精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)專心---專注---專業(yè)精選優(yōu)質文檔-----傾情為你奉上專心---專注---專業(yè)職高數學公式及知識點速記一、集合（1）集合中的元素有三個特征：a.確定性（集合中的元素必須是確定的）b.互異性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，則a不能等于1）c.無序性（集合中的元素沒有先后之分。）（2）常見的集合符號表示：N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}N*或N+：正整數集合{1,2,3,…}Z：集合{…,-1,0,1,…}Q：有理數集合Q+：正有理數集合Q-：負有理數集合R：集合(包括有理數和無理數）R+：正實數集合R-：負實數集合C：集合?：空集合（不含有任何元素的集合稱為空集合，又叫空集）分數自然數有理數Q正整數自然數實數R整數Z零復數C無理數負整數復數C虛數2.集合的基本關系a.規(guī)定:空集(不含任何元素的集合叫做空集,記為?)是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集b.任何一個集合是它本身的子集.c.子集具有傳遞性.如果AB,BC,那么AC.*假設A中含有n個元素，則有：A的子集個數為2n。A的真子集的個數為2n-1。A的非空子集的個數為2n-1。A的非空真子集的個數為2n-2。3.集合的基本運算(1)并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集（Union）記作：A∪B，讀作：“A并B”，即：A∪B={x|x∈A，或x∈B}性質：*AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A*若A∪B=B，則AB，反之也成立.（2）交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集（intersection）。記作：A∩B，讀作：“A交B”，即：A∩B={x|∈A，且x∈B}性質：*A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A*若A∩B=A，則AB，反之也成立。（3）全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集（Universe），通常記作U。（4）補集：對于全集U的一個子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集（complementaryset）,簡稱為集合A的補集，記作：即：={x|x∈U且x∈A}補集的Venn圖表示：性質：=U命題、充要條件（箭頭指向范圍大的）充要條件（記表示條件，表示結論）（1）充分條件：若，則是充分條件.（2）必要條件：若，則是必要條件.（3）充要條件：若，且，則是充要條件.注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.二、函數1、函數的單調性(1)設那么上是增函數；簡記“大的越大，小的越小”上是減函數。簡記“大的反而小，小的反而大”單調性性質：(1)、增函數+增函數=增函數；（2）、減函數+減函數=減函數；(3)、增函數-減函數=增函數；(4)、減函數-增函數=減函數；單調性解法：方法一：設那么上是增函數；上是減函數.方法二：函數函數表達式單調區(qū)間特殊函數圖像一次函數當時，在R上是增函數；當時，在R上是減函數。二次函數當時，時單調減,時單調增；當時，時單調增，時單調減。反比例函數且當時,在時單調減，在時單調減；當時,在時單調增，在時單調增。指數函數當時，在R上是增函數；當，時在R上是減函數。對數函數當時，在上是增函數；當時，在上是減函數。方法三：“同增異減”情形函數單調性第①種情形第②種情形第③種情形第④種情形內層函數外層函數復合函數2、函數的奇偶性對于定義域內任意的，都有，則是偶函數；對于定義域內任意的，都有，則是奇函數。注：（或y=0）為既是奇函數又是偶函數奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱。?？茧[含問題：若是定義域在R上的奇函數，則，（必過原點）。奇偶函數間的關系：(1)、奇函數·偶函數=奇函數；（2）、奇函數·奇函數=偶函數；(3)、偶奇函數·偶函數=偶函數；(4)、奇函數±奇函數=奇函數（也可能偶函數）(5)、偶函數±偶函數=偶函數；(6)、奇函數±偶函數=非奇非偶函數奇偶性解法：前提條件下（定義域必須關于原點對稱）如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數；如果一個函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數．定義法：，則就是奇函數；，則就是偶函數。函數的周期性：定義：對函數，若存在T0，使得，則就叫是周期函數。3、指數函數、對數函數、分數指數冪(1)（，且）.(2)（，且）.根式的性質：（1）當為奇數時，；當為偶數時，.有理指數冪的運算性質：(1).(2).(3).指數式與對數式的互化式:..對數的換底公式:=(,且,,且,).對數性質：若且則;(2)(3)（4）(5)(6)（7）（8）=1（9）（10）常見的函數圖象冪函數對數函數指數函數xyo++-xyo++--cosαxyo++--tanαxyo++--sinα1、同角三角函數的基本關系式，=.2、正弦、余弦的誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）的正弦、余弦，等于的同名函數，前面加上把看成銳角時該函數的符號；的正弦、余弦，等于的異名函數，前面加上把看成銳角時該函數的符號。，，．，，．，，．，，．以上口訣：函數名稱不變，符號看象限．，．，．以上口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．互余的兩個角sin值等于cos值3、和角與差角公式;;.4、二倍角公式...公式變形：5、函數的圖象變換（上加下減，左加右減，伸長縮小）yy0xπ2π3π4π1-1y=sin2xy=sinxy=sinxω變周期yy=2sinxy=sinxy=sinxy0xπ2π12-1-2A變最值注：根據圖像求的解析式的方法①最值求A②周期求③點代入求另外：函數及函數的周期，最大值為|A|；函數（）的周期.6、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函數函數性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸7、輔助角公式其中8、正弦定理

：（R為外接圓的半徑）.9、余弦定理;;.10、三角形面積公式（1）（分別表示a、b、c邊上的高）.（2）.（3）設，，則（4）海倫定理：其中，11、內角和定理：在△ABC中，有；；；12、與的數量積(或內積)13、平面向量的坐標運算(1)設=,=，則+=.(2)設=,=，則-=.(3)設A，B,則=B-A(4)設=，則=.(5)設=,=，則·=.(6)設=，則14、兩向量的夾角公式設=,=，且，則15、向量的平行與垂直設=,=，且.交叉相乘差為零.對應相乘和為零三、數列16、數列的通項公式與前n項的和的關系(數列的前n項的和為).17、等差數列的通項公式；18、等差數列其前n項和公式為.等差數列常用性質：（1）、若，則有（3）、若、為等差數列，則為等差數列。（4）、為等差數列，，，分別為前m，前2m，前3m項的和，則也成等差數列。（5）、若的等差中項，則有2n、m、p成等差。注意：已知Sn求a1和公差d：S1=a1求出a1再S2=a1+a2求出a2然后d=a2-a1 19、等比數列的通項公式；20、等比數列前n項的和公式為或.等比數列常用性質：①等比中項：=；②若m+n=p+q，則=；③為等差數列，，，分別為前m，前2m，前3m項的和，則，-，-成等比數列。四、不等式21、。必須滿足一正（都是正數）、二定（是定值或者是定值）、三相等（時等號成立）才可以使用該不等式）①若積是定值，則當時和有最小值；②若和是定值，則當時積有最大值.（1）(當且僅當a＝b時取“=”號)．（2）(當且僅當a＝b時取“=”號)．（3）（4）（5）(當且僅當a＝b時取“=”號)（6）一元二次不等式y(tǒng)=的解eq\o\ac(○,1)當時（圖像與X軸相交）的解記作：開口向上，小于零取中間的解記作：開口向上，大于零取兩邊eq\o\ac(○,2)當時（圖像與X軸相切）的解（無解）記作：開口向上相切時，x軸下方圖像的沒有的解記作：開口向上相切時，x軸上方圖像除了切點全是eq\o\ac(○,3)當時（圖像與X軸相離）的解（無解）記作：開口向上相離時，x軸下方沒有的解全體實數記作：開口向上相離時，x軸上方全是注：當時，兩邊乘以-1即可。解一元二次不等式的時候畫出函數圖像更直觀！??！含有絕對值的不等式：當時，有.（小于取中間）或.（大于取兩邊）五、解析幾何22、直線的五種方程（1）點斜式(直線過點，且斜率為)．（2）斜截式(b為直線在y軸上的截距).（3）兩點式()(、()).(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)（5）一般式(其中A、B不同時為0).化為斜截式：23、兩條直線的平行和垂直若，①;②.小技巧：對于兩條直線與垂直的直線為1、若則重合2、若則平行與平行的直線為3、若則相交24、平面兩點間的距離公式(A，B).25、點到直線的距離(點,直線：).26、圓的三種方程（1）圓的標準方程.（2）圓的一般方程(＞0).圓心為（,），半徑（3）圓的參數方程.*點與圓的位置關系：點與圓的位置關系有三種若，則P在圓上若，則P在圓外若，則P在圓內27、直線與圓的位置關系直線與圓的位置關系有三種:；.弦長=其中.28、橢圓的標準方程、圖象及幾何性質：橢圓的定義：平面內與兩個定點的距離的和等于常數（大于）的點的軌跡。其中：兩個定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意：表示橢圓；表示線段；沒有軌跡；中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標準方程圖形xxOF1F2PyA2A1B1B2A1A1xOF1F2PyA2B2B1頂點對稱軸軸，軸；短軸為，長軸為焦點焦距離心率（離心率越大，橢圓越扁）通徑（過焦點且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內的線段）3．常用結論：（1）橢圓的兩個焦點為，過的直線交橢圓于兩點，則的周長=（2）設橢圓左、右兩個焦點為，過且垂直于對稱軸的直線交橢圓于兩點，則的坐標分別是29、雙曲線：（1）雙曲線的定義：平面內與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡。其中：兩個定點叫做雙曲線的焦點，焦點間的距離叫做焦距。注意：與（）表示雙曲線的一支。表示兩條射線；沒有軌跡；雙曲線的標準方程、圖象及幾何性質：中心在原點，焦點在軸上中心在原點，焦點在軸上標準方程圖形xxOF1F2PyA2A1yxyxOF1PB2B1F2頂點對稱軸軸，軸；虛軸為，實軸坐標軸焦點焦距離心率（離心率越大，開口越大）漸近線通徑（1）雙曲線的漸近線：若雙曲線方程為漸近線方程：.若雙曲線與有公共漸近線，可設為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上）.任何情況下，焦點到漸近線的距離等于（2）等軸雙曲線為，其離心率為（3）常用結論：（1）雙曲線的兩個焦點為，過的直線交雙曲線的同一支于兩點，則的周長=（4）設雙曲線左、右兩個焦點為，過且垂直于對稱軸的直線交雙曲線于兩點，則的坐標分別是30、拋物線的定義：平面內與一個定點的距離和一條定直線的距離相等的點的軌跡。其中：定點為拋物線的焦點，定直線叫做準線。過拋物線焦點的弦長.拋物線的標準方程、圖象及幾何性質：焦點在軸上，焦點在軸上，焦點在軸上，焦點在軸上，開口向右開口向左開口向上開口向下標準方程圖形xxOFPyOOFPyxOOFPyxOOFPyx頂點對稱軸軸軸焦點離心率準線通徑焦半徑弦長公式：其中：分別是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程,消去y后所得關于x的一元二次方程根的判別式和的系數另外：韋達定理：弦的中點坐標的求法法（一）：（1）求出或設出直線與圓錐曲線方程；（2）聯(lián)立兩方程，消去y,得關于x的一元二次方程設，，由韋達定理求出；（3）設中點，由中點坐標公式得；再把代入直線方程求出。法（二）：用點差法，設，，中點，由點在曲線上，線段的中點坐標公式，過A、B兩點斜率公式，列出5個方程，通過相減，代入等變形，求出。六、立體幾何31、空間點、直線、平面之間的位置關系①公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。公理1的作用：判斷直線是否在平面內C·BC·B·A·α公理2的作用：確定一個平面的依據。推論1：經過一條直線和直線外的一點，有且只有一個平面。推論2：兩條相交直線確定一個平面。公理2推論3：兩條平行直線確定一個平面。③公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。公理3的作用：判定兩個平面是否相交的依據32、空間中直線與直線之間的位置關系①空間的兩條直線有如下三種關系：P·αLP·αLβ共面直線平行直線：同一平面內；沒有公共點；異面直線：不在同一個平面內；沒有公共點。②公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線a∥caa∥cc∥b強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據。③等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。注意點：1.兩條異面直線所成的角θ∈(0，]；2.當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；3.兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；33、空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系直線與平面有三種位置關系：（1）直線在平面內——有無數個公共點（2）直線在平面外直線與平面相交——有且只有一個公共點直線在平面平行——沒有公共點注：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示aαa∩α=Aa∥α34、直線與平面平行的判定直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：aαbβa∥αa∥b35、平面與平面平行的判定①兩個平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。符號表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α②判斷兩平面平行的方法有三種：（1）判定定理；（2）平行于同一平面的兩個平面平行；（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。36、直線與平面、平面與平面平行的性質①定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。②定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行③兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另外一個平面。37、直線與平面垂直的判定①定義：如果直線與平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面α互相垂直，記作⊥α。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。αp②判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。注意：1.定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；2.定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想。38、平面與平面垂直的判定①兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。39、直線與平面、平面與平面垂直的性質①定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。②性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。40、柱體、椎體、球體的側面積、表面積、體積計算公式圓柱側面積=，表面積=圓椎側面積=，表面積=或（其中r為扇形半徑，為扇形的弧長）弧長公式或弧度數（是柱體的底面積、是柱體的高）.（是錐體的底面積、是錐體的高）.球的半徑是，則其體積,其表面積．41、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質：側棱平行且相等，與底面垂直。正棱錐的性質：側棱相等，頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心。名稱棱柱棱錐棱臺圖示定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形。且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行有一個面是多邊形，其余各面都有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面與底面之間的部分各部分名稱底面：互相平行的兩個面?zhèn)让妫旱酌嫱馄溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：側棱與底面的交點對角面：不相鄰的側棱確定的截面四邊形對角線：不在同一面上的兩個頂點的連線段高：兩底面間的距離底面：多邊形的面?zhèn)让妫河泄岔旤c的各個三角形面?zhèn)壤猓合噜弬让娴墓策呿旤c：各側面的公共頂點對角面：不相鄰的側棱確定的截面三角形高：頂點到底面的距離底面：原棱錐的底面與截面分別叫做棱臺的下底面和上底面?zhèn)让妫涸忮F的側面被截得的梯形高：棱臺兩底面間的距離性質兩底面是對應平行的全等多邊形側面，對角面都是平行四邊形側棱平行且相等平行于底面的截面是與底面全等的多邊形側面，對角面都是三角形側棱交于一點平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面的距離與高的比的平方兩底面所在的平面互相平行，兩底面是對應邊互相平行的相似多