導(dǎo)函數(shù)單選題（2021-2022·常州·期末）8．已知函數(shù)y=fx?1圖象關(guān)于點1,0對稱，且當x>0時，f'xA．f5π6<?fC．?f?π6【答案】D【分析】本題有兩個入手點：①fx關(guān)于點0,0對稱；②在0,+∞上單調(diào)遞增，然后以特殊值代入即可解決.【解析】由fx?1關(guān)于點1,0對稱可知，fx關(guān)于點0,0對稱，則令gx=fx又x>0時，f'x則gx在0,+∞則有g(shù)即?就是?f?故選：D（2021-2022·南通海安市·期末）8．已知，bln3=3lnb，clnA．c＜a＜bB．a(chǎn)＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，然后，作差比較可得答案.【解析】由已知得，，lncc=令，f'x可得fx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，且，所以c<a，，且，所以a<b，所以.故選：A.（2021-2022·南通海門市·期末）5．已知函數(shù)f(x)=x2?aexA．(0，4e2) B．[0，4e2) C．[0，4e【答案】A【分析】對x2?aex=0【解析】f(x)=x2?a不妨令gx=x2故gx在?∞,0單調(diào)遞減，在0,2單調(diào)遞增，在2,+∞g0=0,g2=4當x趨近于負無窮時，gx趨近于正無窮；x趨近于正無窮時，gx趨近于故當a∈故選：A.（2021-2022·南通如皋市、鎮(zhèn)江市·期末）6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－x的圖象在點A(1，f(1))處的切線方程為y＝4x－3，則函數(shù)y＝f(x)的極大值為（

）A．1 B．?527 C．?【答案】A【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a的值，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負判斷極值點，求得極大值.【解析】由由題意得f'故f'(1)=3+2a?1=4，則所以f'(x)=3x則x1=?1，當或x>13時，f'(x)<0；當?1<x<故函數(shù)f(x)在x=?1時取得極大值為f(?1)=?1+1+1=1，故選：A.（2021-2022·蘇州市·期末）7．已知a>b+1>1則下列不等式一定成立的是（

）A．b?a>bB．a(chǎn)+1a>b+1b【答案】C【分析】錯誤的三個選項ABD可以借助特殊值法進行排除，C可以利用求導(dǎo)得出證明.【解析】取a=10,b=8，則b?a<b取a=3，b=13，取a=3，b=1，則a+lnb=3，b+故D選項錯誤；關(guān)于C選項，先證明一個不等式：，令y=ex?x?1，于是x>0時y'>0，y遞增；時y'<0所以x=0時，y有極小值，也是最小值e0于是y=ex?x?1≥0由，當時，同時取對數(shù)可得，x≥ln(x+1)再用替換x，得到x?1≥lnx，當且僅當x=1由于a>b+1>1，得到eb>b+1，lna<a?1，C選項正確.故選：C.多選題（2021-2022·常州·期末）11．已知函數(shù)fx=lnA．函數(shù)fx是周期函數(shù) B．函數(shù)fC．函數(shù)fx有無數(shù)個極值點 D．函數(shù)fx在【答案】CD【分析】根據(jù)y=ln令x?π4=t，g作出y=?lnt與作出y=1t與通過圖象可判斷gt在0,【解析】fx因為y=lnx?π令x?π4=t，g令gt=0，則作出y=?lnt與y=2cost∴gt至少有兩個零點，∴作出y=1t與y=2∴gt有無數(shù)個極值點，即f因為g't在0,π2有零點，所以∴fx在π故選：CD.（2021-2022·南通通州區(qū)·期末）12．函數(shù)f(x)＝ekx，g(x)＝lnxk，其中k≠0，則（A．若點P(a，b)在f(x)的圖象上，則點Q(b，a)在g(x)的圖象上B．當k＝e時，設(shè)點A，B分別在f(x)，g(x)的圖象上，則|AB|的最小值為2C．當k＝1時，函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于5D．當k＝－2e時，函數(shù)G(x)＝f(x)－g(x)有3個零點【答案】ACD【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)判斷A；結(jié)合反函數(shù)性質(zhì)，求出f(x)的與直線y=x相切的切線的切點坐標，由切點到直線y=x的距離可得f(x)與g(x)圖象上兩點間的最短距離，從而判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值判斷C；根據(jù)函數(shù)f(x)與g(x)的單調(diào)性及反函數(shù)的性質(zhì)，確定它們的交點個數(shù)，判斷D．【解析】由y=ekx得lny=kx，x=lnykk=e時，f(x)=eex，f'(x)=e?eex，由所以函數(shù)y=f(x)的與直線y=x平行的切線的切點是M?1e,1e，M到直線k=1時，F(xiàn)(x)=f(x)?g(x)=ex?lnxF'(12)=e?2<0，F(xiàn)'(1)=e?1>0F'(x0)=ex0?1x0=0，0<x<x0ex0?1x由對勾函數(shù)知y=1x+x在上是減函數(shù)，所以F(x)k=?2e時，f(x)=e?2ex是減函數(shù)，g(x)=lnx?2e也是減函數(shù)，它們互為反函數(shù)，作出它們的圖象，如圖，易知它們有一個交點在直線y=x上，在右側(cè)，f(x)的圖象在x軸上方，而g(x)的圖象在(1,0)處穿過x軸過渡到x軸下方，之間它們有一個交點，根據(jù)對稱性，在左上方，靠近(0,1)處也有一個交點，因此函數(shù)y=f(x)故選：ACD．【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)與最值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點等知識．考查綜合應(yīng)用的能力．對于互為反函數(shù)的兩個函數(shù)f(x)和g(x)的圖象上兩點間的距離的最小值問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)圖象上的點到直線y=x的距離的最小值，從而轉(zhuǎn)化為求出與直線y=x平行的切線的切點坐標即可得．函數(shù)的零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)，從而可利用反函數(shù)的函數(shù)圖象的性質(zhì)，結(jié)合圖象的變化趨勢得出結(jié)論．本題屬于較難題．（2021-2022·蘇北四市·期末）11．在平面直角坐標系xOy中，若對于曲線上的任意點P，都存在曲線上的點Q，使得OP?OQ=0成立，則稱函數(shù)fx具備“?性質(zhì)”.則下列函數(shù)具備“?性質(zhì)”的是（A．y=x+1B．y=cos2xC．【答案】BD【分析】四個選項都可以做出簡圖，對于選項A和選項C，可在圖中選取特殊點驗證排除；選項B、選項D可在圖中任意選擇點P，觀察是否存在點Q，使得OP?【解析】選項A，如圖所示，曲線y=x+1，當點P取得（?22，22）時，要使得點Q滿足OP?OQ=0成立，那么點Q落在直線y=x上，而此時y=x+1選項B，如圖所示，曲線y=cos2x，對于曲線y=cos2x上的任意點選項C，如圖所示，曲線y=lnxx，當點P取得（1，0）時，要使得點Q滿足OP?OQ=0成立，那么點Q落在直線y=0上，而此時y=lnxx選項D，如圖所示，曲線，對于曲線上的任意點P，都存在曲線y=ex?2上的點Q，使得OP故選：BD（2021-2022·蘇州市·期末）11．已知函數(shù)f(x)=13xA．?a∈R，函數(shù)f(x)在RB．?a∈R，使得函數(shù)f(x)在RC．?a∈R，函數(shù)f(x)在(?∞,0)D．?a∈R，使得函數(shù)f(x)在(?∞,0)【答案】BC【分析】對于AB，舉例判斷即可，對于CD，分a=0，a>0和a<0討論函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的零點【解析】f'(x)=x2+ax，a=0a=0時，f(x)在R上↗，f(?3)=?8，f(0)=1，f(?3)f(0)<0∴f(x)在(?∞,0)有且僅有一個零點．a(chǎn)<0時，f'(x)>0在(?∞,0)恒成立，f(x)x→?∞時，f(x)→?∞，f(0)=1>0，∴f(x)在(?∞,0)有且僅有一個零點．a(chǎn)>0時，f'(x)=0，或0，f(x)在(?∞,?a)↗，f(x)x→?∞時，f(x)→?∞，∴f(x)∴?a∈R，f(x)故選：BC填空題（2021-2022·常州·期末）15．已知定義域都是的兩個不同的函數(shù)fx，gx滿足f'x=gx，且g【答案】ex【分析】兩次求導(dǎo)以后所得解析式與原解析式相同，是本題需注意的關(guān)鍵點.【解析】令函數(shù)f則有g(shù)x=f另外，mx=3e故答案為：e（2021-2022·南通海門市·期末）14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)fx①fx為偶函數(shù)；②fx1x2【答案】?ln【分析】取fx【解析】由題意可知函數(shù)fx為偶函數(shù)且在0,+∞上為減函數(shù)，可取f對于①，函數(shù)fx=?lnx的定義域為xx≠0對于②，對任意的非零實數(shù)x1、x2，對于③，當x∈0,+∞時，fx=?lnx綜上所述，函數(shù)fx故答案為：?ln（2021-2022·蘇州市·期末）14．設(shè)點P是曲線y=x?32ln【答案】2【分析】對函數(shù)y=x?32lnx求導(dǎo)，由題意得在【解析】由題意得在P點的切線與直線y=?x平行設(shè)曲線y=x?32ln由y=?x的斜率為，則由y'x=x0切點(1,1)到x+y=0的距離d=2故答案為：2簡答題（2021-2022·常州·期末）21．已知函數(shù)fx=a(1)若曲線在x=1處的切線平行于x軸，求a的值；(2)當a≥e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求函數(shù)fx【答案】(1)a=e；(2)答案見解析.【分析】（1）由已知可得f'1=0（2）由fx=0可得出，將問題轉(zhuǎn)化為直線y=lnaa與曲線gx=lnxx的交點個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g【解析】(1)解：因為fx=ax?由已知可得f'1=alna(2)解：因為x>0，由fx=ax?問題轉(zhuǎn)化為當a≥e時，直線y=lnaag'x=1?ln當0<x<e時，g'x>0當x>e時，g'x<0，此時函數(shù)g當x>1時，gx=lnxx由圖可知，當a=e時，直線y=lnaa此時函數(shù)fx在0,+∞當a>e時，0<ga<ge=1此時函數(shù)fx在0,+∞綜上所述，當a=e時，函數(shù)fx在0,+∞當a>e時，函數(shù)fx在0,+∞（2021-2022·南通海安市·期末）22．已知函數(shù)f(x)=ex?ax((1)若f(x)是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)若x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點，求證：【答案】(1)(?∞,0]；(2)證明見解析.【分析】(1)對函數(shù)f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)值恒大于等于0，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)并求最值即可作答.(2)根據(jù)給定條件可得x1=ln【解析】(1)函數(shù)f(x)=ex?ax定義域為，當x>0因f(x)是單調(diào)增函數(shù)，則?x>0時，f'(x)≥0?a≤2xφ'(x)=2ex(x+12x)>0所以a的取值范圍是(?∞,0].(2)因x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個不同的零點，則ex1=ax1x1?x2=12要證x1+x令，，則g(t)在上單調(diào)遞增，則有g(shù)(t)>g(1)=0，于是得x1又x1+x2=2而x1x2令?(t)=lnt?t+從而得?(t)在在上單調(diào)遞減，?(t)<?(1)=0，即有x1+綜上得：1<x【點睛】證明不等式成立問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性、最值作答.（2021-2022·南通海門市·期末）22．設(shè)函數(shù)fx(1)若曲線在點0,f0處的切線方程為kx?y+2=0，求k的值；(2)若fx≥1，求實數(shù)(3)求證：當a>12時，函數(shù)【答案】(1)k=2；(2)1,+∞；(3)證明見解析.【分析】（1）計算得出f'x=2ax+1?2（2）由已知可得f0=a≥1，由ax+12?2sinx（3）分x≥0、x≤?π、?π<x<0三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)證明出fx【解析】(1)解：因為fx=ax+1因為點0,f0在直線kx?y+2=0上，則f所以，f0=a=2f(2)解：因為fx=ax+1當a≥1時，ax+12?2設(shè)gx=x+12?2令mx=2x+2?2cosx，則所以，函數(shù)g'x=2x+2?2當時，g'x<g當x>0時，g'x>g'即x+12?2sinx≥1成立，所以f(3)解：因為a>12，所以且兩個等號不同時成立，即ax+1令?x=2x?2sinx，其中x∈R，則所以函數(shù)?x在R上單調(diào)遞增，且?當x≥0時，?x=2x?2sin所以當x≥0時，ax+12>2sinx當x≤?π時，ax+12>12即fx>0，所以此時函數(shù)當?π<x<0時，?2≤2sinx<0，而a即fx>0，所以此時函數(shù)綜上可得，a>12時，函數(shù)【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由fx=0分離變量得出a=gx，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=a（2021-2022·南通如皋市、鎮(zhèn)江市·期末）22．設(shè)f(x)＝xex－mx2，m∈R.(1)設(shè)g(x)＝f(x)－2mx，討論函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)y＝f(x)在(0，＋∞)有兩個零點x1，x2，證明：x1＋x2＞2.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求出，分m≤0、0<m<12e、、m=12e討論（2）令得，代入x1,x2兩式相除得，ex1?x2=x1x2，設(shè)x2>x【解析】(1)，，m≤0時，ex?2m>0，當時g'x當時g'x<0，m>0時，令g'x=0當即0<m<12e時，或時g'x>0，gx是單調(diào)增函數(shù)，時g'當即時，或時g'x>0，gx是單調(diào)增函數(shù)，時g'x<0，當即m=12e時，g'x>0，綜上所述m≤0時，gx在是單調(diào)遞增函數(shù)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；0<m<12e時，gx在，上是單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，時，gx在?∞,?1，上是單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)遞減函數(shù)，m=12e時，gx(2)令，因為x>0，所以，令，，兩式相除得，ex不妨設(shè)x2>x1，令t=x代入①得：，反解出：x1=te故要證x1+x2>2等價于證明：，構(gòu)造函數(shù)，則，，故?'(t)在上單調(diào)遞增，?從而?(t)在上單調(diào)遞增，.即x1（2021-2022·南通通州區(qū)·期末）22．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋tanx－ax2－2x.(1)當a＝0時，判斷并證明f(x)在?π(2)當x∈(0，π2)時，f(x)＞0，求a【答案】(1)函數(shù)f(x)在?π2【分析】(1)求函數(shù)f(x)=sinx+tanx?2x的導(dǎo)函數(shù)，判斷其值為正，由此完成證明；(2)先證明sinx<x，分【解析】(1)當α=0時，f(x)=sin∴f'(x)=cos因為x∈?π2,∴f'(x)=cosx+∴函數(shù)f(x)在?π(2)令p(x)=sinx?x當x∈(0，π2)時，p'(x)<0，所以p(x)=sinx又p(0)=0，所以p(x)<0，故x∈(0,π2)①當a≤0時，f(x)=sin由(1)得y=sinx+且x=0時y=0，所以當x∈(0，π2)時，y>0所以f(x)>0，②當a>0時，f(x)=當a≥1時，f(1)<1當時，cosa>于是f(a)<a(1而1?∴f(a)<0，不合題意，綜上，滿足條件的a的取值范圍為(?∞,0].【點睛】分類討論思想是高中數(shù)學(xué)一項重要的考查內(nèi)容.分類討論思想要求在不能用統(tǒng)一的方法解決問題的時候，將問題劃分成不同的模塊，通過分塊來實現(xiàn)問題的求解，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)問題的分析處理能力和解決能力.（2021-2022·蘇北四市·期末）21．已知函數(shù)fx=ln(1)證明：fx(2)若函數(shù)fx的圖象與gx的圖象有兩個不同的公共點，求實數(shù)【答案】(1)證明見解析；(2)0,3.【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)Fx=ln（2）由fx=gx可得a=lnxx+5x?2x2【解析】(1)解：要證fx<x，即證：當x∈令Fx=ln故當時，F(xiàn)'x>0，當x>4時，F(xiàn)'x<0則Fxmax=F(2)解：由fx=gx構(gòu)造函數(shù)?x=5+則?'當0<x<1時，4?4x>0，lnx<0，則?'當x>1時，4?4x<0，lnx>0，則?'所以，?x令φx=xlnx+5x?2當0<x<25時，φx<5x?2<0，故存在x0作出函數(shù)?x與y=a由圖可知，當0<a<3時，函數(shù)?x與y=a的圖象有2因此，實數(shù)a的取值范圍是0,3.【點睛】利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由fx=0分離變量得出a=gx，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線y=a（2021-2022·蘇州市·期末）22．已知函數(shù)f(x)=ln(1)判斷f(x)的單調(diào)性，并說明理由；(2)若數(shù)列an滿足a1=1，an+1=f(【答案】(1)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知，對函數(shù)進行求導(dǎo)，化簡，再次對分子求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可得答案,（2）先將an>a【解析】(1)f令g(x)=(x?1)exg(x)在(0,+∞)上遞增，∴g(x)>g(0)=0，∴ff(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(2)由a要證an>即證：an>ln(ea先證左邊：ln令an=x(x>0)?證e令?(x)=xex?ex+1，?'再證右邊：lnex?1x令H(x)=ex在(0,+∞)上遞減，H(x)>H(0)=0，也得證．綜上：對?n∈N?，an（2021-2022·泰州市·期末）22．已知函數(shù)fx(1)求fx在x=0(2)當x≥0時，fx≥1?x?sin(3)證明：當a<12時，fx【答案】(1)y=1.(2)e2【分析】（1）求導(dǎo)，f'（2）x=0成立，x>0,fx≥1?x?sinx等價于（3）令?x=f'(x)=ex?2ax?cosx，可得當x∈?【解析】(1)∵∴f(0)=1，且f'(x)=ex?2ax?cosx，則(2)當x≥0時，，即當x=0時，ex?ax2+x?1=0，當x>0時，ex?a則g'因為x>0，所以e當x>2時，g'(x)>0,，g(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增；當0<x<2時，g'(x)<0,g(x)在0,2所以實數(shù)a的最大值為e2(3)令?x若a<12，當x∈?π2,π①當?'?π2=e?π2?2a?1≥0,，即a≤e?π2?12時，則?'(x)=ex?2a+sinx≥0,x∈?π2②當?'?π2=e??'(x)=ex?2a+sinx單調(diào)遞增，所以存在x0∈?π2,0所以當時，?x<0，所以f(x)在(當x∈0,π2時，?x>0所以f(x)在x=0處取極小值.綜上，當a<12時，f(x)在【點睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查零點存在定理，解題關(guān)鍵是需要導(dǎo)函數(shù)進一步求導(dǎo)，以便確定導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與零點的存在性，從而得出函數(shù)的性質(zhì).本題屬于較難題.（2021-2022·無錫市·期末）22．已知函數(shù)f(x)=ex?1(1)若不等式f(x)>e?1e+1恒成立，求實數(shù)(2)若不等式f(x)<ax+13?aln2【答案】(1)x>1；(2)49【分析】（1）先判斷f(x)在R上單調(diào)遞增，再利用單調(diào)性解不等式得解；（2）等價于ex?1ex+1?ax+aln2?【解析】(1)解：f(x)=ex+1?2ex+1=1?2ex+1(2)解：ex?1e令g(x)=ex?1g″(x)=2ex∴g若49?a≤0，即a≥49時，g'(x)<0在x∈(ln若49?a>0，即（i）若a≤0，則g'(x)>0，g(x)在(ln（ii）若0<a<49，則存在x0使g'(x0綜上：實數(shù)a的取值范圍為49（2