一、靜力學(1）剛體剛體:,靜力學也叫剛體靜力學。（２)力力是物體之間的相互機械作用，這種作用使物體的運動狀態(tài)改變（外效應）和形狀發(fā)生改變(內效應。在理論力學中僅討論力的外效應,不討論力的內效應力對物體的作用效果取決于力的大小、方向和作用點,因此力是定位矢量,它符合矢量運算法則.力系：作用在研究對象上的一群力．等效力系：兩個力系作用于同一物體,若作用效應相同,則此兩個力系互為等效力系.(３)平衡物體相對于慣性參考系保持靜止或作勻速直線運動。(4)靜力學公理公理１（二力平衡公理)作用在同一剛體上的兩個力成平衡的必要與充分條件為等大、反向、共線。加減平衡力系公理改變原力系對剛體的外效應。推論（力的可傳性原理)作用于剛體的力可沿其作用線移至桿體內任意點，而不改變它對剛體的效應.在理論力學中的力是滑移矢量，仍符合矢量運算法則。因此,力對剛體的作用效應取決于力的作用線、方向和大小。公理3(力的平行四邊形法則)作用于同一作用點的兩個力,可以按平行四邊形法則合成．推論(三力平衡匯交定理)當剛體受三個力作用而平衡時,若其中任何兩個力的作用線相交于一點,則其余一個力的作用線必交于同一點,且三個力的作用線在同一個平面內。公理4（作用與反作用定律）兩個物體間相互作用力同時存在，且等大、反向、共線,分別作用在這兩個物體上．5（剛化原理)體轉換成剛體,其平衡狀態(tài)不變?？梢?剛體靜力學的平衡條件對變形體成平衡是必要的,但不一定是充分的。（5)約束和約束力約束：阻礙物體自由運動的限制條件.約束是以物體相互接觸的方式構成的。約束力:約束對物體的作用。約束力的方向總與約束限制物體的運動方向41—1表示法.7種多見于平面問題中,后４種則多見于空間問題中。表4.1—1 工程中常見約束類型、簡圖及其對應約束力的表示約束類約束簡圖約束類約束簡圖約束力矢量圖約束力描述型T柔索類 A ATATBA A光滑面接觸 NNN短鏈桿)中間鉸（鉸）固定鉸輥軸支（鉸）

作用點：物體接觸點方位：沿柔索方向:背離被約束物體大小:待求這類約束為被約束物體提供拉力。單面約束：作用點：物體接觸點方向:指向被約束物體大?。捍筮@類約束為物體提供壓力.雙面約束：假設其中一個約束面與物體接觸,繪制約束力，不能同時假設兩個約束面與物體同時接觸。作用點：物體接觸點方位:垂直共切面方向：指向被約束物體大小:待求這類約束為物體提供壓力。作用點:物體接觸點方位：沿鏈桿兩鉸點的連線方向：不定大小:待求作用點:物體接觸點,方位:不定方向:大小:用兩個方位互相垂直,方向任意假設的分力,表示該約束處的約束力作用點：物體接觸點,過鉸中心方位:不定方向：不定大?。捍笥脙蓚€方位互相垂直,方向任意假設的分力,表示該約束處的約束力作用點:物體接觸點,過鉸中心方位：垂直支撐面方向:不定大小:待求固定端承承球形鉸

在約束面內既不能移動也不能轉動，用兩個方位互相垂直、方向任意假設的兩個分力表示限制移動的力，用作用面與物體在同一平面內的、轉向任意假設的集中力偶表示限制轉動的力偶。Ｙ向可微小移動,用方位互相垂直、方向任意假設的兩個分力，表示限制徑向的移動三個方向都不允許移動,用三個互相垂直的力表示限制的移動。空間任意方向都不允許移動，用方位相互垂直,方向任意的三個分力來代替這個約束力空間固定端

(6）受力分析圖

三個軸向都不允許移動和轉動，用三個方位相互垂直的分力來代替限制空間移動的約束力，并用三個矢量方位相互垂直，轉向任意的力偶代替限制轉動的約束力偶受力分析圖是分析研究對象全部受力情況的簡圖。其步驟是：１）明確研究對象，解除約束,取分離體；2）把作用在分離體上所有的主動力和約束力全部畫在分離體上。(７）注意事項,并根據(jù)二力平衡條件和三力匯交定理確定約束力的方位;對于方向不能確定的約束力,有時可利用平衡條件來判定；若取整體為分離體時，只畫外力,不畫內力,當需拆開取分離體時,內力則成為外力,,頭要符合作用與反作用定律;在畫受力分析圖時,不要多畫或漏畫力，要如實反映物體受力情況;(鏈接兩個或兩個以上物體的鉸)用于鉸處的集中力和作用于相鄰剛體上的線分布力等情況的處理方法.２。力的分解、力的投影、力對點之矩與力對軸之矩（1)力沿直角坐標軸的分解和力在軸上的投影FFX

FFY

FiFx

jFkz式中:FX

FFY

分別為沿直角坐標軸的分力;、、分別為在直角坐標軸、、軸上的投影，且分別為(如圖4.1-1）F FcosF

cosFsincosF FcosFFFcosz

sinFsinsin圖4。1-1式中:;Oxy平面上的投影,如圖4.1示。(2）力對點之矩(簡稱力矩）在平面問題中，力對矩心的矩是個代數(shù)量，即M FaO時針方向時,上式取正號,反之則取負號。在空間問題中,力對點之矩是個定位矢量，如圖４.1-2，其表達式為圖4.1—2M MO

rFz

zFy

izFx

xFz

jy

yFxNm或kNm。（3）力對軸之矩圖4.1-３力對任一軸之矩為力在垂直軸的平面上的投影對該平面與軸交點之矩,即M M Fa2OA'B'O xy xy其大小等于二倍三角形OA'B'的面積,正負號依右手螺旋法則確定，即四指與力的方向一致,掌心面向軸,拇指指向與軸的指向一致，上式取正號,反之取負號。顯然，當力與矩軸共面(即平行或相交)時，力對軸之矩等于零。其單位與力矩的單位相同。從圖4。１—3中可見,OA'B'的面積等于OAB面積在OA'B'平面(即Oxy面)上的投影。由此可見,力對軸之矩Mz

F等于力對軸上任一點的矩MO

F在軸上的投影,或力對點的矩MO

F在經過點的任一軸上的投影等于力對該軸之矩。這就是力對點之矩與對通過該點的軸之矩之間的關系.即M M yFzF O z y xM F M F zFxF O x zyM M xFyF O y z(4）合力矩定理當任意力系合成為一個合力時，則其合力對于任一點之矩(或矩矢）或任一軸之矩等于原力系中各力對同點之矩(或矩矢）或同軸之矩的代數(shù)和(或矢量和)。m O m O

mOmO

ii

力對點之矩矢力對點之矩mx R

mx

i

力對軸之矩3.匯交力系的合成與平衡（2)匯交力系合成結果根據(jù)力的平行四邊形法則,可知匯交力系合成結果有兩種可能：其一,作用線通過匯交點的一個合力FR

,FR

Fi

；其二，作用線通過匯交點的一個合力FRFR

Fi

0，這是匯交力系平衡的充要條件.（3)匯交力系的求解求解匯交力系的合成與平衡問題各有兩種方法，即幾何法與解析法 ,如4.1-2所示。對于空間匯交力系，由于作圖不方便一般采用解析法。幾何法解析法平面匯交力幾何法解析法平面匯交力系合力F 平衡條件F 0R R按力的多邊形法則,得匯交力系的力的多邊形示意 力的多邊形自行封圖，其開口邊決定了合力的大小和方位及指向,指向是首力的始端至末力的終端F FF jxiyiF RF2F 2FxiF0R0xiyiyicosF,i RFxicosF,j RFyiFF;有兩個獨立方程,可解兩個未知量空間匯交力系F FF jFRRFxiFyiF0RxiyiziF RF2F 2F20xiyizicosF,i RFF0xicosF,j RyiziFRFRcosF,k RF、軸不共面;有三個獨立方程，可解三個未知量ziFR4。力偶理論力偶F等量、反向、不共線的兩平行力組成的力系.力偶的性質：力偶沒有合力,即不能用一個力等效,也不能與一個力平衡．力偶力偶等效或平衡。力偶矩:力偶的旋轉效應決定于力偶矩,4.１—3所述。表4。１-3力偶矩的計算平面力偶矩平面力偶矩mFd逆時針轉向取正號;反之取負號代數(shù)量空間力偶矩矢大小:方位:依右手螺旋法則，即四指與力的方向一致,掌心面向矩心，拇指指向為力偶矩矢的矢量方向。自由矢量力偶矩的單位Nm或kN力偶的等效條件：等效的力偶矩矢相等等效的力偶矩矢相等1:只要力偶矩矢不變,力偶可在其作用面內任意轉動或移動,或從剛體的一個平面移到另一個相互平行的平面上，而不改變其對剛體的旋轉效應。2:在力偶矩大小和轉向不變的條件下,可任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長短而不改變其對剛體的旋轉效應.力偶矩與力對點之矩的區(qū)別：力偶矩與矩心位置無關，而力對點之矩與矩心位置有關表中,為組成力偶的力的大小,為力偶中兩個力作用線間的垂直距離，稱為力偶臂。力偶系的合成與平衡力偶系合成結果有兩種可能,即一個合力偶或平衡。具體計算時，通常采用解析法，如表4.1-4所述。4。1-4力偶的合成與平衡的解析法合成合力合成合力偶平面力偶系M miMm0im0i可求解一個未知量空間力偶系Mmmim jmkiixiyiz平衡Mmmim jmk0iixiyiz平衡方程m0m 0m 0ixiyiz;可求解三個未知量m在相應坐標軸上的投影。注意,力偶中兩個力和,對任一軸之矩的和等于該力偶矩矢在同一軸上的投影,即mm'm mcosx x x式中,為矢量與軸的夾角。(３）匯交力系和力偶系的平衡問題首先選取分離體;然后畫分離體受力分析圖,在分析約束力方向時,注意利用力偶只能與力偶相平衡的概念來確定約束力的方向；接下來，列寫平衡方程,對于力的投影方程,盡量選取與未知力垂直的坐標軸,使參與計算的未知量的個數(shù)越少越好,盡量使一個方程求解一個未知量，而力偶系的平衡方程與矩心的選取沒有關系,注意區(qū)分力偶的矢量方向或是轉向,確定好投影的正方向;最后求出結果，結果的絕對值表示大小，正負號表示假設方向是否與實際的指向一致，正號代表一致,負號則表示相反。5。一般力系的簡化與平衡(１)力線平移定理作用在剛體上的力,若其向剛體上某點平移時,不改變原力對剛體的外效應，必須對平移點附加一個力偶,該附加力偶矩等于原力對平移點之矩.同理，根據(jù)力的平移定理可得:共面的一個力和一個力偶可合成為一個合力合力的大小、方向與原力相等，其作用線離原力作用線的距離為dmF.（2)任意力系的簡化１)簡化的一般結果根據(jù)力線平移定理,可將作用在剛體上的任意力系向任一點O(稱為簡化中心）簡化,得到一個作用在簡化中心的共點力系和一個附加力偶系，進而可以合成為一個力和一個力偶.該力等于原力系向簡化中心簡化的主矢，該力偶的力偶矩等于原力系對簡化中心的主矩。主矢FR

Fi

作用線通過簡化中心M主矩

Oi O平面：M m FO O i注：主矢的方向和大小與簡化中心無關，只與原力系中各個分力相關,其作用線仍通過簡化中心;主矩一般與簡化中心的位置有關．簡化的最后結果任意力系向一點簡化后的最后結果,見表4.１-5.表４。1—5 任意力系向一點的簡化的最后結果主矢主矢主矩果平衡F F=0任意力系的平衡條件RiM 0或MOO0M合力偶O0或M此主矩與簡化中心無關O0F F 0合力合力的作用線過簡化中心RiMO0或MO0MO0F MR O合力的作用線離簡化中心的距離為dMOFRM力螺旋力螺旋中心軸（力的作用線)過簡化中心O0F//MR OF與MR成角力螺旋中心軸（)離簡化中心的距離為OdMOsinFR平行分布的線載荷的合成①平行分布線載荷和線載荷集度平行分布線載荷:沿物體中心線分布的平行力，簡稱線載荷。線載荷集度：沿單位長度分布的線載荷，以表示,Nm或kNm。②同向線荷載合成結果同向線荷載合成結果為一個合力FR

，該合力的大小和作用線位置依據(jù)合力投影定理和合力矩定理求得。均勻分布和線性分布的線載荷合成結果如表4。1-６所述。表4。１—6 線載荷合成結果均勻分布的線載荷均勻分布的線載荷線性分布的線載荷圖合成結作用在分布線長度中點的一個合力，其作用線的作用在距離線載荷集度為零的分布長度的2果 方向與線載荷的方向一致 31處,其作用線的方向與線載荷的方向一致31大小 Rql R ql12力系的平衡條件與平衡方程任意力系平衡條件:力系向任一點簡化的主矢和主矩都等于零，即F F=0R iM M O O i力系名稱

表４.1—7列出了各力系的平衡方程．但應當指出,在空間力系和空間平行力系的平衡方程組中,其投影方程亦可用對軸的力矩方程來替代。當然，該力矩方程必須是獨立的平衡方程，即可用它來求解未知量的平衡方程。4平衡方程的表示形式

獨立方程的數(shù)目平匯標準式 一力矩式 二力矩式 ２面交 F =0力力 ix

F =0ix

M A i系系 F =0

M M iy A i B i說(、軸不平行,不重合）明

(點和匯交點的連線不能垂直軸)

（、連線不能通過匯交點）力 m=0 1偶 i系平標準式行 F =0力 ix系 M A i

二力矩式 ２M A iM B i說（軸不能垂直各力) (、連線不能和各力平行)明任標準式 二力矩式 三力矩式 3意 F =0力 ix系 F =0iy

M M i A iM M i B iM F =0 M A i ix C i說(、軸不平行，不重合) (連線不能垂（、三點不共線明 直軸）空匯標準式

一力矩式 二力矩式

三力矩式 3間交 F =0力力 ix

F =0 M M ix y i x i系系 F =0iy

F =0iy

M M z i y iF =0 M Fiz z i

=0 M z i說（任意兩根軸不能平行、明重合)力標準式

(軸不能通過匯交和軸所組成的平面;軸和匯交點所組成的平面不能垂直軸和軸組成的平面)

(;不能在、軸上交點共線;如、軸有交點,則軸不能垂直此交點和匯交點的連線）

(、兩軸有交點,則此直線不能為軸;軸也不能和經過匯交;從匯交點不能引一直線和、、三軸相交）３偶 M 系 x iM M y i平標準式

z i三力矩式 3行 M

M M M 力系 MF

x iy i=0

x i y i z iiz說(軸平行各力，xoy面垂直軸)明任標準式

(;如果、軸有交點,經過點平行各力的直線為,則軸不能和直線共面;共面；不能作出與三條軸都相交且平行的直線）四力矩式 五力矩式 六力矩式 ６意 F =0力 ix

F =0 F =0 M ix ix x' i系 Fiy

=0 Fiy

=0 M M v i y' i F =0 M M M iz u i u i u iM x iM y iM z i

M M M i x i x iM M M i y i y iM M M i z i z i說（、三軸不能平行,重合) (軸不能和明 共面)

(、不能在平面

yoz

(

OO

不共面，平面

O'x'y

不過點)內;、不能都和或軸相交,也不能和或軸共面）注:建議各力系的平衡方程用表格中的標準式。6.物體系統(tǒng)的平衡(1）１)靜定問題若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目，則應用剛體靜力學的理論，就可以求得全部未知量的問題,如圖4。1－4（ａ)。2）靜不定(超靜定）問題1４b,再圖3)靜不定次(度)數(shù)在超靜定結構中，總未知量數(shù)與總獨立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)(2）物體系統(tǒng)平衡問題的解法和步驟１)判斷物體系統(tǒng)是否屬于靜定系統(tǒng)。物體系統(tǒng)是否靜定，僅取決于系統(tǒng)內,而不能由系統(tǒng)中某,數(shù)均將相應變化。,也可以取其中的某些部分或是某一物體為研究對象。不畫內力。在各物體的拆開出,物體間的相互作用力必須符合作用與反作用定律.4）列出平衡方程。平衡方程要根據(jù)物體所作用的力系類型列出,不能多列.為了避免解聯(lián)立方程，應妥當?shù)剡x取投影軸和矩軸(或矩心)。投影軸應盡量選取與力系中多數(shù)未知力的作用線垂直;而矩軸應使其與更多的未知力共面(矩心應選在多數(shù)未知力的交點上)。力求做到一個平衡方程中只包含一個未知量.由平衡方程解出未知量.時，應連同其負號一起代入。利用不獨立平衡方程進行校核。7。平面桁架（１)定義由若干直桿在兩端用鉸鏈彼此連接而成幾何形狀不變的結構成為桁架.桿件與桿件的連接點稱為節(jié)點。所有桿件的軸線在同一平面內的桁架稱為平面桁架，否則稱為空間桁架。1)各桿件都用光滑鉸鏈連接。各桿件都是直桿.面內。各桿件的自重或略去不計,或平均分配到桿件兩端的節(jié)點上。根據(jù)以上假設，桁架中各桿件都是二力構件，只受到軸向力作用,受拉或受壓。平面桁架內力的計算方法分析桁架的目的就在于確定各桿件的內力，通常有兩種計算桁架內力的方4。1—8所述。當需要計算桁架中所有桿件的內力時,可采用節(jié)點法;節(jié)點法和截面法.在計算中，習慣將各桿件的內力假設為拉力。若所得結果為正值，說明桿件是拉桿，反之則為壓桿。表４.1-8平面桁架內力計算方法節(jié)點法截面法研究對象取節(jié)點為研究對象將桁架沿某個面截成兩部分,取其中一部分為研究對象平衡方程應用平面匯交力系平衡應用平面任意力系平衡方程求解桁架內力方程求解桁架內力為簡化計算，一般先要判斷桁架中的零力桿（內力為零的桿件）,對于表４。９所述的三種情況，零力桿可以直接判斷出。表4。1-9桁架零力桿的判斷節(jié)點類型特點條件圖示判斷型節(jié)點節(jié)點上連接兩根節(jié)點上不受兩桿全是零桿件,且只有兩根力力桿桿件不重合、不共線節(jié)點受一集中力,其方位桿件軸線不與力方位重與其中一根合的桿件為桿件的軸線零力桿共線型節(jié)點節(jié)點上連接三根節(jié)點上不受桿件軸線不桿件只有三根桿力與兩根軸線件，其中兩根桿件共線桿件重的軸線共線,另一合的桿件為根桿件與這兩根零力桿桿件不重合９.物體的重心物體的重心是一確定的點,(2)物體的重心坐標公式 x

x

xdPPx

i i C PPC P yP

ydPP１）y i i或y PP C

C P zP

zdPz i i C P

z PC P式中:;小部分重心所在位置的坐標;表示物體的總重量。２）當物體在同一近地表面時,其重心就是其質心,則質心坐標公式為 x

x

xdmMx

i i C MMC M ym

ydmMy i i或y MMC

C M zm

zdmz i i C

z MC M式中:m及表示各微小部分的質量;微小部分質心所在位置的坐標;表示物體的總質量。當物體在同一近地表面及均質時，其重心就是體積中心,則體積中心的坐標公式為

x

x

xdVVx

i i C VC V yV

ydVy i i或y VC V C V zV

zdVz i i C

z VC V式中:V及表示各微小部分的體積;表示各微小部分體積中心所在位置的坐標；表示物體的總質量。當物體在同一近地表面、均質及等厚薄板時,其重心就是形心,坐標公式為 x

x

xdAAx

i i C AC A yA

ydAy i i或y AC A C A zA

zdAz i i C

z AC A式中:;小部分形心所在位置的坐標；表示物體的總面積。一、軸向拉伸與壓縮(一）考試大綱材料在拉伸、壓縮時的力學性能低碳鋼、鑄鐵拉伸、壓縮實驗的應力-應變曲線;力學性能指標。拉伸和壓縮軸力和軸力圖;桿件橫截面和斜截面上的應力;強度條件；胡克定律；變形計算。（二）考點主要內容要求：要求：①了解軸向拉(壓)桿的受力特征與變形特征;②了解內力、應力、位移、變形和應變的概念；③掌握截面法求軸力的步驟和軸力圖的作法;④掌握橫截面上的應力計算，了解斜截面上的應力計算;⑤熟悉胡克定律及其應用、拉（壓）桿變形計算；⑥了解常用工程材料（低碳鋼、鑄鐵)拉(壓)時的力學性能,掌握強度條件的應用。引言材料力學的任務定既安全又最經濟的構件材料和尺寸的必要基礎.強度是指構件在荷載作用下抵抗破壞的能力。剛度是指構件在荷載作用下抵抗變形的能力。穩(wěn)定性是指構件保持其原有平衡形式的能力。變形固體的基本假設體。材料力學中對變形固體所作的基本假設如下.①連續(xù)性假設:組成固體的物質毫無空隙地充滿了固體的幾何空間。②均勻性假設:在固體的體積內,各處的力學性能完全相同.③各向同性假設：在固體的各個方向上有相同的力學性能．④小變形的概念：構件由荷載引起的變形遠小于構件的原始尺寸。桿件的主要幾何特征桿件是指長度L遠大于橫向尺寸(高度和寬度）的構件。這是材料力學研究的主要對象.桿件的兩個主要的幾何特征是橫截面的軸線。①橫截面:垂直于桿件長度方向的截面.②軸線:各橫截面形心的連線。若桿的軸線為直線,稱為直桿。若桿的軸線為曲線，稱為曲桿．軸向拉伸與壓縮5-1-1軸向拉伸與壓縮桿件的力學模型,如圖5—1-1所示。①受力特征:作用于桿兩端的外力的合力，大小相等、指向相反、沿桿件軸線作用．②變形特征:桿件主要產生軸線方向的均勻伸長(縮短).軸向拉伸(壓縮）桿橫截面上的內力內力內力是由外力作用而引起的構件內部各部分之間的相互作用力．截面法截面法是求內力的一般方法。用截面法求內力的步驟如下.①截開:在須求內力的截面處，假想沿該截面將構件截開分為二部分.②代替:任取一部分為研究對象，稱為脫離體.用內力代替棄去部分對脫離體的作用。③平衡：對脫離體列寫平衡條件,求解未知內力.截面法的圖示如圖5—１－2所示.圖5-1-2軸力軸向拉壓桿橫截面上的內力,其作用線必定與桿軸線相重合，稱為軸力,以或Ｎ表示。軸力規(guī)定以拉力為正,壓力為負。軸力圖軸力圖是表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線,如圖５—1—3。軸向拉壓桿橫截面上的應力勻分布,5-1—4所示,其表示為F N（５-1—1)FA式中:為橫截面上的正應力,Ｎ/ｍ2或Pａ;,Ｎ；A為橫截面面積,m2。F 2FmP PFN mF (+) P(-) xF

圖5-1-4圖513圖514軸向拉壓桿斜截面上的應力斜截面上的應力均勻分布,如圖5－1—５，其總應力及應力分量為F總應力p

NA

cos (５—1—2)正應力 p cos cos2 （5—1-3） 0切應力

p sin

0sin2（5—1-４)2式中:為由橫截面外法線轉至截面外法線的夾角,以逆時針轉動為正;為斜截面ｍ-m的截面積；為橫截面上的正應力。以拉應力為正,壓應力為負。以其對脫離體內一點產生順時針力矩時為正，反之為負。軸向拉壓桿中最大正應力發(fā)生在 0的橫截面上,最小正應力發(fā)生在90的縱截面上，其值分別為 max 0 0min最大切應力發(fā)生在45的斜截面上,最小切應力發(fā)生在0的橫截面和90的縱截面上，其值分別為 0max 2 0min圖５—１—5材料的力學性能低碳鋼在拉抻時的力學性能低碳鋼拉伸時的應力-應變曲線如圖5—1—6所示。5-1—65—1—1。表5-1-1階段 圖5-１-6中線段 特征點 說明彈性階段

比例極限彈性極限

為應力與應變成正比的最高應力;為不產生殘余的最高應力為應力變化不大而變形顯著屈服階段 ｂc 屈服強

增加時的最低應力強化階段 ce 抗拉強局部變形階段 eｆ應力-應變曲線上還有如下規(guī)律：

為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力產生頸縮現(xiàn)象到斷裂①卸載定律:在卸載過程中,應力和應變按直線規(guī)律變化,如圖5－1—6線dd.②冷作硬化:材料拉伸到強化階段后,卸除荷載,再次加載時,材料的比例極限提高而塑性降低的現(xiàn)象,5-1－6中曲線d,5－1-6中，段表示未經冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應變;df段表示經冷作硬化,再拉伸到斷裂后的塑性應變。主要性能指標表5-1-２。5—１-2主要性能指標表性能性能性能指標說明彈性性能EE強度性能屈服強度抗拉強度材料出現(xiàn)顯著的塑性變形材料的最大承載能力延伸率LL100%1塑性性能L材料拉斷時的變形程度截面收縮率AA100%A1材料的塑性變形程度低碳鋼的力學性能低碳鋼在壓縮時的應力－應變曲線如圖5—1—7中實線所示.低碳鋼壓縮時的比例極限、屈服強度、彈性模量E與拉伸時基本相同,但測不出抗拉強度。鑄鐵拉伸時的力學性能鑄鐵拉伸時的應力—應變曲線如圖5—1-8所示。b bo 圖5-1-7的應力—應變曲線

o 圖5-1-8鑄鐵拉伸時的應力—應變曲線應力與應變無明顯的線性關系,拉斷前的應變很小,實驗時只能測到抗拉強度。彈性模量E以總應變?yōu)椋?。?時的割線斜率來度量。鑄鐵壓縮時的力學性能鑄鐵壓縮時的應力-5-１—９所示。4~535~45角，宜于作抗壓構件。塑性材料和脆性材料延伸率5的材料稱為脆性材料。屈服強度0.2對于沒有明顯屈服階段的塑性材料,通常用材料產生0.２％的殘余應變時所對應的應力作為屈服強度，并以

0.2

表示,如圖５-１－10所示.b b0.2bo 圖5-1-9

o 0.2% 圖5-1-10強度條件許用應力材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以安全系數(shù)求得。塑性材料脆性材料

snsbnb式中:為屈服強度;為抗拉強度;n n為安全系數(shù)。

s、ｂ構件的最大工作應力不得超過材料的許用應力。軸向拉壓桿的強度條件為max

F NmaxA

強度計算的三大類問題：F 強度校核

max

NmaxA截面設計A

Nax確定許可荷載FNmaxA,再根據(jù)平衡條件，由FNmax計算。軸向拉壓桿的變形胡克定律軸向拉壓桿的變形圖5-1-11桿件在軸向拉伸時,軸向伸長,橫向縮短;而在軸向壓縮時,軸向縮短,橫向伸長，如圖5-1-11圖5-1-11軸向變形LL （5－1-8)軸向線應變

L（5—1—9)L橫向變形aa （5-1—10）橫向線應變aa胡克定律

（5－1-1１)當應力不超過材料比例極限時,應力與應變成正比，即E式中E為材料的彈性模量.或用軸力及桿件變形量表示為FLL NEA式中:為桿的抗拉(壓）剛度,表示抗拉壓彈性變形的能力。泊松比泊松比是材料的彈性常數(shù)之一，無量綱。二、剪切(一)考試大綱剪切和擠壓的實用計算；剪切面；擠壓面；抗剪強度;擠壓強度。（二）考點主要內容要求：①熟悉連接件與被連接件的受力分析;②準確判定剪切面與擠壓面,掌握剪切與擠壓的實用計算；③準確理解切應力互等定理的意義，了解剪切胡克定律及其應用。剪切的概念及實用計算剪切的概念PPPPFPS圖5-2-1剪切的力學模型如圖5-2－1所示。①受力特征:構件上受到一對大小相等、方向相反，作用線相距很近且與構件軸線垂直的力作用。②變形特征:構件沿內力的分界面有發(fā)生相對錯動的趨勢。③剪切面：構件將發(fā)生相對錯動的面。④剪力:剪切面上的內力,其作用線與剪切面平行，用或表示.剪切實用計算名義切應力假定切應力沿剪切面是均勻分布的。若為剪切面面積,為剪力,則名義切應力為F s （5—２—1）As許用切應力按實際的受力方式，用實驗的方法求得名義剪切極限應力,再除以安全因數(shù)n。剪切條件剪切面上的工作切應力不得超過材料的許用切應力(5－2-2)擠壓的概念

F sAs

①擠壓：兩構件相互接觸的局部承壓作用。②擠壓面:兩構件間相系接觸的面.③擠壓力:承壓接觸面上的總壓力。擠壓實用計算名義擠壓應力假設擠壓力在名義擠壓面上均勻分布，則名義擠壓應力為FA b (5—2—3)Absbs式中:b為名義擠壓面面積。當擠壓面為平面時,則名義擠壓面面積等于實際的ｓ在垂直擠壓力方向的投影面積,如圖5—2－2所示。dh2dh2hL圖5-2-2鍵的名義擠壓面面積A hLbs 2鉚釘?shù)拿x擠壓面面積為A dtbs許用擠壓應力根據(jù)直接實驗結果，按照名義擠壓應力公式計算名義極限擠壓應力,再除以安全系數(shù)。擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力，即FA b Absbs

bs切應力互等定理剪切胡克定律純剪切①純剪切：若單元體各個側面上只有切應力而無正應力,則稱為純剪切.純剪切引起的剪應變，如圖5-２—3所示。圖5-2-3②剪應變:無量綱。在材料力學中規(guī)定以單元體左下直角增大時,為正,圖5-2-3切應力互等定理在互相垂直的兩個平面上,垂直于兩,指向或背離這一交線（5-２—３)，即剪切胡克定律當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力與剪應變成正比,即G式中Ｇ為剪切彈性模量。對各向同性材料,Ｅ、Ｇ、間只有二個獨立常數(shù)，它們之間的關系為EG三、扭轉（一）考試大綱扭矩和扭矩圖；圓軸扭轉切應力;切應力互等定理；剪切胡克定律;圓軸扭轉的強度條件:扭轉角計算及剛度條件。（二）考點主要內容要求:①了解桿件產生扭轉變形的受力特征與變形特征；②了解傳動軸的外力偶矩計算，掌握求扭矩和作扭矩圖的方法;③掌握橫截面上切應力分布規(guī)律和切應力的計算；④掌握圓截面極慣性矩、抗扭截面系數(shù)計算公式。扭轉的概念扭轉的力學模型扭轉的力學模型如圖5-3—1所示。MeMee圖5-3-1扭轉的力學模型相垂直的外力偶作用。②變形特征:桿件表面縱向線變成螺旋線,即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發(fā)生相對轉動。③扭轉角：桿件任意兩橫截面間相對轉動的角度。外力偶矩的計算軸所傳遞的功率、轉速與外力偶矩間有如下關系：N３—1)(5—3-2)

Me9.55minNNmine

(5—N的單位為千瓦(kＷ）或公制馬力（，1PS

735.5Nms);轉速n的單位為轉每分（ｒ/min，Ｍekm.扭矩和扭矩圖①扭矩：受扭桿件橫截面上的內力，是一個橫截面平面內的力偶,其力偶矩稱為扭矩,用表示,見圖5—３—2,其值用截面法求得.②扭矩符號：扭矩的正負號規(guī)定,以右手法則表示扭矩矢量，當矢量的指向與截面外向的指向一致時，扭矩為正,反之為負。③扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。圓桿扭轉時的切應力及強度條件橫截面上的切應力切應力分布規(guī)律橫截面上任一點的切應力,其方向垂直于該點所在的半徑,其值與該點到圓心的距離成正比,見圖5—3—3。M memMmMMeeT外法線T外法線e圖5-3-2

TMe圖Me

TT切應力計算公式橫截面上距圓心為的任一點的切應力 T (５—３—3) IP橫截面上的最大切應力發(fā)生在橫截面周邊各點處其值為max

TRI p t

（5-3－４)切應力計算公式的討論①公式適用于線彈性范圍(max≤)，小變形條件下的等截面實心或空心圓直桿。②為所求截面上的扭矩。③Ｉp稱為極慣性矩，Wt稱為抗扭截面系數(shù),其值與截面尺寸有關。d dddDD3-5)(b)圖5.3-4對于實心圓截面(圖５—３—4(a))4 3I ，W P 32 t 16

(５－對于空心圓截面(圖5-3—4(b))D4 D3 I P 32

14

Wt 16

14 (5-3-6）其中：d。D圓桿扭轉時的強度條件強度條件:圓桿扭轉時橫截面上的最大切應力不得超過材料的許用切應力，即max

max≤ （5—３-７）TWTp的計算。圓桿扭轉時的扭轉角計算及剛度條件單位長度扭轉角d T

(5-３—8)dx GIP式中:的單位為radm扭轉角 T GI

rad (５－3—9）L p式中：的單位為T、IP均為常量，則TL (5—3—1０)GIP公式適用于線彈性范圍，小變形下的等直圓桿GI 表示圓桿抵抗扭轉彈性P變形的能力稱為抗扭剛度。圓桿扭轉時的剛度條件剛度條件:圓桿扭轉時的最大單位長度扭轉角不得超赤規(guī)定的許可值，即 M

Tmax

180

mmax GI p由剛度條件,同樣可對受扭圓桿進行剛度校核、截面設計和確定許可荷載三 問題的計算。例題分析例題１:某傳動軸，承受M 2.0KNm外力偶作用,軸材料的許用切應力為e60MPa,;②橫截面為0.8的空心圓截面，外徑為,內徑為,確定軸的截面尺寸,并確定其重量比。(Ａ)d51.9mm D71.9mm d1

GG實(B）d41.9mm D61.9mm d1

G空＝1G實(Ｃ)d50mm D70mm d1

G空＝2G實（Ｄ）d51.9mm D61.9mm d1

G空＝0.5G實）解析：１）橫截面為實心圓截面.設軸的直徑為,則Td3TW p 16

Me所以有16M316M3e3162.210380106

51.9103

51.9mm2）橫截面為空心圓截面，設橫截面的外徑為,得W p

1416

Me所以有3316M1 e4

162.21033162.210330.8480106

61.9mm重量比較,,面積之比，利用以上計算結果得:4G A4空＝空＝G A

D2d11

61.9249.5220.55224實 實 24結果表明,在滿足強度的條件下，空心圓軸的重量是實心圓軸重量的一半.例題2:某傳動軸,轉速n=30０ r/min(轉/分)，輪1為主動輪,輸入的功率P1=50輪２、輪3與輪4為從動輪,輸出功率分別為P2=10 4＝20 kW(１）試畫軸的扭矩圖，并求軸的最大扭矩.（2) 若將輪1與論3的位置對調,PPP1PPP1321348008008002解：(1)計算各傳動輪傳遞的外力偶矩;PM 9550 11591.7Nm M1 n 2

318.3Nm M M3 4

636.7Nm(２)畫出軸的扭矩圖,并求軸的最大扭矩;1273.636.(+)1273.636.(+)(-)x318.3T 1273.4kNmmax(3） 13,扭矩圖為;T(Nm)T 955kNm

636.7

(-)

955

636.(+)xmax所以對軸的受力有利。3：圖示受扭圓桿,沿平面截取下半部分為研究對象,bABCD上的切向內力所形成的力偶矩將由哪個力偶矩來平衡？解題分析:ABCD上的切向內力分布及其大小.b中,向內力分量形成垂直于截面的豎直向下的力偶矩,切向內力的合力偶矩平衡。解:1、計算長為l的縱截面ＡＢCD上切向內力的合力偶矩。如圖c所示,在縱截面上取一微面積dAld，其上切向內力的合力即dF ldTlds IP微剪力對z軸的微力矩為TdM z s

ld Ip

2ld積分得到縱截面上切向內力對ｚ軸的合力偶矩為M dMz z

20

T2ldIp

2TlR3,方向豎直向上。3Ip2、計算兩端橫截面切向內力的水平分量形成的力偶矩如圖d所示,微面積dAdd上切向內力的水平分量為TdFddsinITp

2sindd右端橫截面上剪力的水平分量為2F2RTsin 22 3s 0 0I 3Ip p左右兩個橫截面上水平剪力形成繞z軸的力偶矩為2TFls 3Ip

lR3，豎直向下。所以,截面AＢＣD上的切向內力所形成的力偶矩將由左右兩個橫截面上水平剪力形成的力偶矩平衡。例題４：已知鉆探機桿的外徑D＝60ｍｍ，內徑d=5０mm,功率P =74６kW轉速n=180／mｉn,鉆桿入土深度l =40mG=80GPa,[]=40Ｐ設土壤對鉆桿的阻力是沿長度均勻分布的,試求單位長度上土壤對鉆桿的阻力;(2)作鉆桿的扭矩圖并進行強度校核（3) 求B兩截面的相對扭轉角。解題分析:根據(jù)題意,此題為圓軸扭轉問題。土壤對鉆桿的阻力形成扭力矩作用在鉆桿上，并沿鉆桿長度方向均勻分布。解：1、求阻力矩集度Ｍ設鉆機輸出的功率完全用于克服土壤阻力,則有T9549rmin

9549

7.46180

390Nm單位長度阻力矩 M

390

9.75Nmml 40２、作扭矩圖，進行強度校核cAA面.其上最大切應力為T maxT

D2 390Nm30103m 17.7MPa

max I

P滿足強度要求。

60432

504

1012m4３、計算A、B兩截面的相對扭轉角AB lMdx

Txldx T lAB 0GI 0GI GI 2p p p 32390Nm40 80109Pa6045041012m420.148rad8.48例題5:直徑d25mm的鋼圓桿，受軸向拉力60kN作用時,在標距為200mm的長度內伸長了0.113mm。當其承受一對扭轉外力偶矩Me

0.2kNm時,在標距為200mm的長度內相對扭轉了732E,G解:EL

FL FL N EA LA60103200103E 216GPa2520.113 1094②計算切變模量G,Ml Ml 180由公式Ml Ml 180GI GI p pMl 180 0.2103200103 180GIe p

0.732 0.0254432

81.6109Pa81.6GPa③由公式G

E1

計算泊松比 E

1

216109

10.324281.6109例 題 6 ： 圖 示 圓 軸 , 已 知 MA

1.4kNm ，M 0.6kNm , MB

0.8kNm ; d1

40mm ，d2

70mm ; l1

0.2m ，l20.4m60MPa1mG算兩端面的相對扭轉角。解：①計算扭矩并作扭矩圖T MBC

0.8kNmT MAB B

0.6kNm其扭矩見圖.②計算切應力和強度校核AB段內的扭矩最大,BC發(fā)生在哪一段截面上,需分別計算兩段截面上最大切應力值。ＡB段T 11 Wt1

16MB 3B

47.7MPaBC段

401033T 2

16MC2 W d3t2 2 16800

11.9MPa(70103)3滿足強度要求。③剛度校核進行剛度校核時,需計算最大單位扭轉角1 T1

180 32600 1801.71/m1 GI P1

801094041012 2 T22 GIP2

180 32800 1800.24/m 801097041012 1.71/mmax 1此軸不滿足剛度條件.⑤計算兩端面的相對扭轉角因AB、BC段上的扭矩和截面各自不變,要分別計算兩段的相對扭轉角，然后相加；CB

2

Tl 2GI

Tl 11GIP2 P132 Tl Tl (22 11)d42 32

d41(8000.46000.2)

1 180CB 801090.245

704 404

1012 分析與討論：①對截面、扭矩變化的軸必須計算出全軸中的最大切應力和最大單位扭轉角，然后從強度和剛度分別考慮,才能保證軸安全正常工作。②計算相對扭轉角時應注意分段,總扭轉角為各段扭轉角的代數(shù)和．各段的扭轉角的正、負號，可由該段扭矩的正、負表示。③注意:階梯狀圓軸在兩段連接處有應力集中現(xiàn)象,在以上計算中對此并未考慮。7:圖示圓截面軸,AB

與d,且d＝4d/３,材料的切變模量

1 2 1 ２為G。若扭力偶矩M=１kNm,許用切應力[τ]=８0MPａ,單位長度的許用扭轉[θ］=0.5 0/m,切變模量G=８０GPa，試確定軸徑；試求軸內的最大切應力與截面的轉角;d 1若將BC段設計為空心,內外徑之比 ，則段實心與空心的D 2用材量之比為多少?AlBAlBlC解:（1) 確定軸徑①考慮軸的強度條件;1AB 2M 1ABd3

2110316d31

80106

d 50.3mm116 11M 1103161 BCd3BC

2

80106

d 39.9mm216 2②考慮軸的剛度條件； TAB

180

210332 180

d 73.5mmAB GIABT

180

80109d4 11 110332 180 BCBC GIBC

80109d4 2

d 61.8mm2綜合軸的強度和剛度條件，確定軸的直徑;d 73.5mm1d 61.8mm2d 4d 31 2d 82.4mm1d 61.8mm2（2）求軸內的最大切應力與截面C的轉角①畫軸的扭矩圖；2M2MM(+)x②求最大切應力;ABmax

AB TWTpAB

2M11

18.22MPa16 1 BC 21.59MPaBCmax

WPBC

116 2

d32比較得

21.59MPamax③求Ｃ截面的轉角； C AB BC

T lABGIpAB

T lBCGIpBC2Ml Ml 16.6Ml 1

1.42106radGd4G 4 G 4 232 1 32 2（３)若將BC段設計為空心的，內外徑之比

d 1，則ＢC段截面尺寸①考慮軸的強度條件；M

D 2 110 BC 116

D314

D3

801014

D40.8mm②考慮軸的剛度條件; TBC

180

1103180

D62.83mmBC GI BC

80109D4

14 綜合軸的強度和剛度條件,就取空心軸外徑D62.83mmd31.41mm③比較BC實心與空心的用材量之比軸的材料、長度相同,則質量比等于軸的橫截面面積之比4Q4BC空＝QBC實

D2d2d2

0.784 2分析與討論:分發(fā)揮作用，空心軸可以提高材料的利用率。所以空心軸的重量比實心軸輕。慣性矩愈大，從而提高了軸的搞扭強度和剛度。但應注意過薄的圓筒受扭時容易發(fā)生皺折，還要注意加上成本和構造上的要求等因素。五、彎曲（一）考試大綱正應力強度條件;切應力強度條件；梁的合理截面；彎曲中心概念；求梁變形的積分法、疊加法.（二）考點主要內容要求:彎曲內力①了解平面彎曲的概念,熟悉具有縱對稱面的梁產生平面彎曲的條件;②熟練梁內剪力,彎矩的正負號規(guī)定;③熟練掌握用截面法求指定截面的剪力、彎矩;④掌握作用剪力圖,彎矩圖的基本方法-—列出剪力方程和彎矩方程,然后，依據(jù)這些方程作圖;的正確性。彎曲應力①了解中性軸的概念及其在截面上的位置;②掌握橫截面上的正應力的分布規(guī)律及其計算公式,明確彎曲正應力公式的適用條件；③熟悉工程上常用截面（圓形，矩形）的軸慣性矩、抗彎截面的計算公式;熟悉中性軸為截面對稱軸或非對稱軸時的正應力強度條件;④熟悉常見截面切應力的分布規(guī)律及切應力計算公式；⑤了解梁的合理截面形狀,了解彎曲中心的概念。彎曲變形①熟悉列出梁撓曲線近似微分方程的步驟；②用積分法求解濰的位移時，能正確寫出梁的邊界條件和連續(xù)條件；③利用梁在簡單荷載下的變形結果，會用疊加法求梁的位移。彎曲內力平面彎曲的概念彎曲變形是桿件的基本變形之一。以彎曲為主要變形的桿件通常稱為梁。彎曲變形特征任意兩橫截面繞垂直桿軸線的軸作相對轉動，同時桿的軸線也彎成曲線．平面彎曲荷載作用(外力偶作用面或橫向力與梁軸線組成的平面)與彎曲平面(即梁軸線彎曲后所在平面)相平行或重合的彎曲，如圖5—5-1所示。圖5-5-1產生平面彎曲的條件如下．①梁具有縱對稱面時，只要外力(橫向力或外力偶）都作用在此縱對稱面內.,（即梁的軸線與其橫截面的形心主慣性軸所構成的平面平行的平面內;橫向力必須通過橫截面的彎曲中心并在與梁的形心主慣性平面平行的平面內。梁橫截面上的內力分量——剪力與彎矩剪力與彎矩①剪力:梁橫截面上切向分布內力的合力，稱為剪力，以表示。②彎矩：梁橫截面上法向分布內力形成的合力偶矩,稱為彎矩,以M表示.③剪力與彎矩的符號：考慮梁微段dx，使右側截面對左側截面產生向下相,為向,如圖５-5—2（b)所示。pmAmBpmAmBFSS SFSFSMFSMRMMAMFS(a)RB圖5-5-2

(b)由截面法可知以下兩點．①橫截面上的剪力,其數(shù)值等于該截面左側（或右側)方向的投影代數(shù)和;且左側梁上向上的外力或右側梁上向下的外力引起正剪力,5—5２（ａ。F Rs i左（右）②橫截面上的彎矩,其數(shù)值等于該截面左側（或右側）梁上所有外力對該截,如圖2(ａ)所示。M MCi左（右）剪力方程與彎矩方程①剪力方程:表示沿桿軸各橫截面上剪力隨截面位置變化的函數(shù)，稱為剪力方程，表示為F Fs s

x②彎矩方程:表示沿桿軸各橫截面上彎矩隨截面位置變化的函數(shù),稱為彎矩方程,表示為MMx剪力圖與彎矩圖,稱為剪力圖。,稱為彎矩圖。荷載集度與剪力、彎矩間的關系及應用qM間的微分關系q(x)為截面位置ｘ的連續(xù)函數(shù),且規(guī)定以向上為正，則有dF sdx

(５—５-1)dMxF

(５—5-２)dx sd2M

sdx2

q

（5-5—3)應用①校核剪力圖、彎矩圖的正確性。根據(jù)一階導數(shù)的幾何意義,式5-5-1和式5-5-2點的切線斜率等于梁上相應截面上的剪力。5-5—3的幾何意義可根據(jù)x二階導數(shù)的正負，定出圖的.q〉0Mq(x)〈0,M圖為下凹的曲線;若q(x)＝0，則M圖為直線。②利用微分關系作剪力圖和彎矩圖。由式5—5—１可得BdFxBqxdxA s AF F SB SA

（5—５-4）即截面AAB面積,但兩截面之間必須無集中外力作用。同理由式5－5—2可得BdMxBFxdxA A sM M B A

(5-5－5）BAA截面之間必須無集中力偶作用。5-5-1、式５—5—2，根據(jù)梁上已知的荷載集度，判定剪力、彎矩圖的圖線形狀、凹向等;而由式5－5—４、式5-5—5 或由截面法F R,Ms i左（右）

MCi左（右）

確定控制截面的剪力、彎矩值,即可繪制剪力、彎矩圖.特殊截面上的剪力、彎矩值①在集中力作用的截面處,圖有突變,M圖形成尖角。突變值等于集中力的大小,突變方向與集中力作用方向一致.②在集中力偶作用處，圖無變化，但Ｍ圖有突變。其突變值等于該力偶之矩,突變方向看該力偶對后半段梁的影響,即該力偶對后半段梁產生正彎矩，則向正方向突變，否則反之.5－５－１,以供參考。表５—５—1 幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征一段梁上受外一段梁上受外力的情況q無荷載集中力PC集中力偶MeC處有突變在C處無變化向下方傾斜的剪力圖上的特 直征 或水平直線，一般為或CP彎矩圖上的特征下凸的二次拋物線或一般為斜直線在Ｃ處有尖角在C處有突變或CMe最大彎矩所在截面在F 0的截s面在剪力變號的在緊靠C截面 某一側的截面彎曲正應力彎曲正應力和正應力強度條件純彎曲梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲，稱為純彎曲。中性層與中性軸①中性層：桿件彎曲變形時既不伸長也不縮短的一層。②中性軸：中性層與橫截面的交線,即橫截面上正應力為零的各點的連線。③中性軸位置:當桿件發(fā)生平面彎曲,且處于線彈性范圍時,中性軸通過截面形心，且垂直于荷載作用平面。④中性層的曲率：桿件發(fā)生平面彎曲時,中性層(或桿軸的曲率與彎矩間的關系為1M EIz式中:為變形后中性層(或桿軸）的曲率半徑;EI為桿的抗彎剛度，軸z為橫截面ｚ的中性軸。平面彎曲桿件橫截面上的正應力zzbhhxy圖5-5-3①分布規(guī)律:正應力的大小與該點至中性軸的垂直距離成正比,中性軸一側為拉