易變性。對(duì)于帶有自相關(guān)擾動(dòng)和隨時(shí)間變化的條件異方差模型，過(guò)程輸出條件均值和條件方差的預(yù)測(cè)值。procautoreg過(guò)程由下列語(yǔ)句控制：procautoregdata=數(shù)據(jù)集<選項(xiàng)列表>;model因變量=獨(dú)立回歸變量列表</選項(xiàng)列表>;outputout=數(shù)據(jù)集<選項(xiàng)列表>;by 變量列表;run;其中，至少要有一個(gè)model語(yǔ)句。每個(gè)model語(yǔ)句都可跟隨一個(gè)output語(yǔ)句。procautoreg語(yǔ)句<選項(xiàng)歹U表>。outest=數(shù)據(jù)集名 把估計(jì)參數(shù)輸出到指定數(shù)據(jù)集中。covout=數(shù)據(jù)集名一一把估計(jì)參數(shù)的協(xié)方差陣輸出到指定數(shù)據(jù)集中。model語(yǔ)句的</選項(xiàng)列表>。center――通過(guò)減去均值中心化因變量并且取消模型的均值參數(shù)。noint 取消模型的均值參數(shù)。nlag=數(shù)值/(數(shù)值列表)一一指定自回歸誤差的階或者自回歸誤差的時(shí)間間隔的子集。例如，nlag=3與nlag=(123、作用相同，但與nlag=(13、等不同。garch=(<q=數(shù)值,><p=數(shù)值,><type=選擇值,><mean,><noint,><tr> ) 指定廣義條件異方差GARCH模型的類(lèi)型。例如，定義GARC(2,1、回歸模型時(shí)，可用下面 SAS語(yǔ)句：modely=x1x2/garch=(q=2,p=1);請(qǐng)?zhí)貏e注意SAS系統(tǒng)的自回歸參數(shù)符號(hào) q和p與我們前面所述公式中的符號(hào) p和q正好相反。定義GARCH-(1,1、回歸模型時(shí)，可用下面 SAS語(yǔ)句：modely=x1x2/garch= (q=2,p=1,mean、；type=選擇值，指定GARCH模型的類(lèi)型：選擇值為 noineq時(shí)指定無(wú)約束GARCH模型，缺省值；選擇值為nonneg時(shí)指定非負(fù)約束GARCH模型；選擇值為stn時(shí)指定約束GARCH模型系數(shù)的和小于1;選擇值為integ時(shí)指定IGARCH模型；選擇值為exp時(shí)指定EGARC模型。選項(xiàng)noint取消條件異方差模型中的均值參數(shù)。選項(xiàng) tr對(duì)GARCH模型的估計(jì)使用信賴(lài)區(qū)域方法，缺省值為對(duì)偶擬牛頓法

all――要求打印所有輸出選項(xiàng)。archtest 要求用portmanteaQ檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和 Engle的拉格朗日乘子 LM(Lagrangemultipliertest )檢驗(yàn)是否存在條件異方差情況，即是否有 ARCH效應(yīng)。coef——打印前幾條觀(guān)察的變換系數(shù)。corrb 打印參數(shù)估計(jì)的估計(jì)相關(guān)系數(shù)。covb――打印參數(shù)估計(jì)的估計(jì)協(xié)方差。dw=n 打印直到階n的DW統(tǒng)計(jì)量，缺省值n為1。dwprob——打印DW統(tǒng)計(jì)量的p值。當(dāng)誤差自由度大于 300時(shí)dwprob選項(xiàng)被忽略。ginv 打印Yule-Walker解的自協(xié)方差的Toeplitz矩陣的逆。itprint 打印每步迭代的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)估計(jì)。lagdetp——打印DWt統(tǒng)計(jì)量，它用于檢驗(yàn)存在時(shí)滯因變量時(shí)殘差的自相關(guān)性。lagdep=回歸變量一一打印 DWh統(tǒng)計(jì)量，它用于檢驗(yàn)一階自相關(guān)性。。partial 打印偏自相關(guān)。noprint——取消所有打印。backstep 去掉非顯著自回歸參數(shù)。參數(shù)按最小顯著性的次序被去掉。slstay=數(shù)值 指定被backstep選項(xiàng)使用的顯著水平，缺省值為 0.05。converge=數(shù)值 指定在迭代自回歸參數(shù)估計(jì)時(shí)參數(shù)的變化量的最大絕對(duì)值小于此數(shù)值，那么認(rèn)為收斂，缺省值為 0.001。maxiter=數(shù)值一一指定允許迭代的最大次數(shù)，缺省值為 50。method=ml/ols/yw/ityw 指定估計(jì)的方法： ml為最大似然估計(jì)；ols為無(wú)條件最小二乘法；yw為Yule-Walker估計(jì)；ityw為迭代Yule-Walker估計(jì)。nomiss――使用沒(méi)有缺失值的第一個(gè)連貫時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，進(jìn)行模型擬合估計(jì)。否則，跳過(guò)數(shù)據(jù)集開(kāi)始的任何缺失值，使用獨(dú)立回歸變量和因變量都不帶缺失值的所有數(shù)據(jù)。請(qǐng)?zhí)貏e注意，為了保持時(shí)間序列中正確的時(shí)間間隔，必須要增加時(shí)間刻度值，這樣就會(huì)產(chǎn)生因變量缺失值的觀(guān)察。當(dāng)因變量缺失時(shí)，過(guò)程可以產(chǎn)生預(yù)測(cè)值。如果缺失值很多，則應(yīng)使用 ML估計(jì)。output語(yǔ)句。out=數(shù)據(jù)集名一一指定包含預(yù)測(cè)值和變換值的輸出數(shù)據(jù)集。alphacli=數(shù)值一一設(shè)置時(shí)間序列預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的顯著水平。缺省值為 0.05。alphaclm=數(shù)值一一設(shè)置模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的顯著水平。缺省值為 0.05。cev=變量名一一把條件誤差方差寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。僅 GARC!模型被估計(jì)時(shí)才使用。cpev=變量名一一把條件預(yù)測(cè)誤差方差寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。僅 GARCH模型被估計(jì)時(shí)才使用。constant=變量名一一把被變換的均值寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。lcl=變量名一一把預(yù)測(cè)值的置信下限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。ucl=變量名一一把預(yù)測(cè)值的置信上限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。lclm=變量名一一把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值的置信下限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。uclm=變量名一一把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值的置信上限寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。p=變量名一一把預(yù)測(cè)值寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。rm=變量名一一把來(lái)自模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)的殘差寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。transform=變量名一一把被變換的變量寫(xiě)入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中。by語(yǔ)句。在by語(yǔ)句定義的組變量上，進(jìn)行單獨(dú)的自回歸過(guò)程 autoreg分析。

九、實(shí)例分析例40.1 對(duì)模擬方法生成的時(shí)間趨勢(shì)加二階自回歸誤差模型的時(shí)間序列數(shù)據(jù) ，用自回歸過(guò)程進(jìn)行分析和建模，以便于比較和判斷各種求解模型和運(yùn)算結(jié)果的好壞。模擬的模型為：xt10 0.5ttt1.3ti0.5t2 at (40.81)at~WN(0,2程序說(shuō)明：產(chǎn)生了t=1到36條x觀(guān)察值。x程序說(shuō)明：產(chǎn)生了t=1到36條x觀(guān)察值。x觀(guān)察值滿(mǎn)足公式(40.81)中要求，程序中的e變量對(duì)應(yīng)于公式中t；e1變量對(duì)應(yīng)于公式中 t1；e11變量對(duì)應(yīng)于公式中t2;表達(dá)式2*rannor(12346)，將生成獨(dú)立同分布均值為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，對(duì)應(yīng)于公式中均值為 0,標(biāo)準(zhǔn)差為2即方差為4的白噪聲誤差序列：at~WN(0,22)。DO循環(huán)從t=—10開(kāi)始而不是直接從t=1開(kāi)始的原因，是讓模擬生成的二階自回歸誤差序列 t有一段時(shí)間(t=—10到0)進(jìn)行初始化，以便到達(dá)穩(wěn)定的隨機(jī)序列值。 普通 procautoregdata=randar;modelx=t;run;procgplotdata=randar;plotx*t=1x*t=2/overlay;symbol1v=stari=join;symbol2v=nonei=rl;title'Auto-Regression:OLS：run;建立 datarandar;e1=0;e1仁0;dot=-10to36;e=1.3*e1-0.5*e11+2*rannor(12346);x=10+0.5*t+e;e1仁e1;e仁e;ift>0thenoutput;end;run;procprintdata=randar;run;

程序說(shuō)明：普通回歸procreg過(guò)程基于幾個(gè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)。關(guān)鍵的統(tǒng)計(jì)假設(shè)為誤差相互對(duì)立。然而，對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，普通回歸后的殘差常常是相關(guān)的。這將導(dǎo)致三個(gè)重要的后果：第一個(gè)是對(duì)于參數(shù)的顯著性和置信限的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)將不正確；第二個(gè)是回歸系數(shù)的估計(jì)不象考慮到自相關(guān)性時(shí)的估計(jì)一樣有效；第三個(gè)是由于回歸殘差不獨(dú)立，它們包含可用來(lái)改進(jìn)預(yù)測(cè)值的信息。由于這些原因，所以對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)不使用普通回歸 procreg過(guò)程而使用帶自回歸誤差的回歸 proautoreg過(guò)程。Model語(yǔ)句中指定回歸模型，象其他 SAS回歸模型一樣，通過(guò)首先命名因變量然后在等號(hào)后列舉回歸因子來(lái)指定模型。Model語(yǔ)句沒(méi)有選項(xiàng)，是要求利用普通最小二乘法做 x對(duì)t的回歸。Procgplot過(guò)程繪出了模擬時(shí)間序列的x的散點(diǎn)圖，散點(diǎn)符號(hào)用“*”來(lái)表示(v=star)，并且將這些散點(diǎn)依次連接起來(lái)(i=join)。由于SAS的繪圖過(guò)程具有簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)功能，我們可以直接在同一張輸出圖中同時(shí)繪出一條線(xiàn)性回歸趨勢(shì)線(xiàn)以供參考， symbol2語(yǔ)句中i=rl選項(xiàng)，就是指定plot語(yǔ)句中x*t=2選項(xiàng)做x對(duì)t的回歸。程序運(yùn)行后結(jié)果見(jiàn)表 40.2和見(jiàn)圖40—8所示。表40.2autoreg表40.2autoreg對(duì)OLS估計(jì)的結(jié)果AutoregProcedureDependentVariable=XOrdinaryLeastSquaresEstimatesSSE214.9534DFE34MSE6.32216RootMSE2.514391SBC173.6591AIC170.4921RegRsq0.8200TotalRsq0.8200SSE214.9534DFE34MSE6.32216RootMSE2.514391SBC173.6591AIC170.4921RegRsq0.8200TotalRsq0.8200Durbin-Watson0.4752VariableDFBValueStdErrortRatioApproxProbIntercept18.230758 0.85599.616 0.0001VariableDFBValueStdErrortRatioApproxProbIntercept18.230758 0.85599.616 0.00010.5021100.0403124470.0001對(duì)表40.2對(duì)表40.2中的輸出結(jié)果分析。用 OLS回歸結(jié)果首先顯示了關(guān)于模型殘差的統(tǒng)計(jì)量。模型的誤差平方和SSE誤差自由度DFE均方誤差MSE均方根誤差MSE信息準(zhǔn)則SBC和AIC、二個(gè)R2統(tǒng)計(jì)量和DW統(tǒng)計(jì)量。其中一個(gè)R2統(tǒng)計(jì)量是對(duì)回歸模型的 RegRsq,而另一個(gè)R2統(tǒng)計(jì)量是對(duì)包括自回歸誤差在內(nèi)的整體模型的TotalRsq，在此過(guò)程中現(xiàn)在還無(wú)自回歸誤差模型，所以二個(gè) R2統(tǒng)計(jì)量是相等的。最后的輸出顯示了一個(gè)帶有標(biāo)準(zhǔn)差和 t檢驗(yàn)的回歸系數(shù)表，t檢驗(yàn)的結(jié)果表明回歸系數(shù)都顯著不為 0。估計(jì)模型為：Xt8.2307580.502110tt心丄 (40.82)估計(jì)Var(t)6.32216OLS參數(shù)估計(jì)較合理地靠近真實(shí)值，但是誤差方差估計(jì) 6.32216遠(yuǎn)大于真實(shí)值4。誤差方差估計(jì)值遠(yuǎn)大于真實(shí)值，說(shuō)明模型還有信息沒(méi)有提取。但實(shí)際情況我們并不知道誤差方差估計(jì)值遠(yuǎn)大于真實(shí)值這一點(diǎn)，而是通過(guò)對(duì)模型的殘差作自相關(guān)性檢驗(yàn)來(lái)判斷和識(shí)別。檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖韵嚓P(guān)系數(shù)procautoregdata=randar;modelx=t/dw=4dwprob;run;程序Durbin-Watson檢驗(yàn)是廣泛使用的自相關(guān)性的檢驗(yàn)方法。選項(xiàng) dw=4和dwprob是要求過(guò)程進(jìn)行1到4階的OLS殘差中自相關(guān)性Durbin-Watson檢驗(yàn)，并要求打印輸出 Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量的邊緣顯著水平p值。請(qǐng)注意對(duì)于季節(jié)性時(shí)間序列數(shù)據(jù) ，自相關(guān)性檢驗(yàn)應(yīng)該至少檢驗(yàn)與季節(jié)性階一樣大的階 。例如，對(duì)于月度數(shù)據(jù)至少應(yīng)取 dw=12。程序運(yùn)行后結(jié)果見(jiàn)表 40.3所示。AutoregProcedureDependentVariable=XOrdinaryLeastSquaresEstimatesSSE214.9534DFE34MSE6.32216RootMSE2.514391SBC173.6591AIC 170.4921RegRsq0.8200TotalRsq0.8200Durbin-WatsonStatisticsOrderDWPROBvDW10.47520.000121.29350.013732.06940.6545表40.3對(duì)OLS殘差的DW僉驗(yàn)結(jié)果對(duì)表40.3中的輸出結(jié)果分析。一階 Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量為0.4752，其p值為＜0.0001，極其顯著，強(qiáng)烈拒絕一階自相關(guān)系數(shù)為 0的原假設(shè)。因此，自相關(guān)性的校正是必須的。要注意的問(wèn)題是，利用Durbin-Watson檢驗(yàn)可決定是否需要做自相關(guān)性校正。但廣義的 Durbin-Watson檢驗(yàn)不應(yīng)該用于確定自回歸的階數(shù)。因?yàn)楦唠A的檢驗(yàn)是在無(wú)低階自相關(guān)性的原假設(shè)下進(jìn)行的。例如，若普通的Durbin-Watson檢驗(yàn)表明無(wú)一階自相關(guān)性，那么可以用二階檢驗(yàn)去檢驗(yàn)二階自相關(guān)性。一旦檢驗(yàn)出某

階有自相關(guān)性存在，那么更高階的檢驗(yàn)將不適用。在表 40.3中，由于1階自相關(guān)性檢驗(yàn)是顯著的，所以2、3、4階的檢驗(yàn)是被忽略的。自回 procautoregdata=randar;modelx=t/nlag=2method=ml;outputout=poutp=xhatpm=trendhat;run;procgplotdata=pout;plotx*t=1xhat*t=2trendhat*t=3/overlay;symbol1v=stari=nonec=redh=2.5;symbol2v=plusi=joinc=blueh=2.5;symbol3v=nonei=joinc=greenw=2;title1'Auto-Regression';title2'nlag=2method=ml';run;程序說(shuō)明：第一個(gè)procautoreg過(guò)程中的modelx=t/nlag=2語(yǔ)句，指定誤差為1階、2階自回歸模型時(shí)，進(jìn)行x對(duì)t的回歸，nlag=選項(xiàng)還有一種格式，如 nlag=(145)，表示自回歸誤差模型為t1t1 4t4 5t5 at。選項(xiàng)method=ml，指定回歸參數(shù)的估計(jì)采用精確最大似然估計(jì)方法，缺省時(shí)使用Yule-Walker估計(jì)方法。用output語(yǔ)句輸出預(yù)測(cè)值到pout數(shù)據(jù)集中，預(yù)測(cè)值有兩種類(lèi)型：第一類(lèi)部分模型預(yù)測(cè)值僅通過(guò)模型的結(jié)構(gòu)部分得到，即由 ? ?t部分得到，這是響應(yīng)變量Xt在時(shí)刻t的無(wú)條件均值估計(jì)，用選項(xiàng)pm=trendhat表示將第一類(lèi)部分預(yù)測(cè)值輸出到數(shù)據(jù)集 pout的指定字段變量trendhat中；第二類(lèi)整體模型預(yù)測(cè)值既包含模型的結(jié)構(gòu)部分也包含自回歸誤差過(guò)程的預(yù)測(cè)值，即由X； ?0 ?t?t1 ?t2整體模型得到，用選項(xiàng)p=xhat表示將第二類(lèi)整體預(yù)測(cè)值輸出到數(shù)據(jù)集pout的指定字段變量xhat中。第二個(gè)procgplot過(guò)程針對(duì)自回歸誤差過(guò)程輸出的數(shù)據(jù)集 pout中數(shù)據(jù)共繪制三條曲線(xiàn)。第一條曲線(xiàn)由plot語(yǔ)句選項(xiàng)x*t=1指定原始觀(guān)察值和時(shí)間畫(huà)曲線(xiàn)，同時(shí)由symbol1語(yǔ)句描述曲線(xiàn)格式化形式，具體曲線(xiàn)格式為紅色星號(hào)散布圖；第二條曲線(xiàn)由plot語(yǔ)句選項(xiàng)xhat*t=2指定整體模型預(yù)測(cè)值和時(shí)間畫(huà)曲線(xiàn)，同時(shí)由symbol2語(yǔ)句描述曲線(xiàn)格式化形式，具體曲線(xiàn)格式為蘭色加號(hào)連線(xiàn)圖；第三條曲線(xiàn)由plot語(yǔ)句選項(xiàng)trendhat*t=2 指定部分模型預(yù)測(cè)值和時(shí)間畫(huà)曲線(xiàn)，同時(shí)由 symbol3語(yǔ)句描述曲線(xiàn)格式化形式，具體曲線(xiàn)格式為綠色無(wú)點(diǎn)連線(xiàn)圖，本例因?yàn)?t是一次方，所以是一條直線(xiàn)。程序運(yùn)行后結(jié)果見(jiàn)表40.4和見(jiàn)圖40—9所示。

AutoregProcedureDependentVariable=X以下是普通最小二乘法回歸模型的有關(guān)結(jié)果OrdinaryLeastSquaresEstimatesSSE214.9534DFE34MSE6.32216RootMSE2.514391SBC173.6591AIC170.4921RegRsq0.8200TotalRsq0.8200Durbin-Watson0.4752VariableDFBValueStdErrortRatioApproxProbIntercept18.230758 0.85599.616 0.00010.502110 0.0403 12.447 0.0001EstimatesofAutocorrelationsLagCovarianceCorrelation-1987654321012345678915.9709291.000000|********************4.5169190.756485|***************2.0241140.338995|*******以下是自回歸誤差模型的有關(guān)結(jié)果PreliminaryMSE=1.794304EstimatesoftheAutoregressiveParametersLagCoefficientStdErrortRatio1 -1.169056670.148172-7.8902 0.545379340.1481723.681SSEMSESBCMaximumLikelihoodEstimates54.74931.710916133.4765DFE32RootMSE1.30802AIC127.1424RegRsqAutoregProcedureDependentVariable=X以下是普通最小二乘法回歸模型的有關(guān)結(jié)果OrdinaryLeastSquaresEstimatesSSE214.9534DFE34MSE6.32216RootMSE2.514391SBC173.6591AIC170.4921RegRsq0.8200TotalRsq0.8200Durbin-Watson0.4752VariableDFBValueStdErrortRatioApproxProbIntercept18.230758 0.85599.616 0.00010.502110 0.0403 12.447 0.0001EstimatesofAutocorrelationsLagCovarianceCorrelation-1987654321012345678915.9709291.000000|********************4.5169190.756485|***************2.0241140.338995|*******以下是自回歸誤差模型的有關(guān)結(jié)果PreliminaryMSE=1.794304EstimatesoftheAutoregressiveParametersLagCoefficientStdErrortRatio1 -1.169056670.148172-7.8902 0.545379340.1481723.681SSEMSESBCMaximumLikelihoodEstimates54.74931.710916133.4765DFE32RootMSE1.30802AIC127.1424RegRsq0.7280TotalRsq0.9542Durbin-Watson2.2761表40.4AR(2)誤差模型的最大似然估計(jì)

對(duì)表40.4中的輸出結(jié)果分析。結(jié)果輸出主要分成兩大部分：普通最小二乘法回歸模型和自回歸誤差模型的有關(guān)輸出結(jié)果。首先顯示的是由初始OLS產(chǎn)生的回歸結(jié)果，包括診斷統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)估計(jì)表，與表40.2中的輸出結(jié)果一致，估計(jì)模型見(jiàn)公式 (40.82)。然后是由OLS殘差計(jì)算出的自相關(guān)系數(shù)，并將自相關(guān)系數(shù)用“*”號(hào)圖形化顯示。對(duì)于自回歸誤差模型的輸出結(jié)果，首先給出 PreliminaryMSE=1.794304 為最大似然估計(jì)迭代計(jì)算開(kāi)始的初始Yule-Walker估計(jì)值。然后給出了在原假設(shè)時(shí)間間隔為 1和2的自相關(guān)系數(shù)為0情況下，1階和2階自相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、標(biāo)準(zhǔn)差和 t值，從t=—7.890和3.681來(lái)分析，它們的絕對(duì)值都很大，拒絕1階和2階自相關(guān)系數(shù)為0的原假設(shè)。自回歸誤差模型的回歸結(jié)果同樣包括回歸統(tǒng)計(jì)量和參數(shù)估計(jì)表，表的形式與 OLS輸出表一樣。參數(shù)估計(jì)表顯示了回歸系數(shù)的 ML估計(jì)，比OLS輸出的參數(shù)估計(jì)表多二個(gè)附加行，被標(biāo)記為 A(1)和A(2),分別來(lái)顯示自回歸誤差的一階系數(shù)和二階系數(shù)的估計(jì)值。估計(jì)模型為：Xt 7.8833380.509553ttt1.246428t10.628285t2at (40.83)估計(jì)Var(at) 1.710916請(qǐng)注意SAS系統(tǒng)的autoreg過(guò)程輸出的自回歸誤差t的估計(jì)參數(shù)符號(hào)與上式中正好相反。最后顯示了基于假設(shè)自回歸參數(shù)的估計(jì)值就等于真實(shí)參數(shù)值的情況，重新計(jì)算了參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差和 t值，如重新計(jì)算截距7.883338的標(biāo)準(zhǔn)差為1.1678而不是1.1693。比較自回歸誤差模型和普通最小二乘法回歸模型， 由殘差計(jì)算的整體R2統(tǒng)計(jì)量0.9542>0.8200,這反映了由于過(guò)去殘差的使用而改進(jìn)了擬合模型，將會(huì)使下一個(gè)預(yù)測(cè)值更準(zhǔn)確。顯然，自回歸誤差模型部分R2統(tǒng)計(jì)量總是小于普通最小二乘法回歸模型部分 R2統(tǒng)計(jì)量，0.7280<0.8200,這是因?yàn)樵诓糠帜Ｐ蜁r(shí)，普通最小二乘法回歸已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)，它的部分模型 R2統(tǒng)計(jì)量與整體模型R2統(tǒng)計(jì)量是相等的。自回歸誤差模型的信息準(zhǔn)則 SBC和AIC值都分別比OLS模型的SBC和AIC值小，如

133.4765<173.6591,127.1424<170.4921，同樣說(shuō)明估計(jì)模型(40.83)式比估計(jì)模型(40.82)式要好。對(duì)于自回歸誤差模型的MSE為1.710916，此值遠(yuǎn)小于真實(shí)值4,而對(duì)于OLS模型的MSE為6.32216,此值遠(yuǎn)大于真實(shí)值4,從MSE直的大小對(duì)比中，也可以得出自回歸誤差模型較好。要注意在小樣本情況下，自回歸誤差模型傾向于低估2，而OLS模型傾向于高估 2。最后，我們還注意到，自回歸誤差模型的DW統(tǒng)計(jì)量為2.2761，接近2,殘差序列不相關(guān)，而OLS模型的DW統(tǒng)計(jì)量為0.4752，接近0偏離2，殘差序列正相關(guān)，同樣可以得出自回歸誤差模型已經(jīng)完全提取了內(nèi)在規(guī)律的信息，只剩下純隨機(jī)波動(dòng)。比較圖40-8中OLS模型的趨勢(shì)線(xiàn)和圖40—9中AR(2)模型的趨勢(shì)線(xiàn)，趨勢(shì)線(xiàn)公式分別為：OLS:xt 8.2307580.502110t(40.84)AR(2):x 7.8833380.509553t預(yù)測(cè) datarandar37;x=.;dot=37to46;output;end;run;datarandar37;mergerandarrandar37;byt;run;proc