第六章數(shù)值分析模型

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數(shù)學建模理學院第六章數(shù)值分析模型1弦截法和拋物線法數(shù)值分析模型第六章非線性方程求根迭代法重點:插值法和非線性方程求根難點:利用數(shù)值分析方法建立數(shù)學模型插值法

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數(shù)學建模理學院建模舉例弦截法和拋物線法數(shù)值分析模型第六章非線性方程求根迭代法重點:2

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數(shù)值分析（numericalanalysis）是研究用計算機求解各種數(shù)學計算問題的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)的學科。數(shù)值分析就是介紹如何用計算機來解決數(shù)學問題，以各種各樣的程序語言來設計出數(shù)值計算程序，然后依靠計算機的強大計算能力來求解這些數(shù)學問題，數(shù)值分析對數(shù)學理論與程序設計并重。運用數(shù)值分析解決問題的過程可分為如下幾步：實際問題→數(shù)學模型→數(shù)值計算方法→程序設計→上機計算求出結果。

數(shù)值分析這門學科有如下特點：（1）面向計算機（2）有可靠的理論分析（3）要有好的計算復雜性（4）要有數(shù)值實驗（5）要對算法進行誤差分析黑龍江科技學院3函數(shù)逼近問題設y=f(x)，若對以函數(shù)y=f(x)來說①其值是通過實驗或觀測得到，不知其解析表達式；②解析表達式很復雜，不便分析。問題：能否構造一個較為簡單的函數(shù)P(x)近似地表示f(x)。這就是函數(shù)逼近問題。上述函數(shù)f(x)稱為被逼近函數(shù)，P(x)稱為逼近函數(shù)。逼近方式有兩種：插值和擬合。理學院

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數(shù)學建模函數(shù)逼近問題設y=f(x)，若對以函數(shù)y=f(x)來4在生產(chǎn)和科學研究中,經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:由實驗或測量得到的某一函數(shù)在一系列點處的值,需要構造一個簡單函數(shù)作為函數(shù)的近似表達式:,使得

這類問題稱為插值問題.----被插值函數(shù)----插值函數(shù)----插值節(jié)點-----插值條件

6.1插值法插值函數(shù)：有各種類型，如代數(shù)多項式，三角函數(shù)，有理函數(shù)等。當插值函數(shù)為多項式時，稱為（代數(shù)）插值多項式。[min｛xi｝,max{xi}]=[a,b]----插值區(qū)間在生產(chǎn)和科學研究中,經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:由實驗或測量得到的某5x0xixy0yi?????yy＝f(x)o從幾何上看，插值法就是要求一條曲線它通過已知的n+1個點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，并用近似表示f(x).（下圖）

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數(shù)學建模理學院x0xixy0yi?????yy＝f(x)o從幾何上看，插值6

一、插值基函數(shù)與Lagrange插值1.簡單情形

(1)n=1時.設yi=f(xi)i=0，1.作直線方程：

令：稱為兩點式插值或線性插值。

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數(shù)學建模理學院一、插值基函數(shù)與Lagrange插值7

(2)n=2時.設yi=f(xi)i=0，1，2.

令：稱

為三點式插值或拋物插值。

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數(shù)學建模理學院(2)n=2時.設yi=f(xi)i=0，82.推廣

n=1時，記則

n=2時，記則

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數(shù)學建模理學院2.推廣黑龍江科技學9一般地令

則lj(x)(j=0，1，2，…，n)為n次多項式稱為Lagrange插值基函數(shù)，為Lagrange插值多項式。

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數(shù)學建模理學院一般地令黑龍江科技學院10

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數(shù)學建模理學院例6.1.1

給定數(shù)組3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675（1）作一分段線性插值函數(shù)（2）用上述插值函數(shù)計算和的函數(shù)值。黑龍江科技學院11

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數(shù)學建模理學院解

由插值基函數(shù)的表達式，在75到80的6個點間有5個線性插值函數(shù)，以區(qū)間為例，此時則在區(qū)間上有.黑龍江科技學院12

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數(shù)學建模理學院Matlab代碼如下:function[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clcx1=75:80;y=[2.768,2.833,2.903,2.979,3.062,3.153];n=size(x1,2);symsxpositivefori=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1))/(x1(i)-x1(i+1))+y(i+1)*(x-x1(i))/(x1(i+1)-x1(i));endPhi=Phi';l=find(x1>xx);Y=subs(Phi(l(1)-1),xx);end黑龍江科技學院13函數(shù)的調(diào)用格式為xx=75.5[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)得到的結果為：Y=2.8005Phi=(13*x)/200-2107/1000(7*x)/100-2487/1000(19*x)/250-2949/1000(83*x)/1000-699/200(91*x)/1000-4127/1000

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數(shù)學建模理學院Y=2.8005的值就是的函數(shù)值。的函數(shù)值是3.0039。同理可得到函數(shù)的調(diào)用格式為黑龍江14理學院例6.1.2

由函數(shù)生成以下離散數(shù)據(jù)，并利用其計算函數(shù)在x=1.98，y=0.36處的函數(shù)值。并與真值作比較。

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數(shù)學建模理15使用了matlab系統(tǒng)函數(shù)interp2，代碼如下，x=0.5:0.5:3.00.1:0.1:0.6;y=0.5:0.5:3.0;[x,y]=meshgrid(x,y);z=exp(x)+sin(y)+y-1;z_spline=interp2(x,y,z,1.98,0.36,'spline')計算結果為z_spline=6.9554，即對函數(shù)使用二次插值后在點計算出的而實際值是6.9550，二次插值的絕對誤差為0.0004。值是6.9554。

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數(shù)學建模理學院使用了matlab系統(tǒng)函數(shù)interp2，代碼如下，點計算16

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數(shù)學建模二、牛頓插值

來計算函數(shù)值

在理論上，利用插值基函數(shù)求出Lagrange插值多項式是很重要的。但用來計算的近似值卻不大方便，特別是達不到要求的精度，這就要求增加插值節(jié)點，插值節(jié)點的增加意味著要重新計算全部的插值基函數(shù)。Lagrange插值法的計算量就變得很大了為此我們需要另一種便于計算的插值多項式。理學院黑龍江科技學院17

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數(shù)學建模理學院定義6.1.1函數(shù)的一階均差定義為稱為函數(shù)關于點的一階均差.

一般地，記階均差為稱為關于點的階均差.類似地，可以定義二階均差黑龍江科技學院18

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數(shù)學建模理學院根據(jù)均差定義，把看成上一點，可得只要把后一式代入前一式，就得到牛頓插值多項式其中我們稱為Newton均差插值多項式。.

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數(shù)學建模理學院注意:因此Newton插值多項式與Lagrange插值多項式只是形式不同，它們都是同一個多項式。(2)由于插值點固定時插值多項式是存在唯一的。(1)牛頓法比Lagrange插值的計算量少，且便于程序設計黑龍江科技學院20引例導入浮力問題

一個半徑為r，密度為ρ的球重，高為h的球冠體體積為，求的球浸在水中部分的深度是半徑的幾分之幾（見圖1）。

6.2非線性方程求根

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數(shù)學建模理學院引例導入浮力問題

一個半徑為r，密度為ρ的球重21圖1

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數(shù)學建模理學院圖1黑龍江科技學院22問題分析設ρ=0.6的球浸在水中部分的深度為h由物理學中知識，漂浮時，重力等于浮力可知：令h=kr即：問題：如何求解k的值？

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數(shù)學建模理學院問題分析設ρ=0.6的球浸在水中部分的深度為h由物理學中知識23

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數(shù)學建模工程實際與科學計算中都遇到大量求解非線性方程的問題。設非線性方程為求數(shù)使得則稱為方程（6.2.1）的根，也稱函數(shù)的零點。求解非線性方程在初等代數(shù)中就有研究。例如，代數(shù)方程（二次、三次方程等）、超越方程（三角方程，指數(shù)、對數(shù)方程等）。但是我們發(fā)現(xiàn)即使是最基本的代數(shù)方程，當次數(shù)超過4時，一般情況下就不能用公式表示方程的根，至于超越方程那就更難了。（6.2.1）黑龍江科技學院24研究用數(shù)值方法計算非線性方程的根非常必要。在求根時通常假設非線性方程是關于的連續(xù)函數(shù)若令

它在坐標系下的圖像為連續(xù)曲線，因此，求的根就是求與軸的交點.

如果在區(qū)間僅有一個根，則稱為方程的單根區(qū)間；如果在區(qū)間上有不止一個根，則稱為方程的多根區(qū)間。方程的單根區(qū)間和多根區(qū)間統(tǒng)稱為方程的有根區(qū)間。為了研究方便，我們主要研究方程在單根區(qū)間上的求解方法。

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數(shù)學建模研究用數(shù)值方法計算非線性方程的根非常必要。是關于25abx0x1a1b2x*一、區(qū)間對分法（二分法）1.確定有根區(qū)間:2.逐次對分區(qū)間：3.取根的近似值:b1a2

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數(shù)學建模理學院[].,),(,0)()(,,)(稱其為有根區(qū)間的根內(nèi)必有方程則若<?babfafbaCxfabx0x1a1b2x*一、區(qū)間對分法（二分法）1.確定26其誤差為:根的近似值:abx0x1a1b2x*b1a2

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數(shù)學建模理學院.),(limlim的根是方程?==*￥?￥?baxbannnn其誤差為:根的近似值:abx0x1a1b2x*b1a227用對分區(qū)間法求根步驟：

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數(shù)學建模理學院用對分區(qū)間法求根步驟：28

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數(shù)學建模理學院黑龍江科技學院29

6.3迭代法

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數(shù)學建模理學院6.3迭代法黑龍江30將方程等價變形為，若要求滿足的根，等價的是求使得，稱與同解；反之亦然。這時的稱為是函數(shù)的一個不動點。求方程的根等價于求的不動點。不動點迭代關系式(也稱簡單迭代法)為 (6.3.1)其中函數(shù)稱為迭代函數(shù).如果對任意由式（6.3.1）產(chǎn)生的序列有極限則稱不動點迭代法（6.3.1）收斂.

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數(shù)學建模1、簡單迭代法將方程等價變形為，若要求滿足的根，等價的是求使得31xyo是否對于任意的等價形式該迭代法都是收斂的？什么情況下收斂？

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數(shù)學建模理學院xyo是否對于任意的等價形式該迭代法都是收斂的32xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1

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數(shù)學建模理學院xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*33定理6.3.1(不動點存在性定理)

設滿足以下兩個條件:（1）對任意，有（2）存在正常數(shù)使對任意都有則在上存在惟一的不動點定理6.3.2（不動點迭代法的全局收斂性定理）設滿足定理6.3.1中的兩個條件,則對任意得到的迭代序列由(6.3.1)式收斂到的不動點，并有誤差估計

式和

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數(shù)學建模理學院定理6.3.1(不動點存在性定理)設滿足以下兩個條件:34定理6.3.3（不動點迭代法的局部收斂性定理）

設為的不動點,在的某個鄰域連續(xù)，且，則迭代法(6.3.1)局部收斂.

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數(shù)學建模定理6.3.3（不動點迭代法的局部收斂性定理）設為的不35例6.3.2

求方程要求結果精確到10-5。在[0,0.5]內(nèi)的根，解將方程變形,因為在[0,0.5]內(nèi)為增函數(shù)，所以滿足收斂條件，取x0=0.25，用迭代公式計算步驟如下

x1=(0.25)=0.3385416x2=(x1)=0.3462668x3=(x2)=0.3471725x4=(x3)=0.3472814x5=(x4)=0.3472945x6=(x5)=0.3472961x7=(x6)=0.3472963取方程的近似根為x*=0.347296。

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數(shù)學建模例6.3.2求方程要求結果精確到10-5。在[0,0362、牛頓迭代法基本思想：牛頓法是將非線性方程線性化的一種近似方法。它是將在初始點附近展開成泰勒級數(shù)，取其線性部分(即前兩項)，作為非線性方程的近似方程，則有：。牛頓迭代公式：

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數(shù)學建模理學院2、牛頓迭代法基本思想：牛頓法是將非線性方程線性化的一種近似37牛頓迭代公式的幾何意義xyox0x1x2用曲線上某一點處的切線與x軸的交點來逐步趨近于曲線與x軸的交點，進而近似地求出的根,因此又稱切線法.

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數(shù)學建模理學院牛頓迭代公式的幾何意義xyox0x1x2用曲線上某一點處的切38xyx*x0

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數(shù)學建模理學院xyx*x0黑龍江科技39解：代入初值得：

Newton法迭代公式為

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數(shù)學建模理學院解：代入初值得：Newton法迭代公式為40單點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（其中一個是初始點，另一個是新點）的直線與ｘ軸的交點來近似取代曲線與ｘ軸的交點，即的近似根．單點弦截法迭代公式：

6.4弦截法和拋物線法

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數(shù)學建模理學院單點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（其中一個是初41xyox0x1x2幾何意義x３

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數(shù)學建模理學院xyox0x1x2幾何意義x３42兩點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（兩點都是新點）的直線與ｘ軸的交點來近似取代曲線與ｘ軸的交點，即的近似根。兩點弦截法迭代公式：

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數(shù)學建模理學院兩點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（兩點都是新點43xyox0x1x2幾何意義x３

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數(shù)學建模理學院xyox0x1x2幾何意義x３44類似割線法，過三點做f(x)的二次插值多項式拋物線法（muller法）

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數(shù)學建模理學院類似割線法，過三點做f(x)的二次插值多項式拋物線法（mul45y(x)xSecantlinex1拋物線插值x2x3Parabola

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數(shù)學建模理學院y(x)xSecantlinex1拋物線插值x2x3Par46

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數(shù)學建模理學院黑龍江科技學院47問題：交通事故勘察一輛汽車在拐彎時急剎車,結果沖進路邊的溝里,警察聞迅趕到現(xiàn)場,對汽車留在路上的剎車痕跡進行了細致的測量,利用所測到的數(shù)據(jù)畫出了事故現(xiàn)場的平面圖.并詢問司機,他說:當車進入彎道時剎車失靈,并且進入彎道時的車速為40英里/小時,通過驗車證實該車的剎車制動器在事故發(fā)生時的確失靈,但司機所說的車速是否真實?請給出一個可以使警察核對速度的計算方法.（外側剎車痕跡的有關值(見表)）建模舉例

6.5建模舉例

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數(shù)學建模理學院問題：交通事故勘察建模舉例6.5建模舉例48作基準線測量剎車痕跡,距離x沿基準線測y(y與x垂直)ＸＸＹＹ

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數(shù)學建模理學院作基準線測量剎車痕跡,距離x沿基準線測y(y與x垂直)ＸＸＹ491.汽車沿彎路行駛,車輪轉(zhuǎn)著打滑,車滑向路邊.2.車輪所受摩擦力作用在汽車速度的法線方向上,并充當轉(zhuǎn)彎時的向心力.3.車速V為常量,汽車重心沿半徑為r的圓運動.模型假設

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數(shù)學建模理學院1.汽車沿彎路行駛,車輪轉(zhuǎn)著打滑,車滑向路邊.模型假設50用觀測方法得到反映某個函數(shù)的數(shù)據(jù)利用這些數(shù)據(jù)構造出的近似表達式，即尋找一條曲線使它能很好近似，以反映所給數(shù)據(jù)的總體趨勢，消除局部波動的影響，這就是曲線擬合問題。曲線擬合法建?；舅枷?/p>

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數(shù)學建模理學院用觀測方法得到反映某個函數(shù)的數(shù)據(jù)曲線擬合法建?；?11.決定經(jīng)驗公式（函數(shù)）的形式。根據(jù)系統(tǒng)和測定數(shù)據(jù)的特點，參照已知圖形的特點決定經(jīng)驗公式。2.確定經(jīng)驗公式中待定系數(shù)的方法（擬合準則）衡量一個函數(shù)P(x)同所給數(shù)據(jù)(xi，yi)的偏差

基本步驟3.檢驗：求得經(jīng)驗公式后，有時要將實際測定的數(shù)據(jù)與用公式求出的理論值進行比較，若相差不多，說明擬合比較好，反之要修正經(jīng)驗公式。

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數(shù)學建模理學院1.決定經(jīng)驗公式（函數(shù)）的形式。2.確定經(jīng)驗公式52①最小二乘準則：使偏差的平方和最小，即

（1）②最小一乘準則：使偏差的絕對值之和為最小，即

（2）③極小極大準則：使偏差的最大絕對值為最小，即

（3）擬合準則

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數(shù)學建模理學院①最小二乘準則：使偏差的平方和最小，53(a)取,則

---直線擬合(b)取，則

---多項式擬合(c)取，則

---多元線性擬合(d)取，則

---雙曲線擬合常用擬合曲線

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數(shù)學建模理學院(a)取,則

54應用舉例孩子成長問題:一個男孩在11歲長到21歲過程中,身高的變化如下表,試找一個最佳的函數(shù)曲線來表示這個男孩的成長過程.

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數(shù)學建模理學院應用舉例孩子成長問題:一個男孩在11歲長到21歲過程中,身高55分析問題1）繪制數(shù)據(jù)散布圖根據(jù)上表中的離散數(shù)據(jù)，使用Mathematica軟件畫出相應散點圖。文件名：ch61.ma

d1={{0,0},{0.8,0.74},{1.4,2.25},{2.0,5.25},{2.4,8.25},{3.2,15.00},{4.0,21.38},{4.8,26.25},{5.4,28.88},{6.0,30.60},{7.0,32.25},{8.0,33},{10.0,35}};

gp=ListPlot[d1,PlotStyle>{PointSize[0.01]}]

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數(shù)學建模理學院分析問題1）繪制數(shù)據(jù)散布圖根據(jù)上表中的離散數(shù)據(jù)，使用Math56運行得到如下圖象：

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數(shù)學建模理學院運行得到如下圖象：黑龍572）分析數(shù)據(jù)散布圖由上圖可見，取正弦級數(shù)為擬合曲線較為合適。3）選擇函數(shù)關系形式.

為此這里令用Mathematica計算

中的參數(shù)a1,a2,a3。

輸入命令：

f=Fit[d1,{Sin[Pi*t/20],Sin[3*Pi*t/20],Sin[5*Pi*t/20]},t]

fp=Plot[f,{t,0,10}]

Show[gp,fp]

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數(shù)學建模理學院2）分析數(shù)據(jù)散布圖由上圖可見，取正弦級數(shù)為擬合曲線較為合適。58運行后顯示從上圖可見，擬合效果很好。

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數(shù)學建模理學院運行后顯示從上圖可見，擬合效果很好。59本章小結本章介紹常用的數(shù)值分析算法，插值法、曲線擬合和非線性方程求根的迭代法，利用這些數(shù)值方法解決實際問題。旨在使大家對數(shù)值分析方法解決實際問題有一個初步的了解。

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數(shù)學建模理學院本章小結本章介紹常用的數(shù)值分析算法，插值法、曲線擬合和非線性60第六章數(shù)值分析模型

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數(shù)學建模理學院第六章數(shù)值分析模型61弦截法和拋物線法數(shù)值分析模型第六章非線性方程求根迭代法重點:插值法和非線性方程求根難點:利用數(shù)值分析方法建立數(shù)學模型插值法

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數(shù)學建模理學院建模舉例弦截法和拋物線法數(shù)值分析模型第六章非線性方程求根迭代法重點:62

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數(shù)值分析（numericalanalysis）是研究用計算機求解各種數(shù)學計算問題的數(shù)值計算方法及其理論與軟件實現(xiàn)的學科。數(shù)值分析就是介紹如何用計算機來解決數(shù)學問題，以各種各樣的程序語言來設計出數(shù)值計算程序，然后依靠計算機的強大計算能力來求解這些數(shù)學問題，數(shù)值分析對數(shù)學理論與程序設計并重。運用數(shù)值分析解決問題的過程可分為如下幾步：實際問題→數(shù)學模型→數(shù)值計算方法→程序設計→上機計算求出結果。

數(shù)值分析這門學科有如下特點：（1）面向計算機（2）有可靠的理論分析（3）要有好的計算復雜性（4）要有數(shù)值實驗（5）要對算法進行誤差分析黑龍江科技學院63函數(shù)逼近問題設y=f(x)，若對以函數(shù)y=f(x)來說①其值是通過實驗或觀測得到，不知其解析表達式；②解析表達式很復雜，不便分析。問題：能否構造一個較為簡單的函數(shù)P(x)近似地表示f(x)。這就是函數(shù)逼近問題。上述函數(shù)f(x)稱為被逼近函數(shù)，P(x)稱為逼近函數(shù)。逼近方式有兩種：插值和擬合。理學院

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數(shù)學建模函數(shù)逼近問題設y=f(x)，若對以函數(shù)y=f(x)來64在生產(chǎn)和科學研究中,經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:由實驗或測量得到的某一函數(shù)在一系列點處的值,需要構造一個簡單函數(shù)作為函數(shù)的近似表達式:,使得

這類問題稱為插值問題.----被插值函數(shù)----插值函數(shù)----插值節(jié)點-----插值條件

6.1插值法插值函數(shù)：有各種類型，如代數(shù)多項式，三角函數(shù)，有理函數(shù)等。當插值函數(shù)為多項式時，稱為（代數(shù)）插值多項式。[min｛xi｝,max{xi}]=[a,b]----插值區(qū)間在生產(chǎn)和科學研究中,經(jīng)常出現(xiàn)這樣的問題:由實驗或測量得到的某65x0xixy0yi?????yy＝f(x)o從幾何上看，插值法就是要求一條曲線它通過已知的n+1個點(xi,yi)(i=0,1,…,n)，并用近似表示f(x).（下圖）

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一、插值基函數(shù)與Lagrange插值1.簡單情形

(1)n=1時.設yi=f(xi)i=0，1.作直線方程：

令：稱為兩點式插值或線性插值。

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數(shù)學建模理學院一、插值基函數(shù)與Lagrange插值67

(2)n=2時.設yi=f(xi)i=0，1，2.

令：稱

為三點式插值或拋物插值。

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數(shù)學建模理學院(2)n=2時.設yi=f(xi)i=0，682.推廣

n=1時，記則

n=2時，記則

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數(shù)學建模理學院2.推廣黑龍江科技學69一般地令

則lj(x)(j=0，1，2，…，n)為n次多項式稱為Lagrange插值基函數(shù)，為Lagrange插值多項式。

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數(shù)學建模理學院一般地令黑龍江科技學院70

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數(shù)學建模理學院例6.1.1

給定數(shù)組3.1533.0622.9792.9032.8332.768907978777675（1）作一分段線性插值函數(shù)（2）用上述插值函數(shù)計算和的函數(shù)值。黑龍江科技學院71

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數(shù)學建模理學院解

由插值基函數(shù)的表達式，在75到80的6個點間有5個線性插值函數(shù)，以區(qū)間為例，此時則在區(qū)間上有.黑龍江科技學院72

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數(shù)學建模理學院Matlab代碼如下:function[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)clcx1=75:80;y=[2.768,2.833,2.903,2.979,3.062,3.153];n=size(x1,2);symsxpositivefori=1:(n-1)Phi(i)=y(i)*(x-x1(i+1))/(x1(i)-x1(i+1))+y(i+1)*(x-x1(i))/(x1(i+1)-x1(i));endPhi=Phi';l=find(x1>xx);Y=subs(Phi(l(1)-1),xx);end黑龍江科技學院73函數(shù)的調(diào)用格式為xx=75.5[Y,Phi]=FenDuanXianXingChaZhi(xx)得到的結果為：Y=2.8005Phi=(13*x)/200-2107/1000(7*x)/100-2487/1000(19*x)/250-2949/1000(83*x)/1000-699/200(91*x)/1000-4127/1000

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數(shù)學建模理學院Y=2.8005的值就是的函數(shù)值。的函數(shù)值是3.0039。同理可得到函數(shù)的調(diào)用格式為黑龍江74理學院例6.1.2

由函數(shù)生成以下離散數(shù)據(jù)，并利用其計算函數(shù)在x=1.98，y=0.36處的函數(shù)值。并與真值作比較。

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數(shù)學建模理75使用了matlab系統(tǒng)函數(shù)interp2，代碼如下，x=0.5:0.5:3.00.1:0.1:0.6;y=0.5:0.5:3.0;[x,y]=meshgrid(x,y);z=exp(x)+sin(y)+y-1;z_spline=interp2(x,y,z,1.98,0.36,'spline')計算結果為z_spline=6.9554，即對函數(shù)使用二次插值后在點計算出的而實際值是6.9550，二次插值的絕對誤差為0.0004。值是6.9554。

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數(shù)學建模理學院使用了matlab系統(tǒng)函數(shù)interp2，代碼如下，點計算76

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數(shù)學建模二、牛頓插值

來計算函數(shù)值

在理論上，利用插值基函數(shù)求出Lagrange插值多項式是很重要的。但用來計算的近似值卻不大方便，特別是達不到要求的精度，這就要求增加插值節(jié)點，插值節(jié)點的增加意味著要重新計算全部的插值基函數(shù)。Lagrange插值法的計算量就變得很大了為此我們需要另一種便于計算的插值多項式。理學院黑龍江科技學院77

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數(shù)學建模理學院定義6.1.1函數(shù)的一階均差定義為稱為函數(shù)關于點的一階均差.

一般地，記階均差為稱為關于點的階均差.類似地，可以定義二階均差黑龍江科技學院78

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數(shù)學建模理學院根據(jù)均差定義，把看成上一點，可得只要把后一式代入前一式，就得到牛頓插值多項式其中我們稱為Newton均差插值多項式。.

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數(shù)學建模理學院注意:因此Newton插值多項式與Lagrange插值多項式只是形式不同，它們都是同一個多項式。(2)由于插值點固定時插值多項式是存在唯一的。(1)牛頓法比Lagrange插值的計算量少，且便于程序設計黑龍江科技學院80引例導入浮力問題

一個半徑為r，密度為ρ的球重，高為h的球冠體體積為，求的球浸在水中部分的深度是半徑的幾分之幾（見圖1）。

6.2非線性方程求根

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數(shù)學建模理學院引例導入浮力問題

一個半徑為r，密度為ρ的球重81圖1

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數(shù)學建模理學院圖1黑龍江科技學院82問題分析設ρ=0.6的球浸在水中部分的深度為h由物理學中知識，漂浮時，重力等于浮力可知：令h=kr即：問題：如何求解k的值？

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數(shù)學建模理學院問題分析設ρ=0.6的球浸在水中部分的深度為h由物理學中知識83

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數(shù)學建模工程實際與科學計算中都遇到大量求解非線性方程的問題。設非線性方程為求數(shù)使得則稱為方程（6.2.1）的根，也稱函數(shù)的零點。求解非線性方程在初等代數(shù)中就有研究。例如，代數(shù)方程（二次、三次方程等）、超越方程（三角方程，指數(shù)、對數(shù)方程等）。但是我們發(fā)現(xiàn)即使是最基本的代數(shù)方程，當次數(shù)超過4時，一般情況下就不能用公式表示方程的根，至于超越方程那就更難了。（6.2.1）黑龍江科技學院84研究用數(shù)值方法計算非線性方程的根非常必要。在求根時通常假設非線性方程是關于的連續(xù)函數(shù)若令

它在坐標系下的圖像為連續(xù)曲線，因此，求的根就是求與軸的交點.

如果在區(qū)間僅有一個根，則稱為方程的單根區(qū)間；如果在區(qū)間上有不止一個根，則稱為方程的多根區(qū)間。方程的單根區(qū)間和多根區(qū)間統(tǒng)稱為方程的有根區(qū)間。為了研究方便，我們主要研究方程在單根區(qū)間上的求解方法。

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數(shù)學建模研究用數(shù)值方法計算非線性方程的根非常必要。是關于85abx0x1a1b2x*一、區(qū)間對分法（二分法）1.確定有根區(qū)間:2.逐次對分區(qū)間：3.取根的近似值:b1a2

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數(shù)學建模理學院[].,),(,0)()(,,)(稱其為有根區(qū)間的根內(nèi)必有方程則若<?babfafbaCxfabx0x1a1b2x*一、區(qū)間對分法（二分法）1.確定86其誤差為:根的近似值:abx0x1a1b2x*b1a2

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數(shù)學建模理學院.),(limlim的根是方程?==*￥?￥?baxbannnn其誤差為:根的近似值:abx0x1a1b2x*b1a287用對分區(qū)間法求根步驟：

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數(shù)學建模理學院用對分區(qū)間法求根步驟：88

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數(shù)學建模理學院黑龍江科技學院89

6.3迭代法

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數(shù)學建模理學院6.3迭代法黑龍江90將方程等價變形為，若要求滿足的根，等價的是求使得，稱與同解；反之亦然。這時的稱為是函數(shù)的一個不動點。求方程的根等價于求的不動點。不動點迭代關系式(也稱簡單迭代法)為 (6.3.1)其中函數(shù)稱為迭代函數(shù).如果對任意由式（6.3.1）產(chǎn)生的序列有極限則稱不動點迭代法（6.3.1）收斂.

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數(shù)學建模1、簡單迭代法將方程等價變形為，若要求滿足的根，等價的是求使得91xyo是否對于任意的等價形式該迭代法都是收斂的？什么情況下收斂？

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數(shù)學建模理學院xyo是否對于任意的等價形式該迭代法都是收斂的92xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1x0p0x1p1

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數(shù)學建模理學院xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*93定理6.3.1(不動點存在性定理)

設滿足以下兩個條件:（1）對任意，有（2）存在正常數(shù)使對任意都有則在上存在惟一的不動點定理6.3.2（不動點迭代法的全局收斂性定理）設滿足定理6.3.1中的兩個條件,則對任意得到的迭代序列由(6.3.1)式收斂到的不動點，并有誤差估計

式和

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數(shù)學建模理學院定理6.3.1(不動點存在性定理)設滿足以下兩個條件:94定理6.3.3（不動點迭代法的局部收斂性定理）

設為的不動點,在的某個鄰域連續(xù)，且，則迭代法(6.3.1)局部收斂.

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數(shù)學建模定理6.3.3（不動點迭代法的局部收斂性定理）設為的不95例6.3.2

求方程要求結果精確到10-5。在[0,0.5]內(nèi)的根，解將方程變形,因為在[0,0.5]內(nèi)為增函數(shù)，所以滿足收斂條件，取x0=0.25，用迭代公式計算步驟如下

x1=(0.25)=0.3385416x2=(x1)=0.3462668x3=(x2)=0.3471725x4=(x3)=0.3472814x5=(x4)=0.3472945x6=(x5)=0.3472961x7=(x6)=0.3472963取方程的近似根為x*=0.347296。

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數(shù)學建模例6.3.2求方程要求結果精確到10-5。在[0,0962、牛頓迭代法基本思想：牛頓法是將非線性方程線性化的一種近似方法。它是將在初始點附近展開成泰勒級數(shù)，取其線性部分(即前兩項)，作為非線性方程的近似方程，則有：。牛頓迭代公式：

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數(shù)學建模理學院2、牛頓迭代法基本思想：牛頓法是將非線性方程線性化的一種近似97牛頓迭代公式的幾何意義xyox0x1x2用曲線上某一點處的切線與x軸的交點來逐步趨近于曲線與x軸的交點，進而近似地求出的根,因此又稱切線法.

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數(shù)學建模理學院牛頓迭代公式的幾何意義xyox0x1x2用曲線上某一點處的切98xyx*x0

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數(shù)學建模理學院xyx*x0黑龍江科技99解：代入初值得：

Newton法迭代公式為

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數(shù)學建模理學院解：代入初值得：Newton法迭代公式為100單點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（其中一個是初始點，另一個是新點）的直線與ｘ軸的交點來近似取代曲線與ｘ軸的交點，即的近似根．單點弦截法迭代公式：

6.4弦截法和拋物線法

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數(shù)學建模理學院單點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（其中一個是初101xyox0x1x2幾何意義x３

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數(shù)學建模理學院xyox0x1x2幾何意義x３102兩點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（兩點都是新點）的直線與ｘ軸的交點來近似取代曲線與ｘ軸的交點，即的近似根。兩點弦截法迭代公式：

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數(shù)學建模理學院兩點弦截法基本思想：單點弦截法是通過曲線上兩點（兩點都是新點103xyox0x1x2幾何意義x３

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數(shù)學建模理學院xyox0x1x2幾何意義x３104類似割線法，過三點做f(x)的二次插值多項式拋物線法（muller法）

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數(shù)學建模理學院類似割線法，過三點做f(x)的二次插值多項式拋物線法（mul105y(x)xSecantlinex1拋物線插值x2x3Parabola

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數(shù)學建模理學院y(x)xSecantlinex1拋物線插值x2x3Par106

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數(shù)學建模理學院黑龍江科技學院107問題：交通事故勘察一輛汽車在拐彎時急剎車,結果沖進路邊的溝里,警察聞迅趕到現(xiàn)場,對汽車留在路上的剎車痕跡進行了細致的測量,利用所測到的數(shù)據(jù)畫出了事故現(xiàn)場的平面圖.并詢問司機,他說:當車進入彎道時剎車失靈,并且進入彎道時的車速為40英里/小時,通過驗車證實該車的剎車制動器在事故發(fā)生時的確失靈,但司機所說的車速是否真實?請給出一個可以使警察核對速度的計算方法.（外側剎車痕跡的有關值(見表)）建模舉例

6.5建模舉例

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數(shù)學建模理學院問題：交通事故勘察建模舉例6.5建模舉例108作基準線測量剎車痕跡,距離x沿基準線測y(y與x垂直)ＸＸＹＹ

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數(shù)學建模理學院作基準線測量剎車痕跡,距離x沿基準線測y(y與x垂直)ＸＸＹ1091.汽車沿彎路行駛,車輪轉(zhuǎn)著打滑,車滑向路邊.2.車輪所受摩擦力作用在汽車速度的法線方向上,并充當轉(zhuǎn)彎時的向心力.3.車速V為常量,汽車重心沿半徑為r的圓運動.模型假設

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