第三章多維隨機變量及其分布第一節(jié)二維隨機變量一、二維隨機變量的分布函數(shù)設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間是S.設(shè)X、Y是定義在S上的隨機變量，則由它們構(gòu)成的一個向量(X,Y)稱為二維隨機向量或二維隨機變量.一般地，(X,Y)的性質(zhì)不僅與X有關(guān)，與Y有關(guān)，而且還依賴于X、Y的相互關(guān)系，因此必須把(X,Y)作為一個整體來研究.首先引入(X，Y)的分布函數(shù)的概念.定義設(shè)(X，Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x、y，二元函數(shù)F(x，y)=P{(X<x)A(Y<y)}=P{X<x，Y<y}稱為二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和y的聯(lián)合分布函數(shù).分布函數(shù)F(x，y)表示事件(X<x)與事件(Y<y)同時發(fā)生的概率.如果把(X，Y)看成平面上具有隨機坐標(biāo)(X，Y)的點，則分布函數(shù)F(x，y)在(x，y)處的函數(shù)值就是隨機點(X，Y)落在平面上的以(x，y)為頂點而位于該點左下方的無限矩形內(nèi)的概率??由上面的幾何解釋，容易得到隨機點(X，Y)落在矩形區(qū)域{”<X<x2,y1<Y<y2}的概率為P{x1<X<x2,y1<Y<y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1) (1)與二元函數(shù)類似，二元分布函數(shù)F(x,y)也具有如下一些性質(zhì)：1OF(x,y)是變量x和y的單調(diào)不減函數(shù)，即當(dāng)x1<x2時,F(x1,y)<F(x2,y);當(dāng)y1<y2時,F(x,y1)<F(x,y2).2O0<F(x,y)<1,且F(-g,y)=0,F(x,-g)=0,F(_g,_g)=0,F(+s,+8)=1.(凡含-s的概率分布為0)3。 F(x,y)關(guān)于x和y都是右連續(xù)的，即F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y).4。 對任意的g,yj、(x2,y2),x1<x2,y1<y2,有F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)>0.注：二元分布函數(shù)具有性質(zhì)1。?4。，其逆也成立(2。中0<F(x,y)<1可去)，即若二元實值函數(shù)F(x,y)(xgR,ygR)滿足1。?4o,則F(x,y)必是某二維隨機變量的(X,Y)的分布函數(shù).其中4。是必不可少的，即它不能由1。?3。推出(除去0<F(x,y)<1).二、二維離散型隨機變量如果二維隨機變量(X,Y)的所有可能取的值是有限對或可列無限多對，則稱(X,Y)是二維離散型隨機變量.設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)所有可能取的值為(x,.,y.)(i,j=1,2,3,…).記P{X=x,,Y=y.}=p,. (i,]=1,2,3,…)則由概率定義有p,.>0; p=1.] i] i] i]i=1j=1我們稱P{X = x,, Y= y]} = pi]. (i, ]= 1,2,3,…)為二維離散型隨機變量(X, Y)的分布律(概率分布)或隨機變量X和Y的聯(lián)合分布律,(X,Y)的分布律也可用表格表示.其分布函數(shù)為F(x,y)=工工P{X=x,,Y=y.}=工工pi J i]x,<xy.<y x,<xy.<y這里工工表示對一切x,<x,y.<y的那些指標(biāo)i、]求和.x,<xy.<y例1一個口袋中有三個球，依次標(biāo)有1、2、2,從中任取一個，不放回袋中，再任取一個.設(shè)每次取球時,各球被取到的可能性相等，以X、Y分別記第一次和第二次取到的球上標(biāo)有的數(shù)字，求X、Y的聯(lián)合分布律與分布函數(shù)??12解：(X,Y)的可能取值為(1,2)、(2,1)、(2,2).P{X=1,Y=2}=P{X=1}P{Y=2/X=1}=——32

同理，有P{X=2,Y=1}=1,P{X=2,Y=2}=1.即(X,Y)的分布律如右表所示.當(dāng)1<x<2,1<y<2時，F(xiàn){x,y}=0;當(dāng)1<x<2,1<y<2時，F(xiàn){x,y}=0;當(dāng)1<當(dāng)1<x<2,y>2時，F(xiàn){x,y}=p^+p12當(dāng)x>2,1<y<2時，F(xiàn){x,y}=p^+p21=當(dāng)x>2,y>2時，F(xiàn){x,y}=1.1<x<2,1<y<2,所以,(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=<1 1所以,(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)=<3，Iy>2 或[1<y<2,1, x>2,y>2.三、二維連續(xù)型隨機變量設(shè)二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)為F{x,y},若存在非負(fù)函數(shù)f(x,y),使對任意的x、y有F(x,y)=JyJxf(u,v)dudv，—g—g則稱(X,Y)為連續(xù)型的二維隨機變量,f(x,y)稱為二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度，或稱隨機變量X、Y的聯(lián)合概率密度.概率密度f(x,y)具有以下性質(zhì):1。f(x,y)>0；2。J+寸+8f(x,y)dxdy=F(+g,+g)=2?！猤—g3。若3。若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，則有SF2=f(x，y)oxoy4。求:(1)系數(shù)A；(2)分布函數(shù)F(x,4。求:(1)系數(shù)A；(2)分布函數(shù)F(x,y);(3)概率P{(X,Y)gD},其中D:x>0,y>0,x+y<1.(1)由J+sJ^f(x,y)dxdy=1,得A=2.—g—gJyJxe—(x+y)dxdy,x>0,y>0,=II(1—e—x)(1—e—y),00 =I0, 其它, [ 0,解:(2)F(x,y)=JyJxe—(x+y)dxdy=<—g—gx>0,y>0,

其它.(3)P{(X,Y)}=JJf(x,y)dxdy=J1dxJ1xe—x00e—ydxdy=1——.e例3設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=x2+—, 0<x<1,0<y<2,0, 其它,,求P{Y>X}.設(shè)G是xOy平面上的一個區(qū)域，則點(X,Y)落在G內(nèi)的概率為P{(X,Y)gG}= f(x,y)dxdy⑵G例2設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X』的概率密度為f(x,y)=] 0,,其它.,

解：P{Y>解：P{Y>X}=JJf(x,y)dxdy2(x2+0x?)dy=牛以上關(guān)于二維隨機變量的討論,不難推廣到n(n>2)維隨機變量的情形.一般地,設(shè)E是一個隨機試驗,它的樣本空間為S,設(shè)X]、X2、…、X”是定義在S上的隨機變量，則由它們構(gòu)成的一個n維向量(X],X2,…,X”)稱為n維隨機向量或n維隨機變量.對任意n個實數(shù)X]、x2、…、x”,n兀函數(shù)F(x],x2,…,x”)=P{X]<x],X2<x2,…,X”<x”}稱為n維隨機變量(X],X2,…,X”)的分布函數(shù)或隨機變量(X],X2,…,X”)的聯(lián)合分布函數(shù)，它具有與二元分布函數(shù)類似的性質(zhì).第二節(jié)邊緣分布設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，其分布函數(shù)為F(x,y),事件{X<x}即為{X<x,Y<+s},從而由(X,Y)的分布函數(shù)可定出X的分布函數(shù)，記為FX(x).FX(x)=P{X<x}=P{X<x,Y<+s}=F(x,+s)=limF(x,y).XyT+w我們稱FX(x)為關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).類似的可定義關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY(y)=P{Y<y}=P{X<+w,Y<y}=F(+w,y)=limF(x,y).xT+w一、離散型設(shè)(X,Y)為二維離散型隨機變量，其分布律為P{X=x.,Y=y.}=p..(i,j=1,2,3,…),則」i.i.FX(x)=F(x,+w)=yyp..,FY(y)=F(+w,y)=yyp...

X ..Y ..x.<x.=] y.<y.=]從而X與Y的分布律分別為P{X=x.}=p..,.=1,2,…;P{Y=y.}=Sp..,j=],2,…;j iji=]i..i.j iji=]記p.=P{記p.=P{X=x,}=yp..,I- i …j=]分別稱p..和p..為(X,Y)關(guān)于X與Y的邊緣分布律.ij注：]。邊緣分布律具有一維分布律的一般性質(zhì).iji=],2,…;卩j=P{Y=兒}=pij,j=],2,….iji=12。聯(lián)合分布律唯一決定邊緣分布律,反之不然.二、連續(xù)型FY(y)=F(+g,y)=Jy[Jf(x,y)dx]dy.—g—g設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y),由FY(y)=F(+g,y)=Jy[Jf(x,y)dx]dy.—g—gX—g—g知X與Y都是連續(xù)型隨機變量.它們的概率密度分別為fX(x)=Jf(x,y)dy; fY(y)=Jf(x,y)dx.—g —g稱fx(x)與fY(y)分別為(X,Y)關(guān)于X與Y的邊緣概率密度.例2設(shè)D是平面上的有界區(qū)域，其面積為A,若二維隨機變量(X,Y)的概率密度為(x,y)eD,其它,丄f(x，y)=\a(x,y)eD,其它,0,則稱(X,Y)在D上服從均勻分布.現(xiàn)(X,Y)在以原點為中心、1為半徑的圓域上服從均勻分布，求邊緣概率密度.解：由J+gJ+gf(x,y)dxdy_1,得A=冗.—g—g當(dāng)|x|<1時，fx(x)_當(dāng)|x|<1時，fx(x)_J+gf(x,y)dy_J■-1—X2—g1—x21 2--dy_-v1—x2；當(dāng)|x|>1時,fX(x)=0,即兀 兀 X0,|x|<1,lxl>1.同理可得,fY(y)_1—y2, lyl<1,兀0,iy>1.例3設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)=—f(x,y)=—1-exp<j2KO1°2門—p2 12(1—p2)(x_片)2—2p(x-片)(y-卩2)+(y-」2)2O12OO12O22'—g<x<+g'其中」］、」2、O］、O2、p都是常數(shù)，且O］ >0, O2 >0, —1 <p<1.我們稱(X, Y)為服從參數(shù)為片、卩2、O］、O2、p的二維正態(tài)分布，試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度?解:令m=(x-片)2—解:令m=(x-片)2—2p(x-叫)(y-」2)+(y-」2)2

OO12O21O22(x—兒)2O22OO12O21丄—p2(“—氣)2+(“—氣)2O21O212+(1—p2)<x—」122O21—g2冗O1O2"2(X-I」］)22O12—g2冗O1O2"2(X-I」］)22O12—g1dy.J+ge—2(1—p2)X'1—p2,則dy_￡l_p2-o2dt,從而,所以,fX(x)_+g

e—g2(1—P2)(x-|l］)22O21f—p呂］2 f+g, - ,——,_ O1Jdy_J8J1—p2-o2e2dt_彳2兀o,1—p2—gt21(—g<x<+g).同理可得，fY(y)_ eY J2兀o2(y-|i2)22O22(—g<y<+g).e2(1—p2)dy心兀Op2譏-卩2e2(1—p2)dy心兀Op2譏-卩2X表明,X~N(」1,O12),Y~N(」2,O22).此例說明，二維正態(tài)隨機變量(X,Y)中的X、Y都服從正態(tài)分布，并且與參數(shù)p無關(guān).所以對于確定的片、卩2、O］、o2而取不同的p,對應(yīng)了不同的二維正態(tài)分布，但是其中每個隨機變量都分別服從相同的正態(tài)分布?因此，僅由關(guān)于X和Y的邊緣概率密度(分布)，一般不能確定X和Y的聯(lián)合概率密度(分布).

第四節(jié)相互獨立的隨機變量P(AB)=P(A)PP(AB)=P(A)P(B)定義設(shè)F(x,y)及FX(x)、Fy(y)分別是二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)，若對于所有的x、y,有 P{X<x,Y<y}=P{X<x}P{Y<y},即F(x,y)=FX(x)Fy(y) (1)則稱隨機變量X和Y是相互獨立的.可見，在隨機變量X和Y相互獨立的情況下，由關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)就唯一地確定(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù),而且還可推得P{Y<y/X=x}=P{Y<又X二x}=limP{Y<y,x<X<x+ =limF(x+山‘y)"(兀y)P{X=x} Ax? P{x<X<x+Ax} 心T0F(x+Ax,+?)-F(x,+x)lim FX(xlim FX(x也fy(y)—FX(x)fy(y)AxtOFx Fy(+?)-FX(x)Fy(+8)=limAxtO[Fx(x+Ax)-Fx(x)]FY(y)FX(x+Ax)-FX(x)=FY(y)=P{Y<y}.這就是說在X和Y這就是說在X和Y相互獨立的情況下條件分布與邊緣分布相同，即條件分布化成了無條件分布.一、離散型設(shè)二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律分別為P{X=xi,Y=yj}=pij (i,j=1,2,3,…),p.p.=P{X=xi}亠p..,i=1,2,…;.=1p.=P{Y=y.}=^py.,j=1,2,….=1則X和Y相互獨立的充要條件是(2)P{X=x.,Y=y.}=P{X=x.}P{Y=y.},即p.=p.(2)、連續(xù)型設(shè)二維連續(xù)型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),關(guān)于X和Y的邊緣概率密度為fX(x)和(y),則X和Y相互獨立的充要條件是等式 f(x,y)=fX(x)(y) (3)幾乎處處成立.例3設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布，即其聯(lián)合概率密度為f(x,f(x,y)=1I2兀。QC1-P212v-exp{占2p(x-氣)(y-卩2)+(y-巴)2QQ Q2122(一8<y<+8丿證明:X和Y相互獨立的充要條件是p=0.fe-(x+y) x>0y>0例4若(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)={ ,"J八,則X和Y相互獨立.［0, 其它，fe-x,x>0, fe-y,y>0,證：顯然fX(x)=j°’其它’fY(y)=jJ其它’故有f(x,y)=fX(x)fY(y).從而X和Y相互獨立.例5設(shè)X與Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在［0,0.2］上服從均勻分布,Y的概率密度為

f(x)屮T，翁解：⑴由已知條件，得fX(x)解：⑴由已知條件，得fX(x)=5,0，0<x<0.2,其它，從而得X與Y的聯(lián)合概率密度為f(x,y)=25e-5y,0,0<x<0.2,y>0

其它.試求:(])X與Y的聯(lián)合概率密度；LJ&LB(2)P{Y<X}.⑵P{Y<X}=P{Y-X}=Uf(x,y)dxdy,積分區(qū)域如圖，化成二次積分后得x-y>0P{Y<P{Y<X}=0.2Jxf(x,y)dy-0dx=e-1~0.3679.以上關(guān)于二維隨機變量的一些概念，很容易推廣到n維隨機變量的情形.設(shè)n維隨機變量(X],X2,…,X”)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,x”)，若存在非負(fù)函數(shù)f(x1,x2,…,x”)，使得對于任意實數(shù)x.>x?、…、x,有]2nxn—]F(x,,xn，…，x)=Jx"Jx"-]??Jx]f(x,x，…,x)dxdxxn—]]2n ]2n]2n則稱f(x],x2,…,xn)為n維隨機變量(X],X2,…,X”)的聯(lián)合概率密度.稱F(x])=F(x]，+g,…,+g),F (x],x2)=F(x],x2,+g,…,+g),…為關(guān)于X(XXJ,…的邊緣分X]]] X],X2]2]2]]2布函數(shù)，f(x)=JJ ?JFf(x,x，…,x)dxdx…dx,TOC\o"1-5"\h\zX] ] 2n2 3n—g—g—gf(x,x)=JJ…Jf(x,x,…,x)dxdx…dx,…X,X ]2 ]2n34n] 2 —g—g —g為關(guān)于X],(X],X2),…的邊緣概率密度.TOC\o"1-5"\h\z若對于所有的x.>x2、…、x,有F(x.,x2,…,x)=F(xi)F(x2)…F(x),則稱XX…,X是相] 2 ] 2 X]X2 X ] 2]2互獨立的,對離散型即連續(xù)型隨機變量,也有類似的結(jié)論.若對于所有的x「七、…、x,”；7]、歹2、…、丁”，有F(x]，x2,…,xm；y]，歹2,…，y”)=F1(x]，x2,…,xm)F]，卩2,…，歹”)TOC\o"1-5"\h\z其中F]、F2和F依次為(X],X2,…,Xm)、(Y],Y2,…,Y”)和(X],X2,…,X,”;Y],Y2,…,Y”)的分布函數(shù),則稱隨機變量(X],X2,…,Xm)和0,Y2,…，Y”)是相互獨立的." " "定理設(shè)隨機變量(X],X2,…,X”)和0,Y2,…，Y”)相互獨立，則Xi(i=],2,…，m)與丫卩=],2,…,”)相互獨立.又若h、g是連續(xù)函數(shù)，則h(X],X2,…,X”)和g(Y],Y2,…，Y”)也相互獨立. 7第三節(jié)、條件分布p離散型：在已知x=x的條件下，Y取值的條件分布為P(Y=yIX=x)=匚；i j ipi?p在已知Y=y.的條件下，X取值的條件分布為P(X=xIY=y)= 4,j i jp?j連續(xù)型：在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(xIy)= ；f(y)Y在已知X=x在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(yIx)=f(x,y)

f(x