精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2019年考研數(shù)學一真題與解析2019年考研數(shù)學一真題解析一、選擇題1—8小題．每小題4分，共32分．1．當時，若與是同階無窮小，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【詳解】當時，，所以，所以．2．設函數(shù)，則是的（）（A）可導點，極值點（B）不可導的點，極值點（C）可導點，非極值點（D）不可導點，非極值點【答案】（B）【詳解】（1），所以函數(shù)在處連續(xù)；（2），所以函數(shù)在處不可導；（3）當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調減少，所以函數(shù)在取得極大值．3．設是單調增加的有界數(shù)列，則下列級數(shù)中收斂的是（）（A）（B）(C）（D）【答案】（D）【詳解】設是單調增加的有界數(shù)列，由單調有界定理知存在，記為；又設，滿足，則，且，則對于正項對于級數(shù)，前項和：也就是收斂．4．設函數(shù)，如果對于上半平面內任意有向光滑封閉曲線都有那么函數(shù)可取為（）（A）（B）（C）（D）【答案】（D）【詳解】顯然，由積分與路徑無關條件知，也就是，其中是在上處處可導的函數(shù)．只有（D）滿足．5．設是三階實對稱矩陣，是三階單位矩陣，若，且，則二次型的規(guī)范形是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【詳解】假設是矩陣的特征值，由條件可得，也就是矩陣特征值只可能是和．而，所以三個特征值只能是，根據慣性定理，二次型的規(guī)范型為．6．如圖所示，有三張平面兩兩相交，交線相互平行，它們的方程組成的線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別記為，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】（A）【詳解】(1)顯然三個平面沒有共同交點，也就是非齊次方程組無解，從而；（2）從圖上可看任何兩個平面都不平行，所以；7．設為隨機事件，則的充分必要條件是（）（A）（B）（C）（D）【答案】（C）【詳解】選項（A）是互不相容；選項（B）是獨立，都不能得到；對于選項（C），顯然，由，8．設隨機變量與相互獨立，且均服從正態(tài)分布．則（）（A）與無關，而與有關（B）與有關，而與無關（C）與，都有關（D）與，都無關【答案】（A）【詳解】由于隨機變量與相互獨立，且均服從正態(tài)分布，則，從而只與有關．二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）9．設函數(shù)可導，，則．【答案】解：10．微分方程滿足條件的特解為．【答案】【詳解】把方程變形得，即由初始條件確定，所以．11.冪級數(shù)在內的和函數(shù).看不清楚題目是還是，我以給出解答．【答案】【詳解】注意，從而有：12．設為曲面的上側，則．【答案】【詳解】顯然曲面在平面的投影區(qū)域為13．設為三階矩陣，若線性無關，且，則線性方程組的通解為．【答案】，其中為任意常數(shù)．【詳解】顯然矩陣的秩，從而齊次線性方程組的基礎解系中只含有一個解向量．由可知也就是為方程組基礎解系，通解為，其中為任意常數(shù)．14．設隨機變量的概率密度為，為其分布函數(shù)，其數(shù)學期望，則．【答案】【詳解】，．三、解答題15．（本題滿分10分）設函數(shù)是微分方程滿足條件的特解．（1）求；（2）求曲線的凸凹區(qū)間及拐點．【詳解】（1）這是一個一階線性非齊次微分方程．先求解對應的線性齊次方程的通解：，其中為任意常數(shù)；再用常數(shù)變易法求通解，設為其解，代入方程，得，，也就是通解為：把初始條件代入，得，從而得到（2）令得．當或時，，是曲線的凸區(qū)間；當或時，，是曲線的凹區(qū)間．曲線的拐點有三個，分別為．16．（本題滿分10分）設為實數(shù)，函數(shù)在點處的方向導數(shù)中，沿方向的方向導數(shù)最大，最大值為．（1）求常數(shù)之值；（2）求曲面的面積．【詳解】（1），則；所以函數(shù)在點處的梯度為；．由條件可知梯度與方向相同，且．也就得到解出或（舍）．即．（2）．17．（本題滿分10分）求曲線與軸之間形成圖形的面積．【詳解】先求曲線與軸的交點：令得當時，；當時，．由不定積分可得，所求面積為18．（本題滿分10分）設（1）證明：數(shù)列單調減少，且；（2）求極限．【詳解】（1）證明：，當時，顯然有，，所以數(shù)列單調減少；先設則當時，也就是得到令，則同理，綜合上述，可知對任意的正整數(shù)，均有，即；（2）由（1）的結論數(shù)列單調減少，且令，由夾逼準則，可知．19．（本題滿分10分）設是由錐面與平面圍成的錐體，求的形心坐標．【詳解】先計算四個三重積分：，，．從而設形心坐標為．注：其實本題如果明白本題中的立體是一個圓錐體，則由體積公式顯然，且由對稱性，明顯，．20．（本題滿分11分）設向量組為空間的一組基，在這組基下的坐標為．（1）求之值；（2）證明：也為空間的一組基，并求到的過渡矩陣．【詳解】（1）由可得，解方程組，得且當時，，即線性無關，確實是空間的一組基．（2），顯然線性無關，當然也為空間的一組基．設，則從到的過渡矩陣為21．（本題滿分11分）已知矩陣與相似．（1）求之值；（2）求可逆矩陣，使得．【詳解】（1）由矩陣相似的必要條件可知：，即，解得．（2）解方程組得矩陣的三個特征值；分別求解線性方程組得到分屬三個特征值的線性無關的特征向量為：．令，則可逆，且；同樣的方法，可求得屬于矩陣的三個特征值的線性無關的特征向量為：．令，則可逆，且；由前面，可知令，就滿足．22．（本題滿分11分）設隨機變量相互獨立，服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，的概率分布為：，，．令．（1）求的概率密度；（2）為何值時，不相關；（3）此時，是否相互獨立．【詳解】（1）顯然的概率密度函數(shù)為．先求的分布函數(shù)：再求的概率密度：（2）顯然；由于隨機變量相互獨立，所以；；；要使不相關，必須，也就是時不相關；（3）顯然不相互獨立，