2020-2021初三數(shù)學(xué)圓的綜合的專項(xiàng)培優(yōu)易錯難題練習(xí)題含詳細(xì)答案、圓的綜合1.如圖1,直角梯形OABC中，BC//OA,OA=6,BC=2,/BAO=45°.*%(1)OC的長為(2)D是OA上一點(diǎn)，以BD為直徑作OM,OM交AB于點(diǎn)Q.當(dāng)。M與y軸相切時，sin/BOQ=；(3)如圖2,動點(diǎn)P以每秒1個單位長度的速度，從點(diǎn) O沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動；同時動點(diǎn)D以相同的速度，從點(diǎn)B沿折線B-C-。向點(diǎn)O運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動.過點(diǎn)P作直線PE//OC,與折線O-B-A交于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為t(秒).求當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時點(diǎn) E的坐標(biāo).【答案】(1)4;(2)3;(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2)、(：，10)、(4,2).【解析】分析：(1)過點(diǎn)B作BHLOA于H,如圖1(1),易證四邊形OCBH是矩形，從而有OC=BH,只需在4AHB中運(yùn)用三角函數(shù)求出BH即可.(2)過點(diǎn)B作BHLOA于H,過點(diǎn)G作GF,OA于F,過點(diǎn)B作BR±OG于R,連接MN、DG,如圖1(2),則有OH=2,BH=4,MNLOC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.在R「BHD中運(yùn)用勾股定理可求出r=2,從而得到點(diǎn)D與點(diǎn)H重合.易證△AFG^AADB,從而可求出AF、GF、OF、OGOB、ARBG,設(shè)OR=x,利用BR2=OB2-OR2=BG2-RG2可求出x,進(jìn)而可求出BR在R「ORB中運(yùn)用三角函數(shù)就可解決問題.(3)由于4BDE的直角不確定，故需分情況討論，可分三種情況( ①/BDE=90°,②ZBED=90°,③ZDBE=90°)討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)及三角函數(shù)等知識建立關(guān)于t的方程就可解決問題.詳解：(1)過點(diǎn)B作BHLOA于H,如圖1(1),則有/BHA=90°=/COA,OC//BH.??BC//OA,，四邊形OCBH是矩形，..OOBH,BC=OH.??OA=6,BC=2,?.AH=0A-OH=OA-BC=6-2=4.??ZBHA=90°,ZBAO=45°,tan/BAH=BH=1,「.BH=HA=4,「.OC=BH=4.HA故答案為4.(2)過點(diǎn)B作BH^OA于H,過點(diǎn)G作GF±OA于F,過點(diǎn)B作BR±OG于R,連接MN、DG,如圖1(2).

由(1)得：OH=2,BH=4..?OC與。M相切于N,MN±OC.設(shè)圓的半徑為r,則MN=MB=MD=r.BC±OC,OA±OC, BC//MN//OA.???BM=DM,CN=ON,.-.MN=-(BGOD),?.OD=2r—2,2ODOH=2r4.在RtABHD中,???ZBHD=90°,..BD2=BH2+DH2, (2r)2=42+(2r—4)2.解得：r=2, DH=0,BD是。M解得：r=2, DH=0,BD是。M的直徑，GF±OA,BDXOA,AFGFAG1即點(diǎn)D與點(diǎn)H重合，BD±0A,BD=AD.??./BGD=90°,即DG,AB,?.BG=AG.GF//BD AAFG^AADBADBDAB2，?-AF=1AD=2,

2GF=1BD=2,.-.OF=4,2??OG=Vof"_GF2="??OG=Vof"_GF2="22=2亞.— — —1 —同理可得：OB=2而，AB=472，BG=-AB=272.2設(shè)OR=x,貝URG=2J5-x.BR±OG, ZBRO=ZBRG=90°, BR2=OB2-OF2=BG2-RG2,??.(2石)2-x2=(2右)2-(2^—x) 2解得：x=W5,?.BF2=OB2-OR2=(275)25236 6.5= ,.?Br^ 在RtAORB中，sin/BOR=BR6-53=5OB2,5, 3故答案為一.5(3)在RtAORB中，sin/BOR=BR6-53=5OB2,5, 3故答案為一.5(3)①當(dāng)/BDE=90°時，點(diǎn)D在直線此時DP=OC=4,BD+OP=BD+CD=BC=2,解得：t=1,則OP=CD=DB=1.PE上,BD=t,如圖2.OP=t.則有2t=2.???DE//OC, △BD&△BCO,DEBDOCBC21DE=2,EP=2,???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1,2).②當(dāng)/BED=90°時，如圖3.,ADBE^AOBC,???/DBE=OBC,/DEB=ZBCO=90,ADBE^AOBC,BEDBBEtBCOB' 2_2M'.PE//OC, ZOEP=ZBOC.???ZOPE=ZBCO=90°, AOPE^ABCO,OEOPOEt*_OB=三'2?5=2' 75t.OE+BE=OB=2.5, ,5t+15 - t=2OE+BE=OB=2.5, ,5t+15 - t=255.解得：t=5,.-op=5,3 35Cp-5,5 -pc-■ 2 2 10OE=，-pe=VOE OP=—，「 510、,,點(diǎn)E的坐標(biāo)為（一,—）.33③當(dāng)/DBE=90°時，如圖4.此時PE=PA=6-t,OD=OC+BC-t=6-t.貝U有OD=PE,EA=TpE^_PAr=V2（6—t）=6&—>/2?t,?.BE=BA-EA=4/-（6夜-亞）=亞-2后PE//OD,OD=PE,ZDOP=90°,，四邊形ODEP是矩形，.?.DE=OP=t,DE//OP, /BED=ZBAO=45:在RtADBE中,cosZBED=-BE-=—,「DE=&BE,?.t=42（&A2行）=2t-4.解得：t=4,??.OP=4,PE=6-4=2,.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4,2）.綜上所述：當(dāng)以B、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時點(diǎn) E的坐標(biāo)為（1,2）、（5,嗎（4,2）8工…點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)

（5,嗎（4,2）8工…點(diǎn)睛：本題考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行線分線段成比例、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性.2.如圖1,已知扇形MON的半徑為J2,/MON=90，點(diǎn)B在弧MN上移動，聯(lián)結(jié)BM,作ODLBM,垂足為點(diǎn)D,C為線段OD上一點(diǎn)，且OC=BM,聯(lián)結(jié)BC并延長交半徑OM于點(diǎn)A,設(shè)OA=x,/COM的正切值為y.(1)如圖2,當(dāng)AB±OM時，求證：AM=AC;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；(3)當(dāng)4OAC為等腰三角形時，求x的值.【解析】【解析】分析：(1)先判斷出/ABM=/DOM,進(jìn)而判斷出△OAX^BAM,即可得出結(jié)論;(2)先判斷出BD=DM,進(jìn)而得出-DMME進(jìn)而得出ae=_1(標(biāo)x),再判斷出BDAE 2OAOEOC2DMOAOE ，即可得出結(jié)論;ODOD(3)分三種情況利用勾股定理或判斷出不存在，即可得出結(jié)論.詳解：(1)OD)±BM,AB±OM, /ODM=/BAM=90°.???/ABM+ZM=ZDOM+ZM, /ABM=ZDOM.ZOAC=ZBAM,OC=BM, △OAC^△BAM,.?.AC=AM.(2)如圖2,過點(diǎn)D作DE//AB,交OM于點(diǎn)E.?.OB=OM,ODXBM,，BD=DM.1.DE//AB,..■DM-ME,AE=EM...OM=72,，AE=1(&x).BDAE 21.DE//AB,OAOC2DM1.DE//AB,OAOC2DMOEODODDMOA x ，yDMOA x ，y rOD2OEx；2(o<x1(3)(i)當(dāng)OA=OC時.1(3)(i)當(dāng)OA=OC時...DM—BM21-OC21—X.在RtAODM中,2ODJ'OM2DM2221x2.1或x瓶八（舍）.2 2(ii)當(dāng)AO=AC時，則/AOO/ACO.「/ACO>/COB,/CO&/AOC,?./ACO>/AOC,，此種情況不存在.(iii)當(dāng)CO=CA時，貝UZCOA=ZCAO=a.「/CAO>/M,ZM=90°-a,..a>90°—a,a>45: /BOA=2A90::/BOAW90°，此種情況不存在.即：當(dāng)4OAC為等腰三角形時，x的值為E衣.點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.3.如圖，在。0中，AB為直徑，OCAB,弦CD與OB交于點(diǎn)F,在AB的延長線上有點(diǎn)E,且EF=ED.（1）求證：DE是。。的切線；（2）若tanA=1,探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；2（3）在（2）的條件下，若OF=1,求圓O的半徑.【答案】（1）答案見解析；（2）AB=3BE；（3）3.【解析】試題分析：（1）先判斷出ZOCF+ZCFO=90°,再判斷出ZOCF=ZODF,即可得出結(jié)論;

（2）先判斷出/BDE=/A,進(jìn)而得出△EBg^EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出結(jié)論；(3)設(shè)BE=x,貝UDE=EF=2x,AB=3x,半徑OD=3x,進(jìn)而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：連結(jié)OD,如圖.1.EF=ED,..（2）先判斷出/BDE=/A,進(jìn)而得出△EBg^EDA,得出AE=2DE,DE=2BE,即可得出結(jié)論；(3)設(shè)BE=x,貝UDE=EF=2x,AB=3x,半徑OD=3x,進(jìn)而得出OE=1+2x,最后用勾股定理2即可得出結(jié)論.試題解析：（1）證明：連結(jié)OD,如圖.1.EF=ED,../EFD=/EDF.「/EFD=/CFO,??/CFO/EDF.-.OCXOF,ZOCF+ZCFO=90： OC=OD,z.ZOCF=ZODF,???/ODC+ZEDF=90；即/ODE=90（2）線段A?BE之間的數(shù)量關(guān)系為:?.ODXDE.二.點(diǎn)D在。O上，，DE是。。的切線;AB=3BE.證明如下:.AB為。O直徑，，/ADB=90； ZADO=ZBDE./OA=OD,，/ADO=/A,DEBEBD?./BDE=/A,而/BED=/DEA,.?.△EBg^EDA,「.——————./RtAABDDEADAE中tanA回=1'AD2'DEAEBE1 =一DE2.?.AE=2DE,DE=2BE,「?A&4BE,，AB=3BE;(3)設(shè)BE=x,貝UDE=EF=2x,AB=3x,半徑OD=_x.2,.OF=1,OE=1+2x.2+(2x)2=(1+2x)???圓O的半徑為3.在Rt^ODE中，由勾股定理可得：（ 3x）2x=-一（舍）或x=2,9函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△EB2△EDA是解答本題的關(guān)鍵.4.圖1和圖函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△EB2△EDA是解答本題的關(guān)鍵.4.圖1和圖2,半圓O的直徑AB=2,點(diǎn)P（不與點(diǎn)A,B重合）為半圓上一點(diǎn)，將圖形延BP折疊，分別得到點(diǎn)A,O的對稱點(diǎn)A',O',設(shè)/ABP=a.（1）當(dāng)a=15時，過點(diǎn)A作A'0/AB,如圖1,判斷A'西半圓O的位置關(guān)系，并說明理P71(2)如圖2,當(dāng)”,時；BA'與半圓O相切.當(dāng)a=時，。點(diǎn)O'落在>力上.(3)當(dāng)線段BO與半圓。只有一個公共點(diǎn)B時，求”的取值范圍.【答案】(1)Ag半圓O相切；理由見解析；(2)45;30;(3)0°<a<30°或45°W”<90°.【解析】試題分析：(1)過。作OD，A什點(diǎn)D,交A行點(diǎn)E,利用含30°角的直角三角形的性111質(zhì)可求得DE+OE=A'B=AB=OA,可判定Ag半圓相切；(2)當(dāng)BA'與半圓相切時，可知OB，A'H則可知a=45；當(dāng)O'在用上時，連接AO,則111可知BO2AB,可求得/OBA=60可求得a=30;(3)利用(2)可知當(dāng)a=30時，線段O'B與圓交于O',當(dāng)a=45時交于點(diǎn)B,結(jié)合題意可得出滿足條件的a的范圍.試題解析：(1)相切，理由如下：如圖1,過。作OD過。作ODLA'什點(diǎn)D,交A行點(diǎn)E,a=15A/AB,???/ABAZCA'B=30°IIPH.?.DE=-A，上OE=BE,111 11DO=DE+OE=(A，E+B屋AB=OA,???A'與半圓O相切；(2)當(dāng)BA'與半圓O相切時，則OB,BA',?./OBA'=2a=90O'在尸"上時，如圖2連接AO,則可知BO'縱B,/O'AB=30°./ABO'=60°=30,°（3）二.點(diǎn)P,A不重合，a>0,由（2）可知當(dāng)a增大到30°時，點(diǎn)O'在半圓上，??當(dāng)0。<av30時點(diǎn)O'在半圓內(nèi)，線段BO與半圓只有一個公共點(diǎn)B;當(dāng)a增大到45。時BA'與半圓相切，即線段BO與半圓只有一個公共點(diǎn)B.當(dāng)“繼續(xù)增大時，點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)B,但是點(diǎn)P,B不重合，a<90°,當(dāng)45°WB0線段BO與半圓只有一個公共點(diǎn)B.綜上所述0°<a<30°或45°Wq90°.考點(diǎn)：圓的綜合題.5.如圖1,將長為10的線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90得到OB,點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡為Ab，P是半徑OB上一動點(diǎn)，Q是AB上的一動點(diǎn)，連接PQ.發(fā)現(xiàn)：/POQ=時，PQ有最大值，最大值為;思考：（1）如圖2,若P是OB中點(diǎn)，且QPLOB于點(diǎn)P,求？Q的長；（2）如圖3,將扇形AOB沿折痕AP折疊，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B恰好落在OA的延長線上，求陰影部分面積；探究：如圖4,將扇形OAB沿PQ折疊，使折疊后的弧QB恰好與半徑OA相切，切點(diǎn)為C,若OP=6,求點(diǎn)O到折痕PQ的距離.【答案】發(fā)現(xiàn)：90；10衣；思考：（1）一；（2）25兀-100/2+100;（3）點(diǎn)O3

到折痕PQ的距離為犧.【解析】分析：發(fā)現(xiàn)：先判斷出當(dāng)PQ取最大時，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，即可得出結(jié)論；思考：(1)先判斷出/POQ=60,最后用弧長用弧長公式即可得出結(jié)論；(2)先在RtAB'OP中，OP2+(10J2-10)2=(10-OP)2,解得OP=10J2-10,最后用面積的和差即可得出結(jié)論.探究：先找點(diǎn)。關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)O',連接OO、O'EO'GO'?證明四邊形OCOB是矩形，由勾股定理求O'H從而求出OO的長，則OM=—OO(30.2詳解：發(fā)現(xiàn)：:P是半徑OB上一動點(diǎn)，Q是AB上的一動點(diǎn),???當(dāng)PQ取最大時，點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,此時，/POQ=90,PQpOA2OB2=i0?；思考：(1)如圖，連接思考：(1)如圖，連接OQ,???點(diǎn)P是OB的中點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1.?.OP=-OB=-OQ.,.QPXOB,/OPQ=90°, , OP1在RtAOPQ中，cos/QOP=——一,OQ2/QOP=60；\o"CurrentDocument"?Rq60 10 10 .…BQ-180 3'(2)由折疊的性質(zhì)可得， BP=BP,AB'=AB=10J2,在RWOP中,OP2+(1072-10)2=(10-OP)2- 290 10S陰影一S- 290 10S陰影一S扇形AOB-2SAaop=3602110(10.210)=25兀-10072+100；探究：如圖2,找點(diǎn)O關(guān)于PQ的對稱點(diǎn)O',連接OO、O'RO'CO'R則OM=OM,OO±PQ,O'P=OPq3點(diǎn)O'是?Q所在圓的圓心,

部 圄2?.O'C=OB=10??折疊后的弧QB'恰好與半徑OA相切于C點(diǎn),?.O'dAO,??O'(//OB,??四邊形OCO'建矩形，在RtAO,B呷，O'B=62~422展,在RtAOBOK,OOQ102(2府=2而，1 1 一_?.OM=-OO?X2T3O-30，2 2即o到折痕pq的距離為V3o.點(diǎn)睛：本題考查了折疊問題和圓的切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和判定，熟練掌握弧長公式nRl= (n為圓心角度數(shù)，R為圓半徑)，明確過圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑，這是常180考的性質(zhì)；對稱點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分.6.如圖.在4ABC中，/C=90°,AC=BC,AB=30cm,點(diǎn)P在AB上，AP=10cm,點(diǎn)E從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PA以2cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，同時點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)沿線段PB以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動，在點(diǎn)E、F運(yùn)動過程中，以EF為邊作正方形EFGHi使它與4ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動的時間為t(s)(0vtv20).(1)當(dāng)點(diǎn)(1)當(dāng)點(diǎn)H落在AC邊上時，求t的值;(2)設(shè)正方形EFGH與4ABC重疊部分的面積為S.①試求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；②以點(diǎn)C為圓心，1t為半徑作OC,當(dāng)。C與GH所在的直線相切時，求此時S的值.229t2? (0t2)72 … c【答案】(1)t=2s或10s;(2)①S=-t50t50(2t10)；②100cm2.

2t240t400?(10t20)【解析】試題分析：(1)如圖1中，當(dāng)0vtW5時，由題意AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2;如圖2中，當(dāng)5vtv20時，AE=HE,2t-10=10-(2t—10)+t,t=10；(2)分四種切線討論a、如圖3中，當(dāng)0vtW2時，重疊部分是正方形EFGHS=(3t)2=9t2.b、如圖4中，當(dāng)2vtW5時，重疊部分是五邊形EFGMN.c、如圖5中，當(dāng)5<t<10時，重疊部分是五邊形EFGMN.d、如圖6中，當(dāng)10vtv20時，重疊部分是正方形EFGH分別計(jì)算即可；②分兩種情形分別列出方程即可解決問題.試題解析：解：(1)如圖1中，當(dāng)0vtW5時，由題意得：AE=EH=EF,即10-2t=3t,t=2El如圖2中，當(dāng)5vtv20時，AE=HE,2t-10=10-(2t—10)+t,t=10.綜上所述：t=2s或10s時，點(diǎn)H落在AC邊上.(2)①如圖3中，當(dāng)0<tW2時，重疊部分是正方形 EFGHS=(3t)2=9t2如圖4中，當(dāng)2vtW5時，重疊部分是五邊形EFGMN,S=(3t)2-1(5t-10)2=-2,S=(20-t)2-,S=(20-t)2-1(302如圖6中，當(dāng)10vtv20時，重疊部分是正方形 EFGHHS=(20-t)2=t2-40t+400.9t2?(0t2)一, 72綜上所述：S=-t250t9t2?(0t2)一, 72綜上所述：S=-t250t2t250(240t400?(1020)②如圖7中，當(dāng)0vt<5時，-t+3t=15,2解得:30t=--,此時S=100cm2,當(dāng)5vtv20時,7S的值為100cm2點(diǎn)睛：本題考查了圓綜合題、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意不能漏解，屬于中考壓軸題..如圖，RtABC內(nèi)接于。O,ACBC,BAC的平分線AD與。。交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E,延長BD,與AC的延長線交于點(diǎn)F,連接CD,G是CD的中點(diǎn)，連接OG.(1)判斷OG與CD的位置關(guān)系，寫出你的結(jié)論并證明(2)求證：AEBF;⑶若OGgDE3(2衣)，求。O的面積.【答案】（1）OG，CD（2）證明見解析（3）6?！窘馕觥吭囶}分析：（1）根據(jù)G是CD的中點(diǎn)，利用垂徑定理證明即可；（2）先證明4ACE與4BCF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明；（3）構(gòu)造等弦的弦心距，運(yùn)用相似三角形以及勾股定理進(jìn)行求解.試題解析：（1）解：猜想OG，CD.證明如下：如圖1,連接OC、OD.???OC=OD,G是CD的中點(diǎn)，???由等腰三角形的性質(zhì)，有OG±CD.（2）證明：?「AB是。。的直徑，??./ACB=90°,而/CAE=/CBF（同弧所對的圓周角相等）.在Rt^ACE和RtABCF中，/ZACE=ZBCF=90°,AC=BC,/CA&/CBF,???RtAACE^RtABCF（ASA）,?.AE=BF.（3）解：如圖2,過點(diǎn)O作BD的垂線，垂足為H,則H為BD的中點(diǎn)，，OH=NaD,即2AD=2OH,又/CAD=/BAD?CD=BD,..OH=OG.在RtABDE和Rt^ADB中，ZDBE=ZDAC=ZBAD,/.RtABDE^RtAADB,???里匹即BD2=AD?DEADDB' 'BD2ADDE20GDE6（2瓜又BD=FD,BF=2BD,BF24BD2242蜴①，設(shè)AC=x,則BC=x,AB=&x?.口是空肥的平分線，ZFAD=ZBAD,在RtAABD和Rt^AFD中，/ZADB=ZADF=90°,AD=AD,/FAD=/BAD, RtAABD^RtAAFD（ASA）,，AF=AB=V2x，BD=FD,..CF=AF-ac=72xx（721）x?在rubcf中，由勾股定理，得:BF2BC2CF2x2[（應(yīng)1）x]22（2①x2②,由①、②，得2（2揚(yáng)x2242防，'x2=12,解得：x2m或2百（舍去），AB 石x G 273 2品,，OO的半徑長為石，..So。=兀？（ J6 ） 2=6兀.圖1 圖2點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題.解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)..如圖，OB是以（O,a）為圓心，a為半徑的OOi的弦，過B點(diǎn)作。Oi的切線，P為劣MOB上的任一點(diǎn)，且過P作OB、ABOA的垂線，垂足分別是D、E、F.（1）求證：PD2=PE?P^（2）當(dāng)/BOP=30,P點(diǎn)為OB的中點(diǎn)時，求D、E、F、P四個點(diǎn)的坐標(biāo)及Smef.【答案】（1）詳見解析；（2）D（-叵a,-a）,E（-晅a,-a）,F（-叵a,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4 4 4 4 20）,P（—立a,a）；&DEF=3^a2.\o"CurrentDocument"2 2 16【解析】試題分析：（1）連接PB,OP,利用AB切。Oi于B求證△PBa4POD,得\o"CurrentDocument",trPBPE …PBPD 小,…出————，同理，aopf^abpd,得出————，然后利用等量代換即可.OPPD OPPF（2）連接O1B,O1P,得出△O1BP和△OHO為等邊三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可解得D、EF、P四個點(diǎn)的坐標(biāo).再利用三角形的面積公式可直接求出三角形 DEF的面積.試題解析：（1）證明：連接PB,OP,-.PE±AB,PD）±OB,/BEP=/PDO=90；.AB切。O1于B,/ABP=/BOP,.,.△PBE^APOD）,.咒PEQF=FD，同理，AOPF^ABPD

PB；PDor--PF',PE_PD,,RD=FF'pd2=pe?pf^(2)連接OiB,OiP,.AB切。Oi于B,ZPOB=30°,ZABP=30;：.ZOiBP=90-30=60,,/OiB=OiP,「.△ChBP為等邊三角形，?.OiB=BP,.「P為弧BO的中點(diǎn)，BP=OP,即△OlPO為等邊三角形，OiP=op=aZOiOP=60,又?「P為弧BO的中點(diǎn)，???OiPXOB,在△3D。中，???Z-OiOP=60°OiO=a,「QD4a,OD=^_-a,過D作DM，0。于M,OM=^|f3DM=1-a,???ZOiOF=90\ZOiOP=60ZPOF=30,???ZOiOF=90\ZOiOP=60ZPOF=30,-.PE±OA,0),-.PE±OA,0),.AB.AB切。Oi于B,ZPOB=30,ZABP=ZBOP=30,?.PEXAB,PB=a,ZEPB=60

??.P為弧BO的中點(diǎn),BP=PO,/PBO=ZBOP=30,°/BPO=120,°???/BPE吆BPO=120+60=180；即OPE三點(diǎn)共線,1 3?OEwa+aWa過E過E作EM^x軸于M,..AO切。Oi于O,/EOA=30,°.?.EM=OE=da,OM=a2 4dE(一???E(一3V3

~"C:a)，V3L-Ta)2?.DE=-故答案為：D(-(-a),E???E(一3V3

~"C:a)，V3L-Ta)2?.DE=-故答案為：D(-(-a),E'F(a,a,0),P(一EQ?)； S\DE9.已知：如圖，AB是。。的直徑，PB切。O于點(diǎn)B,PA交。O于點(diǎn)C,/APB是平分線分別交BC,AB于點(diǎn)D、E,交。O于點(diǎn)F,/A=60°,并且線段AE、BD的長是一元二次方程x2-kx+273=0的兩根(k為常數(shù)).(1)求證：PA?BD=PB?AE(2)求證：。。的直徑長為常數(shù)k;(3)求tan/FPA的值.B【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)tan/FPA=2-察.【解析】試題分析：(1)由PB切。O于點(diǎn)B,根據(jù)弦切角定理，可得/PBD=/A,又由PF平分/APB,可證得△PBA^PAE然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得PA?BD=PB?AE(2)易證得BE=BD,又由線段AE、BD的長是一元二次方程x2-kx+2/jj=0的兩根(k為常數(shù))，即可得AE+BD=k,繼而求得AB=k,即：。。的直徑長為常數(shù)k;(3)由/A=60°,并且線段AE、BC的長是一元二次方程x2-kx+2巧=0的兩根(k為常數(shù))，可求得AE與BD的長，繼而求得tan/FPB的值，則可得tan/FPA的值.試題解析：(1)證明：如圖，???PB切。O于點(diǎn)B,/PBD=ZA,.PF平分/APB,/APE=ZBPD,.,.△PBD^APAE,??.PB：PA=BDAE,PA?BD=PB?AE(2)證明：如圖，???/BED=ZA+ZEPA/BDE=ZPBD+ZBPD.又???/PBD=ZA,/EPA》BPD,/BED=ZBDE.BE=BD.???線段AE、BD的長是一元二次方程x2-kx+2\/3=0的兩根(k為常數(shù))，.?.AE+BD=k,?.AE+BD=AE+BE=AB畤即。O直徑為常數(shù)k.(3).「PB切。。于B點(diǎn)，AB為直徑./PBA=90:???/A=60:?.PB=PA?sin60浮PA,又PA?BD=PB?AEV3BD= AE,???線段AE、BD的長是一元二次方程x2-kx+曬=0的兩根(k為常數(shù)).?.AE?BD=2/1，即惇AE2=2正，解得：AE=2,BD=/2，，AB=k=AE+BD=2+/^,BE=BD=/3,在Rt^PBA中，PB=AB?tan60=(2+近)><行=3+/.IrttII 「在RtAPBE中，tan/BPF== l=2—向，PB3+2V5??/FPA=/BPF,???tanZFPA=2-V3.【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系等知識.此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.10.如圖，線段BC所在的直線是以AB為直徑的圓的切線，點(diǎn)D為圓上一點(diǎn)，滿足BD=BC,且點(diǎn)C、D位于直徑AB的兩側(cè)，連接 CD交圓于點(diǎn)E.點(diǎn)F是BD上一點(diǎn)，連接EF,分別交AB、BD于點(diǎn)G、H,且EF=BD.(1)求證：EF//BC;(2)若EH=4,HF=2,求？e的長.2—【答案】⑴見解析；(2)-.33【解析】【分析】(1)根據(jù)EF=BD可得EF=?D,進(jìn)而得到BE=?F,根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”即可得出角相等進(jìn)而可證.(2)連接DF,根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求出 GF、GE的長，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”及平行線求出相等的角，利用銳角三角函數(shù)求出 ZBHG,進(jìn)而求出/BDE的度數(shù)，確定^^所對的圓心角的度數(shù)，根據(jù)/DFH=90。確定DE為直徑，代入弧長公式即可求解.【詳解】(1)「EF=BD,Ef=?d??Be=DfZD=ZDEF又BD=BC,/D=/C,/DEF=/CEF//BC(2).「AB是直徑，BC為切線，??ABXBC又EF//BC,?.AB^EF,弧BF哪BE,1GF=GE=5(HF+EH)=3,HG=1DB平分/EDF,又BF//CD,/FBD=/FDB=/BDE=/BFH.HB=HF=21?cosZBHG=—―=—,/BHG=60.HB2/FDB=/BDE=30°，/DFH=90；DE為直徑，DE=4J3,且弧BE所對圓心角=60：,?弧BE=1X473=~436 3【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查圓周角、切線、垂徑定理、弧長公式等相關(guān)知識，掌握圓周角的有關(guān)定理，切線的性質(zhì)，垂徑定理及弧長公式是解題關(guān)鍵 ^11.如圖，在Rt^ABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E,連接AD,已知/CAD=/B.(1)求證：AD是。。的切線；(2)若CD=2,AC=4,BD=6,求。。的半徑.

【答案】（1）詳見解析；（2）述.2【解析】【分析】（1）解答時先根據(jù)角的大小關(guān)系得到 Z1=Z3,根據(jù)直角三角形中角的大小關(guān)系得出ODLAD,從而證明AD為圓O的切線；（2）根據(jù)直角三角形勾股定理和兩三角形相似可以得出結(jié)果【詳解】（1）證明：連接OD,?.OB=OD,.1./3=/B,.?/B=/1,Z1=Z3,在Rt^ACD中，/1+/2=90°,/4=180-(Z2+Z3)=90°,???ODXAD,則AD為圓O的切線；(2)過點(diǎn)O作OF,BC,垂足為F,1.?.DF=BF=-BD=32?.AC=4,C42,/AC490

-AD=Jac2cd2=275??/CAD=/B,/OFB=/ACD=90°.,.△BFO^AACDBF=OBAC-AD即3=OB425OB-35?kJB- 235OO的半徑為沙2【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查學(xué)生對直線與圓的位置關(guān)系，圓的半徑的求解，掌握勾股定理，兩三角形相似的判定條件是解題的關(guān)鍵DF于F,過點(diǎn)A作AC//BF12.如圖，AB是eO的直徑，DF于F,過點(diǎn)A作AC//BF交BD的延長線于點(diǎn)C.(1)求證： ABCC;C【答案】(1)【解析】【分析】(2)設(shè)CA的延長線交eO于E,BF交eO于G,若DG的度數(shù)等于60o,試簡要說明點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線ABC【答案】(1)【解析】【分析】見解析；(2)見解析.(1)作輔助線，連接OD,由DF為。。的切線，可得OD，DF,又BF，DF,AC//BF,所以O(shè)D//AC,/ODB=ZC,由OB=OD得/ABD=ZODB,從而可證/ABC=ZC;⑵連接og，OD,AD,由BF//OD,Gd=60,可求證？g=GdAd=60,由平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求出 /OHD=90,由垂徑定理便可得出結(jié)論.【詳解】(1)連接OD,.DF為。O的切線,??.ODSF..BFXDF,AC//BF,?.OD//AC//BF./ODB=ZC.-.OB=OD,/ABD=ZODB./ABC=ZC.⑵連接OG,OD,AD,DE,DE交AB于H,BF//OD,，/OBG=/AOD,/OGB=/DOG,GdAd=Bg-Gd=60,Bg=GdAd=60,/ABC=ZC=ZE=30；1.OD//CE/ODE=ZE=30:在△ODH中,/ODE=30,/AOD=60,/OHD=90；???ABIDE.??點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對稱.【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理及垂徑定理，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用數(shù)形結(jié)合解答.13.如圖，已知等邊^(qū)ABC,AB=16,以AB為直徑的半圓與BC邊交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作D。AC,垂足為F,過點(diǎn)F作FG±AB,垂足為G,連結(jié)GD.（1）求證：DF是。。的切線;（2）求FG的長;（3）求tan/FGD的值.【答案】（1）證明見解析；（2）6\三；（3）?.【解析】試題分析：（1）連接OD,根據(jù)等邊三角形得出/A=/B=/C=60,根據(jù)OD=OB得到/ODB=60；得到OD//AC,根據(jù)垂直得出切線；（2）根據(jù)中位線得出BD=CD=6,根據(jù)RtACDF的三角函數(shù)得出CF的長度，從而得到AF的長度，最后根據(jù)Rt^AFG的三角函數(shù)求出FG的長度；（3）過點(diǎn)D作DHLAB,根據(jù)垂直得出FG//DH,根據(jù)Rt^BDH求出BH、DH的長度，然后得出/GDH的正切值，從而得到/FGD的正切值.試題解析：（1）如圖①，連結(jié)OD,=△ABC為等邊三角形， ..ZC=ZA=ZB=60°,而OD=OB,?.AODB是等邊三角形， ZODB=60°, ../ODB=/C,?.OD//AC, DF±AC, OD±DF,，DF是。O的切線（2）--OD//AC,點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，，OD為^ABC的中位線，.?.BD=CD=6.在Rt^CDF中，/C=60°,../CDF=30°,.?.CF=CD=3, AF=AC—CF=12-3=9在Rt^AFG中，/ZA=60°,..FG=AFsinA=9X⑶如圖②，過D作DH，AB于H.???FG，AB,DHXAB,?.FG//DH,/FGD=/GDH.在RtABDH中，ZB=60°,../BDH=30°,/.BH=BD=3,DH=BH=3...tan/GDH===,?.tan/FGD=tan/GDH=考點(diǎn)：（1）圓的基本性質(zhì)；（2）三角函數(shù).14.在△ABC中， ACB90°,BAC60°,AC=2,P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，分別連PA,PB,PC

(1)如圖1,已知， APBBPCAPC,以A為旋轉(zhuǎn)中心，將APB順時針旋轉(zhuǎn)6