粘彈性斷裂力學(xué)作業(yè)求證廣義Hooke定律（1.1-1）等價(jià)于畸變及體變方程（1.1-8）。證明：式子（1.1-1）可以用張量的形式表示為下式（1）：用表示可得式子（2）：其中是符號(hào)函數(shù)，，，，，之間存在著一定的關(guān)系它們的關(guān)系如P4頁(yè)的表1.1-1所示。上兩式中的應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量的分量為式（3）式（4）：將式子（1）代入到式子（3）中得到：根據(jù)書(shū)上P4頁(yè)表知：所以上式可以表示為：畸變方程得證根據(jù)式子（1）可以得到：又因?yàn)椋核陨鲜娇梢愿膶?xiě)為：體變方程得證1-3求Jeffreys體[J]=[M]|[N]及Lethersich體[L]=[K]—[N]的本構(gòu)方程、蠕變?nèi)崃亢退沙谀Ａ俊?.4流變模型圖1.Murayama體2.Poynting-Thomson體[Mu]=[StV]︱[K][PTh]=[M]︱[H]3.Naramura體4.Trouton-Rankine體[Na]=[K]—[N][TR]=[N]—[PTh]5.Prandtl體6.Schwedoff體[P]=[StV]—[H][Schw]=[M]︱[StV]—[H]7.Loonen體8.廖國(guó)華體[Lo]=[N]︱[P][Lao]=[StV]︱[PTh]9.Schofield-ScottBlair體10.Bingham體[SchScB]=[Schw]—[K][B]=[N]︱[StV]1.5證明1.8-4證明：1-6對(duì)于沒(méi)有初應(yīng)變及初應(yīng)力的問(wèn)題，Stieltjes卷積的定義化為：1-8證明（1.9-4）式（P48）證明：本構(gòu)方程：松弛型由Stieltjes卷積定義得：P35由則本構(gòu)關(guān)系可表為：由（P12），已知本構(gòu)關(guān)系，在本構(gòu)方程中令所求得的便是松弛模量將上式中的，則即為有：由定義（P7），有：同理可求由（P12），已知本構(gòu)關(guān)系，在本構(gòu)方程中令所求得的便是松弛模量通過(guò)分部積分及變量代換，同樣可求又，在單軸拉、壓的情況下（P38），有松弛型蠕變型同理，可求得單軸應(yīng)力松弛模量和單軸應(yīng)力蠕變?nèi)崃縿t以下關(guān)系式全部得證：1.9求解banger體的松弛模量

解：banger體的微分本構(gòu)方程由拉普拉斯變換可知，，求松弛模量，則給定初始應(yīng)變經(jīng)過(guò)拉普拉斯變換可以得到，將由拉普拉斯變換的應(yīng)力應(yīng)變待入本構(gòu)方程有對(duì)應(yīng)拉普拉斯變換手冊(cè)，化為標(biāo)準(zhǔn)型其中經(jīng)拉普拉斯逆變換得到即可得松弛模量1-10，推導(dǎo)廣義Kelvin體和廣義Maxwell體的本構(gòu)方程。Ⅰ：對(duì)于廣義體，是由一個(gè)體一個(gè)體和個(gè)體串聯(lián)而成的組合體，其中..............（1.5-1）；...........（1.6-1a）；；；............（1.5-2）。根據(jù)串聯(lián)則有：；；換成連乘形式則有：將方程寫(xiě)成的形式，則：Ⅱ：對(duì)于廣義體，是由一個(gè)體一個(gè)體和個(gè)體并聯(lián)而成的組合體，的本構(gòu)關(guān)系為：，其余各原件的本構(gòu)關(guān)系如Ⅰ中所述。根據(jù)并聯(lián)則有：；；換成連乘形式則有：2.1推導(dǎo)Stieltjes卷積定理（2.1-13）證明：由Stieltjes卷積定義（P35）易證又，由1.8-4有（第四個(gè)等號(hào)）易知：令，則由2.1-11卷積定理有：又由（P52）2.1-5微分性質(zhì)第一式有：由于取作為L(zhǎng)aplace積分下限，則故：有：同理：易證（2.1-13）第二式的逆變換2-3說(shuō)明為什么當(dāng)方程（1.7-15）1中n1>m1時(shí)，該方程不能表示為粘彈性材料的本構(gòu)方程。答：因?yàn)樯袥](méi)有與之相對(duì)應(yīng)的粘彈性模型。我認(rèn)為它的Laplace逆變換不存在。2.6若在例2.4-1和2.4-2中將材料換成畸變時(shí)遵從標(biāo)準(zhǔn)線性體的規(guī)律，問(wèn)兩例的結(jié)果如何？解：(1)、標(biāo)準(zhǔn)線性體中，經(jīng)Laplace變換后，彈性常數(shù)置換為：載荷轉(zhuǎn)換為：彈性梁的最大撓度為：彈性常數(shù)置換有：則：進(jìn)行Laplace反演得：(2)標(biāo)準(zhǔn)線性體中，經(jīng)Laplace變換后，彈性常數(shù)置換為：載荷轉(zhuǎn)換為：最大撓度為：其中：則有：進(jìn)行Laplace反演