空間直線、平面的垂直鞏固練習1.已知兩個平面相互垂直，下列命題：一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確命題的個數(shù)是（）A.3B.2C.1D.0解析：構(gòu)造正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1±平面ABCD,A1DC平面ADD1A1,BDU平面ABCD,但A1D與BD不垂直，故①錯；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD^A1±平面ABCD,l是平面ADD1A1內(nèi)任意一條直線，l與平面ABCD內(nèi)和AB平行的所有直線垂直，故②正確；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD^A1±平面ABCD,A1DC平面ADD1A1,但A1D與平面ABCD不垂直，故③錯；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD^A1±平面ABCD,且平面ADD1A1口平面ABCD=AD,過交線AD上的任一點作交線的垂線l,則l可能與平面ABCD垂直，也可能與平面ABCD不垂直，故④錯.答案：C2.如圖所示，在RtAABC中，/ABC=90°,P^AABC所在平面外一點，PAL平面ABC，貝四面體P-ABC中直角三角形的個數(shù)為（）A.4321A.4321解析：在RtAABC中，NA8C=90°,P為△ABC所在平面外一點，PA上平面ABC,所以BC±PA，因為BC±AB,PAHAB=A，所以BC上平面PAB.所以四面體P-ABC中直角三角形有△FAC,AFAB,AABC,APBC.故選A.答案：A3.如圖所示，AC=2R為圓O的直徑，/PCA=45°,PA垂直于圓O所在的平面，B為圓周上不與點A、C重合的點，AS1PC于S,ANLPB于N,則下列不正確的是（）A-平面ANSI平面A-平面ANSI平面PBCB-平面ANSI平面PAB仁平面/^8上平面PBC。.平面ABC±平面PAC解析：因為PA上平面ABC,BCU平面ABC,所以P4±BC,又AB±BC,P4AAB=A,所以BC±平面PAB,又ANU平面ABP,所以BC我AN，又因為AN上PB,BCAPB=B，所以AN上平面PBC,又PCU平面PBC,所以AN±PC，又因為PC±AS,ASAAN=A，所以PC上平面ANS,又PCU平面PBC,所以平面ANS上平面PBC,所以A正確，C,D顯然正確.答案：B4.如圖所示，在下列四個正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G均為所在棱的中點，過E，F(xiàn)，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是（）ABCDABCD解析：如圖所示，在正方體中，E,F,G,M,N,Q均為所在棱的中點，易知E,F,G,M,N,Q六個點共面，直線BD1與平面EFMNQG垂直，并且選項A、B、C中的平面與這個平面重合，不滿足題意，只有選項D中的直線BD1與平面EFG不垂直，滿足題意，故選D.

答案：D5.如圖所示，四棱錐P-AB-CD中，^^48與^PBC是正三角形，平面PABL平面PBC,ACLBD,則下列結(jié)論不成立的是（）A.PB±ACB.尸口上平面ABCDC.ACLPD。.平面PBD±平面ABCD解析：在選項A中，取PB的中點0,連接AO,CO,因為四棱錐P-ABCD中，^PAB與^PBC是正三角形，平面PAB±平面PBC,AC±BD，所以AO±PB,CO上PB.因為AOHCO=O,所以PB上平面AOC.因為ACC平面AOC,所以PB±AC,故A成立.在選項B中，點D位置不確定，故B不一定成立.在選項C中，因為PB上平面AOC,ACC平面AOC，所以AC±PB.因為AC±BD,PBABD=B，所以AC±平面PBD,因為PDU平面PBD,所以AC±PD,故C成立.在選項D中，因為AC±平面PBD,ACC平面ABCD,所以平面PBD上平面ABCD,故D成立.答案：B6.如圖所示，點N為正方形ABCD的中M,^ECD為正三角形，平面ECDL平面ABCD,M是線段ED的中點，則（）A.BM=ENA.BM=EN，且直線BMEN是相交直線B.BM手EN，且直線BMEN是相交直線BM=EN，且直線BM,EN是異面直線BM1EN，且直線BM,EN是異面直線解析：連接BD,CM,BE.I）A因為點N是正方形ABCD的中心，所以點N在BD上，且BN=DN,所以BM,EN是^DBE的中線，所以BM,EN必相交.設(shè)DE—a,則EC—DC—a,MC—^a.因為平面ECD上平面ABCD,且BC±DC,所以BC上平面DCE.則BM=\:倬"+。2=沖.VV272--5V,,，又EN=\/履|^^2a7=a，故BMOEN.答案：B7、在長為2、寬為3、高為2的長方體中，存在一條直線與各個面的夾角都相等，若將這個角記為仇則sin3的值為（）A^B.*C浮D旨解析：如圖，從長方體中截取一個棱長為2的正方體，則圖中的AF與長方體的各個面的夾角都相等，則sin3則sin3=2=<32品—3.答案：D8、如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，以上平面ABCD,且PA=4,M是PB上的一個動點(不與P,B重合)，過點M作平面Q〃平面P4D，截棱錐所得圖形的面積為^若平面a與平面PAD之間的距離為尤，則函數(shù)y=f(x)的圖象是()解析：過點M作MN±AB,交AB于點N,則MN上平面ABCD，過點N作NQ//AD，交CD于點Q,過點Q作QH〃PDCPC于點H,連接MH,則平面MNQH是所作的平面a,由題意得穿=蜉，解得MN=4-2x,由黑=瓣.即&^=2^，解得QH=\&(2—x),過點H作HE±NQ，在Rt點HEQ中，EQ=HQ2—HE2=2—x,所以NE=2—(2—x)=x,所以MH=x.所以y=所以y=f(x)=(x+2)(4—2x)=一x2+4(0<x<2).所以函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示.a6答案：C9.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PAL底面ABCD,且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當點M滿足時，平面MBDL平面PCD（只要填寫一個你認為正確的條件即可）.解析：由定理可知，BD±PC.,由。所以當DM±PC（或BM±PC）時，有PC±平面MBD.又PCU平面PCD,所以平面MBD上平面PCD.答案：DM±PC（或BMLPC等）10.如圖所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，/BAC=90°，BC11AC，貝C1在底面ABC的射影H必在直線上.解析：因為AC±AB,AC±BC1?ABABC1=B,所以AC±平面ABC1.又因為ACC平面ABC,所以平面ABC1±平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面交線AB上.答案：AB已知1，m是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:①Um:②mHa；③Ha.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題:.解析：已知l,m是平面a外的兩條不同直線，由①l.m與②mHa,不能推出③l—a,因為l可以與a平行，或l與a相交不垂直.由①l—m與③l—a能推出②mHa;由②mHa與③l—a可以推出①l—m.故②③習①或①③習②.答案：若mHa且lXa,則lXm成立（或若lXm,lXa，則mHa）將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中AD=BD=E，ZBAC=30°,若它們的斜邊AB重合，讓三角板ABD以AB為軸轉(zhuǎn)動，則下列說法正確的是（填序號）.A當平面ABD±平面ABC時，C、D兩點間的距離為＜2；在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中，總有ABXCD；在三角板ABD轉(zhuǎn)動過程中，三棱錐D-ABC體積的最大值為專.解析：如圖所示，①中，取AB的中點0,連接DO,CO,因為AD=BD=、.J2，所以DO=1,AB=2,0C=1.因為平面ABD—平面ABC,DO—AB，所以DO—平面ABC,DO—OC,所以DC=!2，故①正確.②中，若AB—CD,則AB—平面CDO,AB—OC,因為O為中點，所以AC=BC,ZBAC=45°與NBAC=30°矛盾，故②錯誤.③中，當DO—平面ABC時，棱錐的高最大，此時V棱4=|x|xACXBCXDO=6^.'3X-..'3一.1X1=^，故③正確.答案：①③13.如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，M，N分別是

AB,AB,AA1的中點，且A1M1B1N.(1)求證：B1N1A1C；⑵求M到平面A1B1C的距離.(1)證明：如圖所示，連接CM.在直三棱柱ABC^A1B1C1中，AA1±平面ABC,CMU平面ABC,所以AA1±CM.在△ABC中，AC=BC,M為AB的中點，所以CM±AB.又AA1HAB=A，所以CM±平面ABB^A1.因為B1NC平面ABB1A1,所以CM±B1N.又A1M±B1N,A1MACM=M，所以B1N±平面A1CM.因為A1CC平面A1CM，所以B1N±A1C.(2)解：(2)解：連接B1M.在矩形ABB1A1中，因為A1M±B1N,所以ZAA1M=ZA1B1N.所以tanZAAM=tanZA]BN，即羿=￡^.111AA1A1B1因為^ABC是邊長為2的正三角形，M,N分別是AB,AA1的中點，所以AM=1,CM=?MA1B1=2.設(shè)AA]=X設(shè)AA]=X,則A[X2.x~12…所以X=2，解得x=2.從而M1B1M=2S正方形ABB1A1=2,A1C=B1C=A'''2.4人土A1C2+RC2-A1B23在△A1CB1中，cosNAQBv1&人〃廠11=才TOC\o"1-5"\h\z1111ZA^C-B^C4所以sinNA]CB]=〒,所以SaAibiC=|aiC-B1C-sinZA1CB1=/7.設(shè)點M到平面A1B1C的距離為d,由V….〃=k—…，三棱錐M~^1B1C三棱錐C~^A1B1M得衣S.日=衣SCM，3△A1B1C3△A1B1Ms^a1b1m-CM2兄所以d==-7—.'△a1B1C即點M到平面A1B1C的距離為號1.14.如圖1,矩形ABCD中，AB=12,AD=6,E、F分別為CD、AB邊上的點，且DE=3,BF=4，將△BCE?&BE折起至APBE的位置(如圖2所示)，連接AP.PF,其中PF=2梧.〃——€cP圖IRH2求證：尸尸上平面ABED；求點A到平面PBE的距離.(1)證明：在題圖2中，連接EF,由題意可知，PB=BC=AD=6,PE=CE=CD—DE=9,在4PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2,所以PF±BF.在題圖1中，連接EF,作EH±AB于點H,利用勾股定理，得EF=，j62+(12—3—4)2=“預(yù)，在^PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2,所以PF±EF,又因為BFHEF=F,BFU平面ABED,EFU平面ABED,所以尸F(xiàn)上平面ABED.(2)解：如圖所示，連接AE,由(1)知尸F(xiàn)上平面ABED,FH所以PF為三棱錐P-ABE的高.設(shè)點A到平面PBE的距離為h因為y=y,A-PBEP-ABE，即3X2X6X9Xh=3X2X12X6X^.jl'5即點A到平面PBE的距離為罕.15.如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BE如EC『(1)證明：8歸上平面