第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用[考綱展示]1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.[考綱展示]1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了積累必備知識提升關鍵能力培育學科素養(yǎng)積累必備知識提升關鍵能力培育學科素養(yǎng)積累必備知識知識梳理[0°,180°]a⊥b積累必備知識知識梳理[0°,180°]a⊥b2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量______________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為_____投影

叫做向量a在b方向上的投影;

叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積|a||b|·cosθ0|a|cosθ|b|cosθ2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律:a·b=b·a;(2)數(shù)乘結(jié)合律:(λa)·b=

=

;(3)分配律:a·(b+c)=

.4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=<a,b>.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c3.平面向量數(shù)量積的運算律λ(a·b)a·(λb)a·b+x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2=0重要結(jié)論(1)兩個向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不同向;兩個向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不反向.(2)平面向量數(shù)量積運算的常用公式①(a+b)·(a-b)=a2-b2.②(a+b)2=a2+2a·b+b2.③(a-b)2=a2-2a·b+b2.重要結(jié)論(1)兩個向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b基礎自測答案:(1)√(2)√(3)×

(4)×

(5)×基礎自測答案:(1)√(2)√(3)×(4)×(5)C2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a等于(

)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:因為a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),則(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故選C.C2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)DDBB高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用5.(舊教材必修4P104例1改編)已知|b|=4,a與b的夾角θ=120°,則向量b在向量a方向上的投影為

.

解析:由投影的定義知,b在a方向上的投影為|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案:-25.(舊教材必修4P104例1改編)已知|b|=4,a與b的提升關鍵能力考點一平面向量數(shù)量積的運算(基礎性)題組過關提升關鍵能力考點一平面向量數(shù)量積的運算(基礎性)題組過關高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用3.已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,則向量a-b在向量a+b方向上的投影是

.

3.已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2反思歸納平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.反思歸納平面向量數(shù)量積的三種運算方法考點二平面向量數(shù)量積的應用(綜合性)多維探究[例1](1)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a-2b|=2,則|b|等于(

)解析:(1)由|a-2b|=2,得(a-2b)2=|a|2-4a·b+4|b|2=4,即|a|2-4|a||b|cos60°+4|b|2=4,即|b|2-|b|=0,解得|b|=0(舍去)或|b|=1,故選D.答案:(1)D角度一平面向量的模考點二平面向量數(shù)量積的應用(綜合性)多維探究[例1](1(2)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為

.

(2)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a反思歸納(2)求向量模的最值(范圍)的方法:①代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求函數(shù)最值的方法求解;②幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.反思歸納(2)求向量模的最值(范圍)的方法:①代數(shù)法,把所求答案:(1)D答案:(1)D(2)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=

.

(2)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,答案:(1)B角度二平面向量的夾角答案:(1)B角度二平面向量的夾角高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用反思歸納(3)解三角形法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解.反思歸納(3)解三角形法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中[對點訓練2](1)已知向量a,b滿足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,則a與b的夾角為

.[對點訓練2](1)已知向量a,b滿足(2a-b)·(a+(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b與c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是

.

(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),角度三平面向量的垂直問題[例3]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m等于(

)(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8解析:由題知a+b=(4,m-2),因為(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即4×3+(-2)×(m-2)=0,解得m=8.故選D.角度三平面向量的垂直問題[例3]已知向量a=(1,m),反思歸納(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直,先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標;然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩個向量的垂直關系,求解相關參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應的關系式,進而求解參數(shù).反思歸納(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題[對點訓練3]已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),則實數(shù)k的值為(

)(A)-8 (B)-2 (C)1.5 (D)7解析:因為2a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),又a⊥(2a+b),a=(1,2),所以2+2k+14=0,解得k=-8.故選A.[對點訓練3]已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且培育學科素養(yǎng)(教師備用)理性思維——平面向量與三角形的“四心”通過平面向量解決三角形的“四心”問題,能進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力、運算求解能力,達成邏輯思維、數(shù)學運算的學科素養(yǎng),從而養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.培育學科素養(yǎng)(教師備用)理性思維——平面向量與三角形的“四心高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用試題情境:探索創(chuàng)新情境必備知識:共線向量定理、平面向量的線性運算關鍵能力:邏輯思維能力、運算求解能力學科素養(yǎng):理性思維試題情境:探索創(chuàng)新情境高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用備選例題備選例題解析:|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10,|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6,將上面兩式左右兩邊分別相減,得4a·b=4,所以a·b=1.故選A.解析:|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=10高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用[例4]已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=

.

解析:因為a=(-1,2),b=(m,1),所以a+b=(-1+m,2+1)=(m-1,3).又a+b與a垂直,所以(a+b)·a=0,即(m-1)×(-1)+3×2=0,解得m=7.答案:7[例4]已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.(2)記f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及對應高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用第3節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用[考綱展示]1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系.3.掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算.4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.[考綱展示]1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了積累必備知識提升關鍵能力培育學科素養(yǎng)積累必備知識提升關鍵能力培育學科素養(yǎng)積累必備知識知識梳理[0°,180°]a⊥b積累必備知識知識梳理[0°,180°]a⊥b2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量______________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為_____投影

叫做向量a在b方向上的投影;

叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積|a||b|·cosθ0|a|cosθ|b|cosθ2.平面向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為3.平面向量數(shù)量積的運算律(1)交換律:a·b=b·a;(2)數(shù)乘結(jié)合律:(λa)·b=

=

;(3)分配律:a·(b+c)=

.4.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=<a,b>.λ(a·b)a·(λb)a·b+a·c3.平面向量數(shù)量積的運算律λ(a·b)a·(λb)a·b+x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2=0重要結(jié)論(1)兩個向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b不同向;兩個向量a,b的夾角為鈍角?a·b<0且a,b不反向.(2)平面向量數(shù)量積運算的常用公式①(a+b)·(a-b)=a2-b2.②(a+b)2=a2+2a·b+b2.③(a-b)2=a2-2a·b+b2.重要結(jié)論(1)兩個向量a,b的夾角為銳角?a·b>0且a,b基礎自測答案:(1)√(2)√(3)×

(4)×

(5)×基礎自測答案:(1)√(2)√(3)×(4)×(5)C2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a等于(

)(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2解析:因為a=(1,-1),b=(-1,2),所以2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0),則(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1,故選C.C2.向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)DDBB高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用5.(舊教材必修4P104例1改編)已知|b|=4,a與b的夾角θ=120°,則向量b在向量a方向上的投影為

.

解析:由投影的定義知,b在a方向上的投影為|b|cosθ=4×cos120°=-2.答案:-25.(舊教材必修4P104例1改編)已知|b|=4,a與b的提升關鍵能力考點一平面向量數(shù)量積的運算(基礎性)題組過關提升關鍵能力考點一平面向量數(shù)量積的運算(基礎性)題組過關高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用3.已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2,則向量a-b在向量a+b方向上的投影是

.

3.已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=1,|b|=2反思歸納平面向量數(shù)量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos<a,b>.(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(3)利用數(shù)量積的幾何意義求解.反思歸納平面向量數(shù)量積的三種運算方法考點二平面向量數(shù)量積的應用(綜合性)多維探究[例1](1)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|a-2b|=2,則|b|等于(

)解析:(1)由|a-2b|=2,得(a-2b)2=|a|2-4a·b+4|b|2=4,即|a|2-4|a||b|cos60°+4|b|2=4,即|b|2-|b|=0,解得|b|=0(舍去)或|b|=1,故選D.答案:(1)D角度一平面向量的模考點二平面向量數(shù)量積的應用(綜合性)多維探究[例1](1(2)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的最大值為

.

(2)已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a反思歸納(2)求向量模的最值(范圍)的方法:①代數(shù)法,把所求的模表示成某個變量的函數(shù),再用求函數(shù)最值的方法求解;②幾何法(數(shù)形結(jié)合法),弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.反思歸納(2)求向量模的最值(范圍)的方法:①代數(shù)法,把所求答案:(1)D答案:(1)D(2)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=

.

(2)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,答案:(1)B角度二平面向量的夾角答案:(1)B角度二平面向量的夾角高三總復習數(shù)學優(yōu)質(zhì)課件-平面向量的數(shù)量積及平面向量的應用反思歸納(3)解三角形法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進行求解.反思歸納(3)解三角形法:可以把所求兩向量的夾角放到三角形中[對點訓練2](1)已知向量a,b滿足(2a-b)·(a+b)=6,且|a|=2,|b|=1,則a與b的夾角為

.[對點訓練2](1)已知向量a,b滿足(2a-b)·(a+(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),已知2a-3b與c的夾角為鈍角,則k的取值范圍是

.

(2)若向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),角度三平面向量的垂直問題[例3]已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,則m等于(

)(A)-8 (B)-6 (C)6 (D)8解析:由題知a+b=(4,m-2),因為(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=0,即4×3+(-2)×(m-2)=0,解得m=8.故選D.角度三平面向量的垂直問題[例3]已知向量a=(1,m),反思歸納(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直,先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標;然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式,計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可.(2)已知兩個向量的垂直關系,求解相關參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件,列出相應的關系式,進而求解參數(shù).反思歸納(1)利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題[對點訓練3]已知向量a=(1,2),b=(2k,3),且a⊥(2a+b),則實數(shù)k的值為(

)(A)-8 (B)-2 (C)1.5 (D)7解析:因為2a+b=(2,4)+(2k,3)=(2+2k,7),又a⊥(2a+b),a=(1,2),所以2+2k+14=0,解得k=-8.故選A.[對點