空間中的平行與垂直證明技巧一.【學(xué)習(xí)目標(biāo)】熟練掌握線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)，會(huì)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.學(xué)會(huì)應(yīng)用“化歸思想”進(jìn)行“線線問題、線面問題、面面問題”的互相轉(zhuǎn)化.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.熟練掌握空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理；運(yùn)用公理、定理證明或判定空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.不論何種“垂直”都能化歸到“線線垂直”二【知識(shí)點(diǎn)及方法歸納】直線與平面平行的判定判定定理：如果平面外一條直平和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線，那么這條直線和這個(gè)平面平行，即allb,a"bua習(xí)。〃a.如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行，則a〃桓直線與平面平行的性質(zhì)如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交；那么這條直線就和平面平行，即a〃a，aug，an：=b，.直線與平面垂直的判定(定義)如果一條直線和平面內(nèi)任意一條直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直.(判定定理1)如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.用符號(hào)語言表示為：若mua，nua，m,n=B，Z±m(xù)，ZXn，貝ZXa.如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.用符號(hào)語言表示為：若a旺，a±a，貝b±a.(面面垂直的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.(兩平面平行的性質(zhì)定理)如果兩個(gè)平面平行，那么與其中一個(gè)平面垂直的直線也與另一個(gè)平面垂直.如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面.4..兩平面平行的判斷方法依定義采用反證法.依判定定理通過說明一平面內(nèi)有兩相交直線與另一平面平行來判斷兩平面平行依據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行來判定.依據(jù)平行于同一平面的兩平面平行來判定.5.平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線平行線面平行面面平行從上易知三者之間可以進(jìn)行任意轉(zhuǎn)化，因此要判定某一平行的過程就是從一平行出發(fā)不斷轉(zhuǎn)化的過程.在解題時(shí)要把握這一點(diǎn)，靈活確定轉(zhuǎn)化思路和方向.三【解題方法總結(jié)】.證明直線與平面平行和直線與平面垂直常運(yùn)用判定定理，即轉(zhuǎn)化為線線的平行與垂直關(guān)系來證明..直線與平面平行的判定方法：aPla=00a〃a(定義法)，a〃baGa>na〃a，bua,這里a表示平面，a，b表示直線.證明線面垂直的方法主要有：(以下A為點(diǎn)，m，n，l，a，b表示直線，a，&表示平面)利用線面垂直的定義：a與a內(nèi)任何直線垂直na^a；利用判定定理：m，nua，mAn=A>nl±a；l±m(xù)，l±n利用第二判定定理：a〃b，a±a，則b^a；利用面面平行的性質(zhì)定理：a〃&，a±a，則a±&.利用面面垂直的性質(zhì)定理：a±y0，anj3=l，aua，a±l，貝Ua」&.面面垂直的證明方法：⑴利用定義：a和p所成的二面角為直二面角na±p；(2)利用判定定理：若a項(xiàng)，aua，則a±p.性質(zhì)定理的恰當(dāng)應(yīng)用：⑴若a±p，anp=l，aua，a±l，則a±p，用來證明線面垂直，也用來確定點(diǎn)到平面的垂線段.(2)若a±p，點(diǎn)PWa，PWa，a±p，則aua.5.垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化程序線線垂直□□口線面垂直□□口面面垂直.四.【典例分析及訓(xùn)練】（一）平面的性質(zhì)例1.下列命題正確的是（）在空間中兩條直線沒有公共點(diǎn)，則這兩條直線平行一條直線與一個(gè)平面可能有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)C?經(jīng)過空間任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面D.若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行【答案】B【解析】根據(jù)平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系『逐一判定』即可得到答案口【詳解】由題意，對(duì)于A中』在空間中兩條直線沒有公共點(diǎn)』則這兩條直線平行或異面，所以不正確；對(duì)于日中『當(dāng)一條直線在平面內(nèi)時(shí)『此時(shí)直線與平面可能有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)『所以是正確的『對(duì)于C中』經(jīng)過空間不共線的三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,所以是錯(cuò)誤的『對(duì)于。中『若一個(gè)平面上有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行或相交，所以不正確，故詵玦【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系，其中解答中熟記平面的基本性質(zhì)和空間中兩直線的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題。練習(xí)1.正三棱柱"中,所有棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)"分別為棱的中點(diǎn)，若過點(diǎn)時(shí)'作一截面測(cè)截面的周長(zhǎng)為（）L4—L2—La/132J5+-J132J5+-J13『l2J5+-A.°B.°cU，D.?【答案】B【解析】在正三棱柱中，延長(zhǎng)"和二..交于點(diǎn)M,連接E，交于點(diǎn)"，分別連接y*則過點(diǎn)」的截面為四邊形"〃，利用正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，分別利用勾股定理和余弦定理，即可求解【詳解】

在正三棱柱日風(fēng)上"|中，延長(zhǎng)吊和'"交于點(diǎn)m,連接國，交于點(diǎn)，分別連接"旺，則過點(diǎn)■""的截面為四邊形"’"，如圖所示，可得",吒】略況】2_4_2"MENe而=麗=亍=§如"?°1=今n/iP=q在直角『中，二心『、驀:E，在直角中，f『一，則?.?'?】’.■2..12Az稅在直角中HXE=1^P=-PE=.lZ+(-)2=^—■，貝、一、4在「中，"=…、、字=仁尸十寸-2時(shí)平*比『頊+〔孑-服言知囪口=彗由余弦定理可得^在直角中PF=-—即:，所以截面的周長(zhǎng)為’.'’?，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何體的截面問題，其中解答中根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用平面的性質(zhì)找出幾何體的截面的形狀是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題練習(xí)2.在空間四邊形的各邊?，.：.，'.’：?】上的依次取點(diǎn)/、，、，、七若/,〃、閔所在直線相交于點(diǎn)〃，則（）A.點(diǎn)〃必在直線"上B.點(diǎn)尸必在直線"上點(diǎn)"必在平面""外D.點(diǎn)"必在平面場(chǎng)（內(nèi)【答案】B【解析】由題意連接EH、FG、8D,則PEEH且P^FG，再根據(jù)兩直線分別在平面ABD和BCD內(nèi)，根據(jù)公理3則點(diǎn)P一定在兩個(gè)平面的交線BD上.【詳解】如圖：連接EH、FG、BD,.:EH、FG所在直線相交于點(diǎn)P,.?.PGEH且PGFG,.:EHu平面ABD,FGu平面BCD,.?.PE平面ABD,且PE平面BCD,由：平面ABDC平面BCD=BD,.PEBD,故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查公理3的應(yīng)用，即根據(jù)此公理證明線共點(diǎn)或點(diǎn)共線問題，必須證明此點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，可有點(diǎn)在線上，而線在面上進(jìn)行證明.【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間異面直線的位置關(guān)系，考查線面平行等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)2.已知兩條不同的直線/小和兩個(gè)不同的平面"，有如下命題：若-;叩”，/|頂，"頂，貝此偵；若-/M,S'小，則號(hào)?。虎廴鬾,z匕則-七其中正確的命題個(gè)數(shù)為DB.1C.D.；【答案】B【解析】利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理對(duì)三個(gè)命題分別分析解答.【詳解】對(duì)于①，若3"，甲'”，//邛，小『'邛，則，，與土可能相交；故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若3”,?甲，W小，滿足線面平行的性質(zhì)定理，故?。还盛谡_；對(duì)于③，若"E，，3,如果J"，^『"；故③錯(cuò)誤；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確運(yùn)用定理進(jìn)行分析解答.（五）面面關(guān)系例5.已知邛是不同的平面，小〃是不同的直線，則下列命題不正確的是（）若小1；兩門，亦肉則"EB.若，"氣*偵小，則〃頊C.若職3,甲J"，則〃3’D.若小J頃，則?邛【答案】B【解析】由面面垂直的判定定理，判斷A；由線面位置關(guān)系判斷B；由線面垂直定理判斷C；由面面平行判斷D；【詳解】A.由線面垂直定理、面面垂直定理，知：若正—七叫了心n匚們貝1出_%故A正確：若m//i：,"貝ijnca,以或n//a?rac%或n//a?故B錯(cuò)！由線面垂直定理，知：若橋/腿m一、貝血_弓（垂直于同一個(gè)面的兩條直線互相平行）故C正確？由面面平行定理,知：若皿1上ml.們貝收修,（垂直于同一條線的兩個(gè)平面互相平行）故。正確因此選B【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面、面面位置關(guān)系，需要考生熟記線面平行于垂直、面面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，難度不大.練習(xí)1.設(shè)Q’e為三個(gè)不同的平面，小〃為兩條不同的直線，則下列命題中假命題是（）A.當(dāng)八，時(shí)，若"L則SB.當(dāng)小J〃頃時(shí)，若”邛，則站邛C.當(dāng)小，'『，"時(shí)，若心"，則小，門是異面直線D.當(dāng)，號(hào)7'氣〃頃，若小iq,則”"【答案】C【解析】對(duì)于A，根據(jù)平面與平面平行、垂直的性質(zhì)，可得正確；對(duì)于B，根據(jù)平面與平面平行、線面垂直的性質(zhì)，可得正確；對(duì)于C,皿〃可能異面，也可能平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于D,由小,，'7〃，〃頃可知小頃，又〃"3,所以"頃，可得正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面垂直、面面垂直、面面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；牢固掌握運(yùn)用定理是關(guān)鍵.練習(xí)2.設(shè)Q'S為兩兩不重合的平面，豚"〃為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若八尸"】，則'"②若，"'，■，/號(hào)邛，〃匕則〔"；③若"3"，則/④若S'，*，③W氣川七則小〃其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】對(duì)于①，②可在正方體中舉例說明它們錯(cuò)誤即可。對(duì)③利用面面平行的定義即可判斷其正確，對(duì)于④利用線面平行的性質(zhì)來證明即可。【詳解】對(duì)照下圖，rJ對(duì)于①，令平面W3,平面MDY）心，平面"叫‘尸，滿足"■'，J尸，但是"「與土不平行。所以①錯(cuò)誤。對(duì)于②，令平面w）‘七平面〃，」、；..?.??_?；?，滿足”""，亦七甲項(xiàng)，乃，但是"與鼻不平行，所以②錯(cuò)誤。對(duì)于③，利用面面平行的定義即可判斷③正確，i//y…tc對(duì)于④，/=，同理可得：〃何所以沖七所以④正確。故選：B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了面面平行的判斷及線面平行的判斷，還考查了線面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。（六）線面平行的判定EF=-例6.如圖，正方體''*?'的棱長(zhǎng)為1,線段服、上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)"、氣且'，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的??是（）A.*「"B-三棱錐/”號(hào)的體積為定值C."〃平面M5D.^"J的面積與△"/的面積相等【答案】D【解析】」，"「在平面"㈠）的投影所在直線為出），出）1M,由三垂線定理可以得到小?I冊(cè)'，故正確",由幾何體的性質(zhì)及圖形可知，故可得三棱錐以△"為底面，點(diǎn)A到面川甲"的距離為△〃"的高，△114/2S=-x|EF|x=-nnRR-x\AC\=—的面積為'''，點(diǎn)A到面的距離為/,則三棱錐川的體積為定值,故正確「，由正方體可得平面AHC!）11平面，又"、平面，則*〃平面"E）,故正確"，由題可知，△"‘I為等腰三角形，」到線段*的距離為△""、的高，？點(diǎn)到線段*的距離為"，史△"M"、的高為’，"汁=1TOC\o"1-5"\h\z$&AEF=9XI'也旺F=?x1irir，，故△日"的面積與△"/的面積不相等，故錯(cuò)誤。故選二【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面的關(guān)系，運(yùn)用線面平行、垂直來解答，在解答體積問題時(shí)注意高的取值，屬于中檔題練習(xí)1.如圖是幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形,E,F分別為PA,PD的中點(diǎn)，在此幾何體中,給出下面4個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF共面；②直線BE與直線AF異面;③直線EF〃平面PBC；④平面BCE±平面PAD.其中正確的有（）A.1個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)【答案】B【解析】①連接時(shí)，由E、F分別為PA.PD的中點(diǎn)，可得EF^AD,從而可得E,F,B,C共面，故直線BE與直線CF是共面直線；根據(jù)EE平面PAD,AFu平面PAD,E^AF,B《平面PAD,可得直線BE與直線AF是異面直線；由①知EF//BC,利用線面平行的判定可得直線EF〃平面PBC；由于不能推出線面垂直，故平面BCE上平面PAD不成立.【詳解】「技連接EF,^「「E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，.??EF〃AD,?「AD〃BC,???EF〃BC,.??E,F,B,C共面，..?直線BE與直線CF是共面直線，故①正確；VEG平面PAD,4尸＜=平面PAD,E^AF,B《平面PAD,.直線BE與直線AF是異面直線，故②正確；由①知EF〃BC,「EFQ平面PBC,BCu平面PBC,.直線EF〃平面PBC,故③正確；由于不能推出線面垂直，故平面BCE±平面PAD不成立.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查異面直線的判定，考查線面平行，屬于中檔題.練習(xí)2.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體"'’‘中，』《分別是棱的中點(diǎn)，尸是底面"。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線。/與平面""不存在公共點(diǎn)，則三角形以小的面積的最小值為A.B.1C.寸D.【答案】C【解析】延展平面""，可得截面"們",其中〃—、K分別是所在棱的中點(diǎn)，可得平面""叩,再證明平面平面""QK,可知'在*上時(shí)，符合題意，從而得到"與'重合時(shí)三角形"％的面積最小，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】延展平面"G，可得截面"G〃〃R,其中〃、久R分別是所在棱的中點(diǎn)，直線"「與平面號(hào)'G不存在公共點(diǎn)，所以叩槌平面"3",由中位線定理可得小/","在平面"""內(nèi)，小’在平面外，所以W平面"G〃QR,因?yàn)?與心在平面"n內(nèi)相交，所以平面!）］AC//平面""叩，所以"在'*上時(shí)，直線"”與平面"后不存在公共點(diǎn)，因?yàn)槿缗c*垂直，所以"與?重合時(shí)"最小，PBB5xWx&二聲此時(shí)，三角形"'婦的面積最小，最小值為」，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理、面面平行的判定定理，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面（七）面面平行的判定例7.如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD±平面ABCD，NB±平面ABCD，且MD=NB=1，E為MC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論不正確的是（）A.平面出上\平面ABNB.""C.平面「訊'I平面AMND.平面擰。"*平面AMN【答案】C【解析】分別過A，C作平面ABCD的垂線AP，CQ，使得AP=CQ=1，連接PM，PN，QM，QN，將幾何體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為1的正方體.練習(xí)1.a,b,c為三條不重合的直線，a,B，y為三個(gè)不重合的平面，給出的下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為①":ja①":ja〃b；②如邛」a〃b；③脂仃a〃B；④仇'Ja〃&A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】①由平行公理4知a〃b正確.②WEa〃b或a與b相交或異面均可，故不正確；?Ilq%/&③們5河〃0或a,。相交，不正確：④"'，"a〃。，由面面平行的性質(zhì)知正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定，同時(shí)考查了對(duì)定理的理解，屬于綜合題.練習(xí)2.幾何體ABCD-A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面棱A'、B1C1的中點(diǎn)，P是aP=一上底面棱AD上的一點(diǎn)，yf2a2y/2aA.B.''，過P、M、N三點(diǎn)的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ等于（）上底面棱AD上的一點(diǎn)，yf2a2y/2aA.B.'yf2aa'D.【答案】B【解析】.平面ABCD〃平面A]B]C]D]，MNU平面A]B]C]D]AMN〃平面ABCD，又?。=面PMNn平面ABCD，「?MN〃PQ.?「M、N分別是A1B]、BQ]的中點(diǎn).?.MN〃A1C1〃AC，a

AP=—APQ#AC，又;，ABCD-A]B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，CQ=a腫=DQ蠟PQ=^DQ2+DP2=（A2+&2=^^.A'，從而、，...、■■-；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，是立體幾何中面面平行的基本題型，本題要求靈活運(yùn)用定理進(jìn)行證明.（十）例10.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA上平面ABC，則下列結(jié)論正確的是（）A.PB±ADB-平面PAB±平面PBC。.直線8。〃平面PAED-直線CD上平面PAC【答案】D【解析】因?yàn)锳D與PB在平面ABC內(nèi)的射影AB不垂直，所以A答案不正確.過點(diǎn)A作PB的垂線，垂足為H,若平面PAB±平面PBC,則AHL平面PBC,所以AHXBC.又PAXBC，所以BC±平面PAB,則BCXAB，這與底面是正六邊形不符，所以B答案不正確.若直線BC〃平面PAE,則BC#AE，但BC與AE相交，所以C答案不正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.練習(xí)1.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有A.AG±平面EFHB.AH±平面EFHC.HFL平面AEFD.HG±平面AEF【答案】B【解析】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理，進(jìn)而可判斷.【詳解】分析折疊前與折疊后位置關(guān)系、幾何量的變與不變，可得HA、HE、HF三者相互垂直，.??AHL平面EFH，B正確；.?.過A只有一條直線與平面EFH垂直，.A不正確；VAGXEF，EF±AH，.EF±平面HAG，.平面HAGXAEF，過H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，「.C不正確；：HG不垂直于AG，.HG±平面AEF不正確，D不正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題了考查直線與平面垂直的判定，一般利用線線。線面。面面，垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化判斷，屬于中檔題.練習(xí)2.如圖，四棱柱"''中，/J分別是M、優(yōu)|的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，正確的是（）￡A."3"b."I平面"""C.""平面叩D.平面*"有【答案】D【解析】連接交土于”，由于四邊形是平行四邊形，對(duì)角線平分，故'是「"的中點(diǎn).因?yàn)?是撰的中點(diǎn)，所以「是三角形％的中位線，故"Y/M，所以",，'7平面故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和平面的位置關(guān)系，考查棱柱的側(cè)面是平行四邊形這一幾何性質(zhì)，還考查了三角形的中位線以及線面平行的證明.兩條直線平行，在直觀圖中，這兩條直線是平行的，通過直觀感知"''"*，再根據(jù)線面平行的判定定理即可得出正確的選項(xiàng).屬于基礎(chǔ)題.（^一）面面垂直例11.如圖，在三棱錐L川優(yōu)中，平面51平面時(shí)。*片為等邊三角形，"",其中＜5分別為"n的中點(diǎn)，則三棱錐"UW的體積為（）a/3a/3a/3A.；B.】c."D.1【答案】D【解析】在等腰直角三角形ACB中,AC=3C=y2,.-..A3=2,0C=1,二等邊三角形VAB的邊長(zhǎng)為2,SkuWM分別為A3,VA的中點(diǎn).二客.*=咨點(diǎn)=土又"「平面「曲一平面對(duì)匚平面i脂日「平面罰t=皿又0C±A3:/.OC1平面VAB；二三棱錐咯一.昨「=id=?Wx?=三.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，考查體積的計(jì)算，正確運(yùn)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理是關(guān)鍵，是中檔題.練習(xí)1.如圖所示，四棱錐m。的底面方正方形，側(cè)面'％）為等邊三角形，且側(cè)面/W）1底面mo,點(diǎn)u在底面正方形仍以內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足以*《，則點(diǎn)時(shí)在正方形'"。的軌跡一定是（）P【答案】B【解析】先確定軌跡是2個(gè)平面的交線，PC的中垂面a和正方形ABCD的交線，再確定交線的準(zhǔn)確位置，即找到交線上的2個(gè)固定點(diǎn).【詳解IL"",..?點(diǎn)淫在'、的中垂面"上，..?點(diǎn)'在正方形"S內(nèi)的軌跡一定是平面'”和正方形的交線為正方形，側(cè)面PW）為等邊三角形,?.?「"）曰）.取"「的中點(diǎn)"，有EI■.取"的中點(diǎn)"',易知"〃〃"，:.時(shí)'以、.又?.?。："小，N,...四1平面?！ㄆ呒雌矫?與平面?！ǔ鲋睾?.?.點(diǎn)"在正方形ED內(nèi)的軌跡一定是線段〃。.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)，軌跡的確定方法練習(xí)2.如下圖，梯形MC）中，巾）〃成,""1,巾）］林>,"5】>，將偵以）沿對(duì)角線們）折起.設(shè)折起后點(diǎn)'的位置為七并且平面」平面"〃?給出下面四個(gè)命題：①｝。J優(yōu)；②三棱錐對(duì)S）的體積為3；③C）1平面U。；④平面.MCI平面"X.其中正確命題的序號(hào)是（）A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】B【解析】利用折疊前四邊形"丫力中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系，可證出叫iw,然后結(jié)合平面刀"I平面/"）,可得⑺1平面"'。,從而可判斷①③；三棱錐』優(yōu)〃的體積為—-::,可判斷②；因?yàn)棰妫蛊矫?“"），從而證明爭(zhēng)），再證明平面"比，然后利用線面垂直證明面面垂直.【詳解】①?盤，???"：?*：；.?,r口c=n,盤/）w,平面W）」平面"'），且平面，頃）「1平面/"）",盤。I平面,頃），平面％/）,.?n）「M,故"5（：不成立，故①錯(cuò)誤；②棱錐對(duì)優(yōu)〃的體積為11戶廢璀一泊丁m；故②錯(cuò)誤；③由①知以I平面「頃），故③正確；④由①知聲）」平面，頃），又平面刀"，?"）IV又"E。，且WE平面D,?"/I平面""，又"，平面％七平面"KI平面"「,故④正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題通過折疊性問題，考查了面面垂直的性質(zhì)，面面垂直的判定，考查了體積的計(jì)算，關(guān)鍵是利用好直線與平面、平面與平面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，也要注意利用折疊前后四邊形中的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系.(十二)平行垂直綜合例12.如圖，四邊形ABCD是圓柱OO,的軸截面，點(diǎn)P在圓柱OO,的底面圓周上，圓柱OO,的底面圓的半徑OA=1,側(cè)面積為2n,ZAOP=60°.P求證：PB±平面APD；是否存在點(diǎn)G在PD上，使得AG±BD；并說明理由.求三棱錐D-AGB的體積.【解析】(1)由"為圓的直徑，可得"IPA,再由山)J平面比"，得叩EJ),然后利用線面垂直的判存在，當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，M0.由側(cè)面積公式求得，偵1,進(jìn)一步得到用)睥，由是尸。的中點(diǎn)，可得，H"P。，再由(1)得E頃，由線面垂直的判定可得，mI平面以。，則"由)直接利用等積法求三棱錐m的體積.【詳解】(1)證明：?「AB為圓O的直徑，.??PBLPA，?「ADL平面PAB，APB±AD，又PAnAD=A，.PB±平面APD；解：存在.當(dāng)點(diǎn)G是PD中點(diǎn)時(shí)，AGXBD.事實(shí)上，由題意可知，2nx1xAD=2n，解得AD=1.由ZAOP=60°，可得△AOP為等邊三角形，得到AP=OA=1.在RtAPAD中,VAD=AP，G是PD的中點(diǎn)，則AGXPD.由(1)得PB±AG，PDnPB=P，.AG±平面PBD，貝AGXBD；-AGB=^D-ABP~-ABP=-ABP閂'?，在Rt^APB中，：AB=2，AP=1，.?.PB=S，源“11由』崩.Saapb=".=云X五X1=節(jié)【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線，直線與平面間位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題.練習(xí)1.如圖，幾何體EF-ABCD中，四邊形CDEF是正方形，四邊形ABCD為直角梯形，AB〃CD,AD.LDC^AACB是腰長(zhǎng)為汶的等腰直角三角形，平面CDEFL平面ABCD.求證：BCLAF；求幾何體EF-ABCD的體積.16【答案】(1)詳見解析；(2)L【解析】(1)推導(dǎo)出FCLCD,FCLBC,ACLBC，由此BC±平面ACF,從而BC±AF.(2)推導(dǎo)出AC=BC=2源,ab'4,從而AD=BCsin/ABC=2很-'"隊(duì)2,由V幾何體EF-ABCD=V幾何體A-CDEF+V幾何體F-ACB，能求出幾何體EF-ABCD的體積.【詳解】(1)因?yàn)槠矫鍯DEF上平面ABCD，平面CDEF1平面ABCD=CD,又四邊形CDEF是正方形，所以FC±CD,FC平面CDEF,所以FCL平面ABCD，所以FCXBC.因?yàn)锳ACB是腰長(zhǎng)為2很的等腰直角三角形，所以ACXBC.XAC^CF=C，所以BC±平面ACF.所以BCXAF.(2)因?yàn)閊ABC是腰長(zhǎng)為2源的等腰直角三角形，所以AC=BC=2源,AB』。''心」=4,所以AD=BCsin/ABC=2很「=2,CD=AB=BCcos/ABC=4-2源cos45°=2,「?DE=EF=CF=2,由勾股定理得AE=』"'〃"'=2很，因?yàn)镈EL平面人8。。，所以DEXAD.TOC\o"1-5"\h\z又AD±DC,DEADC=D，所以AD上平面CDEF.所以V廠八”n=V?_+/幾何體EF-ABCD幾何體A-CDEF幾何體F-ACB11,111,,..3,四邊形建ef■洪。+3'曲虹"§/xDEx-x-x4CxHCxCF=.=■+■ix2x2x2+ix-x2J2x2J2x2—33￡''_3【點(diǎn)睛】本題考查線線垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.練習(xí)2.如圖，在四棱錐，必。/中，，"林，底面優(yōu)W.為直角梯形，力"，。,/分別為"C)中點(diǎn)，且???，履.i局、：'；：.?I%,S一IW1平面S"；CP若〃為線段6。上一點(diǎn)，且。平面U",求兩的值；求四棱錐，心。/的體積.1【答案】(1)詳見解析；(2)；(3)'.【解析】(1)連結(jié)W'，利用勾股定理逆定理可證明WIW,又易證WJ優(yōu)，可證明WJ平面赤。"(2)連接手'，根據(jù)"門時(shí)，"匕J平面由M可得WJE,進(jìn)而。尸『7砰，利用"為"中點(diǎn)可得結(jié)論(3)OA是棱錐的高，求底面直角梯形"W的面積即可代入體積公式計(jì)算.，忠提搭;二又二*:的看中點(diǎn)，4，?,由已知"""廠“，且"E是平面"W內(nèi)兩條相交直線〔平面"W'.(2)連接*，由已知底面優(yōu)E為直角梯形，以/"，",,?",")則四邊形"W為平行四邊形所以O(shè)Pu因?yàn)槠矫?"”，?，，平面優(yōu)。"，平面"5平面"5E，所以("/'。/:所以。/力以?CP_1CP_1因?yàn)闉?中點(diǎn)，所以'為"中點(diǎn)，所以,又因?yàn)辄c(diǎn)'為*的中點(diǎn).所以"*.(3)由(1)W1平面"W得W為四棱錐的高，且W源又因?yàn)?時(shí)是直角梯形，3\E，"CW+B￡2+1-r5=xBC—x2yi'2=3審所以直角梯形"CE的面積為:三、’則四棱錐,"云服的體積【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，棱錐的體積，屬于中檔題!/=%CM=I3很握二衛(wèi)練習(xí)3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形.點(diǎn)E是棱PC的中點(diǎn)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.則四棱錐,"云服的體積【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直、平行的判定和性質(zhì)，棱錐的體積，屬于中檔題8(1)求證：AB〃EF；(2)若PA=AD，且平面PAD1平面ABCD，求證:AF±平面PCD.8(1)求證：AB〃EF；【解析】(1)證明：底面ABCD是正方形，您〃CD,又ABG平面PCD，CDu平面PCD，AB〃平面PCD,又A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，且平面ABEF。平面PCD=EF，AB^EF;(2)證明：在正方形ABCD中，CDXAD,又平面PADL平面ABCD，且平面PADH平面ABCD=AD，CDu平面ABCD,CDG平面PADCDL平面PAD，又AFu平面PAD,CD±AF，由(1)可知，AB〃EF，又AB〃CD，C,D,E,F在同一平面內(nèi)，CD〃EF,點(diǎn)E是棱PC中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱PD中點(diǎn)，在AE4D中，PA=AD，AF±PD，又PDACD=D，PD、CDu平面PCD,AF±平面PCD.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的證明，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)4.如圖，三棱柱ABCABC中，側(cè)面AACC1側(cè)面ABBA，AC=AA^AB，ZAAC=60°，

.■^ii1*^ii1^^1■^1■^11AB±AA1，H為棱CC1的中點(diǎn)，D為BB1的中點(diǎn).

求證：A1D±平面AB1H；若AB頊7，求三棱柱ABCA1B1C1的體積.【解析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到AHXA1D，再由條件得