1059.1測量不確定度評(píng)定與表示

北京理工大學(xué)

周桃庚

主要內(nèi)容第一部分測量不確定度概念的產(chǎn)生和發(fā)展第二部分實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可和資質(zhì)認(rèn)定政策對(duì)測量不確定度評(píng)估的要求第三部分統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本知識(shí)第四部分名詞術(shù)語第五部分測量不確定度評(píng)定第三部分

統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本知識(shí)隨機(jī)變量作一次試驗(yàn)，其結(jié)果有多種可能。每一種可能結(jié)果都可用一個(gè)數(shù)來表示，可把這些數(shù)看作為某變量X的取值范圍，變量X稱為“隨機(jī)變量”，即實(shí)驗(yàn)結(jié)果可用隨機(jī)變量X來表示。通俗地講，表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量稱為隨機(jī)變量。常用大寫字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，它們的取值用相應(yīng)的小寫字母x，y，z表示。定義：如果某一量(例如測量結(jié)果)在一定條件下，取某一值或在某一范圍內(nèi)取值是一個(gè)隨機(jī)事件，則這樣的量稱作隨機(jī)變量。隨機(jī)變量根據(jù)其值的性質(zhì)不同，可分為離散型和連續(xù)型兩種，如果隨機(jī)變量X的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，且以各種確定的概率取這些不同的值，則稱隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。如果隨機(jī)變量的所有可能取值充滿為某范圍內(nèi)的任何數(shù)值，且在其取值范圍內(nèi)的任一區(qū)間中取值時(shí)，其概率是確定的，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。概率()概率是一個(gè)0和1之間隸屬于隨機(jī)事件的實(shí)數(shù)概率與在一段較長時(shí)間內(nèi)的事件發(fā)生的相對(duì)頻率有關(guān)或與事件發(fā)生的可信程度()有關(guān)3358.1-2009統(tǒng)計(jì)學(xué)詞匯及符號(hào)第1部分：一般統(tǒng)計(jì)術(shù)語與用于概率的術(shù)語概率的頻率解釋若對(duì)某一個(gè)被測量重復(fù)測量，我們可以得到一系列測量數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)稱測量值或觀測值測量值是隨機(jī)變量，它們分散在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，概率是測量值在區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的相對(duì)頻率，即出現(xiàn)的可能性大小的度量在此定義的基礎(chǔ)上奠定了測量不確定度A類評(píng)定的理論基礎(chǔ)。概率的可信程度的解釋由于測量的不完善或人們對(duì)被測量及其影響量的認(rèn)識(shí)不足，概率是測量值落在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的可信度大小的度量在這個(gè)定義中，對(duì)于那些我們不知道其大小的系統(tǒng)誤差，可以認(rèn)為是以一定的概率落在區(qū)間的某個(gè)位置，認(rèn)為也屬于隨機(jī)變量或者說，某項(xiàng)未知的系統(tǒng)誤差落在該區(qū)間內(nèi)的可信程度也可以用概率表征。這是測量不確定度B類評(píng)定的理論基礎(chǔ)概率測量值x落在()區(qū)間內(nèi)的概率可以表示為概率的值在0到1之間概率分布()一個(gè)隨機(jī)變量取任何給定值或?qū)儆谀骋唤o定值集的概率隨取值而變化的函數(shù)1.隨機(jī)變量在整個(gè)集合中取值的概率等于12.一個(gè)概率分布與單一(標(biāo)量)隨機(jī)變量有關(guān)時(shí)稱為單變量概率分布，與隨機(jī)變量的向量有關(guān)時(shí)稱為多變量概率分布。多變量概率分布也稱聯(lián)合分布3.一個(gè)概率分布可以采用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)的形式分布函函數(shù)對(duì)于每每個(gè)x值給給出了了隨機(jī)機(jī)變量量X小小于或或等于于x的的概率率的一一個(gè)函函數(shù)稱稱分布布函數(shù)數(shù)，用用F(x)表示示F(x)=P(X≤x)01231F(x)x10F(x)是是一個(gè)個(gè)不減減的函函數(shù)20概率密密度函函數(shù)分布函函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)數(shù)（當(dāng)當(dāng)導(dǎo)數(shù)數(shù)存在在時(shí)））稱（（連續(xù)續(xù)隨機(jī)機(jī)變量量的））概率率密度度函數(shù)數(shù)，用用p(x)表示示，p(x)(x)p(x)稱稱““概率率元素素”p(x)P(x＜＜X＜＜)離散型型隨機(jī)機(jī)變量量的概概率分分布要了解解離散散型隨隨機(jī)變變量X的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)規(guī)規(guī)律，，就必必須知知道它它的一一切可可能值值及取取每種種可能能值的的概率率如果將將離散散型隨隨機(jī)變變量X的一一切可可能取取值及及其對(duì)對(duì)應(yīng)的的概率率，，記作作P()=，，1,2,…….則稱上上式為為離散散型隨隨機(jī)變變量X的概概率分分布或或分布布X-123概率密密度函函數(shù)若已知知某個(gè)個(gè)隨機(jī)機(jī)變量量的概概率密密度函函數(shù)p(x),則測測量值值x落落在()區(qū)區(qū)間內(nèi)內(nèi)的概概率p可用用下式式計(jì)算算數(shù)學(xué)上上，積積分代代表了了面積積。由由此可可見，，概率率p是是概率率分布布曲線線下在在區(qū)間間()內(nèi)包包含的的面積積當(dāng)0.9，，表明明測量量值有有90%的的可能能性落落在該該區(qū)間間內(nèi)，，該區(qū)區(qū)間包包含了了概率率分布布下總總面積積的90%當(dāng)1，，表明明測量量值以以100%的可可能性性落在在該區(qū)區(qū)間內(nèi)內(nèi)，也也就是是測量量值必必定在在此區(qū)區(qū)間內(nèi)內(nèi)。3.概概率分分布的的特征征參數(shù)數(shù)盡管概概率分分布反反映了了該隨隨機(jī)變變量的的全貌貌，但但在實(shí)實(shí)際使使用中中更關(guān)關(guān)心代代表該該該概概率分分布的的若干干數(shù)字字特征征量。。期望方差標(biāo)準(zhǔn)偏偏差期望期望又又稱(概率率分布布或隨隨機(jī)變變量的的)均均值()或或期望望值(),有有時(shí)又又稱數(shù)數(shù)學(xué)期期望。。常用符符號(hào)表表示，，也用用E(X)表示示。測量值值的期期望離散隨隨機(jī)變變量連續(xù)續(xù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量通俗俗地地說說：：期期望望值值是是無無窮窮多多次次測測量量的的平平均均值值。。期望望對(duì)于于單單峰峰、、對(duì)對(duì)稱稱的的概概率率分分布布來來說說，，期期望望值值在在分分布布曲曲線線峰峰頂頂對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)正因因?yàn)闉閷?shí)實(shí)際際上上不不可可能能進(jìn)進(jìn)行行無無窮窮多多次次測測量量，，因因此此，，測測量量中中期期望望值值是是可可望望而而不不可可得得的的。。期望望是是概概率率分分布布曲曲線線與與橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸構(gòu)構(gòu)成成面面積積的的重重心心所所在在的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)，，因因此此它它是是決決定定隨隨機(jī)機(jī)變變量量分分布布的的位位置置的的量量期望望三條條測測量量值值分分布布曲曲線線的的精精密密度度相相同同，，但但正正確確度度不不同同。。期望望與與真真值值之之差差即即為為系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差，，如如果果系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差可可以以忽忽略略，，則則期期望望就就是是被被測測量量的的真真值值期望望代代表表了了測測量量的的最最佳佳估估計(jì)計(jì)值值，，或或相相對(duì)對(duì)真真值值的的系系統(tǒng)統(tǒng)誤誤差差大大小小方差差對(duì)于于一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量，，僅僅用用數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望還還不不足足以以充充分分描描述述其其特特性性。。比如如，，兩兩組組測測量量數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)：：28,29,30,31,32…………數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望30，，各各個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)在在28和和32之之間間波波動(dòng)動(dòng)10,20,30,40,50…………數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望30，，各各個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)在在10和和50之之間間波波動(dòng)動(dòng)兩組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)具具有有相相同同的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望為為30，，但但它它們們具具有有重重要要的的差差別別。。第2組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)比比第第一一組組數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)分分散散得得多多。。方差差(隨隨機(jī)機(jī)變變量量或或概概率率分分布布的的)方方差差用用符符號(hào)號(hào)表表示示測量量值值與與期期望望之之差差是是隨隨機(jī)機(jī)誤誤差差，，方方差差就就是是隨隨機(jī)機(jī)誤誤差差平平方方的的期期望望值值方差差說說明明了了隨隨機(jī)機(jī)誤誤差差的的大大小小和和測測量量值值的的分分散散程程度度。。但但由由于于方方差差的的量量綱綱是是單單位位的的平平方方，，使使用用不不方方便便，，因因此此引引出出了了標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差這這個(gè)個(gè)術(shù)術(shù)語語標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差概率率分分布布或或隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差是是方方差差的的正正平平方方根根值值，，用用符符號(hào)號(hào)表表示示標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差是是無無窮窮多多次次測測量量的的隨隨機(jī)機(jī)誤誤差差平平方方的的算算術(shù)術(shù)平平均均值值的的正正平平方方根根值值的的極極限限，，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差是是表表明明測測得得值值分分散散性性的的參參數(shù)數(shù)，，小小表表明明測測得得值值比比較較集集中中，，大大表表明明測測得得值值比比較較分分散散。。通通常常，，測測量量的的重重復(fù)復(fù)性性或或復(fù)復(fù)現(xiàn)現(xiàn)性性是是用用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差來來表表示示的的。。三條條誤誤差差分分布布曲曲線線的的正正確確度度相相同同，，但但精精密密度度不不同同標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差由于于標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差是是無無窮窮多多次次測測量量時(shí)時(shí)的的極極限限值值，，所所以以又又稱稱總總體體標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差。。可見見：：期期望望和和方方差差(或或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差)是是表表征征概概率率分分布布的的兩兩個(gè)個(gè)特特征征參參數(shù)數(shù)。。理理想想情情況況下下，，應(yīng)應(yīng)該該以以期期望望為為被被測測量量的的測測量量結(jié)結(jié)果果，，以以標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差表表示示測測得得值值的的分分散散性性三條條誤誤差差分分布布曲曲線線的的正正確確度度相相同同，，但但精精密密度度不不同同標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差由于于期期望望、、方方差差和和標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏偏差差都都是是以以無無窮窮多多次次測測量量的的理理想想情情況況定定義義的的，，因因此此都都是是概概念念性性的的術(shù)術(shù)語語，，無無法法由由測測量量得得到到，，2和和。。三條誤差差分布曲曲線的正正確度相相同，但但精密度度不同4.有限限次測量量時(shí)μ和和σ的估估計(jì)值算數(shù)平均均值()期望的最最佳估計(jì)計(jì)值在相同測測量條件件下，對(duì)對(duì)某被測測量X進(jìn)進(jìn)行有限限次獨(dú)立立重復(fù)測測量，得得到一系系列測量量值,算算術(shù)平平均值為為算術(shù)平均均值是期期望的最最佳估計(jì)計(jì)值由大數(shù)定定理證明明，測量量值的算算術(shù)平均均值是其其期望的的最佳估估計(jì)值大數(shù)定理理：算術(shù)平均均值若干個(gè)獨(dú)獨(dú)立同分分布的隨隨機(jī)變量量的平均均值以無無限接近近于1的的概率接接近于其其期望。所以以是是期期望的的最佳佳估計(jì)值值。即使在同同一條件件下對(duì)同同一量進(jìn)進(jìn)行多組組測量，，每組的的平均值值都不相相同，說說明算術(shù)術(shù)平均值值本身也也是隨機(jī)機(jī)變量。。由于有限限次測量量時(shí)的算算術(shù)平均均值是其其期望的的最佳估估計(jì)值，，因此，，通常用用算術(shù)平平均值作作為測量量結(jié)果的的值。2）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差()有限次測測量時(shí)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)偏差差的估計(jì)計(jì)值實(shí)際工作作中不可可能測量量無窮多多次，因因此無法法得到總總體標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差σσ。用有限次次測量的的數(shù)據(jù)得得到標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差的的估計(jì)值值稱為實(shí)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差，，用符號(hào)號(hào)s表示示?，F(xiàn)介紹幾幾種常用用的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差的估估計(jì)方法法。在相同測測量條件件下，對(duì)對(duì)某被測測量X進(jìn)進(jìn)行有限限次獨(dú)立立重復(fù)測測量，得得到一系系列測量量值,則則實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差可按按以下幾幾種方法法估計(jì)（1）貝貝塞爾公公式式中——n次次測量的的算術(shù)平平均值——?dú)埐畈睢杂捎啥取?測測量值的的)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差,表表征了觀觀測值的的變動(dòng)性性，或更更確切地地說，表表征了它它們?cè)谄狡骄抵苤車姆址稚⑿詺堄嗾`差差各個(gè)測得得值與算算術(shù)平均均值之差差，叫作作殘余誤誤差（也也稱殘差差）殘余誤差差性質(zhì)：：殘余誤誤差的代代數(shù)和等等于零。。即這是因?yàn)闉槔河糜斡螛?biāo)卡尺尺測某一一尺寸10次，，數(shù)據(jù)見見表（設(shè)設(shè)無系統(tǒng)統(tǒng)和粗大大誤差）），求算算術(shù)平均均值及單單次測值值的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差差。測序22175.01-0.0350.001225275.04-0.0050.000025375.07+0.0250.000625475.00-0.0450.002025575.03-0.0150.000225675.09+0.0450.002025775.06+0.0150.000225875.02-0.0250.000625975.05+0.0050.0000251075.08+0.0350.001225可得利用貝塞塞爾公式式求出的的實(shí)驗(yàn)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差是是上述10個(gè)測測值的測測量組中中單次測測量的實(shí)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差。如如何理解解？例：測量量列為75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08；這10個(gè)個(gè)測值是是等權(quán)測測量，每每一個(gè)測測值的實(shí)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差都是是0.0303。。單次測值值的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差差在數(shù)據(jù)據(jù)處理中中的意義義：1）可比比較不同同測量組組的測量量可靠性性：例：對(duì)同同一被測測量進(jìn)行行了兩組組測量（（如由兩兩人），，其數(shù)據(jù)據(jù)是：測量結(jié)果果一樣，，哪個(gè)測測量者的的測量水水平高、、測值更更可靠？？何時(shí)會(huì)用用單次測測量值作作為測量量結(jié)果？？2）當(dāng)用用單次測測量值作作為測量量結(jié)果時(shí)時(shí)，可反反映單次次測量測測量結(jié)果果的可靠靠性。說明：（1）單單次測量量的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差s并并非只測測量一次次就能得得到的。。對(duì)于一一定的測測量方法法或量儀儀，必須須通過多多次測試試才能獲獲得。（（即所謂謂“用統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法法得出””）（2）一一旦得出出了s值值，在今今后使用用該量儀儀或測量量方法時(shí)時(shí)，s便便為已知知值，便便能對(duì)單單次測量量給出測測量不確確定度。。（3）在在有的儀儀器說明明書里或或手冊(cè)表表格中往往往也給給出了s值。此此時(shí)，在在測量過過程中便便可直接接引用，，而不必必自己去去求出。。（2）極極差法從有限次次對(duì)立重重復(fù)測量量的一列列測量值值中找出出最最大值，，最最小小值得到極差差，，并根據(jù)據(jù)測量次次數(shù)n查查表得到到極差系系數(shù)值值代代入下式式得到實(shí)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差（3）較較差法從有限次次獨(dú)立重重復(fù)測量量的一列列測量值值中，將將每次測測量值與與后一次次測量值值比較得得到差值值，利用用下式得得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差3）實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差的可可靠性與與自由度度的關(guān)系系實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差是是標(biāo)準(zhǔn)偏偏差的估估計(jì)值，，它本身身存在著著標(biāo)準(zhǔn)偏偏差，實(shí)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差的的標(biāo)準(zhǔn)偏偏差估計(jì)計(jì)值為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差s的相對(duì)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)偏偏差為由此可見見，標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差估估計(jì)值的的可靠程程度是與與自由度度大小成成反比的的，自由由度越大大，評(píng)定定的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差估估計(jì)值越越可靠。。各種估計(jì)計(jì)方法的的比較貝塞爾公公式法是是一種基基本的方方法，極差法使使用起來來比較簡簡便，但但當(dāng)數(shù)據(jù)據(jù)的概率率分布偏偏離正態(tài)態(tài)分布較較大時(shí)，，應(yīng)當(dāng)以以貝塞爾爾公式法法的結(jié)果果為準(zhǔn)。。較差法更更適用于于隨機(jī)過過程的方方差分析析，如頻頻率測量量的阿倫倫方差就就屬于這這種方法法。4）算數(shù)平均均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)偏差若測量值的實(shí)實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差差為s()，，則算術(shù)平平均值的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差為為有限次測量的的算術(shù)平均值值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)偏差與成成反反比。測量次次數(shù)增加，減減小，即算術(shù)術(shù)平均值的分分散性減小。。一般3~20通常用算術(shù)平平均值作為被被測量估計(jì)值值，則算術(shù)平平均值的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差是是被測量估計(jì)計(jì)值的A類評(píng)評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不不確定度概率統(tǒng)計(jì)術(shù)語語無限次測量的理想條件下概率論術(shù)語有限次測量條件下的統(tǒng)計(jì)學(xué)術(shù)語數(shù)學(xué)期望算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差常用的概率分分布正態(tài)分布正態(tài)分布又稱稱高斯分布。。一個(gè)連續(xù)隨隨機(jī)變量X的的正態(tài)分布的的概率密度函函數(shù)為式中，是X的期望，為標(biāo)準(zhǔn)偏差差。正態(tài)分布的特特點(diǎn)單峰性：概率率分布曲線在在均值μ處處具有一個(gè)極極大值對(duì)稱性：正