2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，下列4個(gè)三角形中，均有AB=AC，則經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線能夠?qū)⑦@個(gè)三角形分成兩個(gè)小等腰三角形的是（）A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④2．一個(gè)三角形的三邊長分別為，則這個(gè)三角形的形狀為（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．形狀不能確定3．如圖，是的中線，E，F(xiàn)分別是和延長線上的點(diǎn)，且，連接，，下列說法：①和面積相等；②；③；④；⑤和周長相等．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．計(jì)算的結(jié)果，與下列哪一個(gè)式子相同？（）A． B． C． D．5．若，則下列各式成立的是（）A． B． C． D．6．如圖，已知四邊形ABCD，連接AC，若AB∥CD，則①∠BAD+∠D＝180°，②∠BAC＝∠DCA，③∠BAD+∠B＝180°，④∠DAC＝∠BCA，其中正確的有（）A．①②③④ B．①② C．②③ D．①④7．已知+c2﹣6c+9＝0，則以a，c為邊的等腰三角形的周長是（）A．8 B．7 C．8或7 D．138．如圖，在中，，點(diǎn)在上，連接，將沿直線翻折后，點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處若，，則點(diǎn)到的距離是()A． B． C． D．9．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（）A． B． C．4 D．710．如圖，ABCD是正方形場地，點(diǎn)E在DC的延長線上，AE與BC相交于點(diǎn)F，有甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，甲沿著A﹣B﹣F﹣C的路徑行走至C，乙沿著A﹣F﹣E﹣C﹣D的路徑行走至D，丙沿著A﹣F﹣C﹣D的路徑行走至D，若三名同學(xué)行走的速度都相同，則他們到達(dá)各自的目的地的先后順序（由先至后）是（）A．甲乙丙 B．甲丙乙 C．乙丙甲 D．丙甲乙二、填空題(每小題3分,共24分)11．若點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1（2a+b,－a+1），關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的點(diǎn)為P2（4－b,b+2），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為12．在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)B在原點(diǎn)O，直角邊BC，在x軸的正半軸上，,點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B,C重合），過點(diǎn)D作交AB邊于點(diǎn)E,將沿直線DE翻折，點(diǎn)B落在x軸上的F處．（1）的度數(shù)是_____________；（2）當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是________________．13．如圖，在一張長為7cm，寬為5cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個(gè)腰長為4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與矩形的一個(gè)頂點(diǎn)重合，其余的兩個(gè)頂點(diǎn)在矩形的邊上），則剪下的等腰三角形的面積為_____．14．甲、乙兩同學(xué)近期次數(shù)學(xué)單元測試成績的平均分相同，甲同學(xué)成績的方差，乙同學(xué)成績的方差則它們的數(shù)學(xué)測試成績較穩(wěn)定的是_______________________(填甲或乙)15．如圖于，，則的長度為____________16．如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．17．寫出點(diǎn)M（﹣2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)N的坐標(biāo)_____．18．三邊都不相等的三角形的三邊長分別為整數(shù)，，，且滿足，則第三邊的值為________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)D不與B，C重合），連結(jié)AD，作∠ADE=40°，DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BAD=20°時(shí)，∠EDC=°；(2)請(qǐng)你回答：“當(dāng)DC等于時(shí)，ABDDCE”，并把“DC等于”作為已知條件，證明ABDDCE；(3)在D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BAD等于時(shí)，ADE是等腰三角形．(直接寫出結(jié)果，不寫過程）20．（6分）如圖，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．（1）求證：△BCE≌△DCF；（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的長．21．（6分）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)心、，我們規(guī)定：符號(hào)表示、中的較大值，如：.按照這個(gè)規(guī)定，求方程(為常數(shù)，且)的解．22．（8分）證明：如果兩個(gè)三角形有兩邊和其中一邊上的高分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．23．（8分）計(jì)算（1）（2）（3）（4）24．（8分）兩塊完全相同的三角形紙板ABC和DEF，按如圖所示的方式疊放，陰影部分為重疊部分，點(diǎn)O為邊AC和DF的交點(diǎn)，不重疊的兩部分△AOF與△DOC是否全等？為什么？25．（10分）特殊兩位數(shù)乘法的速算——如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字相加為10，那么能立說出這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積.如果這兩個(gè)兩位數(shù)分別寫作AB和AC（即十位數(shù)字為A，個(gè)位數(shù)字分別為B、C，B+C=10，A>3），那么它們的乘積是一個(gè)4位數(shù)，前兩位數(shù)字是A和(A+1)的乘積，后兩位數(shù)字就是B和C的乘積.如：47×43=2021，61×69=4209.（1）請(qǐng)你直接寫出83×87的值；（2）設(shè)這兩個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字為x(x>3)，個(gè)位數(shù)字分別為y和z（y+z=10)，通過計(jì)算驗(yàn)證這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積為100x(x+1)+yz.（3）99991×99999=___________________（直接填結(jié)果）26．（10分）先化簡，再求值：，其中x滿足．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【解析】對(duì)于①，作∠B或∠C的平分線即可，②不能，③作斜邊上的高，④在BC上取點(diǎn)D，使BD=BA即可.【詳解】解：由題意知，要求“被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形”，①圖，作∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，則分成的兩個(gè)三角形的角的度數(shù)分別為：36°，36°，108°和36°，72°72°，符合要求；②圖不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形；③圖，作等腰直角三角形斜邊上的高AD，則可把它分為兩個(gè)小等腰直角三角形，符合要求；④圖，在BC上取點(diǎn)D，使BD=BA，作直線AD，則分成的兩個(gè)三角形的角的度數(shù)分別為：36°，72，72°和36°，36°，108°，符合要求．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和三角形的內(nèi)角和定理，在等腰三角形中，從一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呉粭l線段，分原等腰三角形為兩個(gè)新的等腰三角形，必須存在新出現(xiàn)的一個(gè)小等腰三角形與原等腰三角形相似才有可能.2、B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．如果沒有這種關(guān)系，這個(gè)就不是直角三角形．【詳解】解：∵，，∴∴∴這個(gè)三角形一定是直角三角形，

故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．3、C【分析】由三角形中線的定義可得，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等判斷出①正確，然后利用“邊角邊”證明和全等，判斷出②正確，根據(jù)②得到，進(jìn)而證明，判斷出③正確，由為任意三角形，判斷④⑤錯(cuò)誤，問題得解．【詳解】解：是的中線，，∵和底邊BD，CD上高相同，和面積相等，故①正確；在和中，，，故②正確；，，故③正確；由為任意三角形，故④⑤錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等底等高的三角形的面積相等，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．4、D【分析】由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則：兩多項(xiàng)式相乘時(shí)，用一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)去乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，合并同類項(xiàng)后所得的式子就是它們的積．【詳解】解：由多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，牢記法則，不要漏項(xiàng)是解答本題的關(guān)鍵．5、C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】A、，，此項(xiàng)錯(cuò)誤B、，，此項(xiàng)錯(cuò)誤C、在A選項(xiàng)已求得，兩邊同加2得，此項(xiàng)正確D、，，此項(xiàng)錯(cuò)誤故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同加（或同減）一個(gè)數(shù)，不改變不等號(hào)的方向；（2）不等式的兩邊同乘以（或除以）一個(gè)正數(shù)，不改變不等號(hào)的方向；兩邊同乘以（或除以）一個(gè)負(fù)數(shù)，改變不等號(hào)的方向，熟記性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6、B【分析】利用平行線的性質(zhì)依次分析即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠D＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∠BAC＝∠DCA（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），故①、②正確；只有當(dāng)AD∥BC時(shí)，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，得出∠BAD+∠B＝180°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，得出∠DAC＝∠BCA，故③、④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．7、C【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、c的值，再分a是腰長與底邊兩種情況討論求解．【詳解】解：可化為：，∵，，∴，，解得a=2，c=3，①a=2是腰長時(shí)，三角形的三邊分別為2、2、3，∵2+2=4>3，∴2、2、3能組成三角形，∴三角形的周長為7，②a=2是底邊時(shí)，三角形的三邊分別為2、3、3，能夠組成三角形，∴三角形的周長為1；綜上所述，三角形的周長為7或1．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷．8、A【分析】過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，DG⊥AC于G，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得CB=CE，∠BCD=∠ACD，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=DG，然后結(jié)合已知條件和三角形面積公式即可求出AC和CB，然后利用S△BCD＋S△ACD=列出方程即可求出DG．【詳解】解：過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，DG⊥AC于G由折疊的性質(zhì)可得：CB=CE，∠BCD=∠ACD∴CD平分∠BCA∴DF=DG∵∴CE：AC=5:8∴CB：AC=5:8即CB=∵∴解得：AC=8∴CB=∵S△BCD＋S△ACD=∴即解得：DG=，即點(diǎn)到的距離是故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式，掌握折疊的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．9、A【解析】試題解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°又∠DAB+∠ABD=90°∴∠BAD=∠CBE，，∴△ABD≌△BCE∴BE=AD=3在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC=，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC=.故選A．考點(diǎn)：1.勾股定理；2.全等三角形的性質(zhì)；3.全等三角形的判定．10、B【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，難度適中．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ECF，根據(jù)直角三角形得出AF＞AB，EF＞CF，分別求出甲、乙、丙行走的距離，再比較即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，甲行走的距離是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；乙行走的距離是AF+EF+EC+CD；丙行走的距離是AF+FC+CD，∵∠B=∠ECF=90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即順序是甲丙乙，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查1.正方形的性質(zhì)；2.線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；3.比較線段的長短．二、填空題(每小題3分,共24分)11、（2a+b,b+2）【解析】答案應(yīng)為（-9，-3）解決此題，先要根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1（2a+b，-a+1）得到P點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)，根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)P2（4-b，b+2）得到P點(diǎn)的另一個(gè)坐標(biāo)，由此得到一個(gè)方程組，求出a、b的值，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)．解：∵若P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P1（2a+b，-a+1），∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2a+b，a-1），∵關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2（4-b，b+2），∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（b-4，b+2），則，解得．代入P點(diǎn)的坐標(biāo)，可得P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-9，-3）．12、30°（1，）或（2，）【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°以及點(diǎn)A的坐標(biāo)，得到AC和BC的長，再利用特殊角的三角函數(shù)值求解即可；（2）根據(jù)直角三角形的定義可分三種情況考慮：①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，②當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，③當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，三種情況分別求解．【詳解】解：（1）∵∠ACB=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴AC=，BC=3，∴tan∠ABC==，∴∠ABC=30°，故答案為：30°；（2）△AEF為直角三角形分三種情況：①當(dāng)∠AEF=90°時(shí)，

∵∠OED=∠FED，且∠OED+∠FED+∠AEF=180°，

∴∠OED=45°．

∵∠ACB=90°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴tan∠ABC=，∠ABC=30°．

∵ED⊥x軸，

∴∠OED=90°-∠ABC=60°．

45°≠60°，此種情況不可能出現(xiàn)；②當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，

∵∠OED=∠FED=60°，

∴∠AEF=60°，

∵∠AFE=90°，

∴∠EAF=90°-∠AEF=30°．

∵∠BAC=90°-∠ABC=60°，

∴∠FAC=∠BAC-∠EAF=60°-30°=30°．

∵AC=，∴CF=AC?tan∠FAC=1，

∴OF=OC-FC=3-1=2，∴OD=1，∴DE=tan∠ABC×OD=，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）；③當(dāng)∠EAF=90°時(shí)，

∵∠BAC=60°，

∴∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30°，

∵AC=，∴CF=AC?tan∠FAC=1，

∴OF=OC+CF=3+1=4，∴OD=2，∴DE=tan∠ABC×OD=，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，）；綜上知：若△AEF為直角三角形．點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，）或（2，）．故答案為：（1，）或（2，）．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、角的計(jì)算以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角的計(jì)算以及解直角三角形找出CF的長度．本題屬于中檔題，難度不大，但在解決該類題型時(shí)，部分同學(xué)往往會(huì)落掉2種情況，因此在平常教學(xué)中應(yīng)多加對(duì)學(xué)生引導(dǎo)，培養(yǎng)他們考慮問題的全面性．13、8或2或2【詳解】分三種情況計(jì)算：（1）當(dāng)AE=AF=4時(shí)，如圖：∴S△AEF=AE?AF=×4×4=8；（2）當(dāng)AE=EF=4時(shí)，如圖：則BE=5﹣4=1，BF=，∴S△AEF=?AE?BF=×4×=2；（3）當(dāng)AE=EF=4時(shí)，如圖：則DE=7﹣4=3，DF=，∴S△AEF=AE?DF=×4×=2；14、乙【分析】根據(jù)方差的意義：方差越小則波動(dòng)越小，穩(wěn)定性也越好，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵＞∴它們的數(shù)學(xué)測試成績較穩(wěn)定的是乙故答案為：乙．【點(diǎn)睛】此題考查的是方差的意義，掌握方差越小則波動(dòng)越小，穩(wěn)定性也越好是解決此題的關(guān)鍵．15、1【解析】作PE⊥OA于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE＝PD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE，即可求得PD．【詳解】作PE⊥OA于E，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE＝PD（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°，∵PC∥OB，∴∠ACP＝∠AOB＝30°，∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×2＝1（在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半），∴PD＝PE＝1，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，難度一般，作輔助線是關(guān)鍵．16、360°【解析】如圖所示，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：（1）三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和；（2）四邊形內(nèi)角和定理：四邊形內(nèi)角和為360°．17、（-2，-3）【解析】解：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)關(guān)于x軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)不變，∴點(diǎn)M（-2，3）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（-2，-3）．18、1【分析】由題意利用配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得a、b的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理求出第三邊的值.【詳解】解：∵，∴，∴，解得，∵1＜c＜5，三邊都不相等∴c=1，即c的長為1．故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用和三角形的三邊關(guān)系以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）20；（2）2；2；證明見解析；（3）30°或60°【分析】（1）根據(jù)外角等于不相鄰兩內(nèi)角和可解題；（2）當(dāng)DC=AB=2時(shí)，即可求證△ABD≌△DCE；（3）分類談?wù)?，①若AD=AE時(shí)；②若DA=DE時(shí)，③若EA=ED時(shí)，即可解題．【詳解】解：（1）∵∠BAD=20°，∠B=40°，∴∠ADC=60°，∵∠ADE=40°，∴∠EDC=20°．（2）DC=AB=2時(shí)，∵AB=AC=2，∴∠B=∠C，∵∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB=180°-40°-∠ADB=140°-∠ADB，∴∠BAD=∠CDE．在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）∵AB=AC，∴∠B=∠C=40°，①若AD=AE時(shí)，則∠ADE=∠AED=40°，∵∠AED＞∠C，∴△ADE不可能是等腰三角形；②若DA=DE時(shí)，即∠DAE=∠DEA=(180°-40°)=70°，∵∠BAC=180°-40°-40°=100°，∴∠BAD=100°-70°=30°；③若EA=ED時(shí)，∠ADE=∠DAE=40°，∴∠BAD=100°-40°=60°，∴當(dāng)∠BAD=30°或60°時(shí)，△ADE是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．運(yùn)用分類討論解本題是解題的關(guān)鍵．20、（1）見解析；（2）AC的長為1．【分析】（1）首先根據(jù)垂線的意義得出∠CFD=∠CEB=90°，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出CE=CF，即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF；（2）首先由（1）中全等三角形的性質(zhì)得出DF=EB，然后判定Rt△AFC≌Rt△AEC，得出AF=AE，構(gòu)建方程得出CF，再利用勾股定理即可得出AC.【詳解】（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂線的意義）∴CE=CF（角平分線的性質(zhì)）∵BC=CD（已知）∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）（2）由（1）得，Rt△BCE≌Rt△DCF∴DF=EB，設(shè)DF=EB=x∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，AC=AC∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）∴AF=AE即：AD+DF=AB﹣BE∵AB=21，AD=9，DF=EB=x∴9+x=21﹣x解得，x=6在Rt△DCF中，∵DF=6，CD=10∴CF=8∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289∴AC=1答：AC的長為1．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，熟練掌握，即可解題.21、x＝﹣1或【分析】利用題中的新定義，分a＜3與a＞3兩種情況求出方程的解即可．【詳解】當(dāng)a＜3時(shí)，，即去分母得，2x－1＝3x解得：x＝﹣1經(jīng)檢驗(yàn)x＝﹣1是分式方程的解；當(dāng)a＞3時(shí)，，即去分母得，2x－1＝ax解得：經(jīng)檢驗(yàn)是分式方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，關(guān)鍵是掌握解分式方程的步驟：去分母、解方程、驗(yàn)根、得出結(jié)論．22、見解析【分析】由HL證明Rt△ABH≌Rt△DEK得∠B=∠E，再用邊角邊證明△ABC≌△DEF．【詳解】已知：如圖所示，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，AH⊥BC，DK⊥EF，且AH＝DK．求證：△ABC≌△DEF，證明：∵AH⊥BC，DK⊥EF，∴∠AHB＝∠DKE＝90°，在Rt△ABH和Rt△DEK中，，∴Rt△ABH≌Rt△DEK（HL），∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和命題的證明方法，重點(diǎn)掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)是將命題用幾何語言規(guī)范書寫成幾何證明格式．23、（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）先化簡二次根式，然后合并同類項(xiàng)，即可得到答案.（2）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，然后合并