專題突破(二)選擇壓軸題型動點函數(shù)圖象和立體圖形的展開折疊是初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的重要接軌點之一，是北京中考選擇壓軸題的熱點，近年來立體圖形的展開與折疊只在2010年出現(xiàn)，更多的是考查動點函數(shù)圖象．2011—202X年北京中考知識點對比題型年份201120122013202X202X由函數(shù)圖象判斷運動情況由函數(shù)圖象判斷運動情況由函數(shù)圖象判斷運動情況動點生成的函數(shù)圖象動點生成的函數(shù)圖象題型1．[202X·北京]一個尋寶游戲的尋寶通道如圖Z2－1所示，通道由在同一平面內(nèi)的AB，BC，CA，OA，OB，OC組成．為記錄尋寶者的行進路線，在BC的中點M處放置了一臺定位儀器，設(shè)尋寶者行進的時間為x，尋寶者與定位儀器之間的距離為y，若尋寶者勻速行進，且表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則尋寶者的行進路線可能為()圖Z2－1A．A→O→BB．B→A→CC．B→O→CD．C→B→O2．[202X·北京]已知點A為某封閉圖形邊界上的一定點，動點P從點A出發(fā)，沿其邊界順時針勻速運動一周，設(shè)點P運動的時間為x，線段AP的長為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖Z2－2所示，則該封閉圖形可能是圖Z2－3中的()圖Z2－2圖Z2－33．[2013·北京]如圖Z2－4，點P是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上的動點，AB＝2，設(shè)弦AP的長為x，APO的面積為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是圖Z2－5中的()圖Z2－4圖Z2－54．[2012·北京]小翔在如圖Z2－6所示的場地上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭所示方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30秒，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程，設(shè)小翔跑步的時間為t(單位：秒)，他與教練的距離為y(單位：米)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則這個固定位置可能是圖中的()圖Z2－6A．點MB．點NC．點PD．點Q5．[2011·北京]如圖Z2－7，在RtABC中，ACB＝90°，BAC＝30°，AB＝2，D是AB邊上的一個動點(不與點A，B重合)，過點D作CD的垂線交射線CA于點E.設(shè)AD＝x，CE＝y(tǒng)，則圖Z2－8的圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()圖Z2－7圖Z2－86．[2010·北京]美術(shù)課上，老師要求同學(xué)們將圖Z2－9所示的白紙只沿虛線剪開，用裁開的紙片和白紙上的陰影部分圍成一個立體模型，然后放在桌面上，圖Z2－10中的四個示意圖中，只有一個符合上述要求，那么這個示意圖是()圖Z2－9圖Z2－10一、動點生成函數(shù)圖象1．[202X·海淀二模]如圖Z2－11所示，點Q表示蜜蜂，它從點P出發(fā)，按照著箭頭所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路徑勻速飛行，此飛行路徑是一個以直線l為對稱軸的軸對稱圖形，在直線l上的點O處(點O與點P不重合)利用儀器測量了POQ的大?。O(shè)蜜蜂飛行時間為x，POQ的大小為y，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是圖Z2－12中的()圖Z2－11圖Z2－122．[202X·東城一模]如圖Z2－13，ABC和DEF都是等腰直角三角形，其中C＝EDF＝90°，點A與點D重合，點E在AB上，AB＝4，DE＝2.如圖，ABC保持不動，DEF沿著線段AB從點A向點B移動，當(dāng)點D與點B重合時停止移動．設(shè)AD＝x，DEF與ABC重疊部分的面積為S，則S關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是圖Z2－14中的()圖Z2－13圖Z2－143．[202X·西城一模]如圖Z2－15，過半徑為6的O上一點A作O的切線l，P為O上的一個動點，作PHl于點H，連接PA.如果PA＝x，AH＝y(tǒng)，那么圖Z2－16的圖象中，能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是()圖Z2－15圖Z2－164．[202X·西城一模]如圖Z2－17，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點A(2，3)為頂點任作一直角PAQ，使其兩邊分別與x軸、y軸的正半軸交于點P，Q，連接PQ，過點A作AHPQ于點H.設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，AH的長為y，則下列圖象中，能表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象大致是圖Z2－18中的()圖Z2－17圖Z2－185．[202X·朝陽二模]如圖Z2－19，矩形ABCD中，E為AD的中點，點F為BC上的動點(不與B，C重合)．連接EF，以EF為直徑的圓分別交BE，CE于點G，H.設(shè)BF的長度為x，弦FG與FH的長度和為y，則圖Z2－20中的圖象中，能表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()圖Z2－19圖Z2－20二、由函數(shù)圖象判斷運動情況6．[202X·海淀一模]小明在書上看到了一個實驗：一個盛了水的圓柱形容器內(nèi)，有一個頂端拴了一根細(xì)繩的實心鐵球，將鐵球從水面下沿豎直方向慢慢地勻速向上拉動．小明將此實驗進行了改進，他把實心鐵球換成了材質(zhì)相同的別的物體，記錄實驗時間t以及容器內(nèi)水面的高度h，并畫出表示h與t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，如圖Z2－21所示．小明選擇的物體可能是()圖Z2－21圖Z2－227．[202X·燕山一模]李阿姨每天早晨從家慢跑到小區(qū)公園，鍛煉一陣后，再慢跑回家．表示李阿姨離開家的距離y(單位：米)與時間t(單位：分)的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖Z2－23所示，則李阿姨跑步的路線可能是(用P點表示李阿姨家的位置)()圖Z2－23圖Z2－248．[202X·海淀二模]如圖Z2－25，AB是半圓O的直徑，正方形OPNM的對角線ON與AB垂直且相等，Q是OP的中點．一只機器甲蟲從點A出發(fā)勻速爬行，它先沿直徑爬到點B，再沿半圓爬回到點A，一臺微型記錄儀記錄了甲蟲的爬行過程．設(shè)甲蟲爬行的時間為t，甲蟲與微型記錄儀之間的距離為y，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么微型記錄儀可能位于圖中的()圖Z2－25A．點MB．點NC．點PD．點Q9．[202X·海淀二模]如圖Z2－26，在矩形ABCD中，AB<BC，AC，BD交于點O.點E為線段AC上的一個動點，連接DE，BE，過E作EFBD于點F.設(shè)AE＝x，圖中某條線段的長為y，若表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則這條線段可能是圖中的()圖Z2－26A．線段EFB．線段DEC．線段CED．線段BE10．[202X·房山一模]如圖Z2－27，菱形ABCD的對角線交于點O，AC＝2BD，點P是AO上一個動點，過點P作AC的垂線交菱形的邊于M，N兩點．設(shè)AP＝x，OMN的面積為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則菱形的周長為()圖Z2－27A．2B．2C．4D．2三、幾何體的折疊與展開11．[2008·北京]已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上．一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖Z2－28所示．若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展開，所得側(cè)面展開圖是()圖Z2－28圖Z2－2912．[202X·西城二模]圖Z2－30表示一個正方體的展開圖，圖Z2－31中的四個正方體中只有一個符合要求，那么這個正方體是()圖Z2－30圖Z2－3113．[202X·門頭溝二模]如圖Z2－32，把此圖形折疊起來，它會變?yōu)閳DZ2－33中的哪個立體圖形()圖Z2－32圖Z2－3314．[2012·密云一模]在正方體的表面上畫有如圖Z2－34中所示的粗線，圖是其展開圖的示意圖，但只在A面上畫有粗線，那么將圖中剩余兩個面中的粗線畫入圖中，畫法正確的是()圖Z2－34圖Z2－3515．[2013·西城二模]如圖Z2－36，點A，B，C是正方體三條相鄰的棱的中點，沿著A，B，C三點所在的平面將該正方體的一個角切掉，然后將其展開，其展開圖可能是()圖Z2－36圖Z2－37參考答案北京真題體驗1.C[解析]A項，從A點到O點y隨x增大一直減小，故A不符合題意；B項，從B點到A點y隨x增大先減小再增大，從A到C點y隨x的增大先減小再增大，在A點y最大，故B不符合題意；C項，從B點到O點y隨x增大先減小再增大，從O點到C點y隨x的增大先減小再增大，在B，C點y最大，故C符合題意；D項，從C點到M點y隨x的增大而減小，一直到y(tǒng)為0，從M點到B點y隨x的增大而增大，明顯與圖象不符，故D不符合題意．2．A[解析]根據(jù)等邊三角形、菱形、正方形、圓的性質(zhì)，分析得到y(tǒng)隨x的增大而的變化的關(guān)系，然后選擇答案即可．A項，等邊三角形，點P在開始與結(jié)束的兩邊上勻速變化，在點A的對邊上時，y先變速減小，再變速增加，符合題中圖象；B項，菱形，點P在開始與結(jié)束的兩邊上勻速變化，在另兩邊上時，y都是先變速減小，再變速增加，題中圖象不符合；C項，正方形，點P在開始與結(jié)束的兩邊上勻速變化，在另兩邊上，y先變速增加至點P到A的對角頂點，再變速減小至另一個頂點，題干圖象不符合；D項，圓，AP的長度，先變速增加至AP為直徑，然后再變速減小至點P回到A時為0，題中圖象不符合．3．A[解析]作OCAP，根據(jù)垂徑定理得AC＝AP＝x，再根據(jù)勾股定理可計算出OC＝，然后根據(jù)三角形面積公式得到y(tǒng)＝x·(0≤x≤2)，再根據(jù)解析式對四個圖形進行判斷．4．D[解析]分別假設(shè)這個位置在點M，N，P，Q，然后結(jié)合函數(shù)圖象進行判斷．利用排除法即可得出答案．A項，假設(shè)這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故本選項錯誤；B項，假設(shè)這個位置在點N，則從A到C這段時間，A點與C點對應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故本選項錯誤；C項，假設(shè)這個位置在點P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小翔的距離等于經(jīng)過30秒時教練到小翔的距離，而點P不符合這個條件，故本選項錯誤；D項，經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故本選項正確．故選D.5．B[解析]本題需先根據(jù)題意，求出BC，AC的長，再分別計算出當(dāng)x＝0和x＝2時y的值，即可求得y與x的函數(shù)圖象．ACB＝90°，BAC＝30°，AB＝2，BC＝1，AC＝，當(dāng)x＝0時，y的值是，當(dāng)x＝1時，y的值是，當(dāng)x＝2時CD的垂線與CA平行，雖然x不能取到2，但y應(yīng)該是無窮大，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象大致是B.6．B北京專題訓(xùn)練一、動點生成函數(shù)圖象1．D[解析]先分析POQ的增減情況，再確定POQ增大的過程用的時間要大于POQ減小的過程用的時間即可得到答案．蜜蜂按照箭頭所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路徑勻速飛行，POQ的度數(shù)是由0°先增大再減小到0°再增大再減小到0°，當(dāng)直線OQ與圓相切時POQ最大，角度增大的過程中蜜蜂所經(jīng)過的路程圓的優(yōu)弧長大于角度減小的過程中蜜蜂所經(jīng)過的路程，蜜蜂按照著箭頭所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路徑勻速飛行，POQ增大的過程用的時間要大于POQ減小的過程用的時間．2．B3．C[解析]如圖，當(dāng)PH與圓O相切時，四邊形OAHP是正方形，AH＝6，PA＝6，當(dāng)點P在圓O上運動時，y與x之間的關(guān)系既不是一次函數(shù)也不是二次函數(shù)，并且在x＝6得最大值6，時，函數(shù)取因為6＜6＜12，故選C.4．D[解析]解法一：應(yīng)用特殊元素法和排除法求解．當(dāng)點P與點O重合時，x＝0，y＝2.故可排除C選項；當(dāng)點Q與點O重合時，y＝3.故可排除A選項；當(dāng)x＝2，即APx軸時，AHPQ，AH＜AQ＝2，即y＜2.故可排除B選項．故選D.解法二：常規(guī)解法，如圖，設(shè)Q(0，q)．BAQ＋QAC＝CAP＋QAC＝90°，BAQ＝CAP.又ABQ＝ACP，ABQACP..＝若x≥2，則＝，化簡可得，q＝.SAPQ＝(2＋x)×3－(3－q)×2－x×q，SAPQ＝××y，則(2＋x)×3－(3－q)×2－x×q＝××y，整理，得y＝(3－q)x＋2q，則y＝，所以y＝2(x2－4x＋13)，y＝＝，當(dāng)x＝2時，y有最小值．若0＜x＜2，則化簡可得，q＝＝，.同理：y＝＝，則在0＜x＜2范圍內(nèi)，y隨x增大而減小．綜上所述，只有D選項符合題意．故選D.5．D[解析]如圖，作EMBC于點M，點E是矩形ABCD的邊AD的中點，BE＝CE，EBM＝ECM，點M是BC的中點，設(shè)AB＝CD＝a，AD＝BC＝2b，則BM＝CM＝b，EM＝a，BE＝CE＝，sinEBM＝sinECM＝EF是O的直徑，BGF＝CHF＝90°.BF＝x，.CF＝2b－x，F(xiàn)G＝BF·sinEBM＝FH＝CF·sinECM＝，，F(xiàn)G＋FH＝ab為定值，.FG＋FH＝故選D.為定值．二、由函數(shù)圖象判斷運動情況6．B[解析]由圖象可知，水面高度先不變，再下降，又不變，后以固定速度下降，由結(jié)尾可知A，C錯誤，由中間不變可知，D錯誤．故選B.7．D[解析]由函數(shù)圖象的變化趨勢，得路程變遠(yuǎn)，路程不變，路程變近，故D符合題意．故選D.8．D[解析]由圖可知，A項，甲蟲與點M的距離選逐漸增大，至點B時最大，然后逐漸變小再變大，與圖不符合；B項，甲蟲與點N的距離從A到O逐漸變小，從O到B逐漸變大，從B到ON與半圓的交點逐漸變小，然后至點A逐漸變大，且甲蟲在點A，B與點N的距離相等，與圖不符合．C項，甲蟲與點P的距離從點A至點B減小，從點B至OP與半圓的交點減小，然后增大直至到點A，與圖不符合；D項，甲蟲與點Q的距離，從點A到點Q與AB的垂線的垂足減小，再至點B增大，從點B到OP與半圓的交點減小，然后至點A一直增大，與圖符合．故選D.9．B[解析]A選項，線段EF的長度隨著x的增大先變小再變大，并且是一個軸對稱的函數(shù)